INTRODUCTION À LA THÉORIE DU LASER p om p ag e m iro ir faiscea u la ser A m p lifica te u r m iro ir de coup lag e m iro ir 1 Pompage de l’amplificateur et transition laser Pompage : porter assez d’atomes sur le niveau 2 pour avoir inversion de population donc amplification 3 3 2 2 2 Pom page hν 0 hν tra n sitio n la se r Pom page tra n sitio n la se r 0 1 0 Système fermé à 4 niveaux Pom page hν 0 tra n sitio n la se r 1 1 0 Système fermé à 3 niveaux 1 Système fermé à 3 niveaux ta u x d e p e u p le m e n t R (m -3 s -1) 2 E Système ouvert à deux niveaux : 2 N 2 τ 2 1/τ − Α hν 0 A W 2 W τ 1 1 1 Exemples de méthodes de pompage : 1/τ 1 – pompage optique (flash, lasers, diodes lasers) – collision avec un autre atome excité. – collisions électrons(qq kV)-atomes – pompage chimique : lasers à Excimère : Ar + 1/2 F2 −→ ArF ∗ formé directement sur le niveau 2, le niveau 1 étant dissociatif donc instable. – pompage par interaction directe électron-photons dans un onduleur (Laser à électrons libres CLIO) – pompage par injection de porteurs : courant parcourant une jonction p-n dans un semiconducteur E 2 N Remarque : les systèmes physiques utilisables doivent permettre un pompage efficace par des dispositifs faciles à mettre en oeuvre. En pratique, il n’en existe pas beaucoup. 3 2 Propriétés d’une cavité laser 2.1 Cavités linéaires ou en anneau M Cavités linéaires : M 1 2 M M M iroirs d'extrém ité M M 1 2 3 M 4 3 Le faisceau revient sur lui même au niveau des miroirs d’extrémité. M Cavités ’en anneau’ : M M 2 1 M 2 1 M M 3 M 4 3 On y ajoute souvent un ”isolateur optique” (”diode optique”) pour imposer un sens de parcours unique. 4 2.2 Longueur optique d’une cavité ∗ cavité en anneau contenant des éléments optiques d’indice n(z). Temps d’un parcours complet : ∫ dz ∫ n(z) dz d ∆t = cavité = cavité = c c0 c0 par définition de la longueur optique d de la cavité. ∗ Cavité linéaire ; d : longueur optique d’un miroir d’extrémité à l’autre. ∆t = 2d c (aller-retour). 0 5 2.3 Pertes au niveau des miroirs m iro ir pa rtie lle m e n t ré flé ch issa n t fa isce a u in cid en t I TI R I fa isce a u ré flé ch i d iffu sio n fa isce a u tra n sm is D I a b so rp tio n A m iro ir I R, T , ... : coefficients de réflexion, transmission, ... pour l’intensité. miroirs à multicouches diélectriques ⇒ R + T ≥ 0,999. Pertes par absorption : généralement négligeables (sauf lasers de puissance). Diffusion : dûe aux défauts de planéité du miroir (inférieurs à λ/200 ≃ 3nm pour les meilleurs interféromètres). transmission : ⇒ extraire le faisceau laser de la cavité. 6 2.4 Autres pertes ∗ pertes décrites explicitement Exemple : réflexion sur les faces de l’amplificateur. Exemple : filtre en fréquence (filtre spectral), transmission d’une fraction Tf (ν) de l’intensité. I 2 = (1 - R a) I 1 I 1 = (1 - R a) I 0 I0 Ra I 1 Ra I 0 am p lifica teu r ina ctif T ( ν) f I0 filtre spe ctral T ( ν) I 0 f 1 νm a x ν ∗ pertes non détaillées explicitement η : ’pertes relatives d’intensité autres que par les processus explicitement décrits’. Partant de Ii, l’intensité perdue sur un parcours de cavité à cause de ces pertes vaut η Ii. Celle restant dans le faisceau malgrés ces pertes s’écrit (1 − η) Ii. 7 Exemple : un paquet de photons parcours la cavité à partir de z , I(z, t). Apès un tour de cavité : position z, intensité I(z, t + cd ). 0 R M R a 1 a z R M3 1 am plificateur filtre sp e ctra l T f ( ν) R 3 lon gu eu r optiqu e R d 2 M 2 + autres pertes, caractérisées par leur valeur relative sur un tour η. 8 R M R a 1 M3 1 am plificateur filtre sp e ctra l T f ( ν) R 3 lon gu eu r optiqu e R d 2 M I(z, t + a z R d ) = I(z, t) c0 2 ×R | {z 3} ×R2 fraction de intensité restant dans le faisceau compte tenu de la réflexion sur M3 × Tf (ν) | {z } ×R1 fraction de intensité restant dans le faisceau compte tenu du filtre × (1{z− Ra)} | fraction de intensité restant dans le faisceau compte tenu des pertes par réflexion sur une face de l’amplificateur × (1{z − η)} | fraction de intensité restant dans le faisceau malgré les pertes ’autres’ 9 ×(1 − Ra) 2.5 Caractérisation quantitative des pertes de la cavité On compare l’amplification sur un parcours complet de cavité aux pertes sur le même parcours. Les deux sont exprimées par unité de longueur traversée dans l’amplificateur. On étudie un paquet de photons faisant un parcours complet de cavité : ∗ cavité en anneau de longueur optique d (amplificateur inactif). Par définition : " d d I(z, t + ) = I(z, t) exp −(αP ℓ) c0 am plificateur ina ctif d αP : coefficient de pertes par unité de d lon gue ur op tiqu e longueur traversée dans le milieu amplificateur (m−1). ℓ : longueur traversée dans l’amplificateur. M 1 M3 2 1 3 d + d + d = d 1 2 3 M 10 2 ∗ cavité linéaire de longueur optique 2d (amplificateur inactif). La durée d’un parcours complet de cavité est ∆t = 2d c . M M 1 2 am plificateur in actif " lon gue ur op tiqu e d 0 Par définition : 2d I(z, t + ) = I(z, t) exp −(αP 2ℓ) c0 L’onde traverse l’ampfificateur sur la longueur ℓ à l’aller, puis à nouveau sur la longueur ℓ au retour. 11 M 1 am plificateur M " = 20 cm z R =1 1 T1= 0 2 Sur un parcours complet de la cavité (amplificateur inactif) : R = 0,9 8 R a = 0 ,5 % R a = 0 ,5 % 2 T2 = 2 % p erte s rela tive s 'a u tre s' : η = 1 % 2d I(z, t + ) = I(z, t) (1 − η) R2 (1 − Ra)2 R1 (1 − Ra)2 c0 = R1 R2 (1 − Ra)4 (1 − η) I(z, t) 2d avec I(z, t + ) = I(z, t) exp −2 αP ℓ c0 1 ⇒ αP = − ln R1 R2 (1 − η) (1 − Ra)4 2ℓ Hyp. : T1 = 1 − R1, T2 = 1 − R2, η et Ra ≪ 1 + rel. ln(1 + ϵ) ≃ ϵ. ln R1 R2 (1 − η) (1 − Ra)4 = ln(1 − T1) + ln(1 − T2) + ln(1 − η) + 4 ln( ≈ −(T1 + T2 + η + 4Ra) T1 + T2 + η + 4Ra d’où αP ≈ 2ℓ situation αP ℓ ≪ 1 : ’régime à pertes faibles’. Sur un tour, l’intensité varie entre I(z, t) et I(z, t) exp −2αP ℓ ≃ I(z, t) donc sa valeur est quasi uniforme sur la cavité et indépendante de z. 12 2.6 Durée de vie des photons dans la cavité Hyp. : amplificateur actif -> t = 0, inactif ensuite. M 1 I(t) IL = T I am plificateur I(t) : intensité juste avant le miroir de sortie IL(t) = T I(t). R 3 M3 M 2 Amplification coupée, IL(t) décroı̂t avec un temps caractéristique τc définissant la ”durée de vie des photons dans la cavité” τc est d’autant plus court que les pertes sont élevées. 13 But : relier τc à αP , cavité en anneau avec αP ℓ ≪ 1 (pertes faibles). Pour un parcours complet de cavité : d I(z, t + ) = I(z, t) exp −(αP ℓ) ≃ I(z, t) (1 − αP ℓ) c0 d I(z, t + ) − I(z, t) = −αP ℓ I(z, t) c0 αP ℓ ≪ 1 fait qu’il s’agit d’une petite variation d’intensité d’où : dI d × = −αP ℓ I(z, t) dt c0 I(z, t) dI = − ⇔ avec τc = c αd ℓ 0 P dt τc τc : durée de vie des photons dans la cavité ; correspond au temps moyen qu’un photon passe dans la cavité. d . Cavité linéaire, I(z, t+ 2d ) = I(z, t) exp −(α 2 ℓ) ⇒ τ = c P c0 c0αP ℓ ”facteur de qualité” Qc = ω τc Un photon fait en moyenne τc/(d/c0) = α 1 ℓ ≫ 1 tours de cavité. P 14 2.7 Modes spectraux d’une cavité Les photons effectuent un grand nombre de tours de la cavité ⇔ ”l’onde s’enroule sur elle-même dans la cavité”. M iro ir ∆t M iro ir te m p s d e p a rco u rs ∆t ∆t ∆t ∆t p é rio d e T ∆t ∆t = (m + 1 ) T ∆t = (m + 1 ) T ∆t ∆t ∆t M iro ir te m p s En M donné se superposent des parties de l’onde ayant fait 1, 2, · · · tours,décalées de ∆t, 2∆t, etc. Si ∆t ne coı̈ncide pas avec un nombre entier de périodes de l’onde : superposition en d’oscillations plus ou moins déphasées ; amplitude résultante d’autant plus faible que le nombre d’ondes superposées est grand. 15 Si ∆t = (m + 1) T , les ondes se superposant en M sont toutes en phase, l’amplitude résultante est forte. Autre formulation : interférences constructives ⇔ l’onde reste en phase avec elle-même ⇔ le temps ∆t d’un parcours complet de la cavité est égal à un nombre entier de fois la période T de l’onde. ∆t = (m + 1) T avec m entier positif ou nul 16 ∗ Cavité en anneau, longueur optique d sur son axe : d 1 c0 ∆t = = (m + 1)T = (m + 1) ⇔ ν = (m + 1) ≡ νm c0 ν d νm : mode spectral (ou mode longitudinal) de la cavité. d = 40 cm et λ ≈ 0, 4 µm, ⇒ m ≃ νcmd = λd ≈ 106. 0 c0 entre deux modes consécutifs : écart δν = νm+1 − νm = d ∗ Cavité linéaire de longueur optique d d’un miroir d’extrémité à l’autre : 2d c0 c0 ∆t = ⇔ ν = (m + 1) ≡ νm avec ici δν = νm+1 − νm = c0 2d 2d Suivant le type de laser, un ou plusieurs modes spectraux dans le rayonnement (monomode / multimode spectral). Pour tous les types de cavité, les seules ondes pouvant s’établir de manière stable dans la cavité sont celles dont la fréquence correspond à un mode spectral νm de la cavité. 17 Conséquence : couplage entre longueur de cavité et fréquence du laser, principe de la stabilisation d’une cavité laser. ca vité la se r lo n g ue u r o p tiqu e d fré q u e n ce : νm = m c 0 / 2 d m iro ir + cale p ie zo é le ctriqu e la m e d e p ré lèvem e nt e m iro ir fixe in terféro m è tre de F a b ry-P e ro t dé te cteu r sig na l I 0 Ι PF /Ι0 d é tecteu r sign a l I FP fré q u e n ce d e sta b ilisa tio n 1 0.5 a sse rvisse m e n t + b o u cle d e co n tre -ré a ctio n 18 0 ν Attention : hyp. ”onde reste en phase avec elle-même” ⇔ ∆t = (m + 1) T avec m entier positif ou nul n’est valable que si on néglige les déphasages de π sur des miroirs métalliques parfaits ou des déphasages un peu différents sur des miroirs diélectriques. Cela ne change rien au résultat important : l’écart entre les fréquences de deux modes spectraux consécutifs vérifie : c0 c0 δν = ou δν = d 2d 19 3 3.1 Laser fonctionnant en régime stationnaire Exemple : amplificateur placé dans une cavité en anneau ∗ Caractéristiques du laser R1 am plificateur actif G , α0 Ra Ra I " ,(0 ) R2 T2 = 1 - R 2 a xe z η= ,L m iro ir d e so rtie 0 d io d e o p tiq u e R Pompage de l’amplificateur ⇒3 coefficient d’amplification non saturée α0 uniforme, gain total G = I(ℓ)/I(0). Hyp : coef. de réflexion R1, R2 et R3 pour les miroirs et Ra pour les faces de l’amplificateur. Pas d’autre perte significative dans la cavité. 20 ∗ Évolution de l’intensité sur un parcours complet de la cavité. I(0) : intensité juste après l’entrée de l’amplificateur, I(d) :’intensité obtenue au même endroit après un parcours complet de la cavité. Sans amplification : I(d) = I(0) (1 − Ra) R2 R3 R1 (1 − Ra) ⇔ I(d) = I(0) exp −αP ℓ Avec amplification : I(d) = I(0) G (1 − Ra) R2 R3 R1 (1 − Ra) = I(0) G exp −αP ℓ 21 ∗ Établissement du régime stationnaire (amorçage de l’effet laser). Mécanisme : amplificateur pompé → émission spontanée (fluorescence) dont la partie sur l’axe de la cavité est renvoyée vers l’amplificateur. L’effet Laser s’amorce si l’amplification est plus forte que les pertes pour avoir I(d) > I(0) ⇔ G exp −αP ℓ > 1. Dans cette phase, I reste faible donc l’équ. d’évolution de l’inten0 pour s’intégrer sur la longeur de sité I1 dI = α s’écrit avec α = α dz l’amplificateur en I(ℓ) = I(0) exp α0ℓ d’où G = exp α0ℓ. La condition G exp −αP ℓ > 1 est alors réalisée si α0 > αP . Si α0 < αP , IL reste nulle. Seule de la lumière de fluorescence (non cohérente) sort de la cavité. 22 ∗ Fonctionnement en régime stationnaire Avec dans la cavité une intensité plus forte, la saturation fait que α < α0, d’où un gain total G < exp α0ℓ. Cette intensité augmente jusqu’à atteindre en régime stationnaire une valeur telle que : I(d) = I(0) ⇔ G exp −αP ℓ = 1 ⇔ G = exp αP ℓ ⇔ sur un tour complet, le gain total dans l’amplificateur compense exactement les pertes de la cavité. La valeur que doit posséder G est imposée par αP c’est-à-dire par les caractéristiques physiques de la cavité (Ri, ℓ, · · ·). ∗ Intensité laser extraite en régime stationnaire Pour l’exemple traité, IL = G I(0) (1 − Ra) T2 et on va maintenant déterminer sa valeur. 23 Hyp. : milieu à élargissement spectral homogène donc relation de 0 α saturation α(z) = I(z) . 1+ Is Intégration de l’équation d’évolution I1 dI dz = α(z) sur la longueur de I(ℓ) l’ampli → le gain total G = I(0) en régime stationnaire vérifie : I(0) ln G + (G − 1) = α0 ℓ Is 0ℓ−ln G α On déduit ⇔ I(0) = Is G−1 G = exp αP ℓ 0 ℓ−ln G ⇒ I(0) = Is α G−1 IL = (1 − Ra) T2 G I(0) α 0 ℓ − αP ℓ I(0) = Is exp αP ℓ − 1 α 0 ℓ − αP ℓ IL = (1 − Ra)T2 Is exp αP ℓ exp αP ℓ − 1 d’où IL, intensité extraite en régime stationnaire de ce laser (méthode à adapter pour chaque laser). 24 Remarque : si l’élargissement spectral n’est pas homogène dominant, l’intégration de l’équation I1 dI dz = α(z) n’a pas une forme analytique aussi simple, on ne développe pas cette situation. ∗ Puissance lumineuse extraite hyp : faisceau d’intensité uniforme sur sa section S : PL = S IL 25 3.2 Régime pertes faibles-gain faible But : établir directement l’expression de I dans la cavité pour un laser à pertes faibles (αP ℓ petit). Laser en anneau avec α0 > αP et αP ℓ ≪ 1 ⇔ exp −αP ℓ ≈ 1− Régime stationnaire : G exp −αP ℓ = 1 donc G ≃ 1+. L’intensité varie peu avec z donc la saturation se produit de la même manière en tout point et α devient quasi-indépendant de z : 1 dI = α s’intègre sur la longueur de l’ampli en I(ℓ) = I(0) exp αℓ ⇔ I dz G = exp αℓ. L’égalité G exp −αP ℓ = 1 se simplifie alors en α = αP . α ℓ ≪ 1, le coefficient d’amplification saturée est faible lui aussi, d’où le terme ’Régime pertes faibles-gain faible’. 26 Conséquences : détermination de l’intensité en ’Régime pertes faibles-gain faible’ α = αP . ∗ élargissement spectral homogène dominant : 0 α rel. de sat. α = d’où α = αP I 1+ Is 0 α Is( α − 1). P ⇒ α0 = α P 1+ IIs ⇒ I = α0 = f (énergie déposée par le pompage dépose) : on schématise l’intensité dans la cavité en fonction de la puissance de pompage : α0 > 2αP conduit à I > Is, il n’y a pas de limitation de l’intensité lumineuse à la valeur Is In te n sité e n ré g im e sta tio n n a ire (ne pas confondre avec un courant électrique). se u il d e fo n ctio n n e m e n t I= 0 a u d e là d u se u il α0 -1 ) I= I ( s α P Is 0 p u issa n ce d e p o m p a g e α 0= α P α 0= 2 α P Saturation → G = 1+ mais comme les photons font de nombreux tours de cavité, cela n’empèche pas d’obtenir une intensité assez forte. 27 ∗ élargissement spectral inhomogène dominant, 0 α v α = uu I d’où t 1+ Is α0 α0 2 = αP ⇒ I = Is(( ) − 1) α = αP ⇒ vuu I u αP t1 + Is ∗ Généralisation : ces résultats établis pour une cavité en anneau se transposent aux cavités linéaires où l’intensité n’est pas trop forte (Pb d’interférences onde aller-onde retour devenant significatifs aux fortes intensités). 28 3.3 Conditions de fonctionnement laser Soit un laser caractérisé par : ∗ Cavité en anneaux, modes spectraux νm ∗ Pertes : αP (ν), coefficient de pertes de la cavité par unité de longueur du milieu amplificateur ∗ Amplification : α0(ν) : coefficient d’amplification non saturée ; α(ν) coefficient d’amplification saturée ; G(ν) gain total pour une traversée de l’amplificateur. 29 Les conditions de fonctionnement de ce laser à la fréquence ν s’écrivent : Amorçage d’une impulsion ν = νm Régime stationnaire (laser continu) ν = νm G(ν) exp(−αP (ν) ℓ) = 1 avec pour des pertes faibles G(ν) = exp α(ν) ℓ ≈ 1, 0 α (ν) > αP (ν) la condition de fonctionnement se simplifie en α(ν) = αP (ν) Pour une cavité linéaire en régime stationnaire G2 exp −αP 2ℓ = 1 G2 : gain total associé à la double traversée de l’amplificateur -> α(ν) = αP (ν) pour des pertes faibles. 30 3.4 Fonctionnement continu monomode ou multimode A priori, des ondes peuvent s’établir indépendamment les unes des autres aux différentes fréquences νm telles que α0(νm) ≥ αP (νm). Graphe pour le cas où la zone α0(νm) ≥ αP (νm) englobe plusieurs modes spectraux : α 0(ν) Deux modes spectraux consécutifs sont séparés de δν. ∆νi αP δν ν m ν ν m +2 ν m +4 ν fré q u e n ce ν m +1 m +3 d u la se r fré q u e n ce s d e s m o d e s sp e ctra u x d e la ca vité Ce laser est multimode. Fonctionnement multimode : l’intensité résultante fluctue au cours du temps (battements entre les champs électriques des différentes ondes) -> dégrade la pureté spectrale et la stabilité temporelle du laser. 31 L’énergie lumineuse stockée dans l’amplificateur se répartit a priori sur tous les modes tels que α0(νm) > αP (νm) avec en régime stationnaire (pertes faibles) l’égalité α(νm) = αP (νm) permettant de calculer l’intensité de chacun des modes. α 0(ν) α P (ν) g a m m e sp e ctra le d e fo n ctio n n e m e n t α 0(ν) > α P (ν) Comment réduire le nombre de ces modes spectraux ? m o d e s sp e ctra u x d e la ca vité ν ν m -2 32 m ν m +2 ν Réalisation pratique : ∗ éléments dispersifs en fréquence : interféromètre de Fabry-Perot, réseau, filtre spectral. ∗ possible d’ajuster la position du creux de la fonction αP (ν) sur la fréquence d’un mode spectral (laser accordable) ∗ possible de déplacer la position des modes pour que l’un d’entre eux coı̈ncide avec le maximum de la courbe de gain (modification de la longueur optique de la cavité en fixant un miroir sur des cales piézo-électriques, modification des indices optiques du milieu par effet électro-optique). 33 Cas particulier important : Milieu à élargissement spectral homogène + cavité en anneau, l’énergie est transférée à un mode spectral unique, celui dont la fréquence est la plus proche du maximum de la courbe α0(ν). En régime stationnaire, ce type de laser est spontanément monomode ce qui le rend particulièrement intéressant. ‘laser agile en fréquence’ développé au Lab. Aimé Cotton : On peut synchroniser le déplacement du creux de pertes et la longueur de la cavité pour décaler la position des modes et faire en sorte que le creux des pertes coı̈ncide à chaque instant à un mode -> modifier continument la fréquence en évitant le saut de phase aléatoire qu’on aurait inévitablement en sautant d’un mode au suivant. 34 4 4.1 Lasers produisant des impulsions Laser en fonctionnement ’modes bloqués’ hyp : - cavité laser linéaire, longueur optique d - amplificateur pompé en continu -> oscillation laser simultanée de N modes spectraux (νm, νm+1, · · ·, νp, · · ·, νm+N −1) séparés de c0 . δν = 2d νm+p = νm + p δν pour p = 0 à · · · N − 1. En sortie de la cavité : E(t) = N∑ −1 Ep exp(2iπνm+p t + φp) + C.C. 2 p=0 certains effets physiques -> valeurs relatives de φp constantes. (situation de ’modes bloqués’). Modélisation : Ep = E0 réel et φp = 0 pour tout p. 35 −1 exp[2iπ p δν t] + C E0 exp(2iπνmt) ∑N p=0 E(t) = 2 N∑ −1 1 − exp(2iπN δν t) avec exp[2iπ p δν t] = p=0 1 − exp(2iπ δν t) t ) sin(πN δν t) exp(2iπ N δν 2 = exp(2iπ δν2 t ) sin(π δν t) On en déduit δν t) E0 exp 2iπ(νm + N 2−1 δν)t sin(πN sin(π δν t) + C.C. E(t) = 2 δν t) -> champ électrique résultant E(t) = E0 sin(πN sin(π δν t) cos 2πν0t et intensité instantanée 1 I(t) = ⟨E 2(t)⟩période µ0c 2 2 sin(πN δν t) E 0 = I0 avec I0 = 2µ c 0 sin(π δν t) 36 1 δν im pulsions laser N 2 I0 0 .0 4 5 I 0 0 p 1 1 (p + 1 ) δν δν tem ps Cette fonction est maximale (pic principal) lorsque numérateur et dénominateur tendent simultanément vers 0 : 1 π δν t = p π ⇔ t = p δν Intensité I(t) = I0N 2. Pics secondaires < 0,045 I0. 1. L’écart temporel entre deux impulsions successives vaut δν 37 zoom sur une im pulsion N 2 I0 largeur ∼ δt p 1 + δt δν 0 p 1 δν tem ps Largeur temporelle δt d’une impulsion ≃ écart sommet - premier minimum voisin. 1 ± δt lorsque : L’intensité est nulle en t = p δν 1 sin π N δν(p ± δt) = 0 ⇔ π pN ± π N δν δt = p′π δν La plus petite valeur de δt vérifiant cette égalité est pour p′ = N p±1 donc pour πN δν δt = π. -> l’impulsion possède la largeur temporelle δt = 1 / (N δν). 38 Pour l’onde extraite de la cavité, l’écart ∆t entre deux impulsions 1 = 2d donc au temps d’un successives correspond à 1/δν = c /2d c0 0 parcours complet de la lumière dans la cavité. ⇔ cette situation correspond à une impulsion unique de durée δt parcourant la cavité à la vitesse de la lumière. L’impulsion est d’autant plus courte (δt ∝ 1/(N δν)) et intense (hauteur ∝ N 2) que le nombre N d’ondes continues superposées est élevé. 39 Exemple : cavité linéaire, d = 75 cm, amplificateur Saphire-Titane, l’oscillation laser pour des longueurs d’onde de 800 nm à 1100 nm donc des fréquences de 2,7 1014 à 3,7 1014 Hz ). c0 L’écart entre deux modes spectraux de la cavité vaut δν = 2d = 2 108 Hz d’où N = 5 105. -> impulsions de largeur δt = N 1δν = 10−14 s = 10 femtosecondes, 1 = 5 10−9 s = 5 ns. séparées d’un intervalle de ∆t = δν 40 Remarque : la largeur spectrale du rayonnement : N δν. Cette largeur multipliée par la durée δt de l’impulsion vérifie (N δν)× δt = 1, (Wiener-Khintchine, incertitude de Heisenberg). En général, les impulsions de durée inférieure à 100 picosecondes sont produites à partir d’un laser en fonctionnement ’modes bloqués’, celles de durées entre 1 ns et 100 ns sont produites en fonctionnement ’déclenché’ qui va être étudié maintenant. 41 4.2 Système laser en régime transitoire : équations couplées But : - utiliser des régimes transitoires pour produire des impulsions lumineuses, - modéliser le lien entre ∆N (t), qui traduit la dynamique du stockage d’énergie dans l’amplificateur et de son transfert à l’intensité lumineuse I(t). 42 ∗ Différence de population. R N hν 0 A W 2 W N γ 1 dN2 N2 = R− − W ∆N dt τ2 On suppose γ ≫ A -> N1 ≪ N2 et ∆N ≈ N2. ∆N d∆N =R− − W ∆N dt τ2 43 τ2 En régime stationnaire, Rτ2 ∆N 0 ∆N = ≡ 1 + W τ2 1 + II s -> ∆N 0 = R τ2 (différence de population non saturée) et W = τ IIs . 2 Ceci permet d’écrire en régime transitoire d∆N ∆N 0 ∆N I = − − ∆N dt τ2 τ2 τ2Is 1 I 0 = (∆N − ∆N − ∆N ) τ2 Is τ2 -> τ pour avoir une forme générale dont on pourrait montrer qu’elle est valable au-delà de l’hypothèse N1 ≪ N2. 44 ∗ Intensité lumineuse. n : indice optique de l’amplificateur. Coefficient de pertes par unité de longueur du milieu amplificateur : αP ,avec αP ℓ ≪ 1. M 1 z= " z= 0 T am plificateur IL = T I indice n M3 " M 2 Les photons entrant dans l’amplificateur en z = 0 à l’instant t avec l’intensité I(0, t) en ressortent à l’instant t + nℓ c avec l’intensité 0 I(ℓ, t + nℓ c0 ). Pour ce régime non stationnaire, on définit le gain total de l’amplificateur par : I(ℓ, t + nℓ c0 ) G(t) = I(0, t) hyp. élargissement spectral homogène -> 1 1 ∂I ∂I = σ ∆N (z, t) + (z, t) I(z, t) c ∂t ∂z 45 ∂I c0 c0 ∂I ⇔ (z, t) = σ ∆N I(z, t) − (z, t) ∂t n n ∂z On reprend I(ℓ, t + nℓ c0 ) = G(t)I(0, t) en supposant G assez faible pour écrire au premier ordre : nℓ ∂I nℓ ∂I I(ℓ, t + ) = I(0, t) + ×( )+ ×ℓ c0 ∂t c0 ∂z c0 ∂I ∂I c0 nℓ = I(0, t) + σ∆N I(0, t) − (0, t) + ×ℓ n n ∂z c0 ∂z = I(0, t) + σ ∆N I(0, t) ℓ donc G(t) = 1 + σ ∆N ℓ idée physique : paquet de photons arrivant en z = 0 à t puis traversant l’amplificateur en induisant la production d’une intensité supplémentaire σ ∆N ℓ I 46 On s’intéresse à l’évolution de I sur un parcours complet de cavité à partir de z = 0 : d I(0, t + ) = I(0, t) × G(t) × exp −αP ℓ c0 = I(0, t) × (1 + σ∆N ℓ) × (1 − αP ℓ) = I(0, t) × (1 + σ∆N ℓ − αP ℓ) d d’où I(0, t + ) − I(0, t) = I(0, t) (σ∆N ℓ − αP ℓ) c0 On note I(t) l’intensité au point z = 0. Au premier ordre, dI c0 = I(t) × (σ∆N ℓ − αP ℓ) dt d c 0 αP ℓ σ∆N = I(t) × ×( − 1) d αP dI I(t) ∆N c0 αP ℓ αP 1 = − 1 avec = et ∆NS = dt τc ∆NS τc d σ 47 ∗ Équations couplées. Dans un fonctionnement non stationnaire, ∆N et I varient au cours du temps en respectant les équations non linéaires couplées d∆N 1 I 0 = (∆N − ∆N − ∆N ) (1) dt τ Is dI 1 ∆N = ( − 1) I (2) dt τc ∆NS dont la forme générale se retrouve pour tous les types de fonctionnement laser (élargissement spectral homogène). Ces relations sont appelées ’Équations de Statz et de Mars’. 48 4.3 Laser en fonctionnement ’déclenché’ (’Q switching’) On va résoudre ce système d’équations pour le mode de fonctionnement appelé ’déclenché’ ou ’Q switching’. Principe Pom page c o n tin u Pom page I(t) t t A m p lifica te u r I(t) F a isce a u la se r co n tin u A m p lifica te u r 49 Im p u lsio n la se r Phase 1 : le pompage Hypothèses : - les pertes sont fortes (τc très faible, facteur de qualité Qc faible) - l’intensité laser dans la cavité reste nulle. - à t = 0, ∆N = 0. Lorsque I = 0, l’équation (1) devient 1 d∆N = (∆N 0 − ∆N ) dt τ qui partant de ∆N = 0 à t = 0 s’intègre en t ∆N (t) = ∆N 0 1 − exp − τ Application numérique : ti = −τ ln(1-0,95) = 1,5 ms pour τ = 0,5 ms. 50 Phase 2 : amorçage de l’impulsion Hypothèses : - les pertes sont brutalement ramenées à une valeur faible caractérisée par τc = 10 ns, ’Q switching’. - l’émission spontanée de l’amplificateur -> une intensité résiduelle Ii = 10−10 Is sur l’axe de la cavité. - le pompage -> ∆Ni ≃ 10 ∆NS , supposé quasi-constante pendant la phase d’amorçage - on fixe arbitrairement la fin de cette phase d’amorçage à l’instant tD où I = Is. 51 dI 1 ∆Ni (2)− > = ( − 1) I dt τc ∆NS où le facteur de I est constant. t − ti ∆Ni I(t − ti) = Ii exp ( − 1) τc ∆NS temps caractéristique ∆Nτic de l’ordre de 1 ns. I(tD − ti) = Is pour ∆NS −1 τc Is tD − ti = ∆N ln = 25 ns i −1 Ii ∆NS 52 Phase 3 : Développement de l’impulsion laser Hypothèses : - cette phase démarre à t = tD , instant auquel on a I = Is et ∆N = ∆Ni . - ∆N assez proche de ∆N 0 ou I suffisamment fort pour avoir I ∆N ≫ (∆N 0 − ∆N ). Is In te n sité I(t) ∆N (t) ∆N i ∆N d∆N 1I (1)− > = − ∆N dt τ Is dI 1 ∆N = ( − 1) I dt τc ∆NS S te m p s t i t d 53 Qualitativement, ∆N décroı̂t au cours du temps. Equ. (2) -> dI dt > 0 tant que ∆N > ∆NS : -l’intensité croı̂t avec un temps caractéristique d’évolution de l’ordre S < τ puis atteint son maximum lorsque ∆N = ∆N . de τc ∆N c S ∆N - Physiquement, le transfert d’énergie de l’amplificateur vers l’onde par émission induite a une probabilité par seconde W d’autant plus grande que I est intense. C’est pour cette raison que le temps développement de l’impulsion est extrêmement rapide. On élimine le temps entre les équations (1’) et (2) : d∆N 1 1 dt = d∆N = − 1 I ∆N τ c ∆N dI dI τ I ( ∆N − 1) I s dt S τc 1 1 = 1 − 1 ) τ Is ( ∆N ∆N S 54 soit en séparant les variables ∆N et I : τ 1 1 dI ( − ) d∆N = τc ∆N ∆NS Is qu’on intègre entre tD (∆N = ∆Ni, I = Is) et l’instant t correspondant à la différence de population ∆N (t) et à l’intensité I(t). ∫ I(t) dI τ ∫ ∆N (t) 1 1 ( − ) d∆N = Is ∆N i τc ∆N ∆NS Is τ ∆N (t) ∆N (t) − ∆Ni I(t) − Is ln = − τc ∆Ni ∆NS Is L’impulsion étant maximale quand ∆N (t) = ∆NS , on reporte cette valeur dans l’expression précédente pour obtenir l’intensité ∆NS − ∆Ni τ ∆NS Imax = Is 1 + ln( )− τc ∆Ni ∆NS Avec τc = 10 ns, τ = 0,5 ms, ∆Ni = 10 ∆NS , on obtient Imax = 3, 3 105 Is 55 Phase 4 : fin de l’impulsion Pour la suite de l’impulsion, ∆N (t) est inférieure puis très inférieure à ∆NS donc l’équation (2) devient dI 1 ≈ − I dt τc Les photons sortent progressivement de la cavité, l’intensité Laser décroı̂t avec le temps caractéristique τc. 56 Quelques caractéristiques et applications des lasers ∗ transport et dépot d’énergie 1 mW : seuil de sécurité oculaire focalisation -> concentrer spatialement l’énergie impulsion -> concentrer temporellement l’énergie ∗ lasers monomode stabilisé accordable -> références de fréquence et de temps très précises (∆ν/ν < 10−10). -> stockage d’informations à 4 dimensions (hologrammes à 3 dimensions spatiales + dimension fréquence) ∗ impulsions courtes -> ’effet stroboscopique’ pour mesurer des propriétés physiques à l’échelle picoseconde, femtoseconde, voire moins 57 laser envoyé sur une plaque d’acier inox d’épaisseur 0,2 mm impulsion de 200 femtosecondes 58 Expérience ’pompe-sonde’ pour mesurer la dynamique de vibration d’une molécule. E n e rg ie cin é tiq u e + é n e rg ie p o te n tie lle d e la m o lé cu le A -B + m o lé cu le A B , é ta t e xcité dissocia tif A B - > A +B + h + - - E n erg ie po te n tie lle d e la m o lécu le A -B , E p (R A -B ) ν1 m o lé cu le A B , é ta t e xcité lié h ν1 m o lé cule A B , é ta t fo n da m en ta l dista nce in te ra to m iqu e R A -B 59 L a se r fe m to s e c o n d e m iro ir d ép la cé d e 0 ,1 5 m m < --> d é ca la g e te m p o re l d e 1 pico se con d e O2 m iro ir 2 O O1 sé p a ra trice fa isce au 'so n d e ' m iro ir 1 fa isce a u 'P o m pe ' io n s A dé te cte u r se nsib le a u x a to m e s ra pid e s + je t d e m o lé cu les e n ce in te so u s vid e E AB ch am p é lectriq u e accé lé ra te u r 60 signa l + A tem ps de vibration de la m olécule A B (q q picoseconde) d é ca la g e te m p o re l e n tre le s im p u lsio n s p o m p e e t so n d e 61