memoire

Université Pierre et Marie Curie
Mémoire rédigé dans le cadre du Master 2 de Mathématiques
Fondamentales
Sous la direction de :
Gilles COURTOIS
Vincent MINERBE
Comportement en temps long du
noyau de la chaleur
David TEWODROSE
2014

Table des matières
1 Convergences au sens de Gromov-Hausdorff 5
1.1 Convergences d’espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Convergence d’espaces non compacts . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Convergence d’espaces mesurés . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Convergences de fonctions au sens de Gromov-Hausdorff . . . 10
2 Propriétés des espaces limites 14
2.1 Premiers outils d’analyse dans les espaces métriques mesurés . 14
2.1.1 Surgradients........................ 14
2.1.2 Surgradients généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Propriétés des espaces limites de suites de variétés à courbure
deRicciminorée ......................... 17
2.3 Différentielle et laplacien dans les espaces limites . . . . . . . . 19
2.3.1 Linéarité asymptotique généralisée . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Différentielle dans les espaces limites . . . . . . . . . . 21
2.4 Laplacien dans les espaces limites . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Convergence des noyaux de la chaleur au sens de Gromov-
Hausdorff 23
3.1 Premiers lemmes : reformulation de la convergence à établir . 23
3.2 Schéma de la preuve : comment majorer la quantité qui nous
intéresse? ............................. 24
3.3 Démonstration d’un théorème intermédiaire : principe de Har-
nack au sens de Gromov-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . 27
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Introduction
Dans [Li86] , Peter Li a obtenu un contrôle des valeurs d’adhérence du
noyau de la chaleur d’une variété Mà courbure de Ricci positive : pour tout
 > 0, il existe C()>0telle que :
C()−1
V(√t)e−d2(x,y)
(4−)t≤lim
t→+∞
H(x, y, t)≤lim
t→+∞H(x, y, t)≤C()
V(√t)e−d2(x,y)
(4−)t
En rajoutant une hypothèse, il a même réussi à obtenir un équivalent en
temps long de H(x, y, t):
Si Vp(r)désigne le volume de la boule géodésique de rayon rcentrée en
p∈M, par le théorème de Bishop-Gromov, la quantité positive Vp(r)
rkdécroît
quand rcroît. Elle converge donc vers un réel positif, noté Θ(p). Ce réel est
en fait indépendant de p. On le note Θ, et on l’appelle rapport asymptotique
des volumes. Si Θ>0, on dit que Mest à croissance de volume maximale.
Le théorème de Li dit que si Mest à croissance de volume maximale (en plus
d’être à courbure de Ricci positive), alors
H(x, y, t)∼
t→+∞
ω(n)(4π)−n
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V(√t)
où ω(n)désigne le volume de la boule euclidienne de dimension n.
Mais l’hypothèse de croissance de volume maximale est assez restrictive.
Par exemple, les variétés scindées (c’est-à-dire de la forme Rk×Noù k < n et
Nest compacte) ne sont pas à croissance de volume maximale. Pour s’affran-
chir de cette hypothèse, dans [Xu13], Guoyi Xu utilise la théorie de Cheeger-
Colding. Partant d’une variété riemanienne (Mn, g)telle que Ric(M)≥0,
il définit une suite de variétés (Mn
i,1
tig)i∈Noù Mi=Mpour tout i∈Net
ti→+∞. En procédant ainsi, on "voit la variété depuis un point de plus en
plus éloigné". La théorie de Cheeger-Colding nous permet de parler des va-
leurs d’adhérence de cette suite pour une certaine distance appelée distance
de Gromov-Hausdorff. Ces valeurs d’adhérence sont des espaces métriques
qui ont de bonnes propriétés, c’est-à-dire des propriétés qui permettent de
définir une équation de la chaleur et un noyau de la chaleur. L’idée principale
de Xu est de définir et d’étudier la convergence des noyaux de la chaleur des
Mivers les noyaux de la chaleur définis dans les espaces limites.
Son théorème est le suivant :
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Théorème 1. Si (Mi, yi,1
tig, νi)iconverge au sens Gromov-Hausdorff mesuré
vers (M∞, y∞, ρ∞, ν∞)et si n≥3, alors
H(x, y, ti)∼
i→+∞
p∞(y∞, y∞,1)
V(√ti)
où p∞désigne le noyau de la chaleur dans (M∞, y∞, ρ∞, ν∞).
Dans le chapitre 1 est donnée la notion de convergence Gromov-Hausdorff
mesurée, en plus de toutes les notions de convergence Gromov-Hausdorff
utiles pour la suite. Le chapitre 2 étudie les proriétés des espaces limites
(M∞, y∞, ρ∞, ν∞)et donne les outils qui y permettent de faire de l’analyse.
Enfin le chapitre 3 donne une idée de la preuve du théorème 1.
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Chapitre 1
Convergences au sens de
Gromov-Hausdorff
1.1 Convergences d’espaces compacts
Soit EM C l’ensemble des espaces métriques compacts.
Définition 1. Soit A une partie fermée d’un espace métrique X. L’-voisinage
de A est l’ensemble SA:= {x∈X:dX(x, A)< }.
Définition 2. Soit (X, d)∈EMC. On définit la distance de Haussdorf
sur l’ensemble des fermés de Xainsi : dH,X (A, B) := inf{ > 0 : A⊂
SBet B⊂SA}.
Définition 3. Sur EMC on définit la distance de Gromov-Haussdorf
comme suit : dGH (X, Y ) = inf{dH,Z (i(X), j(Y))}(l’infimum étant d’abord
pris sur tous les Ztels qu’il existe des plongements isométriques i:X→Z
et j:Y→Zet ensuite sur tous ces plongements iet jpossibles).
Cette première définition étant difficilement utilisable en pratique, on lui
préfère la définition équivalente suivante
Définition 4. Notons dAdm(X, Y )l’ensemble des distances δde X`Y
telles que δ|X=dXet δ|Y=dY. Alors dGH (X, Y ) = inf{δH(X, Y ) : δ∈
dAdm(X, Y )}.
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