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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 1/5
ÉCOLE DESPONTSPARISTECH,
SUPAÉRO(ISAE), ENSTAPARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINESDE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈREMP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRETSI).
CONCOURS2013
DEUXIÈMEÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
FilièreMP
(Duréede l’épreuve:4heures)
L’usage d’ordinateuroude calculetteestinterdit.
Sujetmis àla disposition des concours :
CYCLEINTERNATIONAL,ENSTIM, TELECOM INT,TPE-EIVP.
Lescandidats sontpriés de mentionner de façon apparente
sur la premièrepage de la copie :
MATHÉMATIQUES II -MP.
L’énoncéde cetteépreuvecomporte 5pagesde texte.
Si,au cours del’épreuve,uncandidat repèrece quilui semble êtreune erreur d’énoncé,
il le signalesursa copie et poursuit sa compositionen expliquantles raisonsdes
initiativesqu’il est amenéàprendre.
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 2/5
Quelques propriétés géométriques du groupeorthogonal
Notations etdéfinitions
Soit E unespace vectoriel euclidien (préhilbertien réel dedimension finie).
On note 〈,〉 le produit scalairede E et k k la norme euclidienne associée.Si H
est unepartiede E ,on appelle enveloppeconvexe de H ,notée conv ( H ), la plus
petitepartieconvexe de E contenant H ,c’est-à-direl’intersection de tousles
convexes de Econtenant H.
Soit n un entier naturel Ê 2. Ondésigne par Mn ( R )l’espacevectoriel des
matrices carrées d’ordre n àcoefficientsréels.Onnote I la matrice identitéde
Mn ( R )et si A∈Mn ( R ), on note
tA
la matricetransposée de A et tr ( A )latrace
de A.Onrappelle quele groupe orthogonal On(R)de Mn(R)estl’ensemble des
matrices U de Mn ( R )telles que UtU=I .Onrappelleégalement qu’une matrice
symétriqueréelle est dite positivesi ses valeurs propres sont positives ou nulles.
Onpourraidentifier Rn et l’ensembledes matrices colonnes Mn,1 ( R ), que
l’on suppose munidu produitscalairecanonique,pour lequel labase canonique
de Rn est orthonormée.Onnote k k2 la normesur Mn ( R )subordonnée àla
norme euclidienne de Rn:pourtoutA∈Mn(R),
kAk2=sup
X∈Rn,kXk=1
kAXk.
Les parties A,B,CetDsontindépendantes.
A.Produit scalairedematrices
Onrappelle que tr(A)désignelatrace de la matrice A∈Mn(R).
1)
Montrer quepourtoute base orthonormée ( e1,e2,...,en )de Rn ,on ala
formule tr(A)=Pn
i=1〈Aei,ei〉.
2)
Montrer quel’application ( A,B ) →tr (
tAB
)définit unproduit scalairesur
Mn(R), noté〈,〉.
On notek k1la norme euclidienneassociée àce produitscalaire.L’attention du
candidat est attiréesur lefait que Mn ( R )est désormais munide deuxnormes
différentes k k1et k k2.
3)
Si A et B sont symétriques réelles positives,montrer que 〈A,B〉Ê 0. On
pourrautiliserune baseorthonormée de vecteurs propresde B.
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 3/5
B. Décomposition polaire
Soit f unendomorphisme de E .On note A la matrice de f dansune base
orthonormée deE,et on note f∗l’adjoint de f.
4)
Montrer que
tAA
est une matrice symétrique réellepositive.Exprimer
kAk2en fonction des valeurs propres de tAA.
5)
Montrer qu’il existe un endomorphisme auto-adjointpositif h de E telque
f∗◦f=h2.
6)
Montrer que la restriction de h à Imh induit unautomorphisme de Imh .
On noteracet automorphisme ˜ h.
7)
Montrer que kh ( x ) k=kf ( x ) k pour tout x∈E .Endéduireque Kerh et
( Imf )
⊥
ont même dimensionet qu’il existe unisomorphisme v de Kerh
sur (Imf)⊥quiconservela norme.
8)
Àl’aide de
˜
h
et v ,construireunautomorphisme orthogonal u de E tel que
f=u◦h.
9)
Endéduirequetoutematrice A∈Mn ( R )s’écrit souslaforme A=US ,où
U∈On(R)et Sest unematricesymétrique positive.
Onadmetquesi Aest inversible,cette écritureest unique.
C. Projeté sur unconvexecompact
Soit Hunepartie de E,convexeet compacte,et soit x∈E.Onnote
d(x,H)=inf
h∈H
kx−hk.
10)
Montrer qu’ilexiste ununique h0∈H telque d ( x,H ) =kx−h0k .Onpourra
utiliser pour
h0,h1 dans H la fonction définie pour tout t∈R parla formule
q(t)=kx−th0−(1−t)h1k2.
11)
Montrer que h0 est caractérisé par lacondition 〈x−h0,h−h0〉É 0pour
tout
h∈H .Onpourrautiliser lamême fonction q ( t )qu’à la question
précédente.
Le vecteur h0s’appelleprojeté de xsur H.
D.Théorème deCarathéodoryet compacité
Danscette partie,on suppose que E est de dimension n .Ondit que x∈E
est unecombinaison convexedes p éléments x1,x2,...,xp∈E s’il existedesréels
λ1,λ2,...,λppositifsou nuls tels que
x=
p
X
i=1
λixiet
p
X
i=1
λi=1.
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 4/5
12) Montrer quel’enveloppe convexe conv ( H )d’unepartie H de E est consti-
tuée des combinaisonsconvexes d’éléments de H.
Onsouhaite montrer quel’enveloppeconvexe conv ( H )est constituée des com-
binaisonsconvexesd’au plusn+1élémentsde H.
Soit x=Pp
i=1λixiunecombinaisonconvexe de x1,x2,..., xp∈Havec pÊn+2.
13) Montrer qu’il existe préelsnon tousnuls µ1,µ2,...,µptels que
p
X
i=1
µixi=0et
p
X
i=1
µi=0.
Onpourraconsidérer la famille (x2−x1,x3−x1, ..., xp−x1).
14)
Endéduireque x s’écrit comme combinaisonconvexe d’au plus p− 1
éléments de H et conclureque conv ( H )est constituée des combinaisons
convexes d’au plus n+1éléments de H.
Onpourraconsidérer une suitede coefficientsdelaforme λi−θµiÊ 0,
i∈{1,2, ..., p}pour un réel θbien choisi.
15)
Si H est une partiecompactede E ,montrer que conv ( H )est compacte.
Onpourraintroduirel’ensemble compactde Rn+1définipar
Λ=n(t1, ..., tn+1), avec tiÊ0pourtout i∈{1,...,n+1} et
n+1
X
i=1
ti=1o.
E.Enveloppe convexedeOn(R)
16) Montrer quel’enveloppeconvexe conv(On(R)) est compacte.
On noteBla boule unité fermée de(Mn(R),k k2).
17) Montrer queconv(On(R)) est contenue dans B.
Onsuppose qu’il existe M∈B telle que M n’appartientpas à conv ( On ( R )). On
note N le projetéde M sur conv ( On ( R )) définiàla partie Cpourlanorme k k1 ,
et onpose A=t ( M−N ). Onécritenfin A=US ,avec U∈On ( R )et S symétrique
réelle positive(question 9).
18)
Montrer que pourtout V∈conv ( On ( R )), tr ( AV ) Étr ( AN ) <tr ( AM ). En
déduireque tr(S)<tr(USM).
19)
Montrerque tr ( MUS ) Étr ( S ). Onpourraappliquer lerésultat delaques-
tion 1).
20) Conclure:déterminer conv(On(R)).
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 5/5
F.Pointsextrémaux
Unélément A∈B est dit extrémaldans B si l’écriture A=1
2(B+C)
,avec
B,C appartenant à B ,entraîne A=B=C .Dans cettepartie,onchercheà
déterminer l’ensembledes points extrémaux de B.
21)
Onsuppose que U∈On ( R )s’écrit sous la forme U=1
2(V+W)
,avec V,W
appartenant à B .Montrer quepour tout X∈Rn ,les vecteurs VX et WX
sont liés.Endéduireque Uest extrémal dansB.
Soit AappartenantàBmais n’appartenantpas àOn(R).
22)
Montrer quel’on peut écrire A souslaforme A=PDQ ,où P et Q sont
deux matricesorthogonales et où
D est une matrice diagonale dont les
éléments diagonauxd1,d2,...,dnsontpositifsou nuls.
23)
Montrer que diÉ 1pour tout i∈{ 1 , 2 ,...,n} ,et qu’il existe j∈{ 1 , 2 ,...,n}
telquedj<1.
24)
Endéduirequ’il existe deuxmatrices Aα et A−α appartenant à B telles
queA=1
2(Aα+A−α).Conclure.
FINDUPROBLÈME
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