Partiel de Thermodynamique et Physique Statistique

Licence de Physique et Mécanique
Année 2011-2012
Université Paris-Sud XI
Partiel de Thermodynamique et Physique Statistique
Mercredi 28 Mars 2012
durée : 3 heures
Sac et trousse au fond de la salle. Calculatrices interdites.
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note.
Compte-tenu de la longueur du sujet, le barème sera sur plus de 20 points.
De nombreuses parties et questions sont indépendantes.
Questions de cours sur l’ensemble microcanonique
1. À quelle situation physique correspond la description microcanonique ?
2. Pour un gaz parfait contenant N particules évoluant à 3 dimensions, quel est l’espace des
phases ? Sa dimension ?
3. Complétez, en le justifiant, la formule ci-dessous donnant le nombre de micro-états accessibles
pour un gaz parfait :
Z
Z
1
Ω(???) =
· · · d~q1 · · · d~
pN .
???
???
4. Rappelez la formule qui permet de déterminer l’entropie thermodynamique à partir de la description statistique. Donnez la dimension et l’ordre de grandeur du préfacteur intervenant dans
cette formule.
5. Décrivez la détente de Joule. Comment Ω varie avec le volume pour le gaz parfait ? Expliquez
à l’aide d’arguments statistiques que l’entropie augmente lors de cette transformation.
6. Bonus : Si l’on prend en compte les interactions attractives entre particules du gaz lors de la
détente de Joule, que se passe-t-il pour la température ?
Fluctuations de l’intensité d’un laser
Un laser est constitué d’une cavité optique formée
milieu amplificateur
de deux miroirs distants d’une longueur L, se faisant
face et entre lesquels est inséré un milieu amplificateur de lumière (voir figure 1). Le miroir arrière est miroir
miroir
L
parfaitement réfléchissant alors que le miroir avant arrière
avant
est légèrement transparent, de transmission en intensité T et de coefficient de réflexion en intensité Figure 1: Schéma d’un laser Hélium-Néon
R = 1 − T . À l’intérieur de la cavité s’établit un courant de photons se propageant uniquement selon l’axe optique et dans les deux directions. À chaque
1
aller-retour entre les miroirs, un photon donné dans la cavité a une probabilité T de sortir par le
miroir avant. Le flux de photons sortant est compensé par la création de nouveaux photons par le
milieu amplificateur, et on peut considérer qu’en régime permanent la puissance lumineuse intracavité frappant le miroir avant est constante. Un photon se déplace dans la cavité à la vitesse c qu’on
prendra égale à la vitesse de la lumière et possède une énergie hν.
Temps de piégeage moyen d’un photon dans la cavité
On considère un photon créé dans la cavité et on prend l’origine du temps t = 0 telle qu’elle
corresponde à l’instant où le photon rencontre pour la première fois le miroir avant.
1. Quel est le temps tar qui s’écoule lors d’un aller-retour dans la cavité ?
2. Quelle est la probabilité que le photon s’échappe au n-ième aller-retour ?
3. Donnez l’expression du temps moyen de piégeage τ dans la cavité en fonction de tar , R et T en
faisant intervenir une somme sur n.
∞
X
1
(xR)n =
4. On introduit f (x) =
. Reliez l’expression précédente à la dérivée f ′ (x).
1 − xR
n=0
5. En déduire l’expression de τ en fonction de L, c et T .
6. On prend L = 20 cm, T = 5%. Donnez l’ordre de grandeur de τ .
7. Dans la limite où tar ≪ τ (T ≪ 1), justifiez que la probabilité d’être encore dans la cavité après
un temps t est proche d’une loi exponentielle que l’on donnera.
Fluctuations du nombre de photons en sortie
On s’intéresse aux fluctuations temporelles de l’intensité du laser. Le processus d’amplification des
photons fait que les photons sont créés de façon aléatoire dans le temps. On note N le nombre de
photons arrivant sur le miroir avant, pendant le laps de temps ∆t.
8. Quelle est la probabilité PN (k) pour que k photons sortent pendant ∆t ? On exprimera le
résultat en fonction de N , k et T .
9. Calculez le nombre moyen hki de photons émis ainsi que les fluctuations associées σ dont on
rappellera la définition.
On rappelle que la fonction f (x) = (xT + (1 − T ))N vous aide à effectuer ces calculs.
10. On note hPi la puissance moyenne émise par le laser pendant ∆t. Reliez hPi à N , T , ∆t et hν.
11. Justifiez (ou montrez explicitement) que si T ≪ 1 mais que hPi est fixée, PN (k) est une loi de
µk −µ
e dont on donnera la valeur du paramètre µ en fonction de N et T .
Poisson
k!
12. Un photodétecteur mesure la puissance d’un laser de puissance moyenne 10mW et de longueur
d’onde λ ∼ 600 nm (on rappelle que ν = c/λ et h ∼ 6 10−34 Js). Déterminez l’ordre de grandeur
de l’incertitude relative sur la mesure de puissance pour ∆t = 1s puis ∆t = 10−9 s.
Mouvement brownien selon Paul Langevin (1908)
On étudie ici le mouvement d’une particule mésoscopique dans un fluide constitué de particules
beaucoup plus petite ; typiquement, un grain de pollen dans l’eau ou, comme le verra, une petite
bille de silice ou de polystyrène dans un gaz. On prend le point de vue d’étudier les équations de la
dynamique gouvernant le mouvement de la bille en écrivant :
m
d~v
= −γ~v + α
~ (t) ,
dt
(1)
r
avec ~v = d~
r sa position), m sa masse, −γ~v une force de frottements fluides et
dt la vitesse de la bille (~
α
~ (t) une force aléatoire de valeur moyenne nulle.
2
1. Quelle est l’origine physique de la force α
~ (t) ?
d2
d~v
d
(on note ~r 2 = k~rk2 ).
2. Réexprimez ~r 2 en fonction de ~r et ~v , puis 2 ~r 2 en fonction de ~r, ~v et
dt
dt
dt
3. Montrez que l’équation (1), en la multipliant par ~r, peut alors se réécrire :
m d2 2
γ d 2
~r = m~v 2 −
~r + ~r · α
~ (t) .
2 dt2
2 dt
(2)
On prend maintenant
P r la moyenne de cette équation sur un grand nombre Nr de réalisations en
notant h· · ·i = N1r N
i=1 (· · · ). On suppose de plus que, en moyenne, la position de la particule est
décorrélée de la force aléatoire.
4. Justifiez que h~r · α
~ (t)i = 0. Justifiez également
que
l’on peut intervertir les opérations de dérivée
d 2
d 2
~r
~r ).
=
temporelle et de moyenne (par exemple
dt
dt
1d 2 ~r (t) satisfait l’équation différentielle :
5. En déduire que la variable w(t) =
2 dt
dw
m
+ γw(t) = m ~v 2 (t) .
(3)
dt
On remplace maintenant ~v 2 (t) par sa valeur à l’équilibre 3kB T /m à la température T . On prend
comme condition initiale w(0) = 0 et on introduira
2 un temps caractéristique τ = m/γ ainsi que la
constante D = 3kB T /γ. On prendra de plus ~r (0) = 0.
6. Résolvez l’équation (3), d’abord sans le second membre puis avec une solution particulière.
h
i
7. Montrez alors le résultat final ~r 2 (t) = 2D t + τ (e−t/τ − 1) .
8. Que représente physiquement ~r 2 (t) ? Discutez les comportements aux temps t ≪ τ et t ≫ τ .
S’agit-t-il de transport diffusif ou balistique ? Qu’est-ce que le coefficient D ?
9. Comparez les résultats de Langevin aux résultats expérimentaux de la figure 2.
10. Bonus : Justifiez la valeur d’équilibre de ~v 2 donnée ci-dessus.
1
10 0
0.1
⟨Δ x2⟩ / (kBT/ m )t 2
⟨Δx 2⟩/ 2Dt
10 -1
2.5 μm polystyrene
2.5 μm silica
0.1μs
0.68 μs
10 -2
10 -3
Silica
1μm
10 -4
2.5 μm
10 -5
1
0.1
10
10-7
t/
10 -5
10 -3
Time (s)
Figure 2: Résultats expérimentaux sur les fluctuations de position de petites sphères de silice et
polystyrène. D’après Huang et al., Nature Physics 7, 576 (2011). N.-B. : une amélioration
du modèle montre que la masse m (à droite) et le temps τ (à gauche) sont en fait différents
de ceux obtenus par Langevin : il n’y a pas accord quantitatif avec le modèle étudié.
Fin.
3