Vitesse de convergence vers l` etat d` equilibre

Vitesse de convergence vers l'etat d'equilibre pour
des dynamiques markoviennes non h}olderiennes.
Abdelaziz Kondah Veronique Maume y
Avril 1996
Bernard Schmitt y
Resume
On etudie la vitesse de convergence vers l'etat d'equilibre pour des dynamiques markoviennes non h}olderiennes. On obtient une estimation de la vitesse
de melange sur un sous-espace B dense dans l'espace des fonctions continues.
En outre, on montre que le spectre de l'operateur de Perron-Frobenius, restreint a B , est un disque ferme dont chaque point est une valeur propre. Ceci
implique que la vitesse de convergence vers l'etat d'equilibre ne peut pas ^etre
exponentielle.
Speed of mixing toward equilibrium state for
Markovian non h}olderian dynamics.
Abstract
We study the convergence speed to equilibrium state for Markovian non
h}olderian dynamics. In particular, an estimation of the mixing speed is obtained on a subspace B which is dense in the space of continuous functions.
Moreover, we show that the spectrum of the Perron-Frobenius operator as
acting on B is a whole closed disk of which each point is an eigenvalue. This
implies that the convergence speed cannot be exponential.
Introduction.
Y. Sina [Si] et D. Ruelle [Ru1] ont introduit le formalisme thermodynamique
voici une trentaine d'annees. Ce point de vue a permis en particulier de comprendre
la notion de mesure d'equilibre associee a une fonction de poids (ou interaction).
Des resultats concernant l'existence et les proprietes des mesures d'equilibre ont ete
etablis pour dierents types de systemes dynamiques ([Bo], [Pa, Po], [Ru1] pour
le cas symbolique; [Bo], [Ru2] pour les dieomorphismes de type Axiome A ; [Co],
[H, K], [Le], [Sc], [Wa] pour les endomorphismes unidimensionnels et les applications dilatantes etc...). Dans cet article, on s'interesse a la vitesse de convergence
vers l'etat d'equilibre (ou vitesse de melange). Pour ce type de questions, il n'est
pas restrictif de se placer dans le cadre de la dynamique symbolique: en utilisant les
partitions markoviennes, on peut representer de nombreux systemes par des sousdecalages de type ni.
Ainsi, considerons un systeme symbolique ayant un nombre ni d'etats et une interaction veriant une condition plus large que celle de sommabilite du module de
Universite Sidi MohamedBen Abdellah,Faculte des sciences, Departementde Mathematiques
B.P. 1796, Fees - MAROC.
y Universite de Bourgogne, Faculte des sciences Mirande, laboratoire de topologie
B.P. 400, 21011 Dijon Cedex - FRANCE.
E.mail: [email protected]
:
:
1
continuite envisagee dans [Sc] et [Gor] (voir section 1 pour une denition precise).
Des resultats classiques montrent que le cas des sous-decalages aperiodiques de type
ni se reduit au cas du decalage plein, c'est pourquoi nous n'envisageons que cette
situation.
Lorsque le module de continuite de est geometrique (c'est a dire que est
h}olderienne), la situation est bien connue ([Bo], [Pa, Po], [Ru1]) : l'operateur de
Perron-Frobenius P (ou operateur de transfert) en tant qu'operateur sur l'espace
des fonctions h}olderiennes est quasi-compact. Ceci implique que la vitesse de convergence vers l'etat d' equilibre, sur cet espace, est exponentielle. Cette propriete dite
du trou spectral ou de la vitesse exponentielle des correlations peut aussi ^etre etablie
en utilisant les metriques projectives introduites par G. Birkho [Bi1]. Plus precisement, on peut montrer l'existence d'un c^one convexe ferme et borne de fonctions
h}olderiennes positives tel que P soit inclus strictement dans . L'operateur P
contracte alors strictement la metrique projective associee a ; cette propriete de
stricte contraction permet alors de conclure [Fe, Sc].
Dans le cadre non h}olderien dans lequel nous nous placons, il n'existe pas, a priori,
de c^one strictement P invariant. An d'obtenir une estimation de la vitesse de
melange sur un sous-espace B dense dans l'espace des fonctions continues (theoreme 1.1), nous suivons une nouvelle approche en introduisant une suite de c^ones.
Precisement, on construit une suite (l )l2Nde c^ones convexes de fonctions continues positives et une suite (nl )l2N? d'entiers tels que : P nl l 1 l , l 1 et pour
lesquels, P nl est une contraction de l 1 dans l , de coecient de contraction uniforme < 1. Le captage d'une correlation non exponentielle provient alors du fait
que P n1 +:::+nl est une contraction de 0 dans l , dont le coecient de contraction
est majore par l . E videmment, dans le cas H}older, la suite nl est identiquement
egale a 1 et on retrouve une vitesse de convergence exponentielle. Cette methode
nous permet d'estimer la vitesse dans d'autres cas ; par exemple, si le module de
continuite de est en n1+1 , > 0, la vitesse de melange est polynomiale. Ce dernier cas represente une dynamique markovienne C 1 par morceaux et dilatante de
l'intervalle et dont le module de continuite de la derivee est en (1 + j logtj) 1 ,
> 0 ([Co]).
Nous obtenons aussi une condition susante, portant sur le coecient de melange,
pour que le theoreme de la limite centrale soit verie (theoreme 4.2). Cette condition est celle donnee dans [I, L] pour des processus stationnaires melangeants.
Enn, nous montrons que le spectre de l'operateur P restreint a B est un disque
ferme dont chaque point est une valeur propre (theoreme 1.2). Ceci implique en
particulier que la vitesse de melange sur B ne peut pas ^etre exponentielle. Nous
obtenons ce resultat en adaptant la construction des fonctions propres de P donne
dans [C, I] pour le cas unidimensionnel.
1 Denitions et resultats.
On considere A, un alphabet ni, X = ANsur lequel la topologie est donnee
par la distance : d(x; y) = n , si xj = yj pour j = 0; ; n 1 et xn 6= yn avec
0 < < 1. On notera x n y si d(x; y) n .
Pour f 2 C(X) = C(X; R), on denit le module de continuite de f comme etant la
suite (vf (n))n0 avec :
vf (n) = sup
j f(x) f(y) j :
n
xy
2
On considere sur X le decalage et une fonction de poids 2 C(X) pour laquelle
on denit pour x et y dans X :
nX1
C(x; y) = sup? supn i (ax) i (ay) :
n2N a2A i=0
Ou ax designe le concatene de a et x, pour a 2 An et x 2 X. On suppose qu'il
existe une constante C telle que C(x; y) C 8x; y. Soit:
C (p) = sup
C (x; y):
p
xy
On dira que verie l'hypothese (H) due a P. Walters [Wa] si :
La suite (C (p))p2Nest strictement positive et decro^t vers 0.
Remarque 1.1 On a v (p + 1) C (p) P1n=p+1 v(n) ; en particulier, si le
module de continuite de est sommable, verie l'hypothese (H) et la suite C (p)
est majoree par une suite geometrique si et seulement si la suite v (p) l'est aussi.
L'operateur de transfert agissant sur C(X), associe a est deni par :
Pf(x) =
On considere d'autre
X
e(x) f(x) pour f 2 C(X):
2A
part P ? l'operateur dual de
Z
hd(P ?) =
Z
P deni par :
Phd 8h 2 C(X)
pour une mesure borelienne sur X.
Dans toute la suite, on suppose que verie l'hypothese (H). On peut alors voir C
comme une metrique sur X en posant d0 (x; y) = C (n) si d(x; y) = n , d0(x; x) = 0.
On considere B , l'espace des fonctions lipschitziennes par rapport a cette metrique;
plus precisement :
B = ff 2 C(X) = 9K 0 = 8n 0; vf (n) KC(n)g:
Pour f 2 B , on denit alors :
K (f) = inf fK = 8n 0; vf (n) KC (n)g
k f kB = max(k f k1 ; K(f)):
Il est clair que k kB denit une norme sur B qui en fait un espace de Banach. De
plus, B est dense dans C(X) par Stone-Weierstrass.
Pour une constante D > 1, on denit une suite d'entiers nl strictement positifs
par :
n1 = inf fn > 0 =DC (n) Cg,
2
n2 = inf fn > 0 = D2D 1 C(n) C g, : : : ,
l
nl = inf fn > 0 = D2D 1 C (n) C g.
Si on considere maintenant un entier n, il existe un unique entier l(n) tel que :
n1 + + nl(n) n < n1 + + nl(n)+1
3
On a alors le resultat suivant :
Theoreme 1.1 L'operateur P admet une plus grande valeur propre reelle, positive,
simple c, de fonction propre h0 continue et strictement positive. De plus, il existe
une probabilite borelienne et des constantes 0 < < 1, C > 0 veriant :
1. Pour tout f 2 B , pour tout n 2 N :
P nf
n h0(f) C l(n) kf kB :
c
1
2. P ? = c:
3. La mesure = h0 est une mesure de Gibbs invariante par le decalage.
4. Sous l'hypothese (h0) = 1, le triplet (h0 ; c; ) est unique.
Remarque 1.2
L'existence du triplet (h0 ; c; ) est connue ([Wa] pour le cas general considere
ici, [Bo], [Ru1] pour le cas ou le module de continuite de est sommable).
Pour demontrer le theoreme 1.1, nous utilisons la propriete de contraction
des metriques projectives. Cette methode a ete initiee dans [Fe, Sc] et plus
recemment utilisee dans [Li1]. Elle nous permet ainsi de donner une autre
construction de (h0 ; c; ).
Dans le cas ou Pn1 Pkn v (k) < 1, A. Raugi ([Ra]) a montre :
X
kP nf k1 < 1
n
R
n1 knnvf (k) < 1 et fd = 0. Cependant, la vitesse
de convergence a zero de kP f k1 n'est pas connue.
P P
pour f veriant
D'autre part, on va determiner le spectre de P sous l'hypothese suivante sur la suite
(C (n))n2N:
(H1) 8q 2 N?, la suite
h i
C nq
C (n)
hni
est bornee ( q designant la partie entiere de nq ).
Remarque 1.3
Cette hypothese (H1) peut para^tre articielle ; c'est elle qui assurera l'appartenance des fonctions propres a B . Remarquons tout d'abord que les suites
geometriques ne la verient pas.
D'autre part, en prenant q = 2 et n = 2k , on tire de (H1) l'existence d'une
constante d > 1 telle que C (2k ) d k C (1). On en deduit immediatement :
n
8 < 1, la suite ( C (n) )n2Nest majoree.
Nous utiliserons cette propriete dans la cinquieme partie de l'article.
Nous avons alors le theoreme suivant :
Theoreme 1.2 Si verie l'hypothese (H1), le spectre de P , en tant qu'operateur
sur B est le disque ferme de centre 0 et de rayon c. De plus, chaque point de ce
disque est une valeur propre.
Pour demontrer ce theoreme, on reprend la construction des fonctions propres faite
dans [C, I].
4
2 Generalites sur les c^ones et metriques projectives.
E tant donne un c^one convexe
ferme et forme de fonctions positives, on consi:
dere l'espace projectif associe identie par :
:
= f 2 =
Z
fdm = 1
ou m est une mesure: nie sur X, dont le support est X.
Si f et g sont dans , il existe un plus grand reel (f; g) (eventuellement nul) et un
plus petit reel (f; g) (eventuellement, (f; g) = 1) tels que :
:
:
(f; g)f g (f; g)f et g (f; g)f 2 (f; g)f g 2 :
:
On denit alors une pseudo-metrique sur par :
(f; g) :
(g; f) = log (f;
g)
:
L'inter^et d'introduire cette metrique sur reside dans les trois propositions suivantes, dues a G. Birkho et que l'on enonce, ici, dans le cas particulier de c^ones
de fonctions continues.
Proposition 2.1 [Bi1]
:
Soit f 2 C + (X), l'ensemble f = fg 2C + (X) = C + (X ) (g; f) < 1g est un espace
metrique complet pour la metrique C + (X ) associee au c^one C + (X) des fonctions
continues positives.
Considerons, d'autre part un operateur P sur C + (X) positif et deux c^ones et 0
tels que P 0 . On denit :
diam0 (P) = sup 0 (Pf; Pg):
f;g2
On a alors le resultat fondamental suivant.
Proposition 2.2 [Bi1] [Bi2]
Soit un operateur P sur C + (X) positif et deux c^ones et 0 tels que P 0 alors
pour tout f et g 2 , on a :
0 (Pf; Pg) tanh
1
4 diam0 (P) (f; g):
Enn, la proposition suivante relie la metrique projective et la norme k k1 .
Proposition 2.3 [Bi1] R
R
Pour f et g dans avec fdm = 1 et gdm = 1,on a :
kf gk1 (e (f;g) 1)kgk1 :
3 Demonstration du theoreme 1.1.
3.1 Construction de c et h0.
On va maintenant construire une suite de c^ones dans B .
Considerons le c^one de fonctions positives suivant :
n
o
0 = g 2 C + (X) = g(x) exp(C (p))g(y) si x p y :
5
On verie facilement que les fonctions non identiquement nulles de 0 sont strictement positives et dans B . De plus, si f 2 0, alors :
P nf(x) P nf(y) exp(C (p) + C (n + p)) pour x p y:
(1)
Ceci nous amene a considerer le c^one suivant :
n
o
1n;D = g 2 C + (X) = g(x) exp(Cn1 (p))g(y) si x p y
avec Cn1 (p) = D(C (p) + C (n + p)) et D > 1. D'apres (1), on a : P n0 1n;1. On
souhaite estimer 1n;D (P nf; P ng) pour f et g dans 0 . Des estimations similaires
ont ete obtenues dans [Fe, Sc].
Lemme 3.1 Soient D > 1 et n tel que DC (n) C , on a :
D + 1 + 2(D + 1)C := M:
diam1 1n;1 2 log D
1
n;D
Preuve: On commence par evaluer (f; g) et (f; g), pour f et g dans 1n;1. Soit
tel que f g 2 0.
{ f g 0 =) k fg k1
{ verie, de plus, pour tout p et x p y,
f(x) g(x) eCn1 (p) (f(y) g(y)):
Ce qui donne :
exp(Cn1 (p))f(x) f(y) sup f(x) :
(f; g) = sup sup
p xp y exp(Cn1 (p))g(x) g(y) x2X g(x)
De m^eme, on a :
exp(Cn1 (p))g(x) g(y) :
((f; g)) 1 = sup sup
p xp y exp(Cn1 (p))f(x) f(y)
De plus, comme f et g sont dans 1n;1, on a pour x p y :
e D 1 Cn1 (p) f(y) f(x) eD 1 Cn1 (p) f(y) et e D 1 Cn1 (p) g(y) g(x) eD 1 Cn1 (p) g(y):
Ce qui nous donne :
1
1 1
2
n(p)) exp( D Cn (p))] f(x)g(z) : (2)
1n;D (f; g) log sup sup [exp(C
p x;z2X [exp(Cn1 (p)) exp(D 1 Cn1 (p))]2 f(z)g(x)
Pour obtenir le lemme 3.1, on majore alors ff ((xz)) et gg((xz)) par exp(D 1 Cn1 (0)) et
en utilisant des inegalites classiques sur l'exponentielle, on obtient :
+ 1
1
1n;D (f; g) 2 log D
D 1 + 2Cn(0)
et Cn1 (0) (D + 1)C si n est tel que DC (n) C . 2
Ce resultat nous suggere d'utiliser une recurrence pour construire une suite de
c^ones.
Proposition 3.2 Il existe une suite (nl )l2N? d'entiers strictement positifs et une
suite (l )l2Nde sous-c^ones de C + (X) veriant :
{ P nl l 1 l
6
{ 8f; g 2 l 1 on a : l (P nl f; P nl g) M .
Preuve: On commence avec 0, n1 = inffn 1 =DC (n) Cg, 1 = 1n1;D et
Cn11 (p) = C1(p). On considere alors les c^ones :
n
o
2m;D = g 2 C + (X) = g(x) exp(Cm2 (p))g(y) si x p y ;
avec Cm2 (p) = D(C (p) + C1(m + p)). En remplacant, dans la demonstration du
lemme 3.1, Cn1 (p) par Cm2 (p), on obtient :
8f; g 2 1 ; 2m;D (P m f; P m g) M des que DC1(m) C :
On prend n2 = inf fm > 0 =DC1(m) C g, 2 = 2n2 ;D et Cn22 (p) = C2(p). Par
induction, on denit alors :
Cl (p) = D(C (p) + Cl 1 (nl + p)) avec nl > 0 tel que DCl 1 (nl ) C
et on considere les c^ones :
n
o
l = g 2 C + (X) = g(x) exp(Cl (p))g(y) si x p y :
Les suites (nl )l2N? et (l )l2Nconviennent. 2
En posant = tanh M4 et en utilisant la proposition 2.2, on obtient, pour f et
g dans 0 :
l (P nl++n1 f; P nl+:::+n1 g) l 1 1 (P n1 f; P n1 g) M l 1 :
Si on considere maintenant un entier n, il existe un unique entier l(n) tel que :
n1 + + nl(n) n < n1 + + nl(n)+1 :
D'autre part, comme les c^ones l sont des sous-c^ones de C + (X), la proposition 2.2
donne C + (X ) (f; g) l (f; g) 8f; g 2 l . D'ou nalement pour f; g 2 0 :
C + (X ) (P nf; P ng) M l(n) 1 :
(3)
On a alors le lemme suivant.
Lemme 3.3 La suite (P n1)n2Nest de Cauchy pour la metrique C+ (X ) : De plus,
8n 2 N, P n1 2 ff 2 C + (X) =C + (X ) (f; 1) < 1g
Preuve: Soient m > n, on ecrit n = n1 + + nl(n) + r et m = n1 + + nl(n) +
+ nl(m) + s. En utilisant (3) et le fait que P k 1 2 0 8k 2 N, on a alors :
C + (X ) (P n1; P m 1) = C + (X ) (P n1++nl(n) 1 (P nl+r 1);
P n1++nl(n) 1 (P nl++nl(m) +s 1))
M l(n) 1:
Ainsi, la suite (P n1)n2Nest de Cauchy.
D'autre part, il est facile de voir que :
f
C + (X ) (f; 1) = sup
inf f :
Or, pour n 2 N et x; y 2 X, on a e C P n1(y) P n1(x) eC P n1(y). Ce qui
donne le resultat. 2
7
On note alors h0 la limite au sens C + de la suite (P n1)n2N; h0 verie
C + (X ) (h0; 1) < 1 ce qui implique inf h0 > 0:
De plus, Ph0 = h0 projectivement, c'est: a dire qu'il existe c > 0 tel que Ph0 = ch0.
Dans toute la suite, on considere que 0 est l'ensemble des fonctions f de 0 telles
que m(f) = 1 (ou m est une probabilite sur X, dont le support
Par la
nest X).
.
proposition 2.3 h0 est aussi la limite au sens k k1 de la suite R PPn 11dm
n2N
On deduit de ceci que h0 est dans l pour tout l (les c^ones l sont fermes pour la
norme k k1).
3.2 construction de la mesure .
Les resultats de la section precedente nous permettent de construire la mesure
. On note m(l) = n1 + + nl . Fixons f 2 0, alors P m(l) f 2 l . Par consequent,
il existe un plus grand reel l et un plus petit reel l veriant :
m(l)
l h0 Pcm(l)f l h0
r = P m(l) f cm(l) h 2 l
l
0
l
m(l)
m(l)
(4)
(5)
sl = l c h0 P f 2 l :
Remarquons que l+1 l et l+1 l : il sut d'appliquer l'operateur positif
P nl+1 aux inequations (4). D'autre part, par le lemme 3.1, on a :
l (h0 ; P nl+1 rl ) = l (P nl+1 h0 ; P nl+1 rl )
M:
Ainsi, par denition de la metrique projective, il existe l+1 et l+1 veriant :
h P nl+1 r eM h
l
l+1
0
l+1 0
M
n
l+1 h0 P
l+1 sl
l+1 e h0:
Suivant (5), ceci nous donne :
(l+1 + l+1 )h0 (l l )cm(l+1) h0
eM (l+1 + l+1 )h0 :
et
P m(l+1) f = P nl+1 rl + l cm(l+1) h0
(l+1 + l cm(l+1) )h0 ;
P m(l+1) f = l cm(l+1) h0 P nl+1 sl
(l cm(l+1) l+1 )h0 :
De plus,
P m(l+1) f
(l+1 + l cm(l+1) )h0
= P nl+1 rl l+1 h0 2 l+1 :
8
(6)
De m^eme, (l + cm(l+1) l+1 )h0 P m(l+1) f 2 l+1 . Ceci implique
l+1 l + l+1
cm(l+1)
l+1 l cm(ll+1+1) :
Ainsi
l+1 ( )(1 e M )
(l+1 l+1 ) (l l ) lc+1m(+l+1)
l
l
(l+1 l+1 ) (1 1 )(1 e M )l :
Finalement, l et l convergent vers la m^eme limite que l'on note (f).
En utilisant (4), il est aise de verier que l'on a :
P m(l)f
m(l) h0(f) (1 1)(1 e M )l 1 kh0k1:
c
1
Remarquons maintenant que
1.
exp(C1 (p))P n1 f(x) P n1 f(y) :
1 = sup sup
p xp y exp(C1(p))P n1 h0(x) P n1 h0 (y)
Ainsi, on peut majorer 1 par DD+11 e2C (D 1) kinff kh10 en procedant comme dans
la demonstration du lemme 3.1. Comme 1 est positif, ceci nous donne :
P m(l)f
m(l) h0(f) D + 1 e2C(D 1) sup h0 l 1 kf k1
inf h0
c
1 D 1
avec = 1 eM .
2. Soit r 2 N, on a
P r 1 = P r 1 h sup h0 :
cr P r h0 0 inf h0
Considerons maintenant n 2 N, on ecrit n = n1 + + nl + r et on a :
P nf
n h0(f) P mm((ll))f h0(f) P rr1 c
c
1 c 1
1
Cte l(n) 1 kf k1
(7)
(8)
la constante
pas de f. On souhaite, pour nir, obtenir une majoration
P n f ne dependant
de cn h0 (f)1 pour f dans B ; en ecrivant f = f + f , on se ramene au
cas ou f 0. Soit = kf k > 0 si f 6= 0, n 2 N et x n y on a :
f(x) + = exp [log(f(x) + ) log(f(y) + )]
f(y) + exp f(x) f(y)
exp kf kC (n)
eC (n)
9
ce qui montre que h+ 2 0. De plus, la fonction constante egale a est clairement
dans 0. Ceci nous permet, d'une part, d'etendre a B (donc a C(X) par densite)
et, d'autre part, d'ecrire en utilisant (8) :
P nf
n h0(f) P n(fn+ ) h0(f + ) + P nn h0()
c
c
c
1
1
1
l
(
n
)
1
Cte (kf + k1 + )
Cte l(n) 1 kf kB :
Par densite de B dans C(X), Pcnf h0(f)1 converge vers 0 pour tout f dans
C(X) (evidemment, on perd le contr^ole de la vitesse de convergence pour f dans
C(X)), P ? = c resulte directement de ce fait. Pour nir, en remplacant par
(1) et h0 par h0(1), on obtient le theoreme 1.1. 2
n
Remarque 3.1
Dans le cas ou C(n) = n , on voit facilement que la suite nl = 1 8l convient
1
a condition de prendre 1 < D < . On retrouve bien alors une convergence
exponentielle.
l
Dans le cas general, remarquons que Cl 1 (nl ) D2D 1 C(nl ) ; ainsi, pour
que la demonstration du theoreme 1.1 fonctionne, il sut que la suite (nl )l2N
l
verie 2D C (nl ) C .
D 1
En particulier, si C (n) est de la forme n1 , on obtient une convergence en
1
nlog [log(D )] 1 .
4 Theoreme de la limite centrale.
Nous allons maintenant donner une condition susante sur la suite ( l(n) )n pour
que le theoreme de la limite centrale soit verie. Cette condition est la m^eme que
celle donnee dans [I, L] pour des processus stationnaires melageants. Nous donnons
ici, les grandes lignes de la demonstration dans notre cadre particulier.
Cette question de la generalisation du theoreme de la limite centrale a des processus non i.i.d. a ete abordee par de nombreux auteurs dans le cadre des processus
stationnaires et des systemes dynamiques: [Go], [D], [Ch], [Li2].
On introduit tout
P d'abord quelques notations. Pour g 2R B xee, on note Xj =
g j , Sn = jn=01 Xj et, pour f 2 L1 (), < f >= fd ; etant la mesure
invariante par donnee par le theoreme 1.1.
Par des arguments classiques, le lemme suivant decoule du theoreme 1.1.
Lemme 4.1 (Decroissance des correlations.) Il existe une constante C telle
que pour g1 2 B et g2 2 L1 (), pour tout n 2 N? on a :
j< g1 g2 n > < g1 >< g2 >j C kg1k kg2k1 l(n) :
E noncons maintenant le theoreme de la limite centrale.
10
Theoreme 4.2 (Theoreme de la limite centrale.) Si P l(n) < 1 alors pour
toute fonction g dans B telle que < g >= 0, on peut denir :
2
Z nX1 !2
1
= nlim
g i d
!1 n
i=0
=
XZ
j
g g j d:
Si, de plus, 6= 0 alors :
Spn loi
n ! N:
Ou N designe la loi normale centree et reduite.
Preuve: L'existence et l'egalite des deux limites utilisees pour denir resultent
l(n)
directement de la sommabilit
pe de la suite et de la decroissance des correlations.
Fixons n 2 N?, soient m = [ nlog n], q = [n=m] et k = [n=(m + q)]. On considere
alors :
j =
j =
k =
j (m+X
q)+m 1
Xp
p=j (m+q)
(j +1)(X
m+q) 1
p=j (m+q)+m
n
X
Xj :
p=k(m+q)
Xp 0 j k 1
P
P
On a Sn = kj =01 j + kj=0 j := Sn;1 + Sn;2.
La demonstration ce fait en deux etapes :
! 0.
1. On montre que Spn;2 proba
n
2. On montre que Spn;n1 loi
! N.
Demonstration du point 1: Il sut de montrer que <
On a :
< (Sn;2 )2 >= k < 02 > +2
Sn;2 2
kX1
kX1
j =1
j =0
(k j) < 0 j > +2
pn
> tend vers 0.
< i k > + < k2 > :
Or, il resulte du lemme 4.1 que :
j < 0 j > j Cte q2 l(mj ) j k 1
(9)
j < j k > j Cte q(m + q) l(m(k j ))
< 02 >= O(q) et < k2 >= O(m + q):
Par les choix de q et m, O(q) = o(n) et O(m + q) = o(n). En utilisant (9), on
obtient :
kX1
kX1
< (k j)0 j > Cte q2 k l(mj ) :
j =1
j =1
11
P l(j) . D'ou :
P
De plus, la sommabilite des l(n) implique que kj =11 l(mj ) m1 1
j =1
<
k 1
X
2
(k j)0 j > Cte qmk = o(n)
j =1
par les choix de m, q et k.
De la m^eme maniere, on montre:
<
kX1
j =0
ik >= o(n):
Ceci permet de montrer le point 1:
Demonstration du point 2: Pour demontrer le point 2, on utilise la methode
des fonctions caracteristiques de P. Levy. On note n la transformee de Fourrier de
0
pn et on montre:
Sn;1
j < eit pn > (n )k j ! 0:
(10)
Pour cela, on applique successivement le lemme 4.1 a
it it
(
+
:
:
:
)
et
exp
exp p
l 2
n 0
pn l 1 l k 1
on obtient :
Sn;1
j < eit pn > (n )k j Cte k l(q) :
Comme la serie des l(n) est convergente et decroissante, on en deduit (10). Pour
terminer on utilise l'estimation standard suivante :
2
< exp i tp0n >= 1 t2n < 02 > +r
avec jrj Cte n 2 < (0 )4 >. En procedant comme dans la demonstration du point
1:, on montre que < (0 )4 >= O(m2 ). Il est alors aise de voir que
k
2
(n )k =< exp i tp0n > ! e t2 :
Le theoreme de la limite centrale decoule alors de (10). 2
5 Spectre de P en tant qu' operateur sur B .
Dans le cas ou vn () Kn pour un 0 < < 1 (ou, ce qui revient au m^eme,
dans le cas ou est h}olderienne d'ordre par rapport a la metrique d), on sait (voir
[Pa, Po]) que P, en tant qu'operateur sur l'espace B des fonctions h}olderiennes
d'ordre par rapport a la metrique d, est quasi-compact. Son spectre essentiel est
le disque ferme D(0; c) dont chaque point est une valeur propre.
On suppose maintenant que verie l'hypothese (H1) et on va montrer le theoreme
1.2 : chaque point du disque D(0; c) est une valeur propre de P en tant qu'operateur
sur B . Pour cela, on reprend les fonctions propres construites dans [C, I] et on
montre qu'elles appartiennent a B .
Remarquons tout d'abord que c verie :
n 1=n
n 1=n
c = nlim
!1 kP 1k1 = nlim
!1(inf P 1) :
12
En eet, on deduit du theoreme 1.1 que c est le rayon spectral de P en tant qu'operateur sur C + (X), ce qui donne la premiere inegalite ; la seconde resulte du fait que
pour x et y 2 X, e C P n1(y) P n1(x) eC P n1(y).
D'autre
part, la fonction propre h0 associee a c est la limite en norme uniforme de
P nn1 , le c^one 0 etant ferme pour cette norme, h0 appartient a 0 , donc a B . En
c
particulier, c est aussi le rayon spectral de P comme operateur sur B .
Dans toute la suite, on considere P en tant qu'operateur sur B .
5.1 Noyau de P , q 2 N .
q
?
Lemme 5.1 Pour tout q 2 N?, le noyau de P q est de dimension innie.
Preuve: Fixons q 2 N? et numerotons les elements " de Aq , soit "1 ; : : :; "kq (si
#A = k). On note : Ej = fx 2 X =(x1; : : :; xq ) = "j g.
Soit f 2 B et f1 = f 1E1 . Alors f1 appartient a B et est a support dans E1.
En eet, considerons n 2 N et x n y, alors :
Si n q, x 2 E1 , y 2 E1 et donc vf1 (n) vf (n).
Si n < q, on majore jf1 (x) f1 (y)j par 2kf k1 , on a alors vf1 (n) 2kf k1 CC((nq)) .
Ainsi, f1 2 B et K(f1 ) 2Ckf(kq1) .
Pour 2 j kq , on denit :
fj (x) = f1 ("1 q x) si x 2 Ej
0 sinon.
Alors, fj est a support dans Ej et appartient a B .
Soit maintenant:
Pkq exp( 2i(j 1) )f
rq = j =1 Pq 1 kq j j :
exp( j =0 )
On verie facilement que P q rq = 0. D'autre part, f etant generique dans B , on
aura que KerP q est de dimension innie des lors que rq 2 B . C'est ce que nous
verions maintenant.
Remarquons tout d'abord que si f; g 2 B , alors fg 2 B et K(fg) kf k1 K(g) +
kgk1 K(f) ; et si f 2 B , f > 0 alors f1 2 B et K( 1f ) (inf1f )2 K(f).
P
On a deja vu que fj 2 B , il sut donc de verier que exp( jq=01 j ) 2 B .
Soient n 2 N et x n y, alors :
q 1
1
0 q1
q 1
X
q
exp(X j (x)) exp(X
j (y)) ekk1 @exp( ( j (x) j (y)) 1A :
j=0
j =0
j =0
On a :
q 1
X
j =0
( j (x) j (y)) C (n q) si n q
hni
2qkf k1 si n < q:
Pour n q + 1, on a n q q+1 . Ainsi, en utilisant l'hypothese (H1 ), on
obtient : P
C (n q) Cte:C(n), ou la constante ne depend que de q. On en deduit
que exp( jq=01 j ) 2 B . Ce qui acheve la preuve du lemme. 2
13
5.2 Construction de valeurs propres pour P .
q
P q 1)2
Lemme 5.2 Tout point du disque jzj < (inf
kP q 1k1 , est une valeur propre de multi-
plicite innie de P q .
Preuve: Considerons tout d'abord jzj < inf P q1 et rq comme dans la demonstra-
tion du lemme 5.1. Soit :
1
X
lq
z l l rqPq 1 jq :
j =1
l=1
La fonction gz;q appartient a C(X) et verie P q gz;q = zgz;q . En faisant varier les
fonctions rq , on construit une famille innie lineairement independante de fonctions
propres associees a z. Reste a voir que ces fonctions appartiennent a B .
gz;q = rq lq +
Evaluation
de vgz;q (p).
Fixons p 2 N, x p y et posons :
lq
fl;q = l rq q jq :
j =1P 1 Dans toute la suite, C designe une constante ne dependant que de q. Comme P q 1
et rq sont dans B , on obtient :
jfl;q (x) fl;q (y)j kP q 1kl1 1
(inf P q 1)2l
3
2
l
X
4kP q 1k1K(rq )C(p lq) + krq k1K(P q 1) C(p qj)5
j =1
en convenantq que C(k) = C(0) si k < 0. Prenons alors p de la forme m(q + 1),
zkP 1k1 , on a alors :
soit = (inf
P q 1)2
vgz;q (p) C
1
X
l=0
l C (m(q + 1) lq) + C
et on a les majorations suivantes :
1
X
l=0
l C (m(q + 1) lq) =
m
X
l=0
1 X
l
X
l
l=0
j =1
l=0
1
X
l=0
l + C
C(C(m) + m+1 )
C (m(q + 1) jq) =
j =1
l C (m(q + 1) lq) +
C (m)
1 X
l
X
l
m X
l
X
l
l=0
j =1
C (m)
1
X
l=m+1
C (m(q + 1) jq)
1
X
l=m+1
l C (m(q + 1) lq)
l
C (m(q + 1) jq) +
1
X
l=0
ll + C
C(C(m) + m+1 ):
1
X
l=m+1
1
X
l=m+1
l
Xl
j =1
C (m(q + 1) jq)
ll
Soit nalement, vgz;q (p) C(C(m) + m+1 ).
D'apres la remarque 1.3, l'hypothese (H1 ) nous donne m+1 CC(m) et C(m) CC((q+1)m) = CC (p), soit nalement : vgz;q (p) C(C(p)). On eectue alors le
P q 1)2
m^eme calcul pour p de la forme m(q +1)+r, 0 r < q +1. Ainsi, si jz j < (inf
kP q 1k1 ,
gz;q 2 B . 2
14
5.3 Spectre de P .
On a vu que c = limn!1 kP n1k11=n = limn!1 (inf P n1)1=n. Ainsi,
(inf P q 1)2 1=q
c = qlim
!1 kP q 1k1
:
q 2
P 1)
q
Soit jz j < c, pour q assez grand, z q < (inf
k
P q 1k1 . Par ce qui precede, z est alors
q
q
e
valeur propre de P . Ceci implique qu'il existe , racine q de z qui est valeur
propre de P. En fait, on a un resultat plus precis.
Soit de module jq j = jz q j, quitte a changer la fonction f1 qui sert dans la construction de g;q , on peut toujours supposer que g;q ; : : :; P q 1g;q sont independantes.
Soit E;q le sous espace de B qu'elles engendrent ; E;q est invariant par P et
l'equation caracteristique associee est = xq . Ceci implique que toutes les racines
qes de sont valeurs propres de P et termine la demonstration du theoreme 1.2.
Remarque 5.1
Soit une valeur propre de P restreint a B . On suppose que le module de est strictement infRerieur a c et on note f une fonction propre associee. Comme
P ? = c , on a fd = 0. Si la vitesse de convergence vers l'etatn d'equilibre
etait exponentielle (par exemple majoree par n , < 1), la suite c n serait
bornee. En particulier, on aurait < c. Ainsi, le theoreme 1.2 implique que, sous
l'hypothese (H1), la vitesse de convergence ne peut pas ^etre exponentielle.
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