La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Rubén Martos Prieto Université Paris Diderot (Paris 7-IMJ) 30 d’octobre de 2015 La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques 1. Introduction Un exemple L’histoire 2. Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Bestiaire des groupes quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz 3. La conjecture de Baum-Connes La conjecture en bref La conjecture en vrai Travaux sur la conjecture “Quantification” de la conjecture 4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques 1. Introduction Un exemple L’histoire 2. Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Bestiaire des groupes quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz 3. La conjecture de Baum-Connes La conjecture en bref La conjecture en vrai Travaux sur la conjecture “Quantification” de la conjecture 4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques 1. Introduction Un exemple L’histoire 2. Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Bestiaire des groupes quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz 3. La conjecture de Baum-Connes La conjecture en bref La conjecture en vrai Travaux sur la conjecture “Quantification” de la conjecture 4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques 1. Introduction Un exemple L’histoire 2. Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Bestiaire des groupes quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz 3. La conjecture de Baum-Connes La conjecture en bref La conjecture en vrai Travaux sur la conjecture “Quantification” de la conjecture 4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction Introduction La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction Un exemple Système quantique Système classique I I h→0 ?? Système classique. Système quantique. Approche de J. Moyal (1949) différence fondamentale : commutativité de l’algèbre des fonctions ! ! dualité Algèbre de fonctions déformées par un paramètre q ←→ Variété déformée par q La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction Un exemple Le plan Affine Deux lettres : x et y C{x, y} := “C-espace vectoriel engendré par les mots en x et y” Multiplication en C{x, y} := concaténation de mots ⇒ unité=∅. C{x, y} est une C-algèbre. Imposons les lettres commutatives, c’est à dire, xy = yx Par définition, on a C[x, y] = C{x, y}/(xy − yx) Il existe un isomorphisme naturel : ϕ : Homalg. (C[x, y], C) −→ C2 L’algèbre de fonctions du plan affine C2 est l’algèbre de polynômes en deux variables C[x, y]. Celle-ci est commutative par construction/définition. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction Un exemple Le plan Quantique Moyal “Quantification” du plan affine ===⇒ “Quantification” de son algèbre de fonctions. Imposons les lettres non commutatives, disons xy = qyx, pour un certain paramètre q ∈ C∗ . On pose Cq [x, y] := C{x, y}/(xy − qyx) Dès que q 6= 1, Cq [x, y] est une C-algèbre non commutative. On définit le plan quantique comme l’espace géométrique dont l’“algèbre de fonctions” est Cq [x, y] ⇒ Objet virtuel ! Désormais on n’a plus une représentation géométrique explicite du plan ! La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction Un exemple Les Matrices Quantiques Étant donné q ∈ C tel que q 2 6= −1, soient a, b, c, d quatre lettres. Posons les relations ba = qab db = qbd bc = cb ca = qac dc = qcd ad − da = (q −1 − q)bc On définit l’algèbre des matrices complexes quantiques d’ordre 2 comme Mq (2) := C{a, b, c, d}/Jq où Jq est l’idéal engendré par les relations ci-dessus. Mq (2) est une C-algèbre non-commutative avec m : Mq (2) × Mq (2) −→ Mq (2) η : C −→ Mq (2) z 7−→ η(z) := “mot vide” La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction Un exemple Structure de co-algèbre : inverser les flèches de la structure d’algèbre. ∆: Mq (2)! −→ Mq (2) ⊗!Mq (2) ! ! a b a b a b a b 7−→ ∆ := ⊗ c d c d c d c d : Mq (2)! −→ C ! a b a b 7−→ := c d c d 1 0 0 1 ! Mq (2) est une C-co-algèbre non-co-commutative avec ∆ comme co-multiplication et comme co-unité (Mq (2), m, η, ∆, ) est une bi-algèbre non-commutative et non-co-commutative. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction Un exemple On définit le déterminant quantique comme detq (A) := ad − q −1 bc , pour toute A ∈ Mq (2) On définit le groupe spécial linéaire quantique d’ordre 2 comme SLq (2) := Mq (2)/(detq − 1) La co-multiplication ∆ et la co-unité passent au quotient dans SLq (2). I SLq (2) est une bi-algèbre non commutative et non-co-commutative. En outre, on a une application linéaire S: SLq (2) ! −→ SLq (2) ! a b a b 7−→ S := c d c d ! d −qb −q −1 c a SLq (2) muni de ces opérations est une algèbre de Hopf. SLq (2) est un groupe quantique ! La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction L’histoire Idée simpliste : “Un groupe quantique est une structure mathématique qui généralise la notion classique de groupe et qui a été motivée par différents aspects de la mécanique quantique” Le développement de cette théorie est plus compliqué que cela. Problèmes inspirateurs Physique Mathématiques Systèmes intégrables Dualité de Pontryagin La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction L’histoire Il existe un objet commun pour aborder ces problématiques : les algèbres de Hopf. I I I I I I I Heinz Hopf (1894-1971) est un pionner en topologie algébrique. En 1941, Hopf introduit des variétés munies d’une opération de produit M × M → M ⇒ H → H ⊗ H morphisme en cohomologie. Conséquences topologiques pour M . En 1953, A. Borel commence à utiliser l’expression “algèbre de Hopf ”. En 1965, J. Milnor et J. Moore donnent une formalisation abstraite d’algèbre de Hopf (pas tout à fait la même que l’on connait aujourd’hui). En 1966, B. Kostant et M. Sweedler établissent la définition définitive d’algèbre de Hopf que l’on utilisera jusqu’à aujourd’hui. À partir de 1969, les algèbres de Hopf deviennent un petit domaine de cherche en soi dans le cadre de l’algèbre abstraite. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction L’histoire Problème mathématique : la dualité de Pontryagin. I I I I Tannaka et Krein donnent une solution (“partielle”) pour le cas compact. En 1960, G. I. Kac a une idée : décrire un G.L.C. et son dual en termes d’algèbres de von Neumann munies d’une co-multiplication. À la fin des années 70, Kac-Vainerman et Enock-Schwartz développent (indépendamment) complètement la théorie des algèbres de Kac. Entre la fin des années 80 et le début des années 90, Enock et Vallin reformulent la théorie en termes de C ∗ -algèbres. I I théorie limitée par les axiomes sur l’antipode (opérateur borné et involutif). peu d’exemples hors de ceux qui proviennent d’un groupe classique. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction L’histoire Problème physique : les systèmes intégrables (quantiques). I I I I En 1986 lors de l’ “International Congress of Mathematiciens in Berkeley”, le terme “Groupe Quantique” est introduit par V. Drinfeld. Type particulier d’algèbre de Hopf : déformations d’algèbres enveloppantes d’algèbres de Lie. Les exemples sont construits par L. Faddeev (et l’école de Leningrad) afin de résoudre quelques systèmes intégrables quantiques. Applications diverses : théorie des représentations des algèbres de Lie, théorie des nœuds, topologie de basse dimension, équation de Yang-Baxter. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction L’histoire Généraliser la théorie classique des groupes localement compacts (théorie de représentations, analyse harmonique abstrait, propriétés d’approximation, etc). Philosophie de la G.N.C. ⇒ C ∗ -algèbres/algèbres de von Neumann comme structures de base. Pour améliorer la théorie de Kac on suit deux approches : Groupes Quantiques Approche Algébrique Approche Analytique A. Van Daele S. L. Woronowicz La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Introduction L’histoire En 1987, définition formelle de “groupe quantique compact” par Woronowicz. I I Un tel groupe est construit sur une C ∗ -algèbre unifère de base. La théorie de Woronowicz est très riche et satisfaisante. En 1994, Van Daele développe un analogue purement algébrique de la théorie de Woronowicz. I Ces groupes quantiques algébriques sont construits sur une algèbre de Hopf de base. On observe que les groupes de Woronowicz sont contenus dans les groupes algébriques de Van Daele. Il manque une version quantique des groupes localement compacts. I En 2000, S. Vaes et J. Kustermans développent une théorie sur les “groupes quantiques localement compact” à la base des algèbres de von Neumann/C ∗ -algèbres. I Masuda, Nakagami et Woronowicz commencent à developper une telle théorie mais : trop d’axiomes ! (dont l’existence d’antipode). La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques Les Groupes Quantiques La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Les algèbres de Hopf On travaille avec des anneaux unitaires. Typiquement, donner une A-algèbre est la donnée (B, +, ×, η) où η : A −→ B est le morphisme structurel, tel que : i) (B, +, η) est un A-module ii) (B, +, ×) est un anneau avec × : B × B −→ B Propriété Universel du Produit Tensoriel ⇒ re-formulation : une A-algèbre est la donnée (B, m, η) où B est un A-module et m : B ⊗A B −→ B, η : A −→ B sont des morphismes d’A-modules tels que : i) m est associative : m ⊗ id / B ⊗A B ⊗A B B ⊗A B id ⊗ m B ⊗A B m m /B ii) η est tel que m ◦ (η ⊗ id) = id = m ◦ (id ⊗ η). La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Philosophie de dualité ⇒ Inverser les flèches des opérations dans les structures classiques ⇒ notion de co-A-algèbre. Il s’agit de la donnée (B, ∆, ) où B est un A-module et ∆ : B −→ B ⊗A B, : B −→ A sont des morphismes d’A-modules tels que : i) ∆ est co-associative : B ∆ B ⊗A B ∆ / B ⊗A B id ⊗ ∆ / B ⊗A B ⊗A B ∆ ⊗ id ii) est tel que ( ⊗ id) ◦ ∆ = id = (id ⊗ ) ◦ ∆. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Une A-bialgèbre est la donnée (B, m, η, ∆, ) où (B, m, η) est une A-algèbre et (B, ∆, ) est une co-A-algèbre dont les structures sont compatibles entre elles. Définition d’algèbre de Hopf Une A-algèbre de Hopf est la donnée d’une A-bialgèbre (B, m, η, ∆, ) munie d’un morphisme d’A-modules S : B −→ B, appelé antipode, tel que m ◦ (S ⊗ id) ◦ ∆ = η ◦ = m ◦ (id ⊗ S) ◦ ∆ La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Remarques : i) Le cas intéressant arrive lorsque A = k corps ⇒ espaces vectoriels. ii) En particulier, lorsque k = C ⇒ Involution ! iii) Anneaux unitaires ⇒ trop restrictif ⇒ espace de multiplicateurs ⇒ “algèbres de Hopf multiplicatrices” iv) dualité des espaces vectoriels 3 dimension < ∞ et unitarie Dualité dimension ∞ et non-unitaire + “intégrale” ⇒ G.Q. Algébriques de Van Daele v) Dimension ∞ et unitaire ⇒ G.Q. Compacts Algébriques de Van Daele. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques Formalisme des groupes quantiques Vers les algèbres de Hopf topologiques On est analystes/topologistes ⇒ approche analytique des G.Q. ? Complétion topologique d’un G.Q. Algébrique au sens de Van Daele ? Définition directe d’un G.Q. Topologique (Woronowicz) : I I I structure de base : C ∗ -algèbre A ⇒ Topologie/Analyse !, cas unitaire ↔ G.Q. Compact Topologique, co-multiplication ∆ : A −→ A ⊗ A Analogue topologique des algèbres de Hopf (unitaires). Or... I I co-unité en tant qu’opérateur ? ? borné/non-borné ? ?, antipode S en tant qu’opérateur ? ? borné/non-borné ? ? Cas non-unitaire ↔ G.Q. Localement Compact Topologique ? ? I I Remplacer A ↔ M (A) n’est pas satisfaisant dans le cadre de Woronowicz car pas état de Haar ! Attendre la théorie de Vaes et Kustermans ! (⇒ vrai analogue topologique des algèbres de Hopf ). La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques Bestiaire des groupes quantiques Groupe Quantique algébrique Groupe Quantique Compact topologique GQC réduit Groupe Quantique Compact algébrique GQC universel Groupe Quantique Localement Compact Groupe Quantique discret GQLC von Neumann GQLC C ∗ -algèbres - - - et — et — — — Association Dualité de Pontryagin Bijection La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz Définition de Groupe Quantique Compact Un groupe quantique compact est la donnée G ≡ (A, ∆) où A est une C ∗ -algèbre unifère et ∆ : A −→ A ⊗ A est un ∗-morphisme unifère tel que : 1. ∆ est co-associatif, c’est à dire, A ∆ A⊗A ∆ /A⊗A id ⊗ ∆ /A⊗A⊗A ∆ ⊗ id 2. Les espaces (A ⊗ 1A )∆(A) et (1A ⊗ A)∆(A) sont denses dans A⊗A La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz Motivation de la définition de Groupe Quantique Compact 1. Soit G un groupe (classique) compact. 2. Par la dualité de Gelfand on a G ←→ C(G). 3. Soit m : G × G −→ G le morphisme de la multiplication interne de G. 4. Ce morphisme induit, par dualité, un morphisme entre les algèbres de fonctions : ∆ : C(G) −→ C(G × G) ' C(G) ⊗ C(G) f 7−→ ∆(f ) défini par ∆(f )(x, y) := f (xy), pour tous x, y ∈ G. 5. On montre que I I l’associativité de m implique la co-associativité de ∆, l’existence d’inverse dans G implique l’axiome de densité pour ∆. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz Pourquoi cette définition est-elle aussi avantageuse ? ? 1. Le langage des C ∗ -algèbres nous est proche. 2. Le cas compact est “sympa” car on dispose d’unité ! 3. Adapté à la philosophie générale de la G.N.C. 4. L’exemple motivant permet d’obtenir un analogue quantique des théories classiques de groupes topologiques : I I I I I I I Existence (automatique !) d’une mesure de Haar “quantique” (état de Haar). Notion de représentation de G. Lemme de Schur. Théorème de Maschke “quantique” (sur la décomposition des représentations en irréductibles). Relations d’orthogonalité. Théorème de Peter-Weyl “quantique”. Dualité de Tannaka-Krein : G ↔ Ĝ. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz Pourquoi cette définition est-elle aussi avantageuse ? ? 1. Le langage des C ∗ -algèbres nous est proche. 2. Le cas compact est “sympa” car on dispose d’unité ! 3. Adapté à la philosophie générale de la G.N.C. 4. L’exemple motivant permet d’obtenir un analogue quantique des théories classiques de groupes topologiques : I I I I I I I Existence (automatique !) d’une mesure de Haar “quantique” (état de Haar). Notion de représentation de G. Lemme de Schur. Théorème de Maschke “quantique” (sur la décomposition des représentations en irréductibles). Relations d’orthogonalité. Théorème de Peter-Weyl “quantique”. Dualité de Tannaka-Krein : G ↔ Ĝ. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Les Groupes Quantiques La définition de Stanislaw Lech Woronowicz 5. Il y a des exemples très intéressants et variés : I I I I I I I Groupes (classiques) compacts/discrets. Groupe quantique de permutations Sn+ . Groupe quantique d’automorphismes Qut(A) avec A une C ∗ -algèbre de dimension finie. Groupe quantique unitaire libre Au (F ) avec F ∈ GLn (C) matrice telle que T r(F ∗ F ) = T r((F ∗ F )−1 ). Groupe quantique orthogonal libre Ao (F ) avec F ∈ GLn (C) matrice orthogonale. Groupe quantique SUq (2) avec q ∈ (0, 1). Groupe quantique SLq (2) avec q ∈ (0, 1). 6. Le cadre “quantique” admet encore des généralisations classiques : I I Propriétés d’approximation : moyennabilité, Haagerup, etc. “Géométrie quantique” : actions, espaces homogènes, etc. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes La conjecture de Baum-Connes La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes La conjecture en bref Une idée vague de la conjecture Géométrie Analyse K-théorie de Grothendieck K-homologie d’Atiyah ↓ ↓ Th. de Riemann-Roch-Grothendieck Th. d’Atiyah-Singer ↓ ↓ Caractéristique d’Euler d’une surface Indice d’un opérateur elliptique Théorie de Kasparov ↓ Conjecture de Baum-Connes La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes La conjecture en vrai Comment peut-on intérpreter réellement la conjecture ? ? ?... aucune idée ! La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes La conjecture en vrai Soit G un groupe localement compact et 2AN. Soit A une C ∗ -algèbre. Conjecture de Baum-Connes, 1982 Le morphisme d’assemblage G µA : R(KK# (EG, A)) −→ K# (G or A) est un isomorphisme Cette formulation s’appelle “conjecture de Baum-Connes avec coefficients”. Si A = C, on dit “conjecture de Baum-Connes sans coefficients” : G µ : R(K# (EG)) −→ K# (Cr∗ (G)) La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes La conjecture en vrai Compréhension des objets en jeu Membre de Gauche Membre de Droite K-homologie à support compact K-théorie des C ∗ -algèbres ↓ ↓ 1. EG espace classifiant des actions propres, 2. K-homologie opérateurs elliptiques généralisés, Produit croisé réduit 3. limite inductive convenable. Morphisme d’assemblage .& à la Baum-Connes-Higson à la Kasparov ↓ ↓ Théorie de représentations de A Produit de Kasparov La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes Travaux sur la conjecture Quelques résultats remarquables Conjecture avec coefficients : I Haagerup ⇒ Baum-Connes (Higson et Kasparov en 2001 ) I I I I groupes moyennables. groupes compacts/abéliens. Sp(n, 1) ⇒ Baum-Connes. Contre-exemple dû à N. Higson, V. Lafforgue et G. Skandalis en 2002. Conjecture sans coefficients : I Haagerup ⇒ Baum-Connes (Higson et Kasparov en 2001 ) I I I I I groupes moyennables. groupes agissant proprement sur un arbre. Groupe hyperbolique ⇒ Baum-Connes (V. Lafforgue en 2002 ). Groupe Bn des tresses à n brins ⇒ Baum-Connes (Schick en 2008 ). Groupe fondamental d’une variété connexe, orientable de dimension 3 ⇒ Baum-Connes (Matthey, Oyono-Oyono, Pitsch en 2008 ). La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes Travaux sur la conjecture Résultats partiels : on connait l’injectivité de µ pour I I I sous-groupes discrets de groupes de Lie connexes, sous-groupes discrets de groupes p-adiques, les groupes qui agissent de façon moyennable sur un espace compact. SL3 (Z) ?? fini I SL1 (Z) ' {1} = =⇒ Baum-Connes. I SL2 (Z) ⇒ Haagerup =========⇒ Baum-Connes. Higson-Kasparov La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture Peut-on formuler une conjecture de Baum-Connes pour un groupe quantique ? ! ? La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture Les problèmes 1. Il faut construire toute la machinerie nécessaire dans le contexte “quantique” : I I I notion d’action d’un groupe quantique sur une C ∗ -algèbre ? notion de triplet de Kasparov équivariant ⇒ Théorie de Kasparov équivariante quantique ? espace classifiant des actions propres d’un groupe quantique ? 2. Le monde quantique n’est pas adapté à la pensée géométrique. 3. Un groupe quantique possède, en général, très peu de sous-groupes quantiques. 4. Il faut donc éviter la voie des “actions propres” ! La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture L’idée Travailler à la Grothendieck ! La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture Les ingrédients 1. Théorie de Kasparov équivariante : I I notion d’espace de multiplicateurs pour une C ∗ -algèbre et pour un module hilbertien. notion de co-action d’un groupe quantique sur une C ∗ -algèbre et sur un module hilbertien. 2. Produit croisé d’un groupe quantique par une C ∗ -algèbre : I I Produit croisé généralisation du produit semi-direct d’un groupe par un sous-groupe. Unitaires multiplicatifs (Baaj et Skandalis, 1993 ). 3. Catégories triangulées : I I théorie homologique adaptée. théorie de localisation de foncteurs. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture Les faits 1. Sur la Théorie de Kasparov : I Si A, B sont des C ∗ -algèbres et G A, B, on définit le groupe de Kasparov G-équivariant KKG (A, B) I Catégorie de Kasparov équivariante : {G − C ∗ -algèbres} 4 objets KKG morphismes f * A → B ⇔ E ∈ KKG (A, B) I La catégorie KKG est triangulée. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture 2. Sur les produits croisés : I I G groupe quantique unitaire multiplicatif VG canoniquement. V unitaire multiplicatif deux groupes quantiques possibles : A(V ) et Â(V ) I appelés “jambe à droite” et “jambe à gauche” de V , resp. On peut considérer les identifications suivantes : A(VG ) ' G et Â(VG ) ' Ĝ I Si G A, on peut définir le produit croisé A o Ĝ I I Un tel produit est toujours une C ∗ -algèbre. On peut construire un produit croisé réduit et un produit croisé maximal. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture 3. Sur les catégories triangulées : I Soit (T , Σ) une catégorie triangulée et A une catégorie additive, alors : I I I I I I Localisation de foncteurs : I I I I triangles exactes suites exactes, foncteur homologique F : T −→ A “suite exacte courte ⇒ suite exacte longue”, idéal dans A famille de morphismes dans A, idéal homologique dans T de la forme ker(F ), algèbre homologique adaptée algèbre homologique par rapport à un idéal homologique fixé. via la théorie de la catégorie dérivée via la théorie du calcul de fractions X F : T −→ A foncteur homologique LF : T −→ A sa localisation. Transformation naturelle η : LF −→ F Deux possibilités : Conjecture de Baum-Connes catégorifiée avec η ! ! La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture Et alors ? ? Soit G un groupe localement compact KKG la catégorie de Kasparov équivariante Ab la catégorie des groupes abéliens Il faut faire les bons choix dans la catégorie KKG pour appliquer la théorie homologique générale ! En particulier, on considère le foncteur homologique F : KKG −→ Ab A 7−→ F (A) := K# (A or G) Baaj, Skandalis et Vergnioux ⇒ G ! G, groupe quantique. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques La conjecture de Baum-Connes “Quantification” de la conjecture Reformulation catégorielle de la conjecture de Baum-Connes (R. Meyer et R. Nest, 2006 ) Les assertions suivantes sont équivalentes : i) G vérifie la conjecture de Baum-Connes (à coefficients) : µA est un isomorphisme, pour toute C ∗ -algèbre A. ii) La transformation naturelle η : LF −→ F est une équivalence. iii) F (A) = K# (A or G) = (0), pour toute G − C ∗ -algèbre A telle que ResH G (A) = (0) pour tout H < G. iv) Si A est une G − C ∗ -algèbres telle que F (A) = K# (A or H) = (0) pour tout H < G, alors F (A) = K# (A or G) = (0). v) Si A, B sont des G − C ∗ -algèbres telles que K# (A or H) ' K# (B or H) pour tout H < G, alors K# (A or G) ' K# (B or G). La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique Résultats remarquables Groupe quantique orthogonal libre Ao (F ) ⇒ Baum-Connes quantique (C. Voigt en 2011 ). ˆ q (2) ⇒ Baum-Connes quantique (C. Voigt Groupe quantique SU en 2012 ). Groupe quantique unitaire libre Au (F ) ⇒ Baum-Connes quantique (R. Vergnioux et C. Voigt en 2013 ). Calcul de la K-théorie du groupe quantique d’automorphismes Qut(A) (C. Voigt en 2014). Dans cette série de papiers on obtient au passage des résultats collatérales intéressants : I I I K-moyennabilité pour Ao (F ) et pour Au (F ). Calcul explicite des K-groupes pour les groupes quantiques libres. Classification des C ∗ -algèbres de fonctions des groupes quantiques de permutations : + Cr (Sn+ ) ' Cr (Sm )⇔n=m La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique Résultats remarquables Groupe quantique orthogonal libre Ao (F ) ⇒ Baum-Connes quantique (C. Voigt en 2011 ). ˆ q (2) ⇒ Baum-Connes quantique (C. Voigt Groupe quantique SU en 2012 ). Groupe quantique unitaire libre Au (F ) ⇒ Baum-Connes quantique (R. Vergnioux et C. Voigt en 2013 ). Calcul de la K-théorie du groupe quantique d’automorphismes Qut(A) (C. Voigt en 2014). Dans cette série de papiers on obtient au passage des résultats collatérales intéressants : I I I K-moyennabilité pour Ao (F ) et pour Au (F ). Calcul explicite des K-groupes pour les groupes quantiques libres. Classification des C ∗ -algèbres de fonctions des groupes quantiques de permutations : + Cr (Sn+ ) ' Cr (Sm )⇔n=m La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique Que peut-on faire ? ? Plusieurs lignes de recherche possibles en Groupes Quantiques : I I I I I classification de C ∗ -algèbres et de représentations, étude des groupes quantique complexes semi-simples (théorie analogue à celle de Lie), calcul différentiel quantique, propriétés d’approximation quantiques, ... La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique En ce qui concerne la conjecture de Baum-Connes : I essayer de généraliser des résultats connus : I I I I démontrer la conjecture pour les versions quantiques des groupes classiques : I I I I Baum-Connes pour SLq (n) pour tout n ≥ 3 ? ? Baum-Connes pour les groupes quantiques complexes semi-simples ? ? ... trouver des nouveaux groupes quantiques qui vérifient la conjecture : I I I I théorème de Higson et Kasparov (sur la propriété de Haagerup), théorème de Oyono-Oyono & Co. (sur le groupe fondamental), ... propriétés de stabilisation, conditions supplémentaires pour avoir la conjecture, ... analyser les conséquences de la conjecture dans le cadre quantique : I I I calcul de la K-théorie, propriétés sur les C ∗ -algèbres, ... La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques Merci de votre attention ! !