0.0.1 SYLLABUS DE MAT 301 Code de l`UE: MAT 301 Intitulé de l

0.0.1 SYLLABUS DE MAT 301
Code de l’UE: MAT 301
Intitulé de l’UE: Topologie générale
Type de l’UE: Théorique
Filière: MAT
Niveau: 3
Nombre de crédits: 6
Nom et Prénom de l’enseignant responsable: WAMON François
Grade: MC
Objectifs: Donner des notions fondamentales de mathématiques nécessaires
pour la poursuite des études en mathématiques.
Nombre de séances de cours: 14
Durée de la séance de CM: 2 heures
Séance1
Espaces topologiques
1. Dé…nitions et exemples d’espaces topologiques
2. Notion de voisinage
Dé…nition d’une topologie à partir des voisinages
3. Espaces métrisables
Topologie de R, de R
Séance 2
4. Notion de séparation et notion de suites
Séparation au sens de Fréchet
Séparation au sens de Hausdor¤
Suites convergentes
Valeurs d’adhérence d’une suite
5. Base de voisinages - Base d’ouverts
Base de voisinages d’un point
Propriétés des espaces à base dénombrable de voisinages
Base d’ouverts
Propriétés des espaces à base dénombrable d’ouverts
Séance 3
6. Parties fermées d’un espace topologique
Dé…nition d’une topologie à partir des ferms
Espaces réguliers
7. Adhérence - Adhérence d’un ensemble
Propriétés de l’adhérence d’un ensemble
Parties denses - Espaces topologiques séparables
Point d’accumulation - Ensemble dérivé
Propriétés de l’ensemble dérivé
Séance 4
8. Intérieur d’un ensemble
Propriétés de l’intérieur d’un ensemble
Relation entre l’adhérence et l’intérieur d’un ensemble
1

9. Comparaison de topologies
Comparaison de topologies et normes d’un espace vectoriel
10. Topologie induite
Propriétés de la topologie induite
Cas des espaces métriques
Séance 5
Applications continues
1. Continuité en un point
Continuité et suites convergentes
Continuité et continuité séquentielle
2. Continuité sur un ensemble
3. Comparaison de topologies et continuité
4. Topologie induite et continuité
5. Notion d’homéomorphisme
6. Cas des espaces mértriques: continuité uniforme
Esapces normaux
Séance 6
Filtres
1. Rappel du lemme de Zorn
2. Filtres sur un ensemble
3. Génération de …ltres
4. Comparaison de …ltres - Ultra…ltres
5. Opérations sur les …ltres
Filtre induit
Filtre image
Séance 7
6. Application des …ltres au limites
Limite d’un …ltre
Valeurs d’adhérence d’un …ltre
Topologie Produit - Topologie quotient
I. Topologie produit
1. Topologie réciproque
Séance 8
2. Topologie engendrée par une famille de parties
3. Produit quelconque d’ensembles
4. Topologie produit
. Propriétés de la topologie produit
Séance 9
5. Produits …nis
Produits d’espaces métriques
II. Topologie quotient
Espaces compacts et localement compacts
1 Géneralités sur les espaces compacts
Critères de compacité
Séance 10
2. Parties compactes de la droite numérique
2

3. Compacité et continuité
Produit d’espaces compacts
Quotient d’un espace compact
4. Espaces localement compacts
5. Compacti…cation d’Alexandro¤
Espaces topologiques dénombrables à l’in…ni
Séance 11
Esapces connexes et localement connexes
I. Généralités sur les espaces connexes et les ensembles connexes.
1. Chemins dans un espace topologique
2. Espaces connexes - Ensembles connexes
3. Image d’une partie connexe
4 . Parties connexes de la droite numérique
Séance 12
5. Connexité par arcs
6. Produit d’espaces connexes
7. Composantes connexes
II. Espaces localement connexes
III. Espaces simplement connexes
Séance 13
Espaces de fonctions continues
1. Convergence simple
2. Convergence uniforme
3. Equicontinuité
Thérème d’Ascoli
Séance 14
Espaces de fonctions numériques
1. Famille de fonctions numériques
2. Semi-continuité
3. Le théorème de Stone - Weierstrass
Bibliographie
1) F. Wamon
Exercices d’Analyse , Topologie et séries
Collection ASER
2) K. Kuratowski
Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie
DUNOD
3) L. Schwartz
Topologie générale et Analyse Fonctionnelle
HERMANN
4) G. Choquet
Cours d’Analyse T2 Topologie
Masson
Cite web: les mathématiques.net
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