C`est quoi, un nombre complexe ?

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C’est quoi, un nombre complexe ?
C’est quoi un nombre complexe ? C’est un nombre compliqu´e ?
C’est un nombre de la forme x+yi avec xet ydes nombres r´eels et iv´erifiant i2=−1
Mais c’est impossible, un carr´e ne peut pas ˆetre n´egatif !
Tu comprendras quand tu seras plus grande ...
Non, mais en vrai, c’est quoi un nombre complexe, concr`etement ?
La fa¸con la plus concr`ete de se repr´esenter un nombre complexe, c’est de dire : en gros,
un nombre complexe c’est un point du plan.
Je connais d´ej`a les points du plan, mais pourquoi y a-t-il besoin d’inventer une expression
sp´eciale pour ¸ca, et en plus d’appeler ¸ca un «nombre »? C’est vraiment une id´ee bizarre !
Le point que je dessine sur cette feuille de papier, l`a, c’est un nombre ? Combien vaut-il ?
Eh bien, je ne peux pas r´epondre dans ce cas-l`a parce qu’en fait pourt voir les points
comme des nombres complexes il faut les rep´erer dans un rep`ere orthonormal direct.
Dessine moi un rep`ere orthonormal direct et je pourrais alors te dire `a quel nombre
complexe il correspond dans ce rep`ere.
Voil`a : je trace un rep`ere en m’arrangeant pour que mon point ait pour coordonn´ees x= 1
et y= 2. Combien vaut-il en tant que nombre complexe ?
Il vaut 1 + 2i
Je veux bien, mais comme je ne connais pas ce iet qu’en plus il v´erifie une propri´et´e
impossible i2=−1, ce n’est pas tr`es parlant. Et encore une fois, pourquoi parle-t-on de
«nombre»?
Commen¸cons par rappeler ce qu’on appelle habituellement un «nombre». Il y a 3000
ans, ce qu’on appelait des nombres c’´etait uniquement ce qu’on appelle aujourd’hui des
nombres entiers naturels, faits pour d´enombrer des collections d’objets (et encore, 0
n’´etait pas vraiment consid´er´e comme un nombre). On a alors introduit des op´erations
entre les nombres (l’addition et la multiplication) `a partir de probl`emes concrets. Pour
l’addition : j’ai trois pommes, tu m’en donnes deux, j’en ai maintenant cinq. Pour la
multiplication : si chacun d’entre vous trois me donne deux pommes, j’en aurai six.
Puis, au cours de l’histoire, on a g´en´eralis´e progressivement le concept de nombre, en
inventant d’autres sortes de nombres. A chaque fois qu’on a invent´e quelque chose de
nouveau, on a continu´e `a les appeler des «nombres»parce qu’ils poss´edaient deux pro-
pri´et´es importantes : d’abord les nouveaux ensembles de nombres contenaient ceux qui
existaient d´ej`a (donc on ne perdait pas les anciens nombres, on ne faisait qu’en rajouter
de nouveaux) et ensuite il y avait moyen de d´efinir une addition et une multiplication
sur ces nouveaux nombres par un proc´ed´e qui g´en´eralisait le proc´ed´e pr´ec´edent.
Nouveaux nombres et nouveaux proc´ed´es ? Par exemple ?
Par exemple les nombres rationnels (les fractions). L’ensemble des rationnels (Q)
contient l’ensemble des nombres entiers puisque tout nombre entier npeut s’´ecrire
comme une fraction n
1. Donc on peut dire par exemple que le nombre 3 est un nombre
entier mais aussi que c’est un nombre rationnel 3
1.
D’autre part on a d´efini un proc´ed´e pour additionner deux fractions : m
n+p q=mq +np nq
et un proc´ed´e pour multiplier deux fractions : m
n×p q=mp nq
Ces proc´ed´es sont coh´erents avec les proc´ed´es utilis´es pour les nombres entiers : addi-
tionner 3 et 2 avec le proc´ed´e des nombres entiers ou additionner 3
1et 2 1avec le proc´ed´e
des fractions donne bien la mˆeme chose car 3 + 2 = 3×1+1×2
1×1.
De mˆeme pour la multiplication : 3 ×2 = 3×2
1×1
Par contre leur interpr´etation concr`ete devient plus difficile. On ne peut plus dire :
si sept quarts de personnes me donnent chacune deux tiers de pomme, alors j’aurai
quatorze douzi`emes de pomme.
C’est un ph´enom`ene habituel en math´ematiques : si on veut quelque chose de plus
g´en´eral, alors il faut accepter de s’´eloigner du concret.
Mais comment a-t-on trouv´e que c’´etait bien ce proc´ed´e-l`a qui correspondait `a la multipli-
cation ?
Cette question sous-entend qu’il y aurait dans la nature une id´ee absolue de ce qu’est
une «multiplication»et que le but des math´ematiciens serait de d´ecouvrir ce que donne
cette id´ee absolue quand on l’applique `a diff´erents objets. Ce n’est pas le cas. Les
math´ematiques ne sont pas une science de la nature. Elles s’en inspirent souvent, mais
les objets qu’elles consid`erent sont des objets de pens´ee, ce sont des concepts forg´es par
des cerveaux humains, des constructions intellectuelles invent´ees et mises au point par
les ˆetres humains.
Finalement le concept de multiplication des fractions n’est pas vraiment le mˆeme que
celui pour les nombres entiers. Leurs r´esultats co¨ıncident quand il s’agit de nombres en-
tiers, mais on ne le voit plus conceptuellement de la mˆeme fa¸con. Cependant, on garde
le mˆeme nom «multiplication»non pas parce qu’il existerait dans la nature un concept

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absolu de multiplication, mais parce qu’il prolonge de mani`ere coh´erente ce qu’on appe-
lait avant une multiplication (et qui avait un sens concret). Et ce prolongement r´esulte
d’une volont´e : on a fait expr`es de chercher un nouveau proc´ed´e pour qu’il prolonge
l’ancien.
Mais quand on prolonge, comment invente-t-on de nouveaux objets ? D’o`u sortent les id´ees
qui font qu’on dit : tiens, il serait int´eressant d’inventer ¸ca ?
Question redoutable, qui touche au fonctionnement de l’intelligence humaine. On com-
mence par ´etudier des mod`eles de situations fabriqu´ees avec les concepts anciens : par
exemple avec les nombres rationnels, on a sans doute d’abord consid´er´e le mod`ele des
parts de tarte ou quelque chose comme ¸ca avant d’introduire des «nombres rationnels».
Je coupe une tarte en quatre, j’en prends trois parts, j’appelle ¸ca trois quarts. Puis on
se familiarise avec ces situations, on se pose des probl`emes `a leur sujet (comment faire
diff´erentes sortes de r´epartitions de parts, etc.) on invente des proc´ed´es pour r´esoudre
ces probl`emes, et finalement on d´ecide de les officialiser en en faisant des concepts qui
portent un nom (nombres rationnels, addition, multiplication).
Par exemple un probl`eme qui a motiv´e le passage de N`a Qest le suivant : l’´equation
ax =bn’a pas toujours de solution xdans N(par exemple 3x= 4). On a alors cherch´e
`a inventer un ensemble dans lequel cette ´equation aurait des solutions. On a invent´e Q
et on a pu dire alors : il y a une solution, c’est x=b
a(si a /=0).
Et quelles sont les situations qui ont conduit `a inventer et officialiser les nombres complexes ?
Historiquement, c’est la r´esolution des ´equations du troisi`eme degr´e, comme x3= 15x+4
(Bombelli, 16`eme si`ecle), qui a pos´e le probl`eme de r´esoudre x2=−1 (qui n’a pas de
solution dans R). Mais comme tu me demandes un point de vue concret, je vais faire
comme si c’´etait le point de vue g´eom´etrique (Argand, Gauss, Cauchy, 19`eme si`ecle),
qui a pos´e le probl`eme de «faire de la g´eom´etrie avec des nombres ».
300 ans pour trouver une interpr´etation concr`ete ? Mais je croyais qu’on partait d’abord du
concret pour aller ensuite vers l’abstrait. Ici on dirait que c’est l’inverse !
Oui, les id´ees math´ematiques peuvent demander beaucoup de temps pour ˆetre mises
au point, et elles peuvent parfois partir d’autres id´ees abstraites et revenir au concret
seulement plus tard.
Et alors, ces nombres complexes vus comme des points ?
Pour que cette vision prolonge les nombres r´eels, il faut d’abord d´ecider quels points du
plan peuvent jouer le rˆole de nombres r´eels. L’id´ee est que les nombres r´eels peuvent se
repr´esenter comme les points d’une droite gradu´ee. 0 correspond `a l’origine, 1 au point
unit´e, etc. Or dans le plan, on a choisi un rep`ere, donc deux axes gradu´es. D´ecidons que
l’un d’entre eux va repr´esenter les nombres r´eels. Par exemple, l’axe des abscisses :
Le point de coordonn´ees (x; 0) repr´esente le nombre r´eel x
Il faut ensuite inventer un proc´ed´e pour combiner deux points de mani`ere `a prolonger
l’addition, et un autre proc´ed´e de mani`ere `a prolonger la multiplication.
Pour l’addition, c’est assez simple :
A+Bsera le point Ctel que AOBC soit un parall´elogramme (O´etant l’origine du
rep`ere).
Cela prolonge bien l’addition habituelle car si Aet Bont pour coordonn´ees (a; 0) et
(b; 0), alors les calculs de coordonn´ees prouvent que Ca pour coordonn´ees (a+b; 0).
Et pour la multiplication ?
C’est un peu plus compliqu´e. Voici une fa¸con possible de la d´ecrire (qui n’est pas tout
`a fait la premi`ere d´efinition historique) :
On commence par faire tourner Ade 90˚autour de O. On obtient A0.
A×Bsera le point Cqui a dans le rep`ere O;−→ OA, −−→ OA0les mˆemes coordonn´ees que
Bdans le rep`ere initial.
Par exemple, si Ba pour coordonn´ees (1; 1), Csera le quatri`eme sommet du carr´e
AOA0C.
On peut montrer que, quand on applique ce proc´ed´e aux points de l’axe des abscisses,
on retrouve la multiplication des r´eels : si Aet Bont pour coordonn´ees (a; 0) et (b; 0),
alors Ca pour coordonn´ees (ab; 0).
Tr`es bien, mais quel int´erˆet ?
Eh bien , on va pouvoir trouver un «nombre»(c’est-`a-dire ici un point) dont le «carr´e»
(obtenu ici par une construction g´eom´etrique) va ˆetre ´egal `a «−1»(c’est-`a-dire au point
(−1; 0)).
Ah, c’est le fameux i! O`u se trouve-t-il ?
Exactement, c’est i, et tu as bien formul´e ta question, mieux qu’au d´ebut. Tu as de-
mand´e «o`u»il se trouve et non plus «combien»il vaut. Dans cette vision en effet, les
nombres complexes ne sont pas des quantit´es, mais des positions, et la bonne question
est effectivement «o`u ?».
On peut explorer la situation avec un logiciel de g´eom´etrie dynamique : on part d’un
point Aquelconque, on effectue la construction g´eom´etrique qui d´efinit son «carr´e»
(construction pas tout `a fait ´evidente mais possible avec le th´eor`eme de Thal`es), puis
on fait bouger Ajusqu’`a ce que son carr´e soit le point (−1; 0).
On trouve que la bonne position est (0; 1).
Donc iserait le point (0; 1) ! Finalement c’est un peu d´ecevant, ¸ca n’a rien de tr`es myst´erieux.
C’est un point comme les autres !
Oui, ce n’est pas sa nature (un point) ou sa position (coordonn´ees (0; 1)) qui sont
sp´eciales, c’est sa propri´et´e par rapport `a la «multiplication»et au «nombre»−1. Cela
permet d’´enoncer la phrase : «i est un nombre dont le carr´e vaut −1».
Mais quand mˆeme, cela reste incompatible avec la fameuse r`egle : tout carr´e est positif
C’est l`a qu’il faut se demander ce que signifie cette r`egle et d’o`u elle vient. En fait, elle
s’´enonce : le carr´e de tout nombre r´eel est positif. Donc d´ej`a, ce n’est plus forc´ement
incompatible. Puisque le point correspondant `a in’est pas sur l’axe des abscisses, ce
n’est pas un nombre r´eel, il n’est donc pas forc´e d’ob´eir `a cette r`egle.
D’accord, mais on avait dit qu’on prolongeait les op´erations habituelles de mani`ere coh´erente.
Il y a l`a une incoh´erence !
Pas vraiment. On a bien prolong´e les op´erations (addition et multiplication) de mani`ere
coh´erente, mais on n’a pas prolong´e tous les concepts et propri´et´es de R. En particulier,

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on n’a pas prolong´e la relation d’ordre ni la notion de signe. Quand on a affaire `a des
quantit´es (question «combien ?») comme avec des nombres r´eels, cela a un sens de dire
qu’un nombre est plus grand ou plus petit qu’un autre. Mais ici on a affaire `a des
positions dans le plan (question «o`u ?»), et cela n’a plus de sens.
On pourrait prendre une d´ecision arbitraire et d´ecider que certains points sont «positifs»
et d’autres «n´egatifs», mais il ne serait alors pas possible de faire un choix coh´erent avec
la «r`egle des signes»qu’on connaˆıt dans R. En effet, c’est cette r`egle qui impose le fait
que tout carr´e doit ˆetre positif.
En conclusion, devant ces difficult´es, on a pris une d´ecision raisonnable : on a renonc´e
`a d´efinir le concept de signe dans l’ensemble des nombres complexes. Ce qui peut se
r´esumer par : un nombre complexe non r´eel n’a pas de signe .
Cela cr´ee certaines diff´erences avec les nombres r´eels, mais il faut bien qu’il y ait des
diff´erences, puisque la premi`ere d’entre elles est qu’il existe un nombre complexe dont
le carr´e vaut −1, alors qu’il ne peut exister aucun r´eel v´erifiant cela.
J’esp`ere qu’il n’y a pas trop de diff´erences comme ¸ca parce que sinon ¸ca doit embrouiller
compl`etement
Heureusement, les principales r`egles de calcul sur les nombres r´eels continuent `a ˆetre
v´erifi´ees avec les nombres complexes. Pour faire les calculs alg´ebriques usuels, on n’est
pas du tout d´epays´e, c’est les mˆemes formules.
Les r`egles de base s’appliquent :
a+b=b+a; (a+b) + c=a+ (b+c) ; a+ 0 = a;a+ (−a) = a−a= 0
ab =ba ; (ab)c=a(bc) ; a×1 = a;a×1
a=a a= 1
On peut factoriser et d´evelopper : (a+b)c=ac +bc
On retrouve les identit´es remarquables (a+b)2=a2+ 2ab +b2, etc.
Les r`egles sur les puissances sont les mˆemes aman=am+n, etc.
Les ´equations simples se r´esolvent de la mˆeme fa¸con :
x+a=b⇔x=b−a;ax =b⇔x=b
asi b /=0 ; ab = 0 ⇔a= 0 ou b= 0 ; etc
Et les racines carr´ees ?
L`a c’est un point d´elicat. En gros,
on n’arrive pas `a prolonger de mani`ere coh´erente la signification du symbole √
C’est li´e aux probl`emes de signe. Dans R, la d´efinition du symbole symbole √repose
sur la notion de signe.
Oui, parce qu’on ne peut calculer la racine que des nombres positifs
C’est vrai, mais ce n’est pas pour ¸ca. C’est `a cause d’une autre propri´et´e : si √aest
d´efinie, sa valeur doit ˆetre positive, ce qui est diff´erent de dire que aest positif. Nous
sommes d’accord pour dire que √−9 n’existe pas parce que −9 est n´egatif, mais je ne
veux pas parler de ¸ca. √9 existe parce que 9 est positif, certes, mais une fois cela acquis
on s’int´eresse ensuite au signe du r´esultat. Le r´esultat est 3, qui est le seul nombre positif
xtel que x2= 9. Ici, je veux insister sur le fait que le r´esultat 3 doit ˆetre positif, pas
sur le fait que le nombre de d´epart 9 doit ˆetre positif. Il y a un autre nombre qui v´erifie
x2= 9, c’est −3, mais seul 3 a l’honneur d’ˆetre not´e √9.
Donc, puisque la d´efinition fait intervenir la notion de signe et que seuls les nombres
r´eels ont un signe, on arrive `a la conclusion suivante : les seuls nombres pour lesquels on
puisse ´ecrire √asont les nombres r´eels positifs. Et le r´esultat est alors un r´eel positif.
Donc on ne gagne rien de nouveau.
Mais je croyais que i2´etait ´egal `a −1. Donc on pourrait ´ecrire √−1 = i. Pourquoi pas ?
Parce que in’a pas de signe et ne peut donc pas v´erifier la condition de la d´efinition
qui dit que le r´esultat de √doit ˆetre un nombre positif.
Mais enfin, quand on a x2=a, on a bien x=√a, non ?
Pas forc´ement, si on a x2= 9, alors xpeut ˆetre ´egal `a 3 ou `a −3, c’est-`a-dire `a √9 ou
`a −√9. On dit alors que 3 et −3 sont les deux racines carr´ees de 9.
Je n’y comprends plus rien ! Je croyais que tu venais de dire qu’une racine carr´ee ´etait
forc´ement positive, et tu me dis maintenant que −3est une racine carr´ee de 9?
Je n’ai pas dit qu’une racine carr´ee ´etait forc´ement positive, j’ai dit que le r´esultat de
√´etait forc´ement positif. Eh bien, cela ne veut pas dire la mˆeme chose. Il y a un gros
pi`ege de langage ici, c’est que la notation √9 se lit habituellement «racine de 9»(on ne
devrait pas dire cela, on devrait dire «racine positive de 9»). Mais le mot «racine»a
une signification propre : xest une racine carr´ee de asi et seulement si x2=a(et cette
fois on ne parle plus du signe de x).
Donc on peut prononcer la phrase suivante : «iest une racine carr´ee de −1»(car
i2=−1), mais on ne peut pas ´ecrire i=√−1 (car in’a pas de signe).
Pourtant, dans les premiers textes sur les nombres complexes, on ´ecrivait √−1, et on le
voit encore ´ecrit parfois. Ils auraient ´et´e recal´es au bac.
Conclusion
Voyons si tu as compris : c’est quoi un nombre complexe ?
C’est un point du plan. Mais on ne le voit comme nombre complexe que si le plan est muni
d’un rep`ere orthonormal direct, et de deux op´erations sur les points qui prolongent l’addition
et la multiplication des nombres r´eels.
Finalement, l’ensemble des nombres complexes muni de l’addition est isomorphe au groupe
des translations du plan, et l’ensemble des nombres complexes priv´e de 0 et muni de la
multiplication est isomorphe au groupe des similitudes vectorielles directes du plan.
De plus, l’ensemble des nombres complexes a une structure de corps commutatif pour
l’addition et la multiplication
Euh ...
Tu comprendras quand tu seras plus grand ...