12)
Montrer quel’enveloppe convexe
conv
(
H
)d’unepartie
H
de
E
est consti-
tuée des combinaisonsconvexes d’éléments de H.
Onsouhaite montrer quel’enveloppeconvexe
conv
(
H
)est constituée des com-
binaisonsconvexesd’au plusn+1élémentsde H.
Soit x=Pp
i=1λixiunecombinaisonconvexe de x1,x2,..., xp∈Havec pÊn+2.
13) Montrer qu’il existe préelsnon tousnuls µ1,µ2,...,µptels que
p
X
i=1
µixi=0et
p
X
i=1
µi=0.
Onpourraconsidérer la famille (x2−x1,x3−x1, ..., xp−x1).
14)
Endéduireque
x
s’écrit comme combinaisonconvexe d’au plus
p−
1
éléments de
H
et conclureque
conv
(
H
)est constituée des combinaisons
convexes d’au plus n+1éléments de H.
Onpourraconsidérer une suitede coefficientsdelaforme
λi−θµiÊ
0,
i∈{1,2, ..., p}pour un réel θbien choisi.
15)
Si
H
est une partiecompactede
E
,montrer que
conv
(
H
)est compacte.
Onpourraintroduirel’ensemble compactde Rn+1définipar
Λ=n(t1, ..., tn+1), avec tiÊ0pourtout i∈{1,...,n+1} et
n+1
X
i=1
ti=1o.
E.Enveloppe convexedeOn(R)
16) Montrer quel’enveloppeconvexe conv(On(R)) est compacte.
On noteBla boule unité fermée de(Mn(R),k k2).
17) Montrer queconv(On(R)) est contenue dans B.
Onsuppose qu’il existe
M∈B
telle que
M
n’appartientpas à
conv
(
On
(
R
)). On
note
N
le projetéde
M
sur
conv
(
On
(
R
)) définiàla partie Cpourlanorme
k k1
,
et onpose
A=t
(
M−N
). Onécritenfin
A=US
,avec
U∈On
(
R
)et
S
symétrique
réelle positive(question 9).
18)
Montrer que pourtout
V∈conv
(
On
(
R
)),
tr
(
AV
)
Étr
(
AN
)
<tr
(
AM
). En
déduireque tr(S)<tr(USM).
19)
Montrerque
tr
(
MUS
)
Étr
(
S
). Onpourraappliquer lerésultat delaques-
tion 1).
20) Conclure:déterminer conv(On(R)).