´ ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT– ´ ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´ EL ´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI ` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI ` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2012
SECONDE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 4 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE II — PSI.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 7 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` a le
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. Le bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
UN HOULOG ´ EN ´ ERATEUR PENDULAIRE
On consid` ere un houlog´ en´ erateur pendulaire destin´ e` a convertir l’´ energie m´ ecanique de la houle ma-
rine en ´ energie ´ electrique. Celui-ci se compose d’un pendule oscillant ` a l’int´ erieur d’un flotteur libre
de se d´ eplacer ` a la surface de l’oc´ ean. La houle entretient le mouvement du flotteur, et donc, par l’in-
term´ ediaire des forces d’inertie, l’oscillation relative du pendule. Un alternateur solidaire de l’axe du
pendule assure la production d’´ energie ´ electrique. Les trois parties du probl` eme sont ind´ ependantes.
On y envisage successivement la caract´ erisation de la houle en tant qu’onde de surface, l’´ etude
m´ ecanique du houlog´ en´ erateur, puis le probl` eme de la conversion ´ electrom´ ecanique.
Dans tout le probl` eme, les vecteurs ~vsont not´ es avec une fl` eche en g´ en´ eral mais avec un chapeau b u
s’ils sont unitaires, et on associe ` a une grandeur sinuso¨ ıdale f(t) = A0cos(
ω t+ ϕ )sa repr´ esentation
complexe soulign´ ee
f(t) = A0exp j(
ω t+ ϕ )avec f(t) = Re{f(t)}et j2=−1
Une grandeur surmont´ ee d’un point repr´ esente la d´ eriv´ ee temporelle de celle ci : ˙
α =d
α
dt.

Un houlog´ en´ erateur pendulaire
I. — Caract´ erisation de la houle
Dans une mod´ elisation simplifi´ ee, le probl` eme est suppos´ e illi-
mit´ e selon la direction b eyet invariant vis-` a-vis de la variable x. La
houle en surface est caract´ eris´ ee par l’´ equation de la surface libre
z=H+ ξ (y,t)o` u ξ (y,t) = acos( ω t−ky)
o` uHest la profondeur au repos,
ξ (y,t)l’´ el´ evation par rapport ` aH
due ` a la houle,
ω la pulsation et~ k=kb eyle ≪vecteur d’onde ≫de
la houle, tous les deux r´ eels. On leur associe la p´ eriode temporelle
Tet la longueur d’onde
λ .
FIGURE 1 – Param´ etrisation de la
houle
On s’int´ eresse ` a l’´ ecoulement de l’eau de mer entre le fond plat et imperm´ eable en z=0 et la
surface libre en z=H+
ξ (y,t). Cet ´ ecoulement est param´ etr´ e par les champs eul´ eriens de vitesse
~v(y,z,t) = vy(y,z,t)b ey+vz(y,z,t)b ezet de pression P(y,z,t). Pour cette ´ etude, on se place dans le cadre
de l’approximation a≪
λ , dite ≪acoustique ≫, o` u les champs pr´ ec´ edents traduisent une ´ evolution de
≪faible amplitude ≫de la particule fluide autour de sa position au repos (y,z).
On suppose que l’eau de mer est un fluide incompressible de masse volumique
µ =1,00 ·103kg.m−3
en ´ ecoulement irrotationnel. La pression atmosph´ erique P
0et le champ de pesanteur ~g=−gb
ezsont
uniformes, on prendra g=9,81 m.s−2. Enfin, dans le r´ ef´ erentiel terrestre (Oxyz), l’´ ecoulement v´ erifie
l’´ equation de Navier-Stokes
µ
h
∂ ~v
∂ t+ (~v·−−→
grad)~vi=−−−−→ gradP+
µ ~g−2 µ
~
Ωt∧~v+
η ∆~v
o` u~ Ωtd´ esigne le vecteur rotation de la Terre autour de son axe polaire et
η la viscosit´ e dynamique de
l’eau de mer. Pour les application num´ eriques on prendra
η =10−3Pa.s.
Pour l’´ etude envisag´ ee, l’´ equation de Navier-Stokes peut ˆ etre grandement simplifi´ ee dans le cadre des
approximations suivantes :
– A1 : le terme de viscosit´
e est n´ egligeable devant le terme de convection ;
– A2 : le terme de Coriolis est n´
egligeable devant le terme de convection ;
– A3 : la d´
eriv´ ee convective est n´ egligeable devant la d´ eriv´ ee temporelle locale.
1 — En consid´ erant acomme distance caract´ eristique du d´ eplacement d’une particule fluide,
traduire litt´ eralement chacune des approximations sous forme d’une in´ egalit´ e en ordre de grandeur
portant sur les quantit´ es a,T,
λ , et les constantes du probl` eme.
2 — Proposer des valeurs num´ eriques pour µ et Ωt. En d´ eduire les ordres de grandeurs inf´ erieur
et sup´ erieur pour
λ impos´ es par les approximations A1 et A2 dans le cas d’une houle telle que
a=1 m et T=5 s. Ces approximations sont-elles justifi´ ees ?
3 — Quelle propri´ et´ e doit v´ erifier le champ de vitesse ~vpour qu’il existe un potentiel des vitesses
scalaire Φ(y,z,t)tel que ~v=−−−−→ grad Φ. Quelle est l’´ equation v´ erifi´ ee par Φ?
4 — Simplifier l’´ equation de Navier-Stokes dans le cadre des approximations A1 , A2 et A3 .
En d´ eduire que la quantit´ e
ε =
∂ Φ
∂ t+P µ
+gz est uniforme dans l’´ ecoulement. Quelle signification
physique peut-on donner ` aP
µ
+gz ?
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Physique II, ann´ ee 2012 — fili` ere PSI
5 — On cherche Φsous la forme d’une fonction ` a variables s´ epar´ ees dont la repr´ esentation com-
plexe s’´ ecrit
Φ(y,z,t) = f(z)ej(
ω t−ky)
D´ eterminer l’expression de f(z)en fonction de k,zet de deux constantes d’int´ egration que l’on notera
c1et c2.
6 — En ´ etudiant la surface libre de cote z=H+ ξ (y,t), justifier avec rigueur les conditions aux
limites impos´ ees ` aΦsur la surface libre, ce qui revient dans l’approximation ≪acoustique ≫`
a se
placer en z=H.
∂ Φ
∂ zz=H
=
∂ ξ (y,t)
∂ tet
∂ Φ
∂ tz=H
=−g
ξ (y,t)
En d´ eduire une relation reliant c1,c2et les param` etres du probl` eme.
7 — En ´ ecrivant la condition aux limites impos´ ee ` aΦen z=0, montrer que c1=c2. En d´ eduire
l’expression de
ω
2sous la forme
ω
2=gk Ψ(kH)o`
u l’on pr´ ecisera l’expression de la fonction Ψ(kH).
V´ erifier que
Ψ(kH)≃kH si kH ≪1 et Ψ(kH)≃1 si kH ≫1
Dans le cadre de l’´ etude envisag´ ee, il est possible de faire l’une ou l’autre des deux hypoth` eses
suivantes :
– H1 : la houle se propage en eau peu profonde ainsi kH ≪1 ;
– H2 : la houle se propage en eau profonde ainsi kH ≫1.
8 — Pr´ eciser dans chacun des cas H1 et H2 si la propagation de la houle est ou n’est pas
dispersive. Comment cela se manifeste-t-il en pratique pour un observateur scrutant les oscillations
de la surface libre ?
9 — L’´ etude envisag´ ee par la suite est effectu´ ee pour une profondeur au repos H≃100 m. Laquelle
des deux hypoth` eses H1 ou H2 doit-on retenir dans le cas d’une houle telle que a=1 m et T=5 s ?
L’approximation ≪acoustique ≫est elle v´ erifi´ ee a posteriori ?
10 — Les r´ esultats pr´ ec´ edents permettent de montrer qu’au voisinage de la surface libre le potentiel
des vitesses s’´ ecrit
Φ(y,z,t) = ja
ω
kek(z−H)ej(
ω t−ky)
Exprimer, dans le cadre de l’approximation ≪acoustique ≫, les d´ eplacements r´ eels δ y(y,z,t)et δ z(y,z,t)
d’une particule fluide autour de sa position au repos rep´ er´ ee par ses coordonn´ ees (y,z). Quelle est,
dans ce cas, la nature de la trajectoire suivie au cours du temps par une particule fluide ? Quelle est
l’´ evolution de cette trajectoire en fonction de z?
11 — Le fonctionnement du houlog´ en´ erateur peut ˆ etre perturb´ e quand la vitesse horizontale
d’une particule fluide en surface d´ epasse la vitesse de propagation de la houle. On dit alors qu’il
y a d´ eferlement. On appelle
γ =2a/ λ la cambrure de la houle. ´ Etablir que le d´ eferlement apparaˆ ıt
lorsque
γ devient sup´ erieur ` a une certaine cambrure critique γ
cque l’on d´
eterminera. Une houle se
propageant en eau profonde et telle que a=1 m et T=5 s est-elle d´ eferlante ?
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Un houlog´ en´ erateur pendulaire
12 — Avant de passer au principe mˆ eme du houlog´ en´ erateur, il reste ` a quantifier la puissance
disponible. Justifier que l’on puisse exprimer la puissance m´ ecanique Pmd´ evelopp´ ee par la houle ` a
travers une section verticale Sd’´ ecoulement sous la forme
Pm=−ZZS
µ∂
Φ
∂ y
∂ Φ
∂ td
σ
Exprimer, dans le cadre de l’approximation ≪acoustique ≫, la puissance m´ ecanique moyenne <Pm>
d´ evelopp´ ee par la houle sur toute la hauteur de l’´ ecoulement en fonction de
µ , ω ,g,aet de la largeur
ℓxselon la direction b ex. D´ eterminer la valeur de la puissance <Pm>/ℓxdisponible par m` etre de front
d’onde dans le cas d’une houle telle que a=1 m et T=5 s. Que pensez-vous de cette valeur ?
FIN DE LA PARTIE I
II. — ´ Etude m´ ecanique du houlog´ en´ erateur
Le houlog´ en´ erateur consid´ er´ e est mod´ elis´ e par
deux composants :
– un flotteur de centre d’inertie G;
– un pendule pesant de longueur ℓ=AB, dont la
masse mp=105kg est concentr´ ee ` a l’extr´ emit´ e
Bet dont le point d’attache Aest confondu avec
G.
On note, dans ce cas,
α (t)l’inclinaison du pen-
dule relativement au flotteur qui, lui-mˆ eme, reste
vertical. Enfin, le couplage ´ electrom´ ecanique entre
le pendule et l’alternateur qui permet de conver-
tir l’´ energie m´ ecanique du pendule en ´ energie
´
electrique introduit un couple r´ esistant de moment
−
β
˙
α
b
exo` u le coefficient de conversion est fix´ e` a la
valeur
β =1,05.106N.m.rad−1.s.
FIGURE 2 – Houlog´ en´ erateur m´ ecanique
Le champ de pesanteur ~g=−gb ezest toujours uniforme. La liaison pivot d’axe (Gx)entre le pendule
et le flotteur est parfaite. On consid` ere que l’action de la houle sur le flotteur se r´ esume aux seules
translations selon les directions b eyet b ezdu centre d’inertie G, appel´ ees cavalement et pilonnement, et
caract´ eris´ ees par les coordonn´ ees Y(t)et Z(t)de Gdans le r´ ef´ erentiel terrestre R= (Oxyz)suppos´ e
galil´ een.
13 — Donner l’expression de la force d’inertie qui s’exerce sur le pendule dans le r´ ef´ erentiel
barycentrique R′= (Gxyz)du flotteur.
14 — En appliquant le th´ eor` eme du moment cin´ etique en G=Aau pendule dans le r´ ef´ erentiel
barycentrique R′du flotteur, montrer que l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par
α s’´ ecrit
¨
α + χ
˙
α +s( α ) = 0 (1)
o` u l’on exprimera χ en fonction de β ,mpet ℓet la fonction s( α )en fonction de ℓ,g,¨ Y,¨ Zet α .
15 — Exprimer l’´ energie m´ ecanique Emdu pendule dans le r´ ef´ erentiel barycentrique R′du flotteur.
`
A l’aide d’un bilan ´ energ´ etique, retrouver l’´ equation diff´ erentielle ´ etablie ` a la question 14.
L’action de la houle est dor´ enavant caract´ eris´ ee par une p´ eriode T=5 s et par les fonctions Y(t) =
acos(
ω t)et Z(t) = asin( ω t)avec ω =2 π /T.
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Physique II, ann´ ee 2012 — fili` ere PSI
16 — Pour cette question on consid´ erera l’exemple d’un houlog´ en´ erateur dot´ e d’un pendule de lon-
gueur ℓ=2 m. ´ Etudier la solution de l’´ equation (1) dans un r´ egime de faibles acc´ el´ erations verticales
(¨
Z≪g) et de petites oscillations (|
α
|≪1). On d´
eterminera en particulier la dur´ ee caract´ eristique
τ
et la pseudo-p´ eriode Ttdu r´ egime transitoire ainsi que l’amplitude Amax du r´ egime sinuso¨ ıdal forc´ e.
FIGURE 3 – ´ Evolution de α en fonction de tpour diff´ erentes valeurs de aet de ℓ.
17 — Une r´ esolution num´ erique de l’´ equation (1) sans hypoth` eses sur α et ¨ Zest entreprise pour
diff´ erentes valeurs de aet ℓ` a partir de conditions initiales nulles. La repr´ esentation graphique de cer-
taines de ces solutions fait l’objet de la figure 3. En utilisant les r´ esultats de la question 16, interpr´ etez
le plus pr´ ecis´ ement possible ces courbes.
FIGURE 4 – <P>en fonction de ℓ
On s’int´ eresse ` a pr´ esent ` a la puissance moyenne conver-
tie en r´ egime d’oscillations forc´ ees par le houlog´ en´ erateur,
not´ ee <P>. On calcule pour cela la fonction <Pℓ>qui
repr´ esentent l’´ evolution de <P>en fonction du param` etre
ℓdu houlog´ en´ erateur, les autres param` etres ´ etant constants.
La r´ esolution num´ erique de l’´ equation (1) a permis d’obte-
nir la figure 4. Pour ces calculs et afin de tracer la courbe on
a choisi a=0,1 m et T=5 s.
18 — Comment peut-on ´ evaluer <Pℓ>` a partir de la
solution num´ erique
α (t)de l’´ equation (1) ? Interpr´ eter phy-
siquement la courbe.
FIN DE LA PARTIE II
III. — Probl` eme de la conversion ´ electrom´ ecanique
La conversion de l’´ energie m´ ecanique du pendule en ´ energie ´ electrique est r´ ealis´ ee par un alternateur.
Les oscillations du pendule sont converties en un mouvement de rotation sensiblement uniforme ` a
la vitesse angulaire Ωautour de l’axe (Ox)d’une bobine appel´ ee rotor. La bobine de r´ esistance r
et d’inductance propre Lcomporte Nspires rectangulaires jointives et associ´ ees en s´ erie, d’´ epaisseur
n´ egligeable, de hauteur hselon b exet de largeur bperpendiculairement ` a cette direction. Elle est ferm´ ee
sur une r´ esistance de charge R.
On suppose dans un premier temps qu’un champ magn´ etique uniforme ~ B0=B0b
eyest cr´ e´ e par un
aimant permanent et immobile, appel´ e stator (voir figure 5). On note il’intensit´ e du courant induit par
la rotation de la bobine dans le champ ~ B0, son sens est indiqu´ e sur la figure 5.
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