La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques

La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes
quantiques
Rubén Martos Prieto
Université Paris Diderot (Paris 7-IMJ)
30 d’octobre de 2015
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
1. Introduction
Un exemple
L’histoire
2. Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Bestiaire des groupes quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
3. La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en bref
La conjecture en vrai
Travaux sur la conjecture
“Quantification” de la conjecture
4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
1. Introduction
Un exemple
L’histoire
2. Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Bestiaire des groupes quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
3. La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en bref
La conjecture en vrai
Travaux sur la conjecture
“Quantification” de la conjecture
4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
1. Introduction
Un exemple
L’histoire
2. Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Bestiaire des groupes quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
3. La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en bref
La conjecture en vrai
Travaux sur la conjecture
“Quantification” de la conjecture
4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
1. Introduction
Un exemple
L’histoire
2. Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Bestiaire des groupes quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
3. La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en bref
La conjecture en vrai
Travaux sur la conjecture
“Quantification” de la conjecture
4. Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
Introduction
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
Un exemple
Système quantique
Système classique
I
I
h→0
??
Système classique.
Système quantique.
Approche de J. Moyal (1949)
différence fondamentale :
commutativité de l’algèbre des fonctions ! !
dualité
Algèbre de fonctions déformées par un paramètre q ←→ Variété
déformée par q
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
Un exemple
Le plan Affine
Deux lettres : x et y
C{x, y} := “C-espace vectoriel engendré par les mots en x et y”
Multiplication en C{x, y} := concaténation de mots ⇒ unité=∅.
C{x, y} est une C-algèbre.
Imposons les lettres commutatives, c’est à dire, xy = yx
Par définition, on a C[x, y] = C{x, y}/(xy − yx)
Il existe un isomorphisme naturel :
ϕ : Homalg. (C[x, y], C) −→ C2
L’algèbre de fonctions du plan affine C2 est l’algèbre de
polynômes en deux variables C[x, y].
Celle-ci est commutative par construction/définition.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
Un exemple
Le plan Quantique
Moyal
“Quantification” du plan affine ===⇒ “Quantification” de son
algèbre de fonctions.
Imposons les lettres non commutatives, disons xy = qyx, pour
un certain paramètre q ∈ C∗ .
On pose
Cq [x, y] := C{x, y}/(xy − qyx)
Dès que q 6= 1, Cq [x, y] est une C-algèbre non commutative.
On définit le plan quantique comme l’espace géométrique dont
l’“algèbre de fonctions” est Cq [x, y] ⇒ Objet virtuel !
Désormais on n’a plus une représentation géométrique explicite du
plan !
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
Un exemple
Les Matrices Quantiques
Étant donné q ∈ C tel que q 2 6= −1, soient a, b, c, d quatre lettres.
Posons les relations
ba = qab db = qbd
bc = cb
ca = qac dc = qcd ad − da = (q −1 − q)bc
On définit l’algèbre des matrices complexes quantiques d’ordre 2
comme
Mq (2) := C{a, b, c, d}/Jq
où Jq est l’idéal engendré par les relations ci-dessus.
Mq (2) est une C-algèbre non-commutative avec
m : Mq (2) × Mq (2) −→ Mq (2)
η : C −→ Mq (2)
z 7−→ η(z) := “mot vide”
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
Un exemple
Structure de co-algèbre : inverser les flèches de la structure
d’algèbre.
∆:
Mq (2)! −→ Mq (2) ⊗!Mq (2)
!
!
a b
a b
a b
a b
7−→ ∆
:=
⊗
c d
c d
c d
c d
:
Mq (2)! −→ C
!
a b
a b
7−→ :=
c d
c d
1 0
0 1
!
Mq (2) est une C-co-algèbre non-co-commutative avec ∆ comme
co-multiplication et comme co-unité
(Mq (2), m, η, ∆, ) est une bi-algèbre non-commutative et
non-co-commutative.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
Un exemple
On définit le déterminant quantique comme
detq (A) := ad − q −1 bc , pour toute A ∈ Mq (2)
On définit le groupe spécial linéaire quantique d’ordre 2 comme
SLq (2) := Mq (2)/(detq − 1)
La co-multiplication ∆ et la co-unité passent au quotient dans
SLq (2).
I
SLq (2) est une bi-algèbre non commutative et
non-co-commutative.
En outre, on a une application linéaire
S:
SLq (2)
! −→ SLq (2) !
a b
a b
7−→ S
:=
c d
c d
!
d
−qb
−q −1 c a
SLq (2) muni de ces opérations est une algèbre de Hopf.
SLq (2) est un groupe quantique !
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
L’histoire
Idée simpliste : “Un groupe quantique est une structure
mathématique qui généralise la notion classique de groupe et qui
a été motivée par différents aspects de la mécanique quantique”
Le développement de cette théorie est plus compliqué que cela.
Problèmes inspirateurs
Physique
Mathématiques
Systèmes intégrables
Dualité de Pontryagin
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
L’histoire
Il existe un objet commun pour aborder ces problématiques : les
algèbres de Hopf.
I
I
I
I
I
I
I
Heinz Hopf (1894-1971) est un pionner en topologie algébrique.
En 1941, Hopf introduit des variétés munies d’une opération de
produit M × M → M ⇒ H → H ⊗ H morphisme en cohomologie.
Conséquences topologiques pour M .
En 1953, A. Borel commence à utiliser l’expression “algèbre de
Hopf ”.
En 1965, J. Milnor et J. Moore donnent une formalisation abstraite
d’algèbre de Hopf (pas tout à fait la même que l’on connait
aujourd’hui).
En 1966, B. Kostant et M. Sweedler établissent la définition
définitive d’algèbre de Hopf que l’on utilisera jusqu’à aujourd’hui.
À partir de 1969, les algèbres de Hopf deviennent un petit domaine
de cherche en soi dans le cadre de l’algèbre abstraite.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
L’histoire
Problème mathématique : la dualité de Pontryagin.
I
I
I
I
Tannaka et Krein donnent une solution (“partielle”) pour le cas
compact.
En 1960, G. I. Kac a une idée : décrire un G.L.C. et son dual en
termes d’algèbres de von Neumann munies d’une co-multiplication.
À la fin des années 70, Kac-Vainerman et Enock-Schwartz
développent (indépendamment) complètement la théorie des
algèbres de Kac.
Entre la fin des années 80 et le début des années 90, Enock et
Vallin reformulent la théorie en termes de C ∗ -algèbres.
I
I
théorie limitée par les axiomes sur l’antipode (opérateur borné et
involutif).
peu d’exemples hors de ceux qui proviennent d’un groupe classique.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
L’histoire
Problème physique : les systèmes intégrables (quantiques).
I
I
I
I
En 1986 lors de l’ “International Congress of Mathematiciens in
Berkeley”, le terme “Groupe Quantique” est introduit par V.
Drinfeld.
Type particulier d’algèbre de Hopf : déformations d’algèbres
enveloppantes d’algèbres de Lie.
Les exemples sont construits par L. Faddeev (et l’école de
Leningrad) afin de résoudre quelques systèmes intégrables
quantiques.
Applications diverses : théorie des représentations des algèbres de
Lie, théorie des nœuds, topologie de basse dimension, équation de
Yang-Baxter.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
L’histoire
Généraliser la théorie classique des groupes localement compacts
(théorie de représentations, analyse harmonique abstrait,
propriétés d’approximation, etc).
Philosophie de la G.N.C. ⇒ C ∗ -algèbres/algèbres de von
Neumann comme structures de base.
Pour améliorer la théorie de Kac on suit deux approches :
Groupes Quantiques
Approche Algébrique
Approche Analytique
A. Van Daele
S. L. Woronowicz
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Introduction
L’histoire
En 1987, définition formelle de “groupe quantique compact” par
Woronowicz.
I
I
Un tel groupe est construit sur une C ∗ -algèbre unifère de base.
La théorie de Woronowicz est très riche et satisfaisante.
En 1994, Van Daele développe un analogue purement algébrique
de la théorie de Woronowicz.
I
Ces groupes quantiques algébriques sont construits sur une algèbre
de Hopf de base.
On observe que les groupes de Woronowicz sont contenus dans
les groupes algébriques de Van Daele.
Il manque une version quantique des groupes localement
compacts.
I
En 2000, S. Vaes et J. Kustermans développent une théorie sur les
“groupes quantiques localement compact” à la base des algèbres
de von Neumann/C ∗ -algèbres.
I
Masuda, Nakagami et Woronowicz commencent à developper une
telle théorie mais : trop d’axiomes ! (dont l’existence d’antipode).
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
Les Groupes Quantiques
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Les algèbres de Hopf
On travaille avec des anneaux unitaires.
Typiquement, donner une A-algèbre est la donnée (B, +, ×, η) où
η : A −→ B est le morphisme structurel, tel que :
i) (B, +, η) est un A-module
ii) (B, +, ×) est un anneau avec × : B × B −→ B
Propriété Universel du Produit Tensoriel ⇒ re-formulation : une
A-algèbre est la donnée (B, m, η) où B est un A-module et
m : B ⊗A B −→ B, η : A −→ B sont des morphismes
d’A-modules tels que :
i) m est associative :
m ⊗ id /
B ⊗A B ⊗A B
B ⊗A B
id ⊗ m
B ⊗A B
m
m
/B
ii) η est tel que m ◦ (η ⊗ id) = id = m ◦ (id ⊗ η).
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Philosophie de dualité ⇒ Inverser les flèches des opérations dans
les structures classiques ⇒ notion de co-A-algèbre.
Il s’agit de la donnée (B, ∆, ) où B est un A-module et
∆ : B −→ B ⊗A B, : B −→ A sont des morphismes
d’A-modules tels que :
i) ∆ est co-associative :
B
∆
B ⊗A B
∆
/ B ⊗A B
id ⊗ ∆
/ B ⊗A B ⊗A B
∆ ⊗ id
ii) est tel que ( ⊗ id) ◦ ∆ = id = (id ⊗ ) ◦ ∆.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Une A-bialgèbre est la donnée (B, m, η, ∆, ) où (B, m, η) est
une A-algèbre et (B, ∆, ) est une co-A-algèbre dont les
structures sont compatibles entre elles.
Définition d’algèbre de Hopf
Une A-algèbre de Hopf est la donnée d’une A-bialgèbre (B, m, η, ∆, )
munie d’un morphisme d’A-modules S : B −→ B, appelé antipode, tel
que
m ◦ (S ⊗ id) ◦ ∆ = η ◦ = m ◦ (id ⊗ S) ◦ ∆
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Remarques :
i) Le cas intéressant arrive lorsque A = k corps ⇒ espaces vectoriels.
ii) En particulier, lorsque k = C ⇒ Involution !
iii) Anneaux unitaires ⇒ trop restrictif ⇒ espace de multiplicateurs ⇒
“algèbres de Hopf multiplicatrices”
iv)
dualité des
espaces vectoriels
3
dimension < ∞ et unitarie
Dualité
dimension ∞ et non-unitaire
+
“intégrale” ⇒ G.Q. Algébriques de Van Daele
v) Dimension ∞ et unitaire ⇒ G.Q. Compacts Algébriques de Van
Daele.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
Formalisme des groupes quantiques
Vers les algèbres de Hopf topologiques
On est analystes/topologistes ⇒ approche analytique des G.Q. ?
Complétion topologique d’un G.Q. Algébrique au sens de Van
Daele ?
Définition directe d’un G.Q. Topologique (Woronowicz) :
I
I
I
structure de base : C ∗ -algèbre A ⇒ Topologie/Analyse !,
cas unitaire ↔ G.Q. Compact Topologique,
co-multiplication ∆ : A −→ A ⊗ A
Analogue topologique des algèbres de Hopf (unitaires). Or...
I
I
co-unité en tant qu’opérateur ? ? borné/non-borné ? ?,
antipode S en tant qu’opérateur ? ? borné/non-borné ? ?
Cas non-unitaire ↔ G.Q. Localement Compact Topologique ? ?
I
I
Remplacer A ↔ M (A) n’est pas satisfaisant dans le cadre de
Woronowicz car pas état de Haar !
Attendre la théorie de Vaes et Kustermans ! (⇒ vrai analogue
topologique des algèbres de Hopf ).
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
Bestiaire des groupes quantiques
Groupe Quantique algébrique
Groupe Quantique
Compact topologique
GQC réduit
Groupe Quantique
Compact algébrique
GQC universel
Groupe Quantique Localement Compact
Groupe Quantique discret
GQLC von Neumann
GQLC C ∗ -algèbres
- - - et — et —
—
—
Association
Dualité de Pontryagin
Bijection
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
Définition de Groupe Quantique Compact
Un groupe quantique compact est la donnée G ≡ (A, ∆) où A est une
C ∗ -algèbre unifère et ∆ : A −→ A ⊗ A est un ∗-morphisme unifère tel
que :
1. ∆ est co-associatif, c’est à dire,
A
∆
A⊗A
∆
/A⊗A
id ⊗ ∆
/A⊗A⊗A
∆ ⊗ id
2. Les espaces (A ⊗ 1A )∆(A) et (1A ⊗ A)∆(A) sont denses dans
A⊗A
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
Motivation de la définition de Groupe Quantique Compact
1. Soit G un groupe (classique) compact.
2. Par la dualité de Gelfand on a G ←→ C(G).
3. Soit m : G × G −→ G le morphisme de la multiplication interne
de G.
4. Ce morphisme induit, par dualité, un morphisme entre les algèbres
de fonctions :
∆ : C(G) −→ C(G × G) ' C(G) ⊗ C(G)
f
7−→ ∆(f )
défini par ∆(f )(x, y) := f (xy), pour tous x, y ∈ G.
5. On montre que
I
I
l’associativité de m implique la co-associativité de ∆,
l’existence d’inverse dans G implique l’axiome de densité pour ∆.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
Pourquoi cette définition est-elle aussi avantageuse ? ?
1. Le langage des C ∗ -algèbres nous est proche.
2. Le cas compact est “sympa” car on dispose d’unité !
3. Adapté à la philosophie générale de la G.N.C.
4. L’exemple motivant permet d’obtenir un analogue quantique des
théories classiques de groupes topologiques :
I
I
I
I
I
I
I
Existence (automatique !) d’une mesure de Haar “quantique” (état
de Haar).
Notion de représentation de G.
Lemme de Schur.
Théorème de Maschke “quantique” (sur la décomposition des
représentations en irréductibles).
Relations d’orthogonalité.
Théorème de Peter-Weyl “quantique”.
Dualité de Tannaka-Krein : G ↔ Ĝ.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
Pourquoi cette définition est-elle aussi avantageuse ? ?
1. Le langage des C ∗ -algèbres nous est proche.
2. Le cas compact est “sympa” car on dispose d’unité !
3. Adapté à la philosophie générale de la G.N.C.
4. L’exemple motivant permet d’obtenir un analogue quantique des
théories classiques de groupes topologiques :
I
I
I
I
I
I
I
Existence (automatique !) d’une mesure de Haar “quantique” (état
de Haar).
Notion de représentation de G.
Lemme de Schur.
Théorème de Maschke “quantique” (sur la décomposition des
représentations en irréductibles).
Relations d’orthogonalité.
Théorème de Peter-Weyl “quantique”.
Dualité de Tannaka-Krein : G ↔ Ĝ.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Les Groupes Quantiques
La définition de Stanislaw Lech Woronowicz
5. Il y a des exemples très intéressants et variés :
I
I
I
I
I
I
I
Groupes (classiques) compacts/discrets.
Groupe quantique de permutations Sn+ .
Groupe quantique d’automorphismes Qut(A) avec A une
C ∗ -algèbre de dimension finie.
Groupe quantique unitaire libre Au (F ) avec F ∈ GLn (C) matrice
telle que T r(F ∗ F ) = T r((F ∗ F )−1 ).
Groupe quantique orthogonal libre Ao (F ) avec F ∈ GLn (C)
matrice orthogonale.
Groupe quantique SUq (2) avec q ∈ (0, 1).
Groupe quantique SLq (2) avec q ∈ (0, 1).
6. Le cadre “quantique” admet encore des généralisations
classiques :
I
I
Propriétés d’approximation : moyennabilité, Haagerup, etc.
“Géométrie quantique” : actions, espaces homogènes, etc.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
La conjecture de Baum-Connes
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en bref
Une idée vague de la conjecture
Géométrie
Analyse
K-théorie de Grothendieck
K-homologie d’Atiyah
↓
↓
Th. de Riemann-Roch-Grothendieck
Th. d’Atiyah-Singer
↓
↓
Caractéristique d’Euler d’une surface Indice d’un opérateur elliptique
Théorie de Kasparov
↓
Conjecture de Baum-Connes
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en vrai
Comment peut-on intérpreter réellement la conjecture ? ?
?... aucune idée !
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en vrai
Soit G un groupe localement compact et 2AN.
Soit A une C ∗ -algèbre.
Conjecture de Baum-Connes, 1982
Le morphisme d’assemblage
G
µA : R(KK#
(EG, A)) −→ K# (G or A)
est un isomorphisme
Cette formulation s’appelle “conjecture de Baum-Connes avec
coefficients”.
Si A = C, on dit “conjecture de Baum-Connes sans coefficients” :
G
µ : R(K#
(EG)) −→ K# (Cr∗ (G))
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
La conjecture en vrai
Compréhension des objets en jeu
Membre de Gauche
Membre de Droite
K-homologie à support compact
K-théorie des C ∗ -algèbres
↓
↓
1. EG espace classifiant des
actions propres,
2. K-homologie
opérateurs
elliptiques généralisés,
Produit croisé réduit
3. limite inductive convenable.
Morphisme d’assemblage
.&
à la Baum-Connes-Higson
à la Kasparov
↓
↓
Théorie de représentations de A
Produit de Kasparov
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
Travaux sur la conjecture
Quelques résultats remarquables
Conjecture avec coefficients :
I
Haagerup ⇒ Baum-Connes (Higson et Kasparov en 2001 )
I
I
I
I
groupes moyennables.
groupes compacts/abéliens.
Sp(n, 1) ⇒ Baum-Connes.
Contre-exemple dû à N. Higson, V. Lafforgue et G. Skandalis en
2002.
Conjecture sans coefficients :
I
Haagerup ⇒ Baum-Connes (Higson et Kasparov en 2001 )
I
I
I
I
I
groupes moyennables.
groupes agissant proprement sur un arbre.
Groupe hyperbolique ⇒ Baum-Connes (V. Lafforgue en 2002 ).
Groupe Bn des tresses à n brins ⇒ Baum-Connes (Schick en
2008 ).
Groupe fondamental d’une variété connexe, orientable de dimension
3 ⇒ Baum-Connes (Matthey, Oyono-Oyono, Pitsch en 2008 ).
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
Travaux sur la conjecture
Résultats partiels : on connait l’injectivité de µ pour
I
I
I
sous-groupes discrets de groupes de Lie connexes,
sous-groupes discrets de groupes p-adiques,
les groupes qui agissent de façon moyennable sur un espace
compact.
SL3 (Z)
??
fini
I
SL1 (Z) ' {1} =
=⇒ Baum-Connes.
I
SL2 (Z) ⇒ Haagerup =========⇒ Baum-Connes.
Higson-Kasparov
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
Peut-on formuler une conjecture de
Baum-Connes pour un groupe quantique ? ! ?
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
Les problèmes
1. Il faut construire toute la machinerie nécessaire dans le contexte
“quantique” :
I
I
I
notion d’action d’un groupe quantique sur une C ∗ -algèbre ?
notion de triplet de Kasparov équivariant ⇒ Théorie de Kasparov
équivariante quantique ?
espace classifiant des actions propres d’un groupe quantique ?
2. Le monde quantique n’est pas adapté à la pensée géométrique.
3. Un groupe quantique possède, en général, très peu de
sous-groupes quantiques.
4. Il faut donc éviter la voie des “actions propres” !
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
L’idée
Travailler à la Grothendieck !
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
Les ingrédients
1. Théorie de Kasparov équivariante :
I
I
notion d’espace de multiplicateurs pour une C ∗ -algèbre et pour un
module hilbertien.
notion de co-action d’un groupe quantique sur une C ∗ -algèbre et
sur un module hilbertien.
2. Produit croisé d’un groupe quantique par une C ∗ -algèbre :
I
I
Produit croisé
généralisation du produit semi-direct d’un groupe
par un sous-groupe.
Unitaires multiplicatifs (Baaj et Skandalis, 1993 ).
3. Catégories triangulées :
I
I
théorie homologique adaptée.
théorie de localisation de foncteurs.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
Les faits
1. Sur la Théorie de Kasparov :
I
Si A, B sont des C ∗ -algèbres et G A, B, on définit le groupe de
Kasparov G-équivariant
KKG (A, B)
I
Catégorie de Kasparov équivariante :
{G − C ∗ -algèbres}
4
objets
KKG
morphismes
f
*
A → B ⇔ E ∈ KKG (A, B)
I
La catégorie KKG est triangulée.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
2. Sur les produits croisés :
I
I
G groupe quantique
unitaire multiplicatif VG canoniquement.
V unitaire multiplicatif
deux groupes quantiques possibles :
A(V ) et Â(V )
I
appelés “jambe à droite” et “jambe à gauche” de V , resp.
On peut considérer les identifications suivantes :
A(VG ) ' G et Â(VG ) ' Ĝ
I
Si G A, on peut définir le produit croisé
A o Ĝ
I
I
Un tel produit est toujours une C ∗ -algèbre.
On peut construire un produit croisé réduit et un produit croisé
maximal.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
3. Sur les catégories triangulées :
I
Soit (T , Σ) une catégorie triangulée et A une catégorie additive,
alors :
I
I
I
I
I
I
Localisation de foncteurs
:
I
I
I
I
triangles exactes
suites exactes,
foncteur homologique F : T −→ A
“suite exacte courte ⇒
suite exacte longue”,
idéal dans A
famille de morphismes dans A,
idéal homologique dans T
de la forme ker(F ),
algèbre homologique adaptée
algèbre homologique par rapport
à un idéal homologique fixé.
via la théorie de la catégorie dérivée
via la théorie du calcul de fractions X
F : T −→ A foncteur homologique
LF : T −→ A sa
localisation.
Transformation naturelle η : LF −→ F
Deux possibilités :
Conjecture de Baum-Connes catégorifiée avec η ! !
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
Et alors ? ?
Soit


 G un groupe localement compact
KKG la catégorie de Kasparov équivariante

 Ab la catégorie des groupes abéliens
Il faut faire les bons choix dans la catégorie KKG pour appliquer
la théorie homologique générale !
En particulier, on considère le foncteur homologique
F : KKG −→ Ab
A
7−→ F (A) := K# (A or G)
Baaj, Skandalis et Vergnioux ⇒ G ! G, groupe quantique.
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
La conjecture de Baum-Connes
“Quantification” de la conjecture
Reformulation catégorielle de la conjecture de Baum-Connes (R.
Meyer et R. Nest, 2006 )
Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) G vérifie la conjecture de Baum-Connes (à coefficients) : µA est
un isomorphisme, pour toute C ∗ -algèbre A.
ii) La transformation naturelle η : LF −→ F est une équivalence.
iii) F (A) = K# (A or G) = (0), pour toute G − C ∗ -algèbre A telle
que ResH
G (A) = (0) pour tout H < G.
iv) Si A est une G − C ∗ -algèbres telle que
F (A) = K# (A or H) = (0) pour tout H < G, alors
F (A) = K# (A or G) = (0).
v) Si A, B sont des G − C ∗ -algèbres telles que
K# (A or H) ' K# (B or H) pour tout H < G, alors
K# (A or G) ' K# (B or G).
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
Travaux sur la conjecture de Baum-Connes
quantique
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
Résultats remarquables
Groupe quantique orthogonal libre Ao (F ) ⇒ Baum-Connes
quantique (C. Voigt en 2011 ).
ˆ q (2) ⇒ Baum-Connes quantique (C. Voigt
Groupe quantique SU
en 2012 ).
Groupe quantique unitaire libre Au (F ) ⇒ Baum-Connes
quantique (R. Vergnioux et C. Voigt en 2013 ).
Calcul de la K-théorie du groupe quantique d’automorphismes
Qut(A) (C. Voigt en 2014).
Dans cette série de papiers on obtient au passage des résultats
collatérales intéressants :
I
I
I
K-moyennabilité pour Ao (F ) et pour Au (F ).
Calcul explicite des K-groupes pour les groupes quantiques libres.
Classification des C ∗ -algèbres de fonctions des groupes quantiques
de permutations :
+
Cr (Sn+ ) ' Cr (Sm
)⇔n=m
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
Résultats remarquables
Groupe quantique orthogonal libre Ao (F ) ⇒ Baum-Connes
quantique (C. Voigt en 2011 ).
ˆ q (2) ⇒ Baum-Connes quantique (C. Voigt
Groupe quantique SU
en 2012 ).
Groupe quantique unitaire libre Au (F ) ⇒ Baum-Connes
quantique (R. Vergnioux et C. Voigt en 2013 ).
Calcul de la K-théorie du groupe quantique d’automorphismes
Qut(A) (C. Voigt en 2014).
Dans cette série de papiers on obtient au passage des résultats
collatérales intéressants :
I
I
I
K-moyennabilité pour Ao (F ) et pour Au (F ).
Calcul explicite des K-groupes pour les groupes quantiques libres.
Classification des C ∗ -algèbres de fonctions des groupes quantiques
de permutations :
+
Cr (Sn+ ) ' Cr (Sm
)⇔n=m
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
Que peut-on faire ? ?
Plusieurs lignes de recherche possibles en Groupes Quantiques :
I
I
I
I
I
classification de C ∗ -algèbres et de représentations,
étude des groupes quantique complexes semi-simples (théorie
analogue à celle de Lie),
calcul différentiel quantique,
propriétés d’approximation quantiques,
...
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Travaux sur la conjecture de Baum-Connes quantique
En ce qui concerne la conjecture de Baum-Connes :
I
essayer de généraliser des résultats connus :
I
I
I
I
démontrer la conjecture pour les versions quantiques des groupes
classiques :
I
I
I
I
Baum-Connes pour SLq (n) pour tout n ≥ 3 ? ?
Baum-Connes pour les groupes quantiques complexes
semi-simples ? ?
...
trouver des nouveaux groupes quantiques qui vérifient la
conjecture :
I
I
I
I
théorème de Higson et Kasparov (sur la propriété de Haagerup),
théorème de Oyono-Oyono & Co. (sur le groupe fondamental),
...
propriétés de stabilisation,
conditions supplémentaires pour avoir la conjecture,
...
analyser les conséquences de la conjecture dans le cadre
quantique :
I
I
I
calcul de la K-théorie,
propriétés sur les C ∗ -algèbres,
...
La conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques
Merci de votre attention ! !