Théorèmes de Sylow

Théorèmes de Sylow
Launoy Valentin
Grelier Léo
23 mars 2012
Table des matières
1
2
3
Enoncé du Théorème
1.1
Pré-requis . .
1.2
Enoncés . . .
Démonstration . . .
2.1
Théorème 1 .
2.2
Théorème 2 et
Applications . . . . .
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3.
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1
Enoncé du Théorème
1.1
Pré-requis
Définition 1 (p-groupe). Soit p un nombre premier. On appelle p-groupe un groupe
dont tout élément a pour ordre une puissance de p.
Définition 2 (p-Sylow). Soit p un nombre premier et G un groupe fini ; on définit un
p-sous-groupe de Sylow (ou p-Sylow) de G comme un élément maximal de l’ensemble
des p-sous-groupes de G, au sens de l’inclusion. Autrement dit, c’est un p-sousgroupe de G qui n’est contenu dans aucun autre p-sous-groupe de G. Tout p-sousgroupe de G est inclus dans un p-sous-groupe maximal, ce qui garantit l’existence de
p-Sylow. L’ensemble (non vide, donc) de tous les p-Sylow pour un entier premier p
donné est parfois noté Sylp G.
1.2
Enoncés
Soit G un groupe d’ordre pn s, où p est un nombre premier, n ∈ N et p ne divise
pas s, alors :
Théorème 1. Il existe un p-Sylow de G d’ordre pn .
Théorème 2. Tous les p-Sylow de G sont conjugués entre eux, i.e. si H et K sont
deux p-Sylow de G, alors il existe un élément g dans G vérifiant gHg −1 = K.
Théorème 3. Soit np le nombre de p-Sylow de G. Alors :
1. np divise s.
2. np ≡ 1 (mod p).
2
Démonstration
La démonstration des théorèmes de Sylow repose sur des propriétés de l’action
par conjugaison du groupe G sur lui-même et sur l’ensemble de ses parties, ainsi que
de la restriction de cette action à un sous-groupe H :
P
1. l’équation aux classes de G, |G| = |Z(G)| + i [G : Zi ], où
(a) Z(G) est le centre de G,
(b) chaque Zi est un sous-groupe strict de G, d’indice [G : Zi ] > 1 ;
2. |Cl(S)| = [G : N (S)], où
(a) S est n’importe quel sous-ensemble de G,
(b) Cl(S) est sa classe de conjugaison, dont les éléments sont les parties de
G de la forme gSg −1 , pour chaque g dans G,
(c) le sous-groupe N (S) est le normalisateur de S dans G ;
3. de même, |ClH (S)| = [H : NH (S)], où
(a) ClH (S) est la classe de conjugaison de S par les éléments de H, c’est-àdire l’ensemble des hSh−1 , pour chaque h dans H,
(b) NH (S) = H ∩ N (S).
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2.1
Théorème 1
On procède par récurrence sur l’ordre de G. Si cet ordre vaut 1 (ou plus généralement si n = 0, i.e. si p ne divise pas l’ordre de G), le groupe trivial est bien un
sous-groupe de G d’ordre pn = 1. Supposons désormais que G est non trivial, et que
le théorème 1 est vérifié pour tout groupe d’ordre strictement plus petit que celui
de G.
– Si G a un sous-groupe strict d’indice premier à p alors, d’après l’hypothèse
de récurrence, ce sous-groupe a un sous-groupe d’ordre pn ; ainsi, il en est de
même pour G.
– Si au contraire tous les sous-groupes stricts de G sont d’indice divisible par p
alors, dans l’équation aux classes, |G| et tous les [G : Zi ] sont divisibles par
p, donc |Z(G)| aussi. Comme de plus Z(G) est abélien, il a un sous-groupe H
d’ordre p. Ce sous-groupe H étant normal dans G (car inclus dans le centre de
G), on peut considérer le groupe quotient G/H, dont l’ordre est pn−1 s. D’après
l’hypothèse de récurrence, G/H possède alors un sous-groupe L d’ordre pn−1 .
Soit K l’image réciproque de L par la projection canonique de G sur G/H :
c’est un sous-groupe de G contenant H, et K/H est isomorphe à L (d’après
le premier théorème d’isomorphisme). Puisque H est d’ordre p, alors K est
d’ordre pn .
2.2
Théorème 2 et 3
Soient K un p-Sylow de G, nK le nombre de ses conjugués, et H un p-Sylow
quelconque de G. Alors la classe de conjugaison Cl(K), orbite de K pour l’action
du groupe G, est naturellement
P partitionnée en sous-orbites pour l’action (restreinte)
du groupe H. Ainsi nK = i |ClH (Li)|, où l’on a choisi un élément Li dans chaque
sous-orbite.
Or le cardinal [H : NH (L)] de toute sous-orbite d’un élément L de Cl(K) :
– est une puissance de p, comme tout indice fini d’un sous-groupe dans un pgroupe ;
– est égal à 1 (si et) seulement si H = L. En effet, si 1 = [H : NH (L)] = [H :
H ∩ N (L)] alors H est inclus dans N (L), si bien que HL est un groupe dans
lequel L est normal. De plus, d’après le deuxième théorème d’isomorphisme, le
groupe quotient de HL par L est isomorphe au groupe H/(H ∩ L), donc c’est
un p-groupe. Comme L est également un p-groupe, il en va de même pour HL.
Par maximalité de H et L on en déduit : H = HL = L.
En appliquant ce qui précède au cas particulier H = K, on en déduit que nK est
une somme de puissances de p dont exactement une vaut 1, donc que nK est congru
à 1 modulo p. En particulier, nK n’est pas divisible par p. Donc en appliquant
ensuite ce qui précède à un p-Sylow H quelconque, on en déduit qu’il existe au
moins un L dans Cl(K) tel que H = L, autrement dit : que H est un conjugué de
K. Par conséquent, le nombre np de p-Sylow de G est exactement nK . L’autre fait
concernant np suit presque immédiatement : puisque np = nK est congru à 1 modulo
p, il est premier avec pn . Or par ailleurs nK = [G : N (K)] divise |G| = pn s. On en
déduit qu’il divise s.
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Remarque. Une grande partie des arguments utilisés ci-dessus reste valable aussi
longtemps que |Cl(K)| = [G : N (K)] est fini ; ainsi nous pouvons énoncer de façon
analogue le
Théorème de Sylow pour les groupes infinis : Si l’un des p-Sylow de G n’a
qu’un nombre fini de conjugués, alors tous les p-Sylow de G sont conjugués, et leur
nombre est congru à 1 modulo p.
Dans ce théorème, l’hypothèse est cruciale : il existe des groupes (nécessairement infinis) possédant des p-Sylow non conjugués et même non isomorphes, par
exemple le produit libre de deux p-groupes non isomorphes et non triviaux, ou encore le « groupe symétrique dénombrable », i.e. le sous-groupe du groupe symétrique
S(N) constitué des permutations à support fini.
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Applications
Dans cette partie, G désigne un groupe d’ordre pn s, où p est un nombre premier,
n ∈ N et p ne divise pas s.
Théorème de Cauchy : G possède un élément d’ordre p.
Démonstration. D’après le Premier Théorème de Sylow(1.2) , G possède un groupe
P d’ordre p. p étant premier, P est un groupe cyclique. Tout générateur de P est
donc d’ordre p.
Remarque. Le Théorème de Cauchy (∼ 1825) est antérieur au Premier Théorème
de Sylow (1872).
Corollaire 1. Si G est un groupe non réduit à {1} dont tous les éléments différents
de 1 sont d’ordre une puissance non nulle d’un nombre premier p alors G est un
p-groupe.
Démonstration. Soit q un diviseur premier de l’ordre de G. D’après le Théorème
de Cauchy, G possède un élément d’ordre q. Or tous les éléments de G, différents de
1, sont d’ordre une puissance non nulle de p, donc q = p. Le seul diviseur premier
de l’ordre de G est p donc G est un p-groupe.
Regardons comment un p-sous-groupe de Sylow passe au sous-groupe et au quotient :
Proposition 1. Soient G un groupe fini d’ordre divisible par un nombre premier
p, N un sous-groupe normal de G d’ordre divisible par p et P un p-sous-groupe de
Sylow de G. Alors,
1. P ∩ N est un p-sous-groupe de Sylow de N .
2. P N/N est un p-sous-groupe de Sylow de G/N .
4
Démonstration. Posons |G| = spn et |N | = s0 pm où n et m sont des entiers
strictement positifs, n ≥ m, p ne divise pas s et s0 divise s.
1. Soit Q un p-sous-groupe de Sylow de N .
Q est un p-sous-groupe de N donc un p-sous-groupe de G.
D’où, d’après le Second Théorème de Sylow (1.2), il existe un p-sous-groupe
de Sylow P 0 de G tel que Q est inclus dans P 0 .
Mais toujours d’après le Second Théorème de Sylow, il existe un élément g de
G tel que gP 0 g −1 = P . Donc, gQg −1 est inclus dans P .
N étant normal dans G et Q étant inclus dans N , gQg −1 est inclus dans N .
D’où, gQg −1 est inclus dans P ∩ N .
L’ordre de P ∩ N divise les ordres de P et de N par le Théorème de Lagrange.
D’où, P étant un p-sous-groupe de G, l’ordre de P ∩ N est de la forme pa avec
0 ≤ a ≤ m.
Puisque P ∩ N contient le p-sous-groupe de Sylow gQg −1 , |P ∩ N | ≥ pn .
Ainsi, |P ∩ N | = pn et P ∩ N est donc un p-sous-groupe de Sylow de N .
2. Par le Deuxième Théorème d’isomorphisme, P N/N est isomorphe à P/P ∩N .
D’où, |P N/N | = |P/P ∩ N | = pn−m car P ∩ N est un p-sous-groupe de Sylow
de N . Comme |G/N | = ss0 pn−m , P N/N est un p-sous-groupe de Sylow de G/N .
Énonçons un des résultats les plus utiles découlant du Second Théorème de Sylow
(1.2) :
Proposition 2. Soit G un groupe fini d’ordre divisible par un nombre premier p.
Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors, P est l’unique p-sous-groupe de Sylow
de G si et seulement si P est normal dans G.
Démonstration. D’après le Second Théorème de Sylow (1.2), G opère transitivement par conjugaison sur Sp (G).
(=>) Pour tout élément g de G, gP g −1 est un p-sous groupe de Sylow de G donc,
par unicité, gP g −1 = P . P est normal dasn G.
(<=) Soit Q un p-sous groupe de Sylow de G. Il existe un element g de G tel que
Q = gP g −1 . Or gP g −1 = P donc Q = P . P est l’unique p-sous-groupe de Sylow de
G.
Remarque. En particulier, si G est un groupe abélien fini d’ordre divisible par un
nombre premier p alors G ne possède qu’un seul p-sous-groupe de Sylow.
Cette Proposition est souvent utilisée pour démontrer la simplicité de certains
groupes. Par exemple :
Corollaire 2. Tout groupe fini d’ordre pq, où p et q sont deux nombres premiers
distincts, n’est pas simple.
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Démonstration. Supposons q < p et montrons que np (G) = 1 : par le Second
Théorème de Sylow (1.2), np (G) divise q et est congru à 1 modulo p. Mais 1 < q < p
donc q ne peut être congru à 1 modulo p. D’où, np (G) = 1. G possède un unique psous-groupe de Sylow P donc, d’après la Proposition précédente, P est normal dans
G. P étant différent de {1} et de G (car 1 < p = |P | < pq = |G|), G n’est pas
simple.
Avec des conditions supplémentaires, on a un meilleur résultat :
Proposition 3. Soit G un groupe fini d’ordre pq où p et q sont deux nombres
premiers distincts. Si p est non congru à 1 modulo q et q non congru à 1 modulo p
alors G est cyclique, abélien et isomorphe à Z/pZ ∗ Z/qZ.
Démonstration. D’après le Second Théorème de Sylow(1.2), np (G) divise q et est
congru à 1 modulo p.
Comme q n’est pas congru à 1 modulo p, np (G) = 1. De même, nq (G) = 1.
D’où, G possède un unique p-sous-groupe de Sylow P et un unique q-sous-groupe de
Sylow Q. D’après la Proposition 2(2), P et Q sont normaux dans G.
P étant d’ordre p premier, P est cyclique engendré par un élément x. De même, Q
est cyclique engendré par un élément y.
Montrons que x et y commutent : d’après le Théorème de Lagrange, |P ∩ Q| divise
|P | = p et |Q| = q. Or p et q sont premiers entre eux donc |P ∩Q| = 1 et P ∩Q = {1}.
Puisque P et Q sont normaux dans G, xyx−1 y −1 appartient à P ∩ Q = {1}.
D’où, xy = yx et x et y commutent.
Montrons que xy engendre G : puisque x et y commutent xy pq = xpq y pq = 1 car x
est d’ordre p et y est d’ordre q.
Soit m un entier strictement positif tel que xy m = 1.
On a alors xm y m = 1 c’est à dire xm = y −m et x−m = y m .
D’où, xm et y m appartiennent à P ∩ Q = {1}.
On a donc xm = 1 ce qui entraîne que p divise m et y m = 1 qui implique que q
divise m.
Ainsi, ppcm(p, q) = pq divise m.
D’où, xy est d’ordre pq = |G|. G est cyclique engendré par xy.
Puisque |P ∩ Q| = 1, on a |P Q| = |P ||Q| = pq = |G|, donc G = P Q.
D’où, P et Q étant normaux dans G et P ∩ Q étant réduit à {1}, G = P Q est
isomorphe à P ∗ Q.
P étant cyclique d’ordre p, P est isomorphe à Z/pZ.
De même, Q est isomorphe à Z/qZ.
D’où, G est isomorphe à Z/pZ ∗ Z/qZ.
Remarque.
1. Pour montrer que G est isomorphe à Z/pZ ∗ Z/qZ, on pouvait
aussi utiliser le Théorème chinois : G étant un groupe cyclique d’ordre pq, G
est isomorphe à Z/pqZ groupe isomorphe à Z/pZ ∗ Z/qZ.
2. D’après cette Proposition, il n’y a qu’un seul groupe, à isomorphisme près,
d’ordre pq où p et q sont deux nombres premiers distincts, p non congru à 1
modulo q et q non congru à 1 modulo p. Par exemple, Z/3Z ∗ Z/5Z est le seul
groupe, à isomorphisme près, d’ordre 15.
6
Considérons un cas plus général :
Proposition 4. Soit G un groupe fini d’ordre pn1 1 ...pnk k où p1 , ..., pk sont des nombres
premiers distincts et n1 , ..., nk des entiers strictement positifs.
Si, pour tout i compris entre 1 et k, G ne possède qu’un seul pi -sous-groupe de
Sylow Pi alors G = P1 ...Pk , G est isomorphe au produit direct P1 ∗ ... ∗ Pk .
Démonstration. D’après la Proposition 2 (2), Pi est normal dans G pour tout i
compris entre 1 et k. D’où, l’ensemble H = P1 ...Pk est un sous-groupe normal de G.
Montrons que H est isomorphe à P1 ∗ ... ∗ Pk : il suffit de montrer que Pi ∩ Pi+1 ...Pk
est réduit à {1} quel que soit l’entier i compris entre 1 et k − 1. Soit i compris entre
1 et k − 1.
D’après le Théorème de Lagrange, |Pi ∩ Pi+1 ...Pk | divise |Pi | et |Pi+1 ...Pk |.
Si i = n − 1 alors |Pi+1 ...Pk | = |Pk |.
i+1 ||Pi+2 ...Pk |
.
Sinon, |Pi+1 ...Pk | = |P|Pi+1
∩(P i+2...P k)|
D’où, quel que soit i compris entre 1 et k − 1, |Pi+1 ...Pk | divise |Pi+1 |.
Par conséquent, |Pi ∩ Pi+1 ...Pk | divise |Pi | et |Pi+1 |.
Mais pi et pi+1 sont premiers entre eux donc
|Pi ∩ Pi+1 ...Pk | = 1
et
Pi ∩ Pi+1 ...Pk = {1}
Ainsi, H est isomorphe à P1 ∗ ... ∗ Pk .
On en déduit que |H| = |P 1|...|P k| = pn1 1 ...pnk k = |G| et donc :
G = H = P 1 ∗ ... ∗ P k
Corollaire 3. Soit G un groupe abélien fini d’ordre pn1 1 ...pnk k où p1 , ..., pk sont des
nombres premiers distincts et n1 , ..., nk des entiers strictement positifs. Alors, G est
isomorphe au produit direct de ses pi -sous-groupes de Sylow.
Démonstration. Puisque G est abélien, il ne possède, pour chaque i compris entre 1
et n, qu’un seul pi -sous-groupe de Sylow. On applique alors la Proposition précédente.
7