Correction DS 6 : sujet banque PT 2014

PC et PC*
Correction DS 6 : sujet banque PT 2014
I. Pince amp`erem´etrique
1. Principe
1.a. Le plan (M, −→ er,−→ ez) est un plan P+pour les courants, le champ magn´etique en M est perpen-
diculaire `a ce plan donc il est selon −→ eθ.
1.b. Les lignes de champ sont des cercles centr´es sur Oz (axe du fil) orient´ees par la main droite
: le pouce indique le sens du courant dans le fil et les lignes de champ sont orient´ees par le mouvement de
rotation du poignet.
1.c. Il y a invariance par rotation autour de Oz et par translation selon Oz donc le champ
magn´etique ne d´epend ni de θ, ni de zsoit −→ B=B(r)−→ eθ. On applique le th´eor`eme d’Amp`ere sur un
contour ferm´e confondu avec une ligne de champ de rayon ret orient´e par Oz:
C=I−→
B .d−−→ OM =IB(r)rdθ =B(r)2πr.
On a C=µ0Ienlaces avec ici Ienlaces =i1soit −→ B=µ0i1
2πr
−→
eθ.
1.d. On calcule le flux de ce champ magn´etique `a travers une spire du tore:
φ=ZZ −→
B .dS−→ n=ZZ µ0i1
2πr
−→
eθ.drdz−→ eθ=µ0i1
2πZr0+a/2
r0−a/2
dr
rZa
0
dz =µ0i1a
2πln( r0+a/2 r0−a/2).
1.e. Au centre d’une spire, le champ magn´etique cr´e´e par le fil s’´ecrit : −→ B=µ0i1
2πr0
−→
eθ. On calcule le
flux de ce champ uniforme sur une spire soit φ21 =µ0i1
2πr0
−→
eθ.a2−→
eθ=µ0i1a2
2πr0
.
1.f. On calcule l’erreur relative sur le flux en ´ecrivant: |φ−φ21
φ|=|1−
a
r0
ln(r0+a/2
r0−a/2)|= 3,3.10−3soit
une erreur de 0,3 %. On pourra donc remplacer φpar φ21.
1.g. La bobine est constitu´ee de Nspires donc le flux total `a travers la bobine est N φ, on ap-
plique la loi de Faraday pour en d´eduire la fem induite soit la tension aux bornes de la bobine : e=U2=
−d
dt(Nµ0i1a2 2πr0
) = −Nµ0a2
2πr0
di1
dt .
2. Mesures
2.a. On a di1
dt =−Imωsin(ωt) d’o`u l’expression de la tension U2:U2=N µ0a2Imf r0
sin(ωt).
2.b. On lit sur la courbe qu’une p´eriode correspond `a 4 carreaux soit T= 20 ms donc f= 50 Hz.
2.c. On lit sur la courbe l’amplitude de U2:U2m= 2.500 mV = 1 V. Cette grandeur correspond
`a µ0Na2Imf
r0
, on en d´eduit Impar Im=U2mr0
µ0a2Nf =0,05.1 4π10−7.0,012.1000.50.
3. Influence de la position du fil.
3.a. On d´efinit φ21 =M21i1soit d’apr`es la question 1-e : M21 =µ0a2
2πr0
.
3.b. Le plan passant par Met Oz (axe de sym´etrie du tore) est P+donc le champ magn´etique en
Mest perpendiculaire `a ce plan soit il est selon −→ eθ. Les lignes de champ magn´etique sont donc des cercles
centr´es sur Oz.
3.c. On applique le th´eor`eme d’Amp`ere sur un contour ferm´e constitu´e d’une ligne de champ de
rayon ret orient´e par −→ ez.
Il y a invariance par rotation donc Bne d´epend pas de θsoit −→ B=B(r, z)−→ eθ.
On a C=I−→
B .rdθ−→ eθ= 2πrB(r, z).
1

Les courants enlac´es sont nuls pour tout contour `a l’ext´erieur du tore. Donc le champ magn´etique est nul
en tout point `a l’ext´erieur du tore.
Et pour un contour `a l’int´erieur du tore, on a Ienlaces =Ni2soit C= 2πrB(r, z) = µ0Ni2ou encore
−→
B2=µ0Ni2
2πr
−→
eθ: c’est le champ cr´e´e par N fils parcourus par u courant i2et confondus avec Oz.
3.d. Le champ magn´etique est non nul uniquement dans la spire carr´e de cˆot´e acontenue dans le
plan contenant le circuit 1. On oriente le circuit 1 par le vecteur −→ eθ.
Soit φ21 =B2(r0).a2=µ0Ni2a2
2πr0
(le flux est ici ´egal au produit champ magn´etique fois surface puisque le
champ magn´etique est uniforme).
On a φ21 =M21i2soit M21 =µ0Na2
2πr0
=M12 (c’est un r´esultat de cours, on s’y attendait).
3.e. Le flux du champ magn´etique cr´e´e par le tore `a travers le circuit 1 est ´egal au flux du champ
magn´etique cr´e´e par le tore `a travers l’une de ses spires et ce flux est toujours le meme tant que le circuit 1
entoure le tore.
Pour un courant i2(t) = i1(t) = Imcos(ωt), la tension entre A1et A2est la meme que celle aux bornes du
tore pr´ec´edemment puisque : e=−M12
di2
dt =−M21
di1
dt .
3.f. Un amp`erem`etre pr´esente une r´esistance interne qui modifie la valeur de l’intensit´e que l’on
veut mesurer. Ici la mesure se fait par induction et ne modifie pas le courant qui circule dans le circuit. On
peut mesurer des courants tr`es grands.
II. Sonde de Hall
1. Loi d’Ohm
1.a. L’agitation thermique des ´electrons et leurs collisions incessantes sur les ions du r´eseau et entre
eux sont un frein `a l’´etablissement d’un mouvement d’ensemble des ´electrons. On mod´elise cela par une
force de frottement proportionnelle `a la vitesse.
Le param`etre τest un temps. Plus ce temps est ´elev´e, plus la force qui mod´elise les interactions des ´electrons
entre eux et avec les cations du r´eseau est petite.
1.b. On applique la RFD `a un ´electron : md−→
V
dt =−e−→
E0+m−→ g−m
τ
−→
Vsoit en n´egligeant le poids,
−→
Vv´erifie l’´equation diff´erentielle:
d−→ V
dt +
−→
V
τ=−e m
−→
E0.
1.c. La solution de cette ´equation diff´erentielle s’´ecrit −→ V=−→ A e−t/τ −τe
m
−→
E0. On obtient la constante
d’int´egration −→ Aen utilisant les conditions initiales −→ V(t= 0) = −→ A−τe
m
−→
E0=−→ V0.
On en d´eduit −→ V= (τe
m
−→
E0+−→ V0)e−t/τ −τe
m
−→
E0.
1.d. Le r´egime transitoire dure un temps de l’ordre de 5τ. En r´egime permanent, le mouvement des
´electrons est rectiligne uniforme de vitesse −→ V=−τe
m
−→
E0(en r´egime permanent la force ´electrique compense
la force de friction).
1.e. Le vecteur densit´e de courant est −→ j=−ne−→ V.
1.f. En r´egime permanent, on a −→ j=nτe2
m
−→
E0proportionnel `a −→ E0. On d´efinit γpar −→ j=γ−→ E0soit
ici γ=nτe2
m.
γest la conductivit´e du m´etal, d’autant plus grande que τest grand ce qui correspond `a une force de
frottement petite : les ´electrons ont effectivement dans ce cas plus de facilit´e `a se d´eplacer dans le m´etal, ils
sont moins frein´es, ce qui assure une meilleure conductivit´e.
1.g. On a µ=nm o`u m=M
Na
est la masse d’un atome et Vest le volume moyen d’un atome soit
2

µ=nM
Na
d’o`u n=µNa
M=9000.6.1023 0,060 = 9.1028 m−3.
1.h. On rappelle que γ=nτe2
msoit τ=mγ ne2=Mγ Nae2n=0,060.6.107 6.1023.(1,6.10−19)2.9.1028 = 2,6.10−9s.
La dur´ee du r´egime transitoire est effectivement tr`es courte, pour des courants alternatifs de fr´equence
inf´erieure `a 1
τ= 0,4GHz, on ne tient pas compte du r´egime transitoire.
2. Effet Hall
Analyse qualitative : Ici, les ´electrons sont en mouvement rectiligne selon −Ox sous l’action du champ −→ E0(la
vitesse des ´electrons est de sens oppos´e `a −→ j). Ils sont d´evi´es par le champ magn´etique, la force magn´etique
les am`ene sur la surface en x= 0 : cette surface est charg´ee n´egativement et par d´efaut il apparait sur la
surface en x=lune charge positive. Il apparaˆıt donc un champ ´electrique perpendiculaire `a −→ Bet `a −→ E0soit
ici selon −Oy.
2.a. En r´egime permanent, les ´electrons ont un mouvement rectiligne uniforme selon Ox. La somme
des forces exerc´ees sur l’´electron est nulle soit:
−e−→ E0−m
τ
−→
V−e−→ VΛ−→ B−e−→ EH=−→ 0 .
2.b. Les forces −e−→
E0et m
τ
−→
Vsont selon Ox et se compensent : c’est l’´etude pr´ec´edente. On a
−→
j=γ−→ E0=−ne−→ V.
Les forces −e−→ VΛ−→ Bet −e−→
EHsont selon Oy et se compensent ´egalement soit :
−→
EH=−−→ VΛ−→ B=
−→
j
neΛ−→
B=−RH
−→
jΛ−→ B.
2.c. L’intensit´e du courant dans la plaquette est le flux de −→ j`a travers la section l.h soit j=I
l.h.
On a donc −→ EH=−RH
I
l.h
−→
−→
exΛB−→ ez=RH.I.B
l.h
−→
ey.
2.d. Le champ ´electrique totale dans l’´echantillon s’´ecrit −→ E=−→ EH+−→ E0=RH.I.B
l.h
−→
ey+E0−→
ex.
Le champ −→ EHest `a l’origine d’une ddp selon Oy et le champ −→ E0est `a l’origine d’une ddp selon Ox.
On a VP−VN=ZP
N
dV =−ZP
N
−→
E .d−−→ OM soit VP−VN=−ZxP
xN
E0dx −ZyP
yN
RH.I.B
l.h dy =−E0(xP−
xN)−RH.I.B
h.
2.e. La tension de VP−VNest proportionnelle `a Bpour xP=xN. On a alors VP−VN=
−RH.I.B
h>0 car RH<0.
2.f. Pour le cuivre : RH=−1
1,6.10−19.9.1028 = 6,9.10−11 C−1.m3
Pour un semi-conducteur : RH=−1
1,6.10−19.1019 = 0,6C−1.m3
On utilise un semi-conducteur pour avoir une tension de Hall plus ´elev´ee et donc une mesure de Bplus
pr´ecise.
2.g. On a B=−h
RH.I UH=kUHsoit k=−h RH.I = 0,16 T /V . Soit pour une tension UH= 6 V, on
en d´eduit l’intensit´e du champ magn´etique B= 0,96 T.
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