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Mines Physique 2 PSI 2008 — Énoncé 1/7
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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS ´ EES.
´
ECOLES NATIONALES SUP ´ ERIEURES DE L’A ´ ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANC ´ EES, DES T´ EL ´ ECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–´ ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES T´ EL ´ ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI ` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2008
SECONDE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` erePSI
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 4heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` adisposition des concours :ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT,TPE–EIVP,Cycle
international
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` erepagede la copie :
PHYSIQUE II —PSI.
L’´ enonc´ ede cette ´ epreuve comporte 7 pages.
–Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` ale
signaler sur sa copie et ` apoursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Il ne faudra pas h´ esiter ` aformuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ ene le demande pas explicitement. La bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
DISPOSITIFS MAGN ´ ETIQUES
Ce probl` eme, dont les diff´ erentes parties sont largement ind´ ependantes, aborde quelques dispositifs
utilis´ es dans l’´ etude de certaines propri´ et´ es de particules fondamentales. Dans de tr` es nombreux cas
les particules, charg´ ees, sont en mouvement dans un champ magn´ etique permanent.
Donn´ ees :
Constantes ´ electromagn´ etiques du vide :
µ
o=4
π ×10−7H.m−1, ε
o=1/(36
π )×10−9F.m−1,masse
de l’´ electron :m=9,11 ×10−31 kg, charge ´
el´ ementaire :e=1,60 ×10−19 C, Constante de BOLTZ-
MANN k=1,38 ×10−23 J.K−1,Constante d’AVOGADRON=6,02 ×1023mol−1.
Dans le syst` eme de coordonn´ ees cylindriques (r,
θ ,z)de base (−→ er,−→ e
θ
,−→ ez),pour tout champ scalaire
V(r,
θ ,z)et pour tout champ de vecteur −→ F=Fr−→
er+F
θ
−→
e
θ
+Fz−→
ez,on donne :
−−−−−→
grad(V)=
∂ V
∂ r−→
er+1
r
∂ V
∂θ
−→
e
θ
+
∂ V
∂ z−→
ezdiv(−→
F)=1
r
∂ (rFr)
∂ r+1 r
∂ F
θ
∂θ
+
∂ Fz
∂ z
−−−−→
rot(−→ F)=1
r
∂ Fz
∂θ
−
∂ F
θ
∂ z−→
er+
∂ Fr
∂ z−
∂ Fz
∂ r−→
e
θ
+
∂ (rF
θ
)
∂ z−
∂ Fz
∂θ
−→
ez
r
I. —Cr´ eation de champs magn´ etiques ayant des propri´ et´ es parti-
culi` eres
Deux structures de champs seront abord´ ees :Le champ uniforme et le champ ` avariation lin´ eaire. La
r´ egion de l’espace dans laquelle r` egnent ces champs poss` ede les mˆ emes propri´ et´ es ´ electromagn´ etiques
que le vide.
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Mines Physique 2 PSI 2008 — Énoncé 2/7
I.A. —Champ uniforme :sol´ eno¨ ıdes et bobines de HELMHOLTZ
On consid` ere un sol´ eno¨ ıde cylindrique de longueur ℓcomportant Nspires jointives identiques, circu-
laires de rayon R.Ce sol´ eno¨ ıde est parcouru par un courant d’intensit´ eI=cste.
1—On se place dans le cadre de l’approximation du sol´ eno¨ ıde infini. Etablir l’expression du
champ magn´ etique −−→ Bsol cr´ e´ epar le sol´ eno¨ ıde ` al’int´ erieur de celui-ci.
Une autre m´ ethode classique de production d’un champ magn´ etique uniforme est l’utilisation des
bobines de HELMHOLTZ.Les questions suivantes vont permettre d’expliciter leurs caract´ eristiques.
On consid` ere une spire circulaire C,de centre O,de rayon R,parcourue par un courant d’intensit´ e
I=cste. L’axeOz est perpendiculaire au plan de la spire. On appelle −−→ Bcoz (z)le champ magn´ etique
cr´ e´ epar la spire en un point situ´ esur Oz ` ala cote z.
2—Exprimer −−→ Bcoz(0)en fonction de µ
o,Ret Ipuis −−→
Bcoz en fonction de −−→ Bcoz(0)et de la variable
sans dimension u=z/R.
Figure 1:Bobines de HELMHOLTZ
On consid` ere le montage de la Figure 1constitut´ ede
deux bobines plates d’´ epaisseur n´ egligeable, compos´ ees
chacune de Nspires circulaires de rayon R,de mˆ eme
axede sym´ etrie Oz.Ces deux bobines ont pour centres
de sym´ etrie respectifs O1et O2,elles sont parcourues
par des courants identiques d’intensit´ eI=cste. Les
extr´ emit´ es de ces bobines sont s´ epar´ ees d’une distance
D=2d.La configuration d’HELMHOLTZ est obtenue
lorsque d=R/2.On note −→ Bhle champ cr´ e´ epar la
configuration d’HELMHOLTZ et (Bhr,Bh
θ
,Bhz)les com-
posantes de −→ Bhdans la base (−→ er,−→ e
θ
,−→ ez)des coordonn´ ees
cylindriques (voir Figure 2).
3—On pose toujours u=z/R,d´ eterminer le champ
magn´ etique −−→ Bhoz (u)cr´ e´ epar la configuration de la Fi-
gure 1en un point situ´ esur l’axeOz ` ala cote z.
Repr´ esenter sur un mˆ eme graphique les fonctions u7−→
−−→
Bcoz (u)/−−−−→
Bcoz(0)et u7−→−−→
Bhoz(u)/−−→
Bhoz(0).Que
constatez-vous lorsque u≈0?
4—On note g(u)=−−→
Bhoz(u).Justifiez physiquement le fait que la fonction g(u)est paire. Ecrire,
en fonction de uet de la constante
γ =8N µ
oI/(5√5R),le d´
eveloppement limit´ e˜g(u)de g(u)` a
l’ordre 4au voisinage de 0. On donne
"1+x±1
22#−3/2
=8
5√51∓6
5x±32 25x3−144 125x4+ox4avec ∀n≥1,lim
x→0xno(xn)=0
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Mines Physique 2 PSI 2008 — Énoncé 3/7
5—D´ eterminer l’amplitude de l’intervalle centr´ esur
l’origine sur lequel la fonction ˜g(u)ne varie pas de plus de
2% en erreur relative.
6—En consid´ erant les sym´ etries de la configuration
montrer que Bhr =Bhr (r,z),Bhz =Bhz (r,z)et Bh
θ
=0.
7—On cherche une expression de −→ Bhau voisinage de
l’axeOz.Un d´ eveloppement limit´ epermet dans ce voisi-
nage, d’obtenir
Bhz (r,z)=˜g(z)+
α r2d2˜g
dz2+
β (r)
o` u
α est une constante et β une fonction paire de la variable
r.En utilisant les ´ equations de MAXWELL d´ eterminer la
valeur de
α et l’expression de β (r)en fonction de γ ,Ret
r.En d´ eduire les expressions de Bhz et Bhr en fonction de
γ ,R,zet r.
Figure 2:Coordonn´ ees cylindriques
Un d´ etecteur de particules charg´ ees n´ ecessite la production d’un champ magn´ etique uniforme et per-
manent de norme B=0,5T dans un volume cylindrique de hauteur H=4m et de diam ` etre D=4m.
On veut comparer les deux sources d´ ecrites pr´ ec´ edemment. Les spires sont r´ ealis´ ees avec un mat´ eriau
conducteur de section carr´ ee de 2mm de cˆ ot´ eet l’intensit´ edu courant Iest limit´ ee ` a100A.
8—Dans le cas d’un sol´ eno¨ ıde de longueur ℓ=8m, d´ eterminer le nombre de spires que l’on
doit utiliser,´ eventuellement sur plusieurs couches, pour d´ elivrer sur Oz un champ susceptible d’ˆ etre
utilis´ epour d´ etecter des particules charg´ ees. En d´ eduire la longueur totale de fil conducteur que l’on
doit utiliser.
9—Pour l’utilisation des bobines de HELMHOLTZ,on souhaite que le champ magn´ etique ne
varie pas de plus de 2% le long de l’axeOz sur toute la hauteur H.D´ eterminer le rayon des spires ` a
utiliser puis calculer le nombre Nde spires pour chaque bobine. En d´ eduire la longueur totale de fil
conducteur que l’on doit utiliser.
10 —Le fil conducteur utilis´ eest du cuivre de conductivit´ e σ =6.107S.m−1.Apr` es avoir choisi la
source de champ la plus ´ economique en fil, calculer la puissance perdue par effet JOULE dans celle-ci.
Commenter ce r´ esultat. Dans la pratique quelle solution technologique doit-on utiliser pour r´ ealiser
cette source ?
I.B. —Champ lin´ eaire:bobines de
MHOLTZHEL
On reprend la configuration de HELMHOLTZ mais avec
deux courants de mˆ eme intensit´ ecirculant en sens
contraire conform´ ement ` ala Figure 3avec maintenant
d=√3R/2. Cette configuration invers´
ee est appel´ ee «
bobines de MHOLTZHEL ».On s’int´ eresse au champ
magn´ etique −−→ Bmoz cr´
e´ epar ces bobines sur l’axeOz au
voisinage de O.
11 —En utilisant toujours la variable r´ eduite u=
z/R,´ etablir l’expression du champ −−→ Bmoz (u)cr´
e´ esur l’axe
Oz en un point de cote z.
Figure 3:Bobines de MHOLTZHEL
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Mines Physique 2 PSI 2008 — Énoncé 4/7
12 —On donne maintenant la relation
1+ x±√3
2!2
−3/2
=8√7
49 1∓6√3 7x+48 49x2−240 343x4±1056√3 2401 x5+ox5!
Montrer que le champ magn´ etique cr´ e´ epar une bobine de MHOLTZHEL au voisinage de l’origine
est tr` es proche d’un champ lin´ eaire de la forme −−→ Bmoz (z)=az −→ ez.On exprimera la constante aen
fonction de N,
µ
o,Iet R.
13 —D´ eterminer l’amplitude de l’intervalle contenu dans Oz et centr´ esur Osur lequel −−→ Bmoz (z)
est approximable ` amoins de 2% d’erreur relativepar un champ lin´ eaire de pente a.
14 —On souhaite r´ ealiser un champ lin´ eaire de pente a=10 T.m−1en utilisant un courant
permanent d’intensit´ eI=10 Aet des bobines de MHOLTZHEL de 10 cm de rayon. Calculer le nombre
de spires N` autiliser.
FIN DE LA PARTIE I
II. —L’exp´ erience de Sternet Gerlach
Figure 4
Dans une enceinte, o` ur` egne une faible pression,
est plac´ eun four contenant du lithium port´ e` ala
temp´ erature T.Le lithium se vaporise et le gaz
d’atomes obtenu se comporte comme un gaz par-
fait monoatomique ` ala temp´ erature T.Un en-
semble d’ouvertures pratiqu´ ees dans le four per-
met d’obtenir un jet d’atomes de lithium. On sup-
pose que ce jet est monocin´ etique et donc que les
atomes ont tous la mˆ eme ´ energie cin´ etique Eco =
mk−→ vok2/2 o` umest la masse d’un atome de li-
thium et −→ vola vitesse moyenne des atomes dans le
four.On supposera qu’en sortie du four −→ vo=vo−→
ex.
Le poids des atomes de lithium est n´ egligeable
dans toute cette exp´ erience.
15 —On r` egle la temp´ erature Tde fac¸on ` aobtenir Eco =1,6.10−20J. Calculer la valeur num´ erique
de T.
En sortie du four,le jet d’atomes de lithium passe dans une r´ egion ou r` egne un champ magn´ etique
−→
B=B(z)−→ eztel que B(z)=az (voir Figure 4). On admet que cette r´ egion est de largeur ℓet qu’en
dehors de celle-ci le champ magn´ etique est n´ egligeable. On constate que le jet est d´ evi´ eet que son
impact sur un ´ ecran situ´ e` al’abcisse d=ℓ+Dse situe ` aune cote zonon nulle. Cette d´ eviation est
explicable par le fait que les atomes de lithium sont porteurs de moments dipolaires magn´ etiques −→ M
constants et que dans la zone o` ur` egne le champ magn´ etique ils sont soumis ` aune force magn´ etique
d´ erivant de l’´ energie potentielle Ep=−−→ M.−→ B
16 —Apr` es avoir exprim´ ecette force, ´ etablir,en fonction de a,Mz=−→ M.−→ ez,et Eco,la relation
entre zet xd´ ecrivant la trajectoire d’un atome dans la r´ egion o` ur` egne le champ magn´ etique lin´ eaire.
17 —Exprimer la cote zoen fonction de D,ℓ,Eco,aet Mz.
18 —On observeen fait sur l’´ ecran deux taches sym´ etriques par rapport ` aOx.Que peut-on en
d´ eduire ?
19 —On choisit Eco =1,6.10−20 J, a=10 T.m−1,ℓ=10 cm et D=10 met on observez=
±3mm. Calculer la composante Mzdu moment magn´ etique des atomes de lithium.
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Mines Physique 2 PSI 2008 — Énoncé 5/7
Cette exp´ erience r´ ealis´ ee par les physiciens OTTOSTERNet WALTHERGERLACHen 1921 apermis
de mettre en ´ evidence la quantification du moment cin´ etique de spin des atomes ´ etudi´ es (et avalu le
prix Nobel de physique ` aOTTOSTERNen 1943).
FIN DE LA PARTIE II
III. —Identification de particules dans une chambre` aprojection
temporelle
Dans l’exp´ erience DELPHIdu CERNon r´ ealise des collisions ` agrande vitesse entre des ´ electrons et
des positrons (anti-´ electrons). Ces derni` eres produisent des particules charg´ ees, appel´ ees particules
filles, que l’on cherche ` aidentifier.On tente pour cela de reconstituer leurs trajectoires dans une
chambre dite ` aprojection temporelle.
Figure 5:Chambre ` aprojection temporelle
Cette chambre comporte trois parties :
la chambre de d´ erive, la chambre pro-
portionnelle et la chambre ` afils. L’en-
semble du d´ etecteur comporte un axe
zde sym´ etrie de r´ evolution. La tra-
jectoire analys´ ee est d´ ecrite dans le
syst` eme de coordonn´ ees cylindriques
(r,
θ ,z)utilis´ edans la partie Iet
illustr´ epar la Figure 2. ` Al’int´ erieur
de la chambre de d´ erive, les collisions
´
electrons-positrons ont lieu ` aproxi-
mit´ ede l’axez.Cette chambre est
remplie d’argon sous faible pression.
Le mouvement des particules filles
dans l’enceinte gazeuse produit des
´
electrons d’ionisation.
Le mouvement d’un ´ electron d’ionisation dans la chambre de d´ eriveet les signaux ´ electriques qu’il
produit dans la chambre ` afils permettent de d´ eterminer les coordonn´ ees du point o` ul’ionisation aeu
lieu. On peut ainsi obtenir toutes les informations cin´ ematiques sur les particules filles et d´ eterminer
leurs natures. Dans toute cette ´ etude on utilisera la m´ ecanique classique non relativiste et le poids des
particules sera n´ eglig´ e.
III.A. —Mouvement d’un ´ electron d’ionisation dans la chambrede d´ erive
On s’int´ eresse au mouvement d’un ´ electron d’ionisation, not´ eei,de masse meet de charge −e,` a
l’int´ erieur de la chambre de d´ erive. Dans cette enceinte, cylindrique de longueur L=2,1m, r` egne
un champ magn´ etique −→ B=B−→ ezet un champ ´ electrique −→ E=−E−→ ezpermanents et uniformes (voir
Figure 5). Le champ ´ electrique est obtenu en imposant une diff´ erence de potentiel U=63 kV entre les
deux extr´ emit´ es de la chambre. En plus de la force ´ electromagn´ etique, le gaz contenu dans la chambre
de d´ eriveimpose ` al’´ electron une force de frottement fluide −→ F=−
µ
−→
vo` u−→ vrepr´ esente sa vitesse
et
µ =9,6×10−20 kg.s−1.On appelle −→ vela vitesse de eiau moment de son ´ emission par ionisation
d’un atome du gaz. On se place en coordonn´ ees cart´ esiennes (x,y,z)dans la base (−→ ex,−→ ey,−→ ez)de telle
mani` ere que −→ ve.−→ ey=0. L’origine Odu r´ ef´ erentiel est le point d’´ emission de ei`
al’instant t=0.
20 —En prenant comme param` etres e,B, µ ,Uet L,´ etablir les trois ´ equations diff´ erentielles
r´ egissant l’´ evolution des composantes vx=−→ v.−→ ex,vy=−→ v.−→ eyet vz=−→ v.−→ ezde la vitesse de eidans
la chambre de d´ erive. Exprimer vzen fonction du temps tet d´ eterminer vlim =lim
t→∞vz(t).On posera
τ =me/ µ
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