Mouvements sous l`action de la force de Lorentz - Jean

Mouvements sous l’action de la force de Lorentz
I50. L’omégatron.
Un ion de masse m et de charge q se trouve initialement au repos à l’origine des coordonnées dans un champ
magnétique uniforme et permanent de coordonnées cartésiennes (0 ; 0 ; B). A partir de l’instant 0, on lui applique en
plus un champ électrique uniforme de coordonnées cartésiennes(E0.sin ωt ; 0 ; 0) où E0 et ω sont des constantes. On
note x , y , et z ses coordonnées à l’instant t.
1) Ecrire l’équation différentielle vectorielle du mouvement.
2) Déterminer z(t).
3) Soit u = x + iy où i est tel que i2 = –1 et soit ωB = qB/m. Ecrire l’équation différentielle satisfaite par u(t). Les calculs
étant très lourds, on admet que la solution est :
022
11
() sin sin
22
BB
it it
BB
BB
iqE
ut e t e t
m
ωω ω ω
ωω ωω
ωω ω ω ω
+−
⎡⎤
−+
⎢⎥
=−
⎢⎥
−+
⎣⎦
4) Quelle est la limite de u(t) quand ω tend vers ωB ?
5) Trouver la solution u(t) , z(t) de l’équation du mouvement si ωB = ω.
6) Discuter si le mouvement est confiné, c’est-à-dire si les ions restent à une distance bornée de leur point de départ ou
s’ils s’en écartent indéfiniment. Comment peut-on mettre à profit cette situation pour extraire un type d’ion d’un
mélange ?
7) On fait varier et on trace le graphe de la puissance fournie pour créer le champ électrique en fonction de la
fréquence. Comment détecter expérimentalement les masses des particules présentes dans le mélange ?
ω
M b
y
O a x
z
II31. Effet Hall.
Soit un repère orthonormé Oxyz de vecteurs unitaires
()
,,
xyz
uuu
G
GG . Un parallélépipède de
cotés a, b et c parallèles aux axes Ox, Oy et Oz est constitué d’un matériau conducteur. Les
porteurs de charge mobiles y sont des électrons de masse m, charge –e et de concentration
n. Sous l’action d’un générateur extérieur, un courant d’intensité I et de densité x
jju=
G
G
uniforme est créé selon l’axe Ox (j > 0).
c
1) Démontrer la relation entre et l’intensité du courant électrique qui traverse une face parallèle à yOz du
parallélépipède et l’expression de
j
j
G
en fonction de e, n et de la vitesse moyenne v
G
des porteurs de charge.
2) On applique en outre un champ magnétique uniforme et permanent de coordonnées positives (Bx, 0, Bz). Déterminer
la direction et le sens de la force magnétique subie par les porteurs de charge au début de l’application de ce champ.
En déduire la répartition qualitative des charges créées en régime permanent.
3) En régime permanent, le courant est à nouveau parallèle à l’axe Ox. Exprimer la différence de potentiel
qui apparaît alors entre les points M de coordonnées (0,b,0) et O de coordonnées (0,0,0) en
fonction du courant I, du champ magnétique, de n, e, a, b et c.
() ()uVM VO=−
4) Quel est l’intérêt de cette tension ?
III27. Piège de Penning (d’après X 1989).
Vitesse de la lumière : c = 3.108 m/s ; masse de l’électron : m = 9,1.10–31 kg ; charge élémentaire : e = 1,6.10–19
coulomb.
On cherche à piéger un électron dans le vide en lui appliquant un champ électromagnétique. Le référentiel est
galiléen ; on utilise un repère Oxyz orthonormé direct de vecteurs unitaires de base
()
,,
xyz
uuu
G
GG .
1) On considère d’abord un champ électrique qui dérive du potentiel quadrupolaire
()
022 2
22
2
V
Vxy
d
=+−z
Bu=
où
et d sont deux constantes positives. Dans les applications numériques, V
0
V0 = 6 volts et d = 5 mm.
1.a) Exprimer les coordonnées de la force à laquelle est soumis l’électron.
1.b) Quelle est la position d’équilibre de l’électron ?
2) On appelle désormais mouvement longitudinal le mouvement projeté sur l’axe Oz et mouvement transverse le
mouvement projeté dans le plan Oxy.
2.a) Montrer que le mouvement longitudinal est périodique et calculer sa pulsation ω.
L
2.b) Calculer numériquement ω .
L
2.c) Déterminer le mouvement transverse. Ce mouvement est-il borné ?
3) On considère dans cette partie un électron qui n’est soumis qu’à un champ magnétique Bz
G
G
uniforme et
indépendant du temps. On appelle pulsation cyclotron la quantité . /
CeB mω=
3.a) Décrire le mouvement.
3.b) Calculer numériquement ω pour B = 6 teslas.
C
4) On considère dans cette partie un électron soumis à la fois au champ électrique quadrupolaire des parties 1 et 2 et
au champ magnétique de la partie 3.
DS : mouvements sous l’action de la force de Lorentz, page 1

4.a) Quel est le mouvement longitudinal ?
4.b) Ecrire les équations du mouvement transverse en utilisant les paramètres et . Introduire l’image
complexe de la position transversale ux et résoudre l’équation différentielle satisfaite par
L
ωC ω
iy=+
(
)
ut dans
l’hypothèse correspondant aux données numériques de questions précédentes.
4.c) Le mouvement transverse est alors le composé de deux mouvements périodiques de pulsations et , avec
. Exprimer et sous une forme approchée compte tenu des valeurs numériques précédentes.
'C ωM
ω
'
M
ωωC
>
)
'C ωM
ω
4.d) Avec ces données, calculer numériquement et .
'C ωM
ω
4.e) Sans admettre les hypothèses précédentes, montrer que le champ magnétique ne confine l’électron que s’il est
supérieur à une valeur limite .
0
B
4.f) Que vaut numériquement cette valeur limite ?
4.g) Décrire qualitativement le mouvement transverse de l’électron à l’échelle de temps 2/
C
′
πω
4.h) Comment évolue ce mouvement à l’échelle de temps 2/ ?
M
πω
IV35. Magnétron.
Un magnétron est un tube à vide qui comporte deux électrodes métalliques
cylindriques de même axe Oz : une cathode, de rayon a et de potentiel qu’on
considérera comme uniforme et qu’on prendra nul et une anode qui est un cylindre
creux de même axe, de rayon b et de potentiel uniforme . On se repère en
coordonnées cylindriques
(
par rapport à l’axe des électrodes. On suppose la
longueur du système grande devant b et on ne considérera pas la partie près du bord.
0U
,,rzθ
DS : mouvements sous l’action de la force de Lorentz, page 2
La cathode, chauffée par effet Joule, émet des électrons de charge et de masse
avec une vitesse très faible ; on suppose le débit d’électron émis assez petit pour
qu’on puisse considérer que les interactions entre électrons sont négligeables. Dans
l’espace entre les électrodes, il y a un champ magnétique uniforme
e−
m
z
BBu=
G
G
et le
champ électrique E
G
produit par les électrodes.
1) En invoquant des arguments précis, montrer que dans l’espace entre les
électrodes le potentiel ne dépend que de r et déterminer la direction du champ électrique E
G
.
re alitativement le début du mouvement des électrons. à l’axe ch sit comme origine a projection de
sur l’axe . Montrer que le moment cinétique
2) Décri qu
V = 0
B
b
a
V = U
3) Montrer que le mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire Oz .
4) Pour étudier le mouvement d’un électron émis par la cathode en 0
P, on oi O l
0
POz O L
G
en O de l’électron est :
()
22
eB r a−
2
O
L=
G
G
.
5) Montrer que
()
2,
1
,peff
E
r
a
0
2peff
mr E r=+E est constant au cours
du est une foncti
qu’on ex
6) Calculer
mouvement, où on de r qu’on prendra
nulle pour ra= et plicitera en fonction e
()
,, ,Vr em .
()
,peff
Er
d
, ,aBr
E
.
7) La forme gdu raphe de la fonction est représentée
ci- toire en s
ectron ne heurte pas cette
éle s d ide ?
()
,peff
Er
contre. Quelle est la forme de la trajec upposant que
l’électron ne heurte pas l’anode ?
8) A quelle condition sur U l’él
ctrode ? Que peut-on alor u courant traversant ce tube à v

Réponses
I. 1) 0
d(sin )
d
v
mqEtv
t=+∧B
G
G
G
G
ω ; 2) zt ; 3) mu ; 4) () 0=iqBu qE t+=
  ω
0sin 0sin
2
BB
it
B
iE t
te
B
⎡⎤
− ; 5)
et
+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
ωω
ω
() 0zt =0sin
() 2
BB
it
B
iE t
ut te
B
⎡⎤
⎥
; 6) le mouvement est confiné, sauf si ω ; 7) voir corrigé.
=−+
⎢
⎢⎥
⎣⎦
ωω
ωω=
c
B
II. 1) , où Ijb=jnqv=
G
G
; 3) z
IB
unec
= ; 4) mesure du champ magnétique.
III.1.a) 00 0
22 2
2
xy
eV x eV y eV z
z
u u
ddd
=+−Fu
G
G
GG
; b) l'origine ; 2.a) oscillateur harmonique de pulsation 0
2
2
L
eV
md
ω= ;
b) ; c) mouvement non borné : 3.a) mouvement hélicoïdal uniforme ; b)
; 4.a) comme en 2.a). ; b)
8
2, 9 10 rad . s
L−
ω=× 1
12 1
1, 054 10 rad.s
C−
ω=× 00
22
eV eV
mx ; x eBy my y eBx
dd
=−=+
2
0
2
L
C
uiu u
ω
−ω − =
  ; uA ; c) ωω
;
()
()
exp exp
CM
it B it
′
=ω+ω
CC
′
2
2
L
M
C
ω
ωω  ; d)
; ; e) confiné si
12 1
1, 0 5 4 1 0 r a d . s
C−
′
ω=× 1
39 900 rad .s
M−
ω=0
02
4mV
BB ; f) B ; g)
mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire ω ; h) le cercle précédent se déplace lentement, en gardant un
rayon constant ; son centre décrit un cercle avec la vitesse angulaire constante .
ed
>= =
02, 33 mT
C
′
M
ω
IV. 1) E
G
radial ; 2) départ radial ; 3) projeter sur l’axe Oz la loi fondamentale de la
dynamique ; 5)
() ()
2
22 2
,8
peff
eB a
Er eVr r
mr
⎛⎞
⎟
⎜
=−+−⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
; 6) ; 7) voir ci-contre ; 8) 0=E
2
22 2
8
eB a
Ub
mb
⎛⎞
⎟
⎜
<−⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
.
DS : mouvements sous l’action de la force de Lorentz, page 3

Corrigé
I. L’omégatron.
1) 0
d(sin )
d
v
mqEtv
tω=+∧B
G
G
G
G
2) La projection sur Oz de cette équation donne z. Compte tenu des conditions initiales, et , on
en déduit
0=
 00z= 00z=
() 0zt = : le mouvement a lieu dans le plan xOy.
3) Projetons sur Ox et Oy l’équation différentielle issue de la loi fondamentale de la dynamique :
En multipliant la seconde équation par i et en l’ajoutant à la première, on obtient :
0
(sin )mx q E t By
my qBx
ω=+
=−
00
0
() sin () sin (
sin
m x i y qE t qB y ix qE t iqB x iy
mu iqBu qE t
ωω
ω
+= + −)−+
+=
=
4) Comme 0
sin
lim , 1
x
x
x
→=1
lim , donc : sin 22
B
B
B
t
t
ωω
ωω
ωω
→
⎡⎤
−
⎢⎥
=−
⎢⎥
−
⎣⎦
022
00
11
lim ( ) lim sin sin
22
sin
1sin
22 2
BB
BB
BB
it it
BB
BB
it it B
B
BB B
iqE
ut e t e t
m
t
iqE iE
tette
mB
ωω ω ω
ωω ωω
ωω
ωω ωω
ωω ω ω ω
ω
ω
ωω ω
+−
→→
⎡⎤
−+
⎢⎥
=−
⎢⎥
−+
⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=−− =−+
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
5) Récapitulons les résultats précédents : () 0zt = et 0sin
() 2B
it B
B
t
iE
ut te
B
ωω
ω
⎡
⎤
⎢
⎥
=−+
⎢
⎥
⎣
⎦
6) Si ,
B
ωω≠()ut est borné et le mouvement est confiné. Si ,
B
ωω=()ut tend vers l’infini quand t tend vers
l’infini et le mouvement n’est pas confiné. Pour extraire un certain type d’ion, il faut donc appliquer le champ
électromagnétique précédent avec qB
m
ω, où q et sont la charge et la masse de l’ion à extraire. =m
7) La résonance s’accompagne d’une singularité du graphe de la puissance transmise aux ions en fonction de la
fréquence du champ électrique. La position en fréquence qB
m
ω= de cette singularité donne la masse de l’ion et sa
hauteur est fonction croissante du nombre d’ions présents. En pratique, on fait varier B et non ω, car il est plus facile
de faire varier l’intensité d’un courant continu qu’une fréquence très élevée.
II. 1) Supposons que tous les porteurs de charge aient même charge q et même vitesse vx
vu=
G
G
. Pendant dt , une
section parallèle à Oyz du parallélépipède est traversée par les charges situées dans un cylindre s’appuyant sur cette
section et de génératrice vdt
G
, d’où le courant compté positivement vers la droite qnbcvdt
Ij
, où
bc
dt
==
jnqv=
G
G
.
Si tous les porteurs de charge ont même charge, mais pas même vitesse, le courant I est la somme des contributions
de toutes les vitesses, ce qui revient à considérer que les formules précédentes restent valables si v
G
est la vitesse
moyenne des porteurs de charge.
DS : mouvements sous l’action de la force de Lorentz, page 4
2) Fev=−∧B
G
G
G
v
G
j
G
F
G
z
B
G
. Le dessin ci-contre représente la disposition des vecteurs. La face avant se
charge négativement et la face arrière positivement.
3) En régime permanent, les charges des faces du parallélépipède créent un champ électrique
E
G
supplémentaire, qui compense la force magnétique :
() ()
0
zz
z
EvB
jB b IB
uVM VO vBb ne nec
+∧=
=−===
G
G
G
G
La composante B ne joue aucun rôle, car elle engendre une force nulle sur les porteurs de charge dont la vitesse lui
est parallèle. x
4) Cette tension est utilisée par des capteurs qui mesurent une composante du champ magnétique. Elle permet aussi
de mesurer la densité de porteurs de charge et le signe de leur charge.

III. Piège de Penning.
1.a) 00 0
22 2
2
grad xy
eV x eV y eV z
FeEeV u u u
ddd
=−== +−z
G
G
J
JJJG
G
GG
.
1.b) La seule position d'équilibre est l'origine des coordonnées : c'est le seul point où la force s'annule.
2.a) 20
22
2dz eV
m
dt d
=−z
qui est l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation 0
2
2
L
eV
md
ω=.
2.b) 19 81
31 2
21,610 6 2, 9 10 rad . s
9,11 10 0, 005
L
−−
−
×× ×
ω==×
×× .
2.c) Soit 0
2
eV
md
Ω= ; x et y obéissent à la même équation 20
22
dx eV
m
dt d
=x
exp expxA t B=Ω+−Ω
dont la solution,
, tend vers l'infini si t tend vers l'infini, sauf conditions initiales particulières pour
lesquelles . Le mouvement n'est donc pas en général borné.
() ( )
t
0A=
3.a) L'électron a un mouvement hélicoïdal uniforme. Son mouvement projeté sur l'axe Oz est un mouvement
uniforme. Son mouvement projeté sur le plan Oxy est un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire .
C
ω
3.b) 19 12 1
31
1, 6 1 0 6 1, 0 5 4 1 0 r a d . s
9, 11 10
C
−−
−
××
ω==×
×.
4.a) Le mouvement longitudinal est le même qu'en 2.a. En effet, la force magnétique, perpendiculaire au champ
magnétique, n’intervient pas dans la projection sur Oz de la loi fondamentale de la dynamique.
4.b).La loi fondamentale de la dynamique 2
2
dr dr
meE
dt
dt
⎛⎟
⎜
=−+∧⎟
⎜⎟
⎜
⎝
B
⎞
⎠
G
G
G
G donne en coordonnées cartésiennes :
0
2
0
2
eV
mx x eBy
d
eV
my y eBx
d
=−
=+
En multipliant la seconde équation par et en l'ajoutant à la première, on obtient
i0
2
eV
mu u ieBu
d
=+
  , ou
2
0
2
L
C
uiu u
ω
−ω − =
  . Une solution est si ()
exp rt
2
20
2
L
C
w
rir−ω − =. Le discriminant est
négatif avec les valeurs numériques de l’énoncé. Les racines sont
2
2L ∆=ω−ω
2
C
22
2
2
CC
iiω±ω−ω
L
, que nous noterons et
. La solution générale est où A et sont des constantes complexes
arbitraires.
C
i′ ω
M
iω
()
()
exp exp
CM
uA it B it
′
=ω+ωB
4.c) 22
2
2
CCL
CC
ω+ω−ω
′
ω=ω
, car .
LC
ωω
()
22 22
2112/
22
CCLC
ML
C
ω−ω−ω ω ω
ω==−−ωω ω
2
2
L
C
en utilisant 11
2
ε
+ε+.
4.d) ;
12 1
1, 0 5 4 1 0 r a d . s
C−
′
ω=×
()
2
8
1
12
2, 9 10 39 900 rad. s
2 1, 054 10
M−
×
ω==
××
4.e) Si , la racine
0∆>12
C
i
rω+∆ = a une partie réelle positive et
()
1
exp rt et u tendent vers l'infini
quand t tend vers l'infini, sauf conditions initiales particulières.
Si , 0∆=
()
()
exp C uAtB it=+ ω tend aussi vers l'infini quand t tend vers l'infini, sauf conditions initiales
particulières.
Si , par contre, les deux racines de l'équation caractéristique sont imaginaires pures,
0∆<
()
()
exp exp
CM
uA it B it u A B
′
=ω+ω⇒<+ : le mouvement est confiné. La condition de confinement est
donc , soit
22
20
LC
ω−ω <0
02
4mV
BB ed >= .
4.f) 31
019
29,1110 6
T2,33mT
0, 005 1, 6 1 0
B
−
−
××
==
×
4.g) Le mouvement est circulaire uniforme de vitesse angulaire .
C
′
ω
4.h) Le cercle précédent se déplace lentement, en gardant un rayon constant ; son centre décrit un cercle avec la
vitesse angulaire constante .
M
ω
DS : mouvements sous l’action de la force de Lorentz, page 5