Théorèmes de Sylow

Théorèmes de Sylow
Launoy Valentin Grelier Léo
23 mars 2012

Table des matières
1 Enoncé du Théorème ........................... 2
1.1 Pré-requis ............................. 2
1.2 Enoncés .............................. 2
2 Démonstration .............................. 2
2.1 Théorème 1 ............................ 3
2.2 Théorème 2 et 3 .......................... 3
3 Applications ................................ 4
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1 Enoncé du Théorème
1.1 Pré-requis
Définition 1 (p-groupe).Soit pun nombre premier. On appelle p-groupe un groupe
dont tout élément a pour ordre une puissance de p.
Définition 2 (p-Sylow).Soit pun nombre premier et Gun groupe fini ; on définit un
p-sous-groupe de Sylow (ou p-Sylow) de Gcomme un élément maximal de l’ensemble
des p-sous-groupes de G, au sens de l’inclusion. Autrement dit, c’est un p-sous-
groupe de Gqui n’est contenu dans aucun autre p-sous-groupe de G. Tout p-sous-
groupe de Gest inclus dans un p-sous-groupe maximal, ce qui garantit l’existence de
p-Sylow. L’ensemble (non vide, donc) de tous les p-Sylow pour un entier premier p
donné est parfois noté SylpG.
1.2 Enoncés
Soit Gun groupe d’ordre pns, où pest un nombre premier, n∈Net pne divise
pas s, alors :
Théorème 1. Il existe un p-Sylow de Gd’ordre pn.
Théorème 2. Tous les p-Sylow de Gsont conjugués entre eux, i.e. si Het Ksont
deux p-Sylow de G, alors il existe un élément gdans Gvérifiant gHg−1=K.
Théorème 3. Soit nple nombre de p-Sylow de G. Alors :
1. npdivise s.
2. np≡1 (mod p).
2 Démonstration
La démonstration des théorèmes de Sylow repose sur des propriétés de l’action
par conjugaison du groupe Gsur lui-même et sur l’ensemble de ses parties, ainsi que
de la restriction de cette action à un sous-groupe H:
1. l’équation aux classes de G,|G|=|Z(G)|+Pi[G:Zi], où
(a) Z(G)est le centre de G,
(b) chaque Ziest un sous-groupe strict de G, d’indice [G:Zi]>1;
2. |Cl(S)|= [G:N(S)], où
(a) Sest n’importe quel sous-ensemble de G,
(b) Cl(S)est sa classe de conjugaison, dont les éléments sont les parties de
Gde la forme gSg−1, pour chaque gdans G,
(c) le sous-groupe N(S)est le normalisateur de Sdans G;
3. de même, |ClH(S)|= [H:NH(S)], où
(a) ClH(S)est la classe de conjugaison de Spar les éléments de H, c’est-à-
dire l’ensemble des hSh−1, pour chaque hdans H,
(b) NH(S) = H∩N(S).
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2.1 Théorème 1
On procède par récurrence sur l’ordre de G. Si cet ordre vaut 1 (ou plus géné-
ralement si n= 0, i.e. si pne divise pas l’ordre de G), le groupe trivial est bien un
sous-groupe de Gd’ordre pn= 1. Supposons désormais que Gest non trivial, et que
le théorème 1 est vérifié pour tout groupe d’ordre strictement plus petit que celui
de G.
– Si Ga un sous-groupe strict d’indice premier à palors, d’après l’hypothèse
de récurrence, ce sous-groupe a un sous-groupe d’ordre pn; ainsi, il en est de
même pour G.
– Si au contraire tous les sous-groupes stricts de Gsont d’indice divisible par p
alors, dans l’équation aux classes, |G|et tous les [G:Zi]sont divisibles par
p, donc |Z(G)|aussi. Comme de plus Z(G)est abélien, il a un sous-groupe H
d’ordre p. Ce sous-groupe Hétant normal dans G(car inclus dans le centre de
G), on peut considérer le groupe quotient G/H, dont l’ordre est pn−1s. D’après
l’hypothèse de récurrence, G/H possède alors un sous-groupe Ld’ordre pn−1.
Soit Kl’image réciproque de Lpar la projection canonique de Gsur G/H :
c’est un sous-groupe de Gcontenant H, et K/H est isomorphe à L(d’après
le premier théorème d’isomorphisme). Puisque Hest d’ordre p, alors Kest
d’ordre pn.
2.2 Théorème 2 et 3
Soient Kun p-Sylow de G,nKle nombre de ses conjugués, et Hun p-Sylow
quelconque de G. Alors la classe de conjugaison Cl(K), orbite de Kpour l’action
du groupe G, est naturellement partitionnée en sous-orbites pour l’action (restreinte)
du groupe H. Ainsi nK=Pi|ClH(Li)|, où l’on a choisi un élément Lidans chaque
sous-orbite.
Or le cardinal [H:NH(L)] de toute sous-orbite d’un élément Lde Cl(K):
– est une puissance de p, comme tout indice fini d’un sous-groupe dans un p-
groupe ;
– est égal à 1 (si et) seulement si H=L. En effet, si 1 = [H:NH(L)] = [H:
H∩N(L)] alors Hest inclus dans N(L), si bien que HL est un groupe dans
lequel Lest normal. De plus, d’après le deuxième théorème d’isomorphisme, le
groupe quotient de HL par Lest isomorphe au groupe H/(H∩L), donc c’est
un p-groupe. Comme Lest également un p-groupe, il en va de même pour HL.
Par maximalité de Het Lon en déduit : H=HL =L.
En appliquant ce qui précède au cas particulier H=K, on en déduit que nKest
une somme de puissances de pdont exactement une vaut 1, donc que nKest congru
à 1 modulo p. En particulier, nKn’est pas divisible par p. Donc en appliquant
ensuite ce qui précède à un p-Sylow Hquelconque, on en déduit qu’il existe au
moins un Ldans Cl(K)tel que H=L, autrement dit : que Hest un conjugué de
K. Par conséquent, le nombre npde p-Sylow de Gest exactement nK. L’autre fait
concernant npsuit presque immédiatement : puisque np=nKest congru à 1 modulo
p, il est premier avec pn. Or par ailleurs nK= [G:N(K)] divise |G|=pns. On en
déduit qu’il divise s.
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Remarque. Une grande partie des arguments utilisés ci-dessus reste valable aussi
longtemps que |Cl(K)|= [G:N(K)] est fini ; ainsi nous pouvons énoncer de façon
analogue le
Théorème de Sylow pour les groupes infinis : Si l’un des p-Sylow de G n’a
qu’un nombre fini de conjugués, alors tous les p-Sylow de Gsont conjugués, et leur
nombre est congru à 1 modulo p.
Dans ce théorème, l’hypothèse est cruciale : il existe des groupes (nécessaire-
ment infinis) possédant des p-Sylow non conjugués et même non isomorphes, par
exemple le produit libre de deux p-groupes non isomorphes et non triviaux, ou en-
core le « groupe symétrique dénombrable », i.e. le sous-groupe du groupe symétrique
S(N)constitué des permutations à support fini.
3 Applications
Dans cette partie, Gdésigne un groupe d’ordre pns, où pest un nombre premier,
n∈Net pne divise pas s.
Théorème de Cauchy : G possède un élément d’ordre p.
Démonstration. D’après le Premier Théorème de Sylow(1.2) , Gpossède un groupe
Pd’ordre p.pétant premier, Pest un groupe cyclique. Tout générateur de Pest
donc d’ordre p.
Remarque. Le Théorème de Cauchy (∼1825) est antérieur au Premier Théorème
de Sylow (1872).
Corollaire 1. Si Gest un groupe non réduit à {1}dont tous les éléments différents
de 1 sont d’ordre une puissance non nulle d’un nombre premier palors Gest un
p-groupe.
Démonstration. Soit qun diviseur premier de l’ordre de G. D’après le Théorème
de Cauchy, Gpossède un élément d’ordre q. Or tous les éléments de G, différents de
1, sont d’ordre une puissance non nulle de p, donc q=p. Le seul diviseur premier
de l’ordre de Gest pdonc Gest un p-groupe.
Regardons comment un p-sous-groupe de Sylow passe au sous-groupe et au quo-
tient :
Proposition 1. Soient Gun groupe fini d’ordre divisible par un nombre premier
p,Nun sous-groupe normal de Gd’ordre divisible par pet Pun p-sous-groupe de
Sylow de G. Alors,
1. P∩Nest un p-sous-groupe de Sylow de N.
2. P N/N est un p-sous-groupe de Sylow de G/N.
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