Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 1/5
ÉCOLE DESPONTSPARISTECH,
SUPAÉRO(ISAE), ENSTAPARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINTTIENNE, MINESDE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈREMP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRETSI).
CONCOURS2013
DEUXIÈMEÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
FilièreMP
(Duede l’épreuve:4heures)
Lusage dordinateuroude calculetteestinterdit.
Sujetmis àla disposition des concours :
CYCLEINTERNATIONAL,ENSTIM, TELECOM INT,TPE-EIVP.
Lescandidats sontpriés de mentionner de façon apparente
sur la premièrepage de la copie :
MATMATIQUES II -MP.
L’énoncéde cetteépreuvecomporte 5pagesde texte.
Si,au cours del’épreuve,uncandidat repèrece quilui semble êtreune erreur d’énoncé,
il le signalesursa copie et poursuit sa compositionen expliquantles raisonsdes
initiativesqu’il est amenéàprendre.
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 2/5
Quelques propriétés géométriques du groupeorthogonal
Notations etnitions
Soit
E
unespace vectoriel euclidien (préhilbertien el dedimension finie).
On note
,
le produit scalairede
E
et
k k
la norme euclidienne associée.Si
H
est unepartiede
E
,on appelle enveloppeconvexe de
H
,notée
conv
(
H
), la plus
petitepartieconvexe de
E
contenant
H
,c’est-à-direl’intersection de tousles
convexes de Econtenant H.
Soit
n
un entier naturel
Ê
2. Ondésigne par
Mn
(
R
)l’espacevectoriel des
matrices carrées d’ordre
n
àcoefficientsréels.Onnote
I
la matrice identitéde
Mn
(
R
)et si
AMn
(
R
), on note
tA
la matricetransposée de
A
et
tr
(
A
)latrace
de A.Onrappelle quele groupe orthogonal On(R)de Mn(R)estl’ensemble des
matrices
U
de
Mn
(
R
)telles que
UtU=I
.Onrappelleégalement qu’une matrice
symétriqueréelle est dite positivesi ses valeurs propres sont positives ou nulles.
Onpourraidentifier
Rn
et l’ensembledes matrices colonnes
Mn,1
(
R
), que
lon suppose munidu produitscalairecanonique,pour lequel labase canonique
de
Rn
est orthonormée.Onnote
k k2
la normesur
Mn
(
R
)subordonnée àla
norme euclidienne de Rn:pourtoutAMn(R),
kAk2=sup
XRn,kXk=1
kAXk.
Les parties A,B,CetDsontindépendantes.
A.Produit scalairedematrices
Onrappelle que tr(A)désignelatrace de la matrice AMn(R).
1)
Montrer quepourtoute base orthonormée (
e1,e2,...,en
)de
Rn
,on ala
formule tr(A)=Pn
i=1Aei,ei.
2)
Montrer quelapplication (
A,B
)
tr
(
tAB
)définit unproduit scalairesur
Mn(R), noté,.
On notek k1la norme euclidienneassociée àce produitscalaire.Lattention du
candidat est attiréesur lefait que
Mn
(
R
)est sormais munide deuxnormes
différentes k k1et k k2.
3)
Si
A
et
B
sont symétriques réelles positives,montrer que
A,BÊ
0. On
pourrautiliserune baseorthonormée de vecteurs propresde B.
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 3/5
B. composition polaire
Soit
f
unendomorphisme de
E
.On note
A
la matrice de
f
dansune base
orthonormée deE,et on note fl’adjoint de f.
4)
Montrer que
tAA
est une matrice symétrique réellepositive.Exprimer
kAk2en fonction des valeurs propres de tAA.
5)
Montrer qu’il existe un endomorphisme auto-adjointpositif
h
de
E
telque
ff=h2.
6)
Montrer que la restriction de
h
à
Imh
induit unautomorphisme de
Imh
.
On noteracet automorphisme ˜
h.
7)
Montrer que
kh
(
x
)
k=kf
(
x
)
k
pour tout
xE
.Endéduireque
Kerh
et
(
Imf
)
ont même dimensionet qu’il existe unisomorphisme
v
de
Kerh
sur (Imf)quiconservela norme.
8)
Àl’aide de
˜
h
et
v
,construireunautomorphisme orthogonal
u
de
E
tel que
f=uh.
9)
Endéduirequetoutematrice
AMn
(
R
)s’écrit souslaforme
A=US
,
UOn(R)et Sest unematricesymétrique positive.
Onadmetquesi Aest inversible,cette écritureest unique.
C. Projesur unconvexecompact
Soit Hunepartie de E,convexeet compacte,et soit xE.Onnote
d(x,H)=inf
hH
kxhk.
10)
Montrer qu’ilexiste ununique
h0H
telque
d
(
x,H
)
=kxh0k
.Onpourra
utiliser pour
h0,h1
dans
H
la fonction définie pour tout
tR
parla formule
q(t)=kxth0(1t)h1k2.
11)
Montrer que
h0
est caractérisé par lacondition
xh0,hh0É
0pour
tout
hH
.Onpourrautiliser lamême fonction
q
(
t
)qu’à la question
précédente.
Le vecteur h0s’appelleprojeté de xsur H.
D.Théorème deCarathéodoryet compacité
Danscette partie,on suppose que
E
est de dimension
n
.Ondit que
xE
est unecombinaison convexedes
p
éléments
x1,x2,...,xpE
s’il existedesréels
λ1,λ2,...,λppositifsou nuls tels que
x=
p
X
i=1
λixiet
p
X
i=1
λi=1.
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 4/5
12)
Montrer quelenveloppe convexe
conv
(
H
)d’unepartie
H
de
E
est consti-
tuée des combinaisonsconvexes d’éléments de H.
Onsouhaite montrer quel’enveloppeconvexe
conv
(
H
)est constituée des com-
binaisonsconvexesdau plusn+1élémentsde H.
Soit x=Pp
i=1λixiunecombinaisonconvexe de x1,x2,..., xpHavec pÊn+2.
13) Montrer quil existe préelsnon tousnuls µ1,µ2,...,µptels que
p
X
i=1
µixi=0et
p
X
i=1
µi=0.
Onpourraconsidérer la famille (x2x1,x3x1, ..., xpx1).
14)
Endéduireque
x
sécrit comme combinaisonconvexe d’au plus
p
1
éléments de
H
et conclureque
conv
(
H
)est constituée des combinaisons
convexes d’au plus n+1éléments de H.
Onpourraconsidérer une suitede coefficientsdelaforme
λiθµiÊ
0,
i{1,2, ..., p}pour un réel θbien choisi.
15)
Si
H
est une partiecompactede
E
,montrer que
conv
(
H
)est compacte.
Onpourraintroduirel’ensemble compactde Rn+1définipar
Λ=n(t1, ..., tn+1), avec tiÊ0pourtout i{1,...,n+1} et
n+1
X
i=1
ti=1o.
E.Enveloppe convexedeOn(R)
16) Montrer quel’enveloppeconvexe conv(On(R)) est compacte.
On noteBla boule unité fermée de(Mn(R),k k2).
17) Montrer queconv(On(R)) est contenue dans B.
Onsuppose qu’il existe
MB
telle que
M
n’appartientpas à
conv
(
On
(
R
)). On
note
N
le projetéde
M
sur
conv
(
On
(
R
)) définiàla partie Cpourlanorme
k k1
,
et onpose
A=t
(
MN
). Onécritenfin
A=US
,avec
UOn
(
R
)et
S
symétrique
réelle positive(question 9).
18)
Montrer que pourtout
Vconv
(
On
(
R
)),
tr
(
AV
)
Étr
(
AN
)
<tr
(
AM
). En
déduireque tr(S)<tr(USM).
19)
Montrerque
tr
(
MUS
)
Étr
(
S
). Onpourraappliquer lerésultat delaques-
tion 1).
20) Conclure:déterminer conv(On(R)).
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Mines Maths 2 MP 2013 — Énoncé 5/5
F.Pointsextrémaux
Unélément
AB
est dit extrémaldans
B
si l’écriture
A=1
2(B+C)
,avec
B,C
appartenant à
B
,entraîne
A=B=C
.Dans cettepartie,onchercheà
déterminer l’ensembledes points extrémaux de B.
21)
Onsuppose que
UOn
(
R
)s’écrit sous la forme
U=1
2(V+W)
,avec
V,W
appartenant à
B
.Montrer quepour tout
XRn
,les vecteurs
VX
et
WX
sont liés.Endéduireque Uest extrémal dansB.
Soit AappartenantàBmais n’appartenantpas àOn(R).
22)
Montrer quelon peut écrire
A
souslaforme
A=PDQ
,
P
et
Q
sont
deux matricesorthogonales et
D
est une matrice diagonale dont les
éléments diagonauxd1,d2,...,dnsontpositifsou nuls.
23)
Montrer que
diÉ
1pour tout
i{
1
,
2
,...,n}
,et quil existe
j{
1
,
2
,...,n}
telquedj<1.
24)
Endéduirequil existe deuxmatrices
Aα
et
Aα
appartenant à
B
telles
queA=1
2(Aα+Aα).Conclure.
FINDUPROBLÈME
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