Correction DS 6 : sujet banque PT 2014

PC et PC*
Correction DS 6 : sujet banque PT 2014
I. Pince ampèremétrique
1. Principe
→
→
1.a. Le plan (M, −
er , −
ez ) est un plan P + pour les courants, le champ magnétique en M est perpen→
diculaire à ce plan donc il est selon −
eθ .
1.b. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur Oz (axe du fil) orientées par la main droite
: le pouce indique le sens du courant dans le fil et les lignes de champ sont orientées par le mouvement de
rotation du poignet.
1.c.
Il y a invariance par rotation autour de Oz et par translation selon Oz donc le champ
→
−
→
magnétique ne dépend ni de θ, ni de z soit B = B(r)−
eθ . On applique le théorème d’Ampère sur un
contour fermé confondu avec une ligne de champ de rayon r et orienté par Oz:
I
I
→ −−→
−
B .dOM = B(r)rdθ = B(r)2πr.
C=
→ µ0 i 1 −
−
→
eθ .
On a C = µ0 Ienlaces avec ici Ienlaces = i1 soit B =
2πr
1.d. On calcule le flux de ce champ magnétique à travers une spire du tore:
ZZ
ZZ
Z
Z
µ0 i 1 −
→ −
−
µ0 i1 r0 +a/2 dr a
r0 + a/2
µ0 i 1 a
→
→
B .dS →
n =
φ=
eθ .drdz −
eθ =
ln(
).
dz =
2πr
2π r0 −a/2 r 0
2π
r0 − a/2
→
−
µ0 i 1 −
→
eθ . On calcule le
Au centre d’une spire, le champ magnétique créé par le fil s’écrit : B =
2πr0
2
µ0 i 1 −
µ0 i 1 a
→
→
flux de ce champ uniforme sur une spire soit φ21 =
eθ =
eθ .a2 −
.
2πr0
2πr0
1.e.
a
1.f.
On calcule l’erreur relative sur le flux en écrivant: |
φ − φ21
r0
| = |1 −
| = 3, 3.10−3 soit
φ
ln( r0 +a/2 )
r0 −a/2
une erreur de 0, 3 %. On pourra donc remplacer φ par φ21 .
1.g.
La bobine est constituée de N spires donc le flux total à travers la bobine est N φ, on applique la loi de Faraday pour en déduire la fem induite soit la tension aux bornes de la bobine : e = U2 =
N µ0 a2 di1
d N µ0 i 1 a 2
)=−
.
− (
dt 2πr0
2πr0 dt
2. Mesures
2.a.
2.b.
N µ0 a2 Im f
di1
sin(ωt).
= −Im ω sin(ωt) d’où l’expression de la tension U2 : U2 =
dt
r0
On lit sur la courbe qu’une période correspond à 4 carreaux soit T = 20 ms donc f = 50 Hz.
On a
2.c. On lit sur la courbe l’amplitude de U2 : U2m = 2.500 mV = 1 V . Cette grandeur correspond
U2m r0
0, 05.1
µ0 N a2 Im f
, on en déduit Im par Im =
=
.
à
2
−7
r0
µ0 a N f
4π10 .0, 012 .1000.50
3. Influence de la position du fil.
µ0 a 2
.
2πr0
3.b. Le plan passant par M et Oz (axe de symétrie du tore) est P + donc le champ magnétique en
→
M est perpendiculaire à ce plan soit il est selon −
eθ . Les lignes de champ magnétique sont donc des cercles
centrés sur Oz.
3.a.
On définit φ21 = M21 i1 soit d’après la question 1-e : M21 =
3.c. On applique le théorème d’Ampère sur un contour fermé constitué d’une ligne de champ de
→
rayon r et orienté par −
ez .
→
−
→
Il y a invariance par rotation donc B ne dépend pas de θ soit B = B(r, z)−
eθ .
I
→
−
→
B .rdθ−
eθ = 2πrB(r, z).
On a C =
1
Les courants enlacés sont nuls pour tout contour à l’extérieur du tore. Donc le champ magnétique est nul
en tout point à l’extérieur du tore.
Et pour un contour à l’intérieur du tore, on a Ienlaces = N i2 soit C = 2πrB(r, z) = µ0 N i2 ou encore
−
→ µ0 N i 2 −
→
eθ : c’est le champ créé par N fils parcourus par u courant i2 et confondus avec Oz.
B2 =
2πr
3.d. Le champ magnétique est non nul uniquement dans la spire carré de côté a contenue dans le
→
plan contenant le circuit 1. On oriente le circuit 1 par le vecteur −
eθ .
µ0 N i 2 a 2
(le flux est ici égal au produit champ magnétique fois surface puisque le
2πr0
champ magnétique est uniforme).
Soit φ21 = B2 (r0 ).a2 =
µ0 N a 2
= M12 (c’est un résultat de cours, on s’y attendait).
2πr0
3.e. Le flux du champ magnétique créé par le tore à travers le circuit 1 est égal au flux du champ
magnétique créé par le tore à travers l’une de ses spires et ce flux est toujours le meme tant que le circuit 1
entoure le tore.
On a φ21 = M21 i2 soit M21 =
Pour un courant i2 (t) = i1 (t) = Im cos(ωt), la tension entre A1 et A2 est la meme que celle aux bornes du
di1
di2
= −M21
.
tore précédemment puisque : e = −M12
dt
dt
3.f.
Un ampèremètre présente une résistance interne qui modifie la valeur de l’intensité que l’on
veut mesurer. Ici la mesure se fait par induction et ne modifie pas le courant qui circule dans le circuit. On
peut mesurer des courants très grands.
II. Sonde de Hall
1. Loi d’Ohm
1.a. L’agitation thermique des électrons et leurs collisions incessantes sur les ions du réseau et entre
eux sont un frein à l’établissement d’un mouvement d’ensemble des électrons. On modélise cela par une
force de frottement proportionnelle à la vitesse.
Le paramètre τ est un temps. Plus ce temps est élevé, plus la force qui modélise les interactions des électrons
entre eux et avec les cations du réseau est petite.
→
−
→
−
→
m−
dV
→
= −eE0 + m−
g − V soit en négligeant le poids,
1.b. On applique la RFD à un électron : m
dt
τ
→
−
V vérifie l’équation différentielle:
→ −
−
→
dV
V
→
−e −
E0 .
+
=
dt
τ
m
→
→ −
−
→
τe −
1.c. La solution de cette équation différentielle s’écrit V = A e−t/τ − E0 . On obtient la constante
m
→
−
→
−
→ τe −
−
→ −
→
d’intégration A en utilisant les conditions initiales V (t = 0) = A − E0 = V0 .
m
→ −
→ −t/τ τ e −
→
→
−
τe −
− E0 .
On en déduit V = ( E0 + V0 )e
m
m
1.d. Le régime transitoire dure un temps de l’ordre de 5τ . En régime permanent, le mouvement des
−
→
τe−
→
électrons est rectiligne uniforme de vitesse V = − E0 (en régime permanent la force électrique compense
m
la force de friction).
→
−
→
−
1.e. Le vecteur densité de courant est j = −ne V .
1.f.
→
−
→
−
→
→ nτ e2 −
−
−
→
En régime permanent, on a j =
E0 proportionnel à E0 . On définit γ par j = γ E0 soit
m
nτ e2
.
m
γ est la conductivité du métal, d’autant plus grande que τ est grand ce qui correspond à une force de
frottement petite : les électrons ont effectivement dans ce cas plus de facilité à se déplacer dans le métal, ils
sont moins freinés, ce qui assure une meilleure conductivité.
M
est la masse d’un atome et V est le volume moyen d’un atome soit
1.g. On a µ = nm où m =
Na
ici γ =
2
µ=
µNa
9000.6.1023
nM
d’où n =
=
= 9.1028 m−3 .
Na
M
0, 060
nτ e2
Mγ
mγ
0, 060.6.107
= 2, 6.10−9 s.
soit τ = 2 =
=
2
23
m
ne
Na e n
6.10 .(1, 6.10−19 )2 .9.1028
La durée du régime transitoire est effectivement très courte, pour des courants alternatifs de fréquence
1
inférieure à = 0, 4 GHz, on ne tient pas compte du régime transitoire.
τ
1.h.
On rappelle que γ =
2. Effet Hall
−
→
Analyse qualitative : Ici, les électrons sont en mouvement rectiligne selon −Ox sous l’action du champ E0 (la
→
−
vitesse des électrons est de sens opposé à j ). Ils sont déviés par le champ magnétique, la force magnétique
les amène sur la surface en x = 0 : cette surface est chargée négativement et par défaut il apparait sur la
→
−
−
→
surface en x = l une charge positive. Il apparaı̂t donc un champ électrique perpendiculaire à B et à E0 soit
ici selon −Oy.
2.a. En régime permanent, les électrons ont un mouvement rectiligne uniforme selon Ox. La somme
des forces exercées sur l’électron est nulle soit:
→
→ −
−
→
−→ −
−
→ m−
→
−eE0 − V − e V Λ B − eEH = 0 .
τ
−
→
→
m−
2.b.
Les forces −eE0 et
V sont selon Ox et se compensent : c’est l’étude précédente. On a
τ
−
→
→
−
→
−
j = γ E0 = −ne V .
→ −
−
→
−→
Les forces −e V Λ B et −eEH sont selon Oy et se compensent également soit :
→
−
−→
→ −
−
→
j −
→
→
→ −
−
EH = − V Λ B =
Λ B = −RH j Λ B .
ne
I
→
−
.
2.c. L’intensité du courant dans la plaquette est le flux de j à travers la section l.h soit j =
l.h
→
RH .I.B −
I −
−→
→
−
→
→
ex ΛB −
ez =
ey .
On a donc EH = −RH
l.h
l.h
→ −→ −
−
→ RH .I.B −
→
→
ex .
ey + E0 −
2.d. Le champ électrique totale dans l’échantillon s’écrit E = EH + E0 =
l.h
−→
−
→
Le champ EH est à l’origine d’une ddp selon Oy et le champ E0 est à l’origine d’une ddp selon Ox.
Z yP
Z P
Z P
Z xP
→ −−→
−
RH .I.B
E0 dx −
On a VP − VN =
dV = −
E .dOM soit VP − VN = −
dy = −E0 (xP −
l.h
yN
xN
N
N
RH .I.B
.
xN ) −
h
2.e.
La tension de VP − VN est proportionnelle à B pour xP = xN . On a alors VP − VN =
RH .I.B
−
> 0 car RH < 0.
h
1
2.f. Pour le cuivre : RH = −
= 6, 9.10−11 C −1 .m3
1, 6.10−19.9.1028
1
Pour un semi-conducteur : RH = −
= 0, 6 C −1 .m3
1, 6.10−19.1019
On utilise un semi-conducteur pour avoir une tension de Hall plus élevée et donc une mesure de B plus
précise.
−h
−h
UH = kUH soit k =
= 0, 16 T /V . Soit pour une tension UH = 6 V , on
2.g. On a B =
RH .I
RH .I
en déduit l’intensité du champ magnétique B = 0, 96 T .
3