Partiel de Thermodynamique et Physique Statistique

Licence de Physique et M´ecanique Universit´e Paris-Sud XI
Ann´ee 2011-2012
Partiel de Thermodynamique et Physique Statistique
Mercredi 28 Mars 2012
dur´ee : 3 heures
Sac et trousse au fond de la salle. Calculatrices interdites.
La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la note.
Compte-tenu de la longueur du sujet, le bar`eme sera sur plus de 20 points.
De nombreuses parties et questions sont ind´ependantes.
Questions de cours sur l’ensemble microcanonique
1. ` A quelle situation physique correspond la description microcanonique ?
2. Pour un gaz parfait contenant Nparticules ´evoluant `a 3 dimensions, quel est l’espace des
phases ? Sa dimension ?
3. Compl´etez, en le justifiant, la formule ci-dessous donnant le nombre de micro-´etats accessibles
pour un gaz parfait :
Ω(???) = 1
??? Z···Z
???
d~q1···d~pN.
4. Rappelez la formule qui permet de d´eterminer l’entropie thermodynamique `a partir de la des-
cription statistique. Donnez la dimension et l’ordre de grandeur du pr´efacteur intervenant dans
cette formule.
5. D´ecrivez la d´etente de Joule. Comment Ω varie avec le volume pour le gaz parfait ? Expliquez
`a l’aide d’arguments statistiques que l’entropie augmente lors de cette transformation.
6. Bonus : Si l’on prend en compte les interactions attractives entre particules du gaz lors de la
d´etente de Joule, que se passe-t-il pour la temp´erature ?
Fluctuations de l’intensit´e d’un laser
Un laser est constitu´e d’une cavit´e optique form´ee
L
miroir
arrière miroir
avant
milieu amplificateur
Figure 1: Sch´ema d’un laser H´elium-N´eon
de deux miroirs distants d’une longueur L, se faisant
face et entre lesquels est ins´er´e un milieu amplifica-
teur de lumi`ere (voir figure 1). Le miroir arri`ere est
parfaitement r´efl´echissant alors que le miroir avant
est l´eg`erement transparent, de transmission en in-
tensit´e Tet de coefficient de r´eflexion en intensit´e
R= 1 −T.` A l’int´erieur de la cavit´e s’´etablit un cou-
rant de photons se propageant uniquement selon l’axe optique et dans les deux directions. ` A chaque
1

aller-retour entre les miroirs, un photon donn´e dans la cavit´e a une probabilit´e Tde sortir par le
miroir avant. Le flux de photons sortant est compens´e par la cr´eation de nouveaux photons par le
milieu amplificateur, et on peut consid´erer qu’en r´egime permanent la puissance lumineuse intraca-
vit´e frappant le miroir avant est constante. Un photon se d´eplace dans la cavit´e `a la vitesse cqu’on
prendra ´egale `a la vitesse de la lumi`ere et poss`ede une ´energie hν.
Temps de pi´egeage moyen d’un photon dans la cavit´e
On consid`ere un photon cr´e´e dans la cavit´e et on prend l’origine du temps t= 0 telle qu’elle
corresponde `a l’instant o`u le photon rencontre pour la premi`ere fois le miroir avant.
1. Quel est le temps tar qui s’´ecoule lors d’un aller-retour dans la cavit´e ?
2. Quelle est la probabilit´e que le photon s’´echappe au n-i`eme aller-retour ?
3. Donnez l’expression du temps moyen de pi´egeage τdans la cavit´e en fonction de tar,Ret Ten
faisant intervenir une somme sur n.
4. On introduit f(x) =
∞
X
n=0
(xR)n=1
1−xR. Reliez l’expression pr´ec´edente `a la d´eriv´ee f′(x).
5. En d´eduire l’expression de τen fonction de L,cet T.
6. On prend L= 20 cm, T= 5%. Donnez l’ordre de grandeur de τ.
7. Dans la limite o`u tar ≪τ(T≪1), justifiez que la probabilit´e d’ˆetre encore dans la cavit´e apr`es
un temps test proche d’une loi exponentielle que l’on donnera.
Fluctuations du nombre de photons en sortie
On s’int´eresse aux fluctuations temporelles de l’intensit´e du laser. Le processus d’amplification des
photons fait que les photons sont cr´e´es de fa¸con al´eatoire dans le temps. On note Nle nombre de
photons arrivant sur le miroir avant, pendant le laps de temps ∆t.
8. Quelle est la probabilit´e PN(k) pour que kphotons sortent pendant ∆t? On exprimera le
r´esultat en fonction de N,ket T.
9. Calculez le nombre moyen hkide photons ´emis ainsi que les fluctuations associ´ees σdont on
rappellera la d´efinition.
On rappelle que la fonction f(x) = (xT + (1 −T))Nvous aide `a effectuer ces calculs.
10. On note hPi la puissance moyenne ´emise par le laser pendant ∆t. Reliez hPi `a N,T, ∆tet hν.
11. Justifiez (ou montrez explicitement) que si T≪1 mais que hPi est fix´ee, PN(k) est une loi de
Poisson µk
k!e−µdont on donnera la valeur du param`etre µen fonction de Net T.
12. Un photod´etecteur mesure la puissance d’un laser de puissance moyenne 10mW et de longueur
d’onde λ∼600 nm (on rappelle que ν=c/λ et h∼6 10−34 Js). D´eterminez l’ordre de grandeur
de l’incertitude relative sur la mesure de puissance pour ∆t= 1s puis ∆t= 10−9s.
Mouvement brownien selon Paul Langevin (1908)
On ´etudie ici le mouvement d’une particule m´esoscopique dans un fluide constitu´e de particules
beaucoup plus petite ; typiquement, un grain de pollen dans l’eau ou, comme le verra, une petite
bille de silice ou de polystyr`ene dans un gaz. On prend le point de vue d’´etudier les ´equations de la
dynamique gouvernant le mouvement de la bille en ´ecrivant :
md~v
dt =−γ~v +~α(t),(1)
avec ~v =d~r
dt la vitesse de la bille (~r sa position), msa masse, −γ~v une force de frottements fluides et
~α(t) une force al´eatoire de valeur moyenne nulle.
2

1. Quelle est l’origine physique de la force ~α(t) ?
2. R´eexprimez d
dt~r 2en fonction de ~r et ~v, puis d2 dt2~r 2en fonction de ~r,~v et d~v dt (on note ~r 2=k~rk2).
3. Montrez que l’´equation (1), en la multipliant par ~r, peut alors se r´e´ecrire :
m
2
d2
dt2~r 2=m~v 2−γ 2
d
dt~r 2+~r ·~α(t).(2)
On prend maintenant la moyenne de cette ´equation sur un grand nombre Nrde r´ealisations en
notant h· · ·i =1
NrPNr
i=1(···). On suppose de plus que, en moyenne, la position de la particule est
d´ecorr´el´ee de la force al´eatoire.
4. Justifiez que h~r ·~α(t)i= 0. Justifiez ´egalement que l’on peut intervertir les op´erations de d´eriv´ee
temporelle et de moyenne (par exemple d
dt~r 2=d dt ~r 2).
5. En d´eduire que la variable w(t) = 1
2
d
dt ~r 2(t)satisfait l’´equation diff´erentielle :
mdw
dt +γw(t) = m~v 2(t).(3)
On remplace maintenant ~v 2(t)par sa valeur `a l’´equilibre 3kBT /m `a la temp´erature T. On prend
comme condition initiale w(0) = 0 et on introduira un temps caract´eristique τ=m/γ ainsi que la
constante D= 3kBT/γ. On prendra de plus ~r 2(0)= 0.
6. R´esolvez l’´equation (3), d’abord sans le second membre puis avec une solution particuli`ere.
7. Montrez alors le r´esultat final ~r 2(t)= 2Dht+τ(e−t/τ −1)i.
8. Que repr´esente physiquement ~r 2(t)? Discutez les comportements aux temps t≪τet t≫τ.
S’agit-t-il de transport diffusif ou balistique ? Qu’est-ce que le coefficient D?
9. Comparez les r´esultats de Langevin aux r´esultats exp´erimentaux de la figure 2.
10. Bonus : Justifiez la valeur d’´equilibre de ~v 2donn´ee ci-dessus.
1
1 10
0.1
0.1
t /
〈Δx
2
〉/ 2Dt
2.5 μm polystyrene
2.5 μm silica
-7 10-5 10-3
Time (s)
〈Δx2〉/ (kB
T/ m )t2
0.1μs
1μm
2.5 μm
0.68 μs
Silica
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10
Figure 2: R´esultats exp´erimentaux sur les fluctuations de position de petites sph`eres de silice et
polystyr`ene. D’apr`es Huang et al., Nature Physics 7, 576 (2011). N.-B. : une am´elioration
du mod`ele montre que la masse m(`a droite) et le temps τ(`a gauche) sont en fait diff´erents
de ceux obtenus par Langevin : il n’y a pas accord quantitatif avec le mod`ele ´etudi´e.
Fin.
3