Mines Physique 2 PC 2008 — Énoncé 1/7
´
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS ´
EES.
´
ECOLES NATIONALES SUP ´
ERIEURES DE L’A ´
ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANC ´
EES, DES T´
EL ´
ECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT´
ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES T´
EL ´
ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI `
ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2008
SECONDE ´
EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili`
erePC
(Dur´
ee de l’´
epreuve: 4heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´
e
Sujet mis `
adisposition des concours :ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT,TPE–EIVP,Cycle
international
Les candidats sont pri´
es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`
erepagede la copie :
PHYSIQUE II PC.
L´
enonc´
ede cette ´
epreuve comporte 7 pages.
Si, au cours de l’´
epreuve, un candidat rep`
ere ce qui lui semble ˆ
etre une erreur d’´
enonc´
e, il est invit´
e`
ale
signaler sur sa copie et `
apoursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´
et´
e
amen´
e`
aprendre.
Il ne faudra pas h´
esiter `
aformuler les commentaires (incluant des consid´
erations num´
eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ
eme lorsque l’´
enonc´
ene le demande pas explicitement. La bar`
eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´
es de r´
edaction de la copie.
DISPOSITIFS MAGN ´
ETIQUES
Ce probl`
eme, dont les diff´
erentes parties sont largement ind´
ependantes, aborde quelques dispositifs
utilis´
es dans l’´
etude de certaines propri´
et´
es de particules fondamentales. Dans de tr`
es nombreux cas
les particules, charg´
ees, sont en mouvement dans un champ magn´
etique permanent.
Donn´
ees :
Constantes ´
electromagn´
etiques du vide :
µ
o=4
π
×107H.m1,
ε
o=1/(36
π
)×109F.m1,masse
de l’´
electron :m=9,11 ×1031 kg, charge ´
el´
ementaire :e=1,60 ×1019 C, Constante de BOLTZ-
MANN k=1,38 ×1023 J.K1,Constante d’AVOGADRON=6,02 ×1023mol1.
Dans le syst`
eme de coordonn´
ees cylindriques (r,
θ
,z)de base (
er,
e
θ
,
ez),pour tout champ scalaire
V(r,
θ
,z)et pour tout champ de vecteur
F=Fr
er+F
θ
e
θ
+Fz
ez,on donne :
grad(V)=
V
r
er+1
r
V
θ
e
θ
+
V
z
ezdiv(
F)=1
r
(rFr)
r+1
r
F
θ
θ
+
Fz
z
rot(
F)=1
r
Fz
θ
F
θ
z
er+
Fr
z
Fz
r
e
θ
+
(rF
θ
)
z
Fz
θ
ez
r
I. Cr´
eation de champs magn´
etiques ayant des propri´
et´
es parti-
culi`
eres
Deux structures de champs seront abord´
ees :Le champ uniforme et le champ `
avariation lin´
eaire. La
r´
egion de l’espace dans laquelle r`
egnent ces champs poss`
ede les mˆ
emes propri´
et´
es ´
electromagn´
etiques
que le vide.
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Mines Physique 2 PC 2008 — Énoncé 2/7
I.A. Champ uniforme :sol´
eno¨
ıdes et bobines de HELMHOLTZ
On consid`
ere un sol´
eno¨
ıde cylindrique de longueur comportant Nspires jointives identiques, circu-
laires de rayon R.Ce sol´
eno¨
ıde est parcouru par un courant d’intensit´
eI=cste.
1On se place dans le cadre de l’approximation du sol´
eno¨
ıde infini. Etablir l’expression du
champ magn´
etique
Bsol cr´
e´
epar le sol´
eno¨
ıde `
al’int´
erieur de celui-ci.
Une autre m´
ethode classique de production d’un champ magn´
etique uniforme est l’utilisation des
bobines de HELMHOLTZ.Les questions suivantes vont permettre d’expliciter leurs caract´
eristiques.
On consid`
ere une spire circulaire C,de centre O,de rayon R,parcourue par un courant d’intensit´
e
I=cste. L’axeOz est perpendiculaire au plan de la spire. On appelle
Bcoz (z)le champ magn´
etique
cr´
e´
epar la spire en un point situ´
esur Oz `
ala cote z.
2Exprimer
Bcoz(0)en fonction de
µ
o,Ret Ipuis
Bcoz en fonction de
Bcoz(0)et de la variable
sans dimension u=z/R.
Figure 1:Bobines de HELMHOLTZ
On consid`
ere le montage de la Figure 1constitut´
ede
deux bobines plates d’´
epaisseur n´
egligeable, compos´
ees
chacune de Nspires circulaires de rayon R,de mˆ
eme
axede sym´
etrie Oz.Ces deux bobines ont pour centres
de sym´
etrie respectifs O1et O2,elles sont parcourues
par des courants identiques d’intensit´
eI=cste. Les
extr´
emit´
es de ces bobines sont s´
epar´
ees d’une distance
D=2d.La configuration d’HELMHOLTZ est obtenue
lorsque d=R/2.On note
Bhle champ cr´
e´
epar la
configuration d’HELMHOLTZ et (Bhr,Bh
θ
,Bhz)les com-
posantes de
Bhdans la base (
er,
e
θ
,
ez)des coordonn´
ees
cylindriques (voir Figure 2).
3On pose toujours u=z/R,d´
eterminer le champ
magn´
etique
Bhoz (u)cr´
e´
epar la configuration de la Fi-
gure 1en un point situ´
esur l’axeOz `
ala cote z.
Repr´
esenter sur un mˆ
eme graphique les fonctions u7−
Bcoz (u)/
Bcoz(0)et u7−
Bhoz(u)/
Bhoz(0).Que
constatez-vous lorsque u0?
4On note g(u)=
Bhoz(u).Justifiez physiquement le fait que la fonction g(u)est paire. Ecrire,
en fonction de uet de la constante
γ
=8N
µ
oI/(55R),le d´
eveloppement limit´
e˜g(u)de g(u)`
a
l’ordre 4au voisinage de 0. On donne
"1+x±1
22#3/2
=8
5516
5x±32
25x3144
125x4+ox4avec n1,lim
x0xno(xn)=0
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Mines Physique 2 PC 2008 — Énoncé 3/7
5D´
eterminer l’amplitude de l’intervalle centr´
esur
l’origine sur lequel la fonction ˜g(u)ne varie pas de plus de
2% en erreur relative.
6En consid´
erant les sym´
etries de la configuration
montrer que Bhr =Bhr (r,z),Bhz =Bhz (r,z)et Bh
θ
=0.
7On cherche une expression de
Bhau voisinage de
l’axeOz.Un d´
eveloppement limit´
epermet dans ce voisi-
nage, d’obtenir
Bhz (r,z)=˜g(z)+
α
r2d2˜g
dz2+
β
(r)
o`
u
α
est une constante et
β
une fonction paire de la variable
r.En utilisant les ´
equations de MAXWELL d´
eterminer la
valeur de
α
et l’expression de
β
(r)en fonction de
γ
,Ret
r.En d´
eduire les expressions de Bhz et Bhr en fonction de
γ
,R,zet r.
Figure 2:Coordonn´
ees cylindriques
Un d´
etecteur de particules charg´
ees n´
ecessite la production d’un champ magn´
etique uniforme et per-
manent de norme B=0,5T dans un volume cylindrique de hauteur H=4m et de diam`
etre D=4m.
On veut comparer les deux sources d´
ecrites pr´
ec´
edemment. Les spires sont r´
ealis´
ees avec un mat´
eriau
conducteur de section carr´
ee de 2mm de cˆ
ot´
eet l’intensit´
edu courant Iest limit´
ee `
a100A.
8Dans le cas d’un sol´
eno¨
ıde de longueur =8m, d´
eterminer le nombre de spires que l’on
doit utiliser,´
eventuellement sur plusieurs couches, pour d´
elivrer sur Oz un champ susceptible d’ˆ
etre
utilis´
epour d´
etecter des particules charg´
ees. En d´
eduire la longueur totale de fil conducteur que l’on
doit utiliser.
9Pour l’utilisation des bobines de HELMHOLTZ,on souhaite que le champ magn´
etique ne
varie pas de plus de 2% le long de l’axeOz sur toute la hauteur H.D´
eterminer le rayon des spires `
a
utiliser puis calculer le nombre Nde spires pour chaque bobine. En d´
eduire la longueur totale de fil
conducteur que l’on doit utiliser.
10 Le fil conducteur utilis´
eest du cuivre de conductivit´
e
σ
=6.107S.m1.Apr`
es avoir choisi la
source de champ la plus ´
economique en fil, calculer la puissance perdue par effet JOULE dans celle-ci.
Commenter ce r´
esultat. Dans la pratique quelle solution technologique doit-on utiliser pour r´
ealiser
cette source ?
I.B. Champ lin´
eaire:bobines de
MHOLTZHEL
On reprend la configuration de HELMHOLTZ mais avec
deux courants de mˆ
eme intensit´
ecirculant en sens
contraire conform´
ement `
ala Figure 3avec maintenant
d=3R/2. Cette configuration invers´
ee est appel´
ee «
bobines de MHOLTZHEL ».On s’int´
eresse au champ
magn´
etique
Bmoz cr´
e´
epar ces bobines sur l’axeOz au
voisinage de O.
11 En utilisant toujours la variable r´
eduite u=
z/R,´
etablir l’expression du champ
Bmoz (u)cr´
e´
esur l’axe
Oz en un point de cote z.
Figure 3:Bobines de MHOLTZHEL
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Mines Physique 2 PC 2008 — Énoncé 4/7
12 On donne maintenant la relation
1+ x±3
2!2
3/2
=87
49 163
7x+48
49x2240
343x4±10563
2401 x5+ox5!
Montrer que le champ magn´
etique cr´
e´
epar une bobine de MHOLTZHEL au voisinage de l’origine
est tr`
es proche d’un champ lin´
eaire de la forme
Bmoz (z)=az
ez.On exprimera la constante aen
fonction de N,
µ
o,Iet R.
13 D´
eterminer l’amplitude de l’intervalle contenu dans Oz et centr´
esur Osur lequel
Bmoz (z)
est approximable `
amoins de 2% d’erreur relativepar un champ lin´
eaire de pente a.
14 On souhaite r´
ealiser un champ lin´
eaire de pente a=10 T.m1en utilisant un courant
permanent d’intensit´
eI=10 Aet des bobines de MHOLTZHEL de 10 cm de rayon. Calculer le nombre
de spires N`
autiliser.
FIN DE LA PARTIE I
II. L’exp´
erience de Sternet Gerlach
Figure 4
Dans une enceinte, o`
ur`
egne une faible pression,
est plac´
eun four contenant du lithium port´
e`
ala
temp´
erature T.Le lithium se vaporise et le gaz
d’atomes obtenu se comporte comme un gaz par-
fait monoatomique `
ala temp´
erature T.Un en-
semble d’ouvertures pratiqu´
ees dans le four per-
met d’obtenir un jet d’atomes de lithium. On sup-
pose que ce jet est monocin´
etique et donc que les
atomes ont tous la mˆ
eme ´
energie cin´
etique Eco =
mk
vok2/2 o`
umest la masse d’un atome de li-
thium et
vola vitesse moyenne des atomes dans le
four.On supposera qu’en sortie du four
vo=vo
ex.
Le poids des atomes de lithium est n´
egligeable
dans toute cette exp´
erience.
15 On r`
egle la temp´
erature Tde fac¸on `
aobtenir Eco =1,6.1020J. Calculer la valeur num´
erique
de T.
En sortie du four,le jet d’atomes de lithium passe dans une r´
egion ou r`
egne un champ magn´
etique
B=B(z)
eztel que B(z)=az (voir Figure 4). On admet que cette r´
egion est de largeur et qu’en
dehors de celle-ci le champ magn´
etique est n´
egligeable. On constate que le jet est d´
evi´
eet que son
impact sur un ´
ecran situ´
e`
al’abcisse d=+Dse situe `
aune cote zonon nulle. Cette d´
eviation est
explicable par le fait que les atomes de lithium sont porteurs de moments dipolaires magn´
etiques
M
constants et que dans la zone o`
ur`
egne le champ magn´
etique ils sont soumis `
aune force magn´
etique
d´
erivant de l’´
energie potentielle Ep=
M.
B
16 Apr`
es avoir exprim´
ecette force, ´
etablir,en fonction de a,Mz=
M.
ez,et Eco,la relation
entre zet xd´
ecrivant la trajectoire d’un atome dans la r´
egion o`
ur`
egne le champ magn´
etique lin´
eaire.
17 Exprimer la cote zoen fonction de D,,Eco,aet Mz.
18 On observeen fait sur l’´
ecran deux taches sym´
etriques par rapport `
aOx.Que peut-on en
d´
eduire ?
19 On choisit Eco =1,6.1020 J, a=10 T.m1,=10 cm et D=10 met on observez=
±3mm. Calculer la composante Mzdu moment magn´
etique des atomes de lithium.
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Mines Physique 2 PC 2008 — Énoncé 5/7
Cette exp´
erience r´
ealis´
ee par les physiciens OTTOSTERNet WALTHERGERLACHen 1921 apermis
de mettre en ´
evidence la quantification du moment cin´
etique de spin des atomes ´
etudi´
es (et avalu le
prix Nobel de physique `
aOTTOSTERNen 1943).
FIN DE LA PARTIE II
III. Identification de particules dans une chambre`
aprojection
temporelle
Dans l’exp´
erience DELPHIdu CERNon r´
ealise des collisions `
agrande vitesse entre des ´
electrons et
des positrons (anti-´
electrons). Ces derni`
eres produisent des particules charg´
ees, appel´
ees particules
filles, que l’on cherche `
aidentifier.On tente pour cela de reconstituer leurs trajectoires dans une
chambre dite `
aprojection temporelle.
Figure 5:Chambre `
aprojection temporelle
Cette chambre comporte trois parties :
la chambre de d´
erive, la chambre pro-
portionnelle et la chambre `
afils. L’en-
semble du d´
etecteur comporte un axe
zde sym´
etrie de r´
evolution. La tra-
jectoire analys´
ee est d´
ecrite dans le
syst`
eme de coordonn´
ees cylindriques
(r,
θ
,z)utilis´
edans la partie Iet
illustr´
epar la Figure 2. `
Al’int´
erieur
de la chambre de d´
erive, les collisions
´
electrons-positrons ont lieu `
aproxi-
mit´
ede l’axez.Cette chambre est
remplie d’argon sous faible pression.
Le mouvement des particules filles
dans l’enceinte gazeuse produit des
´
electrons d’ionisation.
Le mouvement d’un ´
electron d’ionisation dans la chambre de d´
eriveet les signaux ´
electriques qu’il
produit dans la chambre `
afils permettent de d´
eterminer les coordonn´
ees du point o`
ul’ionisation aeu
lieu. On peut ainsi obtenir toutes les informations cin´
ematiques sur les particules filles et d´
eterminer
leurs natures. Dans toute cette ´
etude on utilisera la m´
ecanique classique non relativiste et le poids des
particules sera n´
eglig´
e.
III.A. Mouvement d’un ´
electron d’ionisation dans la chambrede d´
erive
On s’int´
eresse au mouvement d’un ´
electron d’ionisation, not´
eei,de masse meet de charge e,`
a
l’int´
erieur de la chambre de d´
erive. Dans cette enceinte, cylindrique de longueur L=2,1m, r`
egne
un champ magn´
etique
B=B
ezet un champ ´
electrique
E=E
ezpermanents et uniformes (voir
Figure 5). Le champ ´
electrique est obtenu en imposant une diff´
erence de potentiel U=63 kV entre les
deux extr´
emit´
es de la chambre. En plus de la force ´
electromagn´
etique, le gaz contenu dans la chambre
de d´
eriveimpose `
al’´
electron une force de frottement fluide
F=
µ
vo`
u
vrepr´
esente sa vitesse
et
µ
=9,6×1020 kg.s1.On appelle
vela vitesse de eiau moment de son ´
emission par ionisation
d’un atome du gaz. On se place en coordonn´
ees cart´
esiennes (x,y,z)dans la base (
ex,
ey,
ez)de telle
mani`
ere que
ve.
ey=0. L’origine Odu r´
ef´
erentiel est le point d’´
emission de ei`
al’instant t=0.
20 En prenant comme param`
etres e,B,
µ
,Uet L,´
etablir les trois ´
equations diff´
erentielles
r´
egissant l’´
evolution des composantes vx=
v.
ex,vy=
v.
eyet vz=
v.
ezde la vitesse de eidans
la chambre de d´
erive. Exprimer vzen fonction du temps tet d´
eterminer vlim =lim
tvz(t).On posera
τ
=me/
µ
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