TD 2014 - LSLL - Physique Chimie au lycée par Wahab Diop LSLL

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Exercice 1 Montrer qu'au voisinage de la Terre, à l'altitude h (h << R) que le champ de gravitation terrestre G peut se
mettre sous la forme : G = G0 (1- 2h
R )
Exercice 2 Montrer que la vitesse V d'un satellite en orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude z est constante.
Donner l'expression de la vitesse V en fonction de la constante gravitationnelle G, du rayon R de la Terre et de l'altitude z
du satellite.
Application : Deux satellites (S1) et (S2) en orbite circulaire autour de la Terre ont respectivement pour altitude z1 et z2.
Lequel des deux satellites a la plus grande vitesse ?
Exercice 3 Un satellite de masse m décrit une orbite circulaire autour d'une planète de masse M. La période du satellite est
T, le rayon de son orbite est r. Donner, en fonction de T, r et de la constante gravitationnelle G, l'expression de la masse M
de la planète.
Application : Le satellite et la planète étant respectivement la Lune et la Terre, calculer la masse de la Terre. On donne : r
= 3,85.105 km et T = 27,25 jours.
Exercice 4 Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ? A quelle altitude zG place-t-on un tel satellite ?
Exercice 5 Un satellite tourne autour de la Terre, sur une orbite circulaire de rayon r, dans le plan équatorial terrestre. La
Terre est supposée à symétrie sphérique. Le satellite se déplaçant d'Ouest en Est, quel intervalle de temps  sépare deux
passages consécutifs à la verticale d'un point donné de l'équateur ? (représente, pour un observateur terrestre situé en un
point de l'équateur, la période de révolution du satellite).
Exercice 6 Avec quelle vitesse VL faut-il lancer un objet de la surface de la Terre pour qu'il s'en éloigne indéfiniment ? (VL
est appelée vitesse de libération ou deuxième vitesse cosmique).
Exercice 7 : On considère une planète P de masse M. Le mouvement de l'un de ses satellites S, assimilé à un point matériel
de masse m, est étudié dans un référentiel considéré comme galiléen, muni d'un repère dont le centre coïncide avec le
centre O de la planète P et les trois axes dirigés vers trois étoiles fixes.
On admet que la planète a une distribution de masse à symétrie sphérique et que l'orbite de son satellite est un cercle de
centre O et de rayon r.
1) Donner les caractéristiques de la force de gravitation  F exercée par la planète P sur le satellite S. Faire un schéma
2) Donner l'expression du champ de gravitation g créé par la planète P au point où se trouve le satellite S. Représenter ce
vecteur de gravitation g sur le schéma précédent.
3) Déterminer la nature du mouvement dans le référentiel d'étude précisé
4) Exprimer le module de la vitesse V et la période de révolution T du satellite S en fonction de la constante de gravitation
G, du rayon r de la trajectoire du satellite S et de la masse M de la planète P. Montrer que le rapport r3
T2 est une constante.
5) Sachant que l'orbite du satellite S a un rayon r = 185 500 km et que sa période de révolution est T = 22,6 heures,
déterminer la masse M de la planète P.
6) Un autre satellite S' de la planète P a une période de révolution T' = 108,4 heures. Déterminer le rayon r' de son orbite.
Exercice 8 :Le tableau suivant rassemble les valeurs numériques des périodes de révolution T et des altitudes z des orbites
de quelques satellites artificiels de la Terre.
Base de lancement
Kourou
Baïkonour
Chine
Etats-unis
Satellite
Intelsat-V
Cosmos-197
Feng-Yun
USA-35
T
23 h 56 min
11 h 14 min
102,8 min
12 h
z (104 km)
3,58
1,91
0,09
2,02
1) Vérifier, à partir des valeurs numériques du tableau, que le rapport T2
r3 est constant.
2) A partir de la troisième loi de Kepler que l'on établira et de la valeur du rapport T2
r3 , calculer la masse MT de la Terre.
Exercice 9: La terre est assimilée à une sphère de rayon R = 6 370 km animée d’un mouvement de rotation uniforme autour
l’axe des pôles. On supposera que le repère géocentrique, dont l’origine coïncide avec le centre de la terre et dont les axes
ont une direction fixe par rapport aux étoiles, est galiléen. A la surface de la terre, l’intensité du champ de pesanteur est g0
= 9,8 N/kg. A l’altitude h, elle est égale à : gh = g0 R2
(R + h)2
Lycée Seydina Limamoulaye TERMINALES S Année scolaire
Cellule de Sciences Physiques GRAVITATION UNIVERSELLE 2013/ 2014
Devoir Surveille N°1/Premier Semestre
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1) Un satellite assimilé à un point matériel, décrit d’un mouvement uniforme une orbite circulaire à l’altitude h = 400 km.
L’orbite est dans le plan de l’équateur.
a. Déterminer la vitesse v du satellite dans le repère géocentrique.
b. Déterminer, dans le même repère, la période T et la vitesse angulaire ω0 du satellite.
c. Le satellite se déplace vers l’est. Calculer l’intervalle du temps qui sépare deux passages successifs du satellite à la
verticale d’un point donné de l’équateur (la vitesse angulaire de rotation de la terre dans le repère géocentrique est ωT =
7,29.10-5 rad/s.
2) On considère un satellite géostationnaire de la Terre.
a. Qu’appelle-t-on satellite géostationnaire
b. A quelle altitude hG place-t-on un tel satellite ?
c. Quel est son mouvement éventuel par rapport au lycée Limamoulaye ?
E
Ex xe er rc ci ic ce e 1 10 0 : :
La Terre et la Lune sont considérées comme des corps sphériques homogènes.
Masse de la Lune : ML= 7,34. 1022 kg ; RL = 1 740 km ; distance des surfaces de la Terre et de la Lune D = 384. 103 km ; durée
du jour solaire : T1 = 86 400 s ; Durée du jour sidéral T2 = 86 164 s.
1) Calculer l’intensité du champ de gravitation créé par la Lune à sa surface.
2) Calculer l’intensité de la force de gravitation qu'exerce la Lune sur la Terre.
3) En quel point du segment joignant les centres de la Lune et de la Terre la force de gravitation est-elle nulle?
4) Démontrer que l'énergie potentielle de gravitation d'un corps de masse m situé à la distance r du centre d'une planète de
masse M, vaut : Ep = - G m.M
r . Prendre Ep = 0 à l'infini.
5) Exprimer la vitesse de libération Vl ou deuxième vitesse cosmique, d'un objet par rapport à une planète de masse M et
rayon R en fonction de G, M et R. Faire l'application numérique pour la Terre et pour la Lune.
Exercice 11 : Le mouvement d'un satellite de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique. La Terre est supposée à
symétrie sphérique de centre O de rayon R et de masse MT. Le satellite assimilé à un point matériel de masse m décrit une
orbite circulaire de rayon r autour de O dans le plan équatorial de la Terre.
1) Exprimer l'énergie cinétique Ec du satellite en fonction de MT, m, r et la constante de gravitation universelle
2) L'expression de l'énergie potentielle de la pesanteur du système {satellite + Terre} est EP = - K MT.m
r en posant EP = 0
pour l'infini. Comment varie Ep en fonction de r ? Exprimer EP en fonction de m, g0, R et r.
3) Exprimer l'énergie mécanique E du système {satellite + Terre} quand le satellite parti du sol terrestre se trouve sur
l'orbite de rayon r animé de la vitesse V. En déduire l'expression de la vitesse en fonction des données. Quelle vitesse
minimale V0 faut-il communiquer à un engin spatial depuis le sol pour qu'il devient une sonde interplanétaire.
4) Dans la haute atmosphère, le satellite subit l'action des forces de frottement pendant son déplacement. Le satellite
passe alors de l'orbite de rayon r1 où sa vitesse est V1 à celle de rayon r2 où sa vitesse est V2.
4.a- En notant E1 et E2 les énergies respectives du satellite sur les orbites de rayons r1 et r2, dire, en justifiant la réponse
quel est le signe de la variation d'énergie mécanique du système {satellite + Terre}.
4.b- Comparer r1 et r2 puis V1 et V2. Commenter brièvement ces résultats.
Exercice 12 :On donne :Masse de la Terre : MT = 5,97.1024 kg ; Rayon de la Terre : RT = 6370 km. Masse du satellite : m =
650 kg ; Constante de gravitation : G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2.
SPOT est un satellite de télédétection. Il évolue à l’altitude h = 832 km sur une trajectoire circulaire
contenue dans un plan passant par l’axe des pôles de la Terre. Un tel satellite est appelé satellite à
défilement.
3.1 Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Donner alors l’expression de sa vitesse V en
fonction de G, MT, RT et h. Faire l’application numérique.
3.2 Etablir l’expression de la période de révolution du satellite SPOT en fonction de G, MT, RT et h.
3.3 Calculer l’angle de rotation de la Terre pendant une révolution du satellite. Pourquoi dit-on qu’un tel satellite est un
satellite à défilement ?
3.4 Dans le champ de gravitation terrestre l’énergie potentielle du satellite est donnée par :
hRravec
r
GMm
ETP 
3.4.1 Où a-t-on choisi la référence de l’énergie potentielle de gravitation ? Justifier la réponse.
3.4.2 Exprimer l’énergie mécanique du satellite en fonction de G, MT, m, RT et h puis en fonction de m et V, vitesse du
satellite.
3.4.3 Calculer l’énergie mécanique du satellite à l’altitude h.
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3.5 Le satellite SPOT est équipé d’un moteur permettant de corriger sa trajectoire.
3.51 Montrer que si le moteur fonctionne, toute variation Em de l’énergie mécanique du satellite s’accompagne de variation
simultanée Δh de son altitude et ΔV de sa vitesse.
3.5.2 En utilisant les résultats des questions précédentes, exprimer la variation d’altitude Δh et la variation de vitesse ΔV
corrélatives à une variation d’énergie mécanique ΔEm. Calculer ces variations pour ΔEm = 5MJ. On prendra h = 832 km et on
utilisera les valeurs numériques trouvées précédemment pour V et Em.
Exercice 13 : Dans le référentiel géocentrique un satellite évolue sur une orbite circulaire de rayon r1 = 20000 km dans le
plan équatorial de la Terre. La période du mouvement de rotation de la Terre dans ce référentiel est T0 = 86 164 s.
1) Montrer que le mouvement de rotation du satellite est uniforme.
2) Etablir l’expression de la vitesse du satellite dans le référentiel géocentrique puis calculer sa valeur.
3) Etablir l’expression de la période T1 du satellite dans le référentiel géocentrique puis calculer sa valeur.
4) Quelle est pour un observateur terrestre, la période de révolution Ta du satellite évoluant sur l’orbite circulaire de rayon
r1 = 20 000 km et se déplaçant d’Ouest en Est ?
5) Un autre satellite, de période T2 évoluant dans le plan équatorial de la Terre sur une orbite circulaire de rayon r2 = 18
000 km dans le sens contraire au premier. Quelle est pour un observateur terrestre, la période de révolution Tb du satellite.
Quelle est sa période par rapport au premier satellite.
Exercice 14
Uranus est la 7
e planète du système solaire. Elle a été découverte en 1781 par William Herechelle. Elle fut mieux connue par l'homme grâce à
son survol, en 1986, par la sonde Voyager II. Uranus met 84 ans pour faire un tour complet autour du soleil. Les cinq plus gros satellites de
la planète Uranus ont été découverts grâce aux observations depuis la Terre entre 1787 et 1948. Il s'agit de : Miranda, Ariel, Umbriel, Titania
et Obéron. Le tableau qui suit précise le rayon de la trajectoire de l'orbite décrite par chaque satellite autour d'Uranus et la période
de révolution (durée d'un tour autour d'Uranus) ;
Dans tout le problème, on suppose que la répartition de masse des astres est à symétrie sphérique. Les mouvements des
différents satellites d'Uranus sont étudiés dans le référentiel « Uranocentrique » supposé galiléen. On donne : G = 6,67.10-11 SI.
On prendra 1 jour = 86400 s.
1. On se propose de déterminer la vitesse d'un satellite d'Uranus.
On admet que le centre d'inertie du satellite effectue un mouvement circulaire dans le référentiel « Uranocentrique ».
1.1 Rappeler la définition d'un référentiel géocentrique. Définir, par analogie, le référentiel « Uranocentrique ».
1.2 Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
1.3 Etablir l'expression de la vitesse V du centre d'inertie
du satellite en fonction du rayon r de sa trajectoire et de sa
période T de révolution.
1.4 Faire l'application numérique pour le satellite Umbriel.
2 Dans la suite, on cherche à déterminer la masse M d'Uranus
par deux méthodes.
2.1 Méthode graphique.
La courbe de la fonction V2 = f ( 1
r ) où V est la vitesse du satellite
dans le référentiel « Uranocentrique » et r le rayon de l'orbite
autour d'Uranus est représentée ci-dessous.
2.1.1 Etablir l'expression de la vitesse V en fonction de G , M et r.
2.1.2 En vous aidant de la courbe, déterminer la masse d'Uranus.
2.2 Utilisation de la troisième loi de Kepler
2.2.1 Etablir la 3e loi de Kepler.
2.22. En utilisant les informations données sur les satellites, montrer aux erreurs d'expériences près, que le rapport T2
r3
est une constante dont on donnera la valeur numérique. En déduire la masse d'Uranus et comparer le résultat avec celui obtenu par la
méthode graphique.
Satellite
Rayon de l'orbite r (106m)
Période de révolution T (jour)
MIRANDA
129,8
1,4
ARIEL
191,2
2,52
UMBRIEL
266,0
4,14
TITANIA
435,8
8,71
OBERON
582,6
13,50
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EXERCICE 15 santé militaire 2013
La Terre est assimilée à une répartition de masse à symétrique sphérique. Elle est considérée comme une sphère de centre
O, de rayon R = 6370km et de masse MT=5,97.1024kg.
La constante de gravitation universelle est G= 6,67.10-11N.kg-2.m2.
Dans cet exercice on s’intéresse aux interactions entre la Terre et un objet dans les deux situations suivantes : l’objet se
situe à une distance r du centre telle que r ≥ R puis le cas où cette distance est inférieure au rayon terrestre r ≤ R.
2-1 Satellite de masse m sur orbite circulaire autour de la Terre :
Dans cette partie, on étudie le mouvement d’un satellite S de masse m décrivant autour de la Terre une orbite circulaire de
rayon r.
2-1-1 Donner les caractéristiques de la force de gravitation
F
exercée par la Terre sur le satellite S. Faire un schéma.
2-1-2 Donner l'expression du champ de gravitation
g
créé par la Terre au point où se trouve le satellite S. Représenter
ce vecteur champ de gravitation
g
sur le schéma précédent.
2-1-3 Déterminer la nature du mouvement du satellite dans le référentiel d'étude à préciser.
2-1-4 Etablir les expressions de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique du système Terre-satellite ainsi que
celle de l’énergie cinétique du satellite en fonction de, m, r R et go intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de
la Terre. On choisira la surface de la Terre comme état de référence pour l’énergie potentielle.
2-1-5 Le satellite subit des frottements sur les hautes couches de l’atmosphère ; ces frottements sont équivalents à une
force de freinage de module f = λmv2. Ce freinage est très faible, et on peut supposer que les révolutions restent presque
circulaires et que pour chacune d’elle, le rayon de l’orbite r du satellite diminue de Δr avec Δr << r.
Exprimer la variation de vitesse Δv en fonction de Δr et de la période T de révolution du satellite. En déduire l’expression
de λ en fonction de r et Δr.
2-2 Force de gravitation et tunnel terrestre
On démontre que pour tout solide M de masse m supposé
ponctuel, situé à l'intérieur de la Terre à la distance r du
centre 0 de la Terre, l'attraction terrestre est une force
F
agissant en ce point M dirigée vers le centre de la Terre :
r
u
R
r
gmF   ... 0
.
r
u
est un vecteur unitaire.
R est le rayon de la Terre, r = OM et g0 l’intensité du champ
de pesanteur terrestre à la surface de la Terre (figure 2).
2-2-1 Recopier la figure 2 et y représenter la force
F
.
2-2-2 Trouver l’expression de l'énergie potentielle du système
constitué par la Terre et le solide M en fonction de m, R, r et g0
(en supposant que Ep = 0 pour r = 0).
2-2-3 On considère un tunnel rectiligne AB, d'axe (Hx) ne passant pas par O et traversant la Terre. On note d la distance
OH du tunnel au centre de la Terre. Un véhicule assimilé à un point materiel M de masse m glisse sans frottement
dans le tunnel. Il part, à l’instant de date t=0, du point A de la surface terrestre sans vitesse initiale.
a) Quelle est l’expression de sa vitesse maximale Vm, au cours du mouvement en fonction de R, d et g0? Pour d =
5.106 m calculer Vm.
b) Etablir l’équation différentielle de l’abscisse x =
HM
qui traduit le mouvement du point matériel M par une
méthode énergétique.
c) Montrer que x peut se mettre sous la forme :
t
R
g
dRx .cos.)( 0
22
puis retrouver l'expression
de la vitesse maximale Vm établie à la question 2.2.3.a.
2-2-4 Représenter, en fonction de x, l'énergie potentielle de gravitation Ep(x) de M. Commenter le graphe obtenu.
Décrire le mouvement de M à partir de sa position initiale en A.
B
O
A
H
d
.
x
M
.
r
R
r
u
Figure 2
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