Prof Série n°23 Année Scolaire : Exercices corrigés

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Série n°23
Exercices corrigés
4ème Math
Tunis ,Tél :27509639
Exercice n°1 :
On considère l’équation (E) : 109x − 226y = 1 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation (E) ?
b) Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme
(141+226k, 68+109k), ou k appartient a ℤ .
En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inferieur ou égal a 226 et un unique entier
naturel non nul e tels que 109d = 1+226e. (On précisera les valeurs des entiers d et e.)
2) Démontrer que 227 est un nombre premier.
3) On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que a 226.
On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante :
 A tout entier de A, f associe le reste de la division euclidienne de
par 227.
 A tout entier de A, g associe le reste de la division euclidienne de
par 227.
a) Vérifier que g[f(0)] = 0.
On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p alors
.
b) Montrer que, quel que soit l’entier non nul a de A,
1(mod 227) .
c) En utilisant 1) b) , en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A, g[f(a)]= a.
Corrigé :
1) a) 109 est un nombre premier et 109 ne divise pas 226. Donc le pgcd de 109 et 226 est 1. D’après le
théorème de Bézout, on sait que l’équation (E) admet au moins un couple solution.
b) 109 × 141 − 226 × 68 = 15369 − 15368 = 1. Donc le couple (141, 68) est un couple solution de l’équation (E).
Soit alors (x, y) un couple d’entiers relatifs quelconque.
(x, y) est solution de l’équation (E)
109x − 226y = 1
109x − 226y = 109 × 141 − 226 × 68
109(x − 141) = 226(y − 68) (*).
L’entier 226 divise l’entier 226(y − 68) et donc nécessairement, d’après l’égalité (*), 226 divise 109(x − 141).
Comme de plus, d’après la question a)., les entiers 226 et 109 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss
permet d’affirmer que 226 divise( x – 141) ou encore il existe un entier relatif k tel que x − 141 = 226k. De même,
il existe un entier relatif k′ tel que y− 68 = 109k′. En résumé, un couple solution de (E) est nécessairement de la
forme (141 + 226k, 68 + 109k′) où k et k′ sont deux entiers relatifs.
Réciproquement, soient k et k′ deux entiers relatifs.
(141 + 226k, 68 + 109k′) est solution de l’équation (E)
109(141 + 226k) − 226(68 + 109k′) = 1
109 × 141 − 226 × 68 + 226 × 109(k − k′) = 1 226 × 109(k − k′) = 0
k = k′.
Les couples d’entiers relatives solutions de l’équation (E) sont les couples de la forme (141 + 226k, 68 + 109k),
k Z.
Soit k un entier relatif.
140
86
1 ≤ 141 + 226k ≤ 226
−140 ≤ 226k ≤ 86
≤k≤
k = 0, car k est un entier relatif et

126
226
 140 86 
  126 , 226   1,1 . Ainsi, il existe un et un seul couple (x, y) solution tel que de plus 1 ≤ x ≤ 226.
C’est le couple obtenu pour k = 0. Enfin, quand k = 0, on obtient x = 141 et y = 68 et y est bien un
entier naturel. d = 141 et e = 68.
2) Pour montrer que le nombre 227 est un nombre premier, il suffit de vérifier que 227 n’est divisible par aucun des
nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée. Or 227 = 15, . . . et les nombres premiers inférieurs à
227 sont 2, 3, 5,7, 11 et 13. Les critères usuels de divisibilité montrent que 227 n’est divisible ni par 2, ni par 3,
ni par 5 nous permet d’affirmer que 227 n’est divisible ni par 7, ni par 11, ni par 13. Donc 227 est un nombre
premier.
3) a) f(0) est le reste de la division euclidienne de 0109 par 227 et donc f(0) = 0. Puis g(f(0)) = g(0) est le reste de la
division euclidienne de 0141 par 227. Donc g(f(0)) = 0.
b) Soit a un entier naturel tel que 1 ≤ a ≤ 226. Donc 227 ne divise pas a. D’autre part, d’après la question 2),
227 est un nombre premier. Mais alors, d’après le petit théorème de Fermat rappelé par l’énoncé,
a227−1 ≡ 1 (modulo 227). Pour tout entier naturel a tel que 1 ≤ a ≤ 226, a226 ≡ 1 (modulo 227).
c) Soit a un entier naturel tel que 1 ≤ a ≤ 226. Par définition, f(a) ≡ a109 (modulo 227) et donc
(f(a))141 ≡ (a109)141 (modulo 227).
D’après la question 1) b), on a 109 × 141 = 1 + 226 × 68 et donc (a109)141 =
=
= a.(a226)68 ≡ a.168 (modulo 227) ou encore (a109)141 ≡ a (modulo 227). On a montré que (f(a))141 ≡ a (modulo 227)
ou encore que g(f(a)) ≡ a (modulo 227).
Maintenant, g(f(a)) est un entier compris entre 1 et 226 et il existe un et un seul entier compris entre 1 et 226,
congru a modulo 227 à savoir a lui-même. Finalement g(f(a)) = a.
Pour tout entier naturel a tel que 1 ≤ a ≤ 226, g(f(a)) = a.
Exercice n°2 :
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct
C(2,4,1) .
. , on considère les points A(1,3,2), B(1,-1,-2) et
1) a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b) Montrer qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x – y + z – 1 = 0.
2) Soit S la sphère d’équation x² + y² + z² - 6x - 2z - 4 = 0.
a) Déterminer le centre I et le rayon r de la sphère S.
b) Montrer que la sphère S coupe le plan (ABC) suivant le cercle (
) de diamètre[AB].
c) Montrer que la droite (AC) est tangente au cercle ( ).
3) Soit h l’homothétie de centre C et de rapport 3 et S' l’image de la sphère S par h.
a) Déterminer le rayon de la sphère S' et les coordonnées de son centre J.
b) Montrer que le plan (ABC) coupe la sphère S'suivant un cercle ( ').
c) Montrer que la droite (AC) est tangente au cercle ( ') en un point E que l’on précisera.
Corrigé :
1) a)
donc les vecteurs
et
ne sont pas colinéaires et par suite A,B et C ne sont
pas alignés.
b)
; le vecteur
est colinéaires à
donc
est normal au
plan (ABC) et par suite une équation du plan (ABC) est : 2x-y+z+d=0. A  (ABC) donc d=-1.On en déduit que
(ABC) a pour équation 2x-y+z-1=0.
2) a) x² + y² + z² - 6x - 2z - 4 = 0
r= 14 et de centre I(3,0,1).
b) d(I,(ABC))= 6 < r donc S coupe (ABC) suivant un cercle (
et AB= 2
donc [AB] est le diamètre de ( .
donc S est la sphère de rayon
de rayon r’=
. Or A  S et B  S
c)
donc
est tangente à ( en A.
sont orthogonaux et par suite (AB) et (AC) sont perpendiculaires en A d’où (AC)
et
3) a) on pose R’ le rayon de S’ donc R’=3R=3 14 , h(I)=J
. Posant J(x,y,z) l’égalité précédente
d’où J(5,-8,1).
donne
b) On sait que h(S) = S’. Or C  ABC donc h((ABC)) = (ABC) et puisque S coupe (ABC) suivant le cercle (
donc S’ = h(S) coupe (ABC) = h((ABC)) suivant le cercle h(
.
c)C  (AC) donc h((AC)) = (AC) et puisque (AC) est tangente à (
en A donc h(AC) est tangente à h (
. Posant E(x,y,z) l’égalité précédente donne
en h(A)=E. h(A)=E
d’où E(-1,1,4).
Exercice n°3 :
On considère les suites (
définies sur IN* par
et
1) a) Calculer
et vérifier que pour tout n IN* :
b) Montrer que pour tout
et
.
.
.
c) En déduire que pour tout n IN* :
d) Calculer
.
.
, montrer à l’aide d’une intégration par parties que :
2) a) En écrivant
,
Montrer que pour tout
Calculer alors
.
:
et en déduire que
.En déduire que
.
.
Corrigé :
et
.
ln(1  t )0  ln 2
1
1) a)
; pour tout n IN* :
.
b) pour tout
(*).
pour tout
(**)
d’après (*) et (**) on en déduit que
c)On a
.
(
continue sur [0,1], de même
)
1
1 n 1 

t

 n  1 t  
0
On a :
on en déduit donc que
.
Or
.
donc
On pose u’(t)=
v(t)=t
2) a)
Par intégration par parties
= t ln(1  t 
0
b) On pose h(x)=
x
h ‘(x)
h(x)
, pour tout x
.
h ‘(x)=
1
x
1 
x 1
x 1
0
0
lim h( x)  lim (ln( x  1)  x) =
x 
v(t)=1
n 1
x 
(FI) on pose t=x+1
1
 ln t
lim h( x)  lim (ln t  t  1)  lim t 
 1    
x 
t 
t 
t
 t
Remarquant que pour tout x
h(x)
et par suite
(*)
Pour tout x
x+1
(**)
Donc d’après (*) et (**)
.
en déduire donc
sont continues sur [0,1] alors
et comme
.
c).
donc
.
.