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Fractions continues et actions des groupes de
congruence sur la droite r´eelle
Cedric TROESSAERT ∗
(avec un appendice par Alain VALETTE)
Abstract
We characterize the orbits of the principal congruence subgroup Γ(n) of GL2(Z)
acting by fractional linear transformations on the real line. The characterization is
in terms of congruence properties (mod n) of the numerators and denominators of
the convergents of some number in a given orbit.
1 Introduction
Soit xun nombre r´eel: notons
x= [a0;a1, a2,...]
son d´eveloppement en fraction continue r´eguli`ere, c-`a-d.:
x=a0+1
a1+1
a2+1
...
o`u a0∈Zet an∈N− {0}pour n≥1. Le d´eveloppement est fini si xest rationnel,
infini sinon. Les r´eduites de xsont les fractions irr´eductibles pn
qn= [a0;a1, a2,...,an].Si
x= [a0;a1, a2,...] et y= [b0;b1, b2,...] sont deux nombres irrationnels, nous dirons que
xet yont la mˆeme queue s’il existe N, M ∈Ntels que aN+k=bM+kpour tout k > 0.
Le groupe GL2(Z) agit par homographies sur la droite projective r´eelle P1(R) =
R∪{∞}: pour une matrice A=a b
c d ∈GL2(Z), notons αAl’homographie x7→ ax+b
cx+d.
On notera aussi A·xpour αA(x). Un r´esultat classique (voir l’appendice pour une preuve
∗Ce travail a ´et´e r´ealis´e grˆace au subside 20.101469 du FNRS suisse.
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ainsi que des r´ef´erences ) dit que deux r´eels sont dans la mˆeme orbite de GL2(Z) si et
seulement si ils ont mˆeme queue.
Les groupes de congruence sont les sous-groupes normaux d’indice fini de GL2(Z)
d´efinis par:
Γ(n) = {γ∈GL2(Z), γ ≡ ±I(mod n)}
(n≥2). Le but de cet article est de caract´eriser les orbites de Γ(n) sur P1(R). Nous
verrons qu’il y a trois cas `a consid´erer: nombres rationnels, nombres irrationnels non
quadratiques, nombres irrationnels quadratiques. Les r´esultats correspondants sont les
Th´eor`emes 1, 5 et 6. Par exemple, le Th´eor`eme 5 s’´enonce:
Soient x, y sont deux irrationnels non quadratiques ayant la mˆeme queue: x= [a0;a1, a2, ..., aN, c0, c1,
et y= [b0;b1, b2, ..., bM, c0, c1, ...](avec N, M ≥1); notons pi
qi(resp. Aj Bj) les r´eduites de x
(resp. y). Les nombres xet yappartiennent `a la mˆeme orbite de Γ(n)si et seulement si
pN≡AM, pN−1≡AM−1, qN≡BM, qN−1≡BM−1(mod n)
ou
pN≡ −AM, pN−1≡ −AM−1, qN≡ −BM, qN−1≡ −BM−1(mod n).
On peut donc lire les orbites en comparant les r´eduites des irrationnels.
Notation: Dans tout l’article, pour deux r´eels xet y, nous noterons x= [a0;a1, a2, ...]
(resp. pi
qi) le d´eveloppement en fraction continue (resp. les r´eduites) de x, et y=
[b0;b1, b2, ...] (resp. Aj
Bj) le d´eveloppement (resp. les r´eduites) de y.
Remerciements: Mes plus vifs remerciements au professeur Alain Valette qui durant
un mois m’a accueilli `a Neuchˆatel. Je remercie aussi le FNRS suisse qui a pris en charge
les frais de s´ejour.
2 Orbites sur les rationnels
Pour commencer, ´etudions les orbites de Γ(n) sur les rationnels que nous consid´ererons
comme des fractions irr´eductibles d’entiers `a d´enominateur positif (en prenant 0 = 0/1 et
∞= 1/0).
Lemme 1 Soit S=a b
c d un ´el´ement de GL2(Z); si αSp
q=A B, alors
•A=ap +bq et B=cp +dq si cp +dq > 0,
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•A=−(ap +bq)et B=−(cp +dq)si cp +dq < 0.
Preuve: On a S·p
q=ap +bq cp +dq =A B,donc, en appliquant d−b
−c a :
d(ap +bq)−b(cp +dq) = ±p
−c(ap +bq) + a(cp +dq) = ±q,
ce qui montre que ap +bq et cp +dq sont premiers entre eux. Comme Best positif, il
vient
•A=ap +bq et B=cp +dq si cp +dq > 0,
•A=−(ap+bq) et B=−(cp+dq) si cp+dq < 0.
Les orbites de Γ(n) sur les rationnels sont d´ecrites par le:
Th´eor`eme 1 Les rationnels p
q,A Bappartiennent `a la mˆeme orbite de Γ(n)si et seule-
ment si p≡A(mod n)et q≡B(mod n)ou p≡ −A(mod n)et q≡ −B(mod n).
Preuve:
Condition n´ecessaire : Soit S=a b
c d ∈Γ(n) tel que αSp
q=A B.
On a deux possibilit´es:
•soit cp +dq > 0 et donc par le lemme 1: ap +bq =Aet cp +dq =B. Si
S≡I(mod n) alors a≡d≡1 (mod n) et b≡c≡0 (mod n), donc p≡Aet
q≡B(mod n); si S≡ −I(mod n) alors a≡d≡ −1 (mod n) et b≡c≡0
(mod n), donc p≡ −Aet q≡ −B(mod n);
•soit cp +dq < 0, on a ap +bq =−Aet cp +dq =−Bqui m`enent aux mˆemes
conclusions.
Deux cas peuvent poser probl`eme: p
q= 0 ou p q=∞, traitons les `a part:
•si αS(0) = A
Bavec S=a b
c d ∈Γ(n), alors b
d=A Bet comme bet dsont
premiers entre eux, on a A=b, B =dou A=−b, B =−d. D`es lors A≡0
(mod n) et B≡ ±1 (mod n).
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•si αS(∞) = A
Bavec S=a b
c d ∈Γ(n), alors a
c=A Bet comme aet csont
premiers entre eux, on a A=a, B =cou A=−a, B =−c. D`es lors A≡ ±1
(mod n) et B≡0 (mod n).
Condition suffisante : Prouvons en premier lieu que l’orbite de 0 sous Γ(n) est
p
q|p≡0 (mod n), q ≡ ±1 (mod n).
Il suffit de prouver que si p
qest tel que p≡0 (mod n) et q≡ ±1 (mod n) alors il
existe S∈Γ(n) tel que αS(0) = p
q. Prenons p=na et q=nb + 1 (le cas q≡ −1
(mod n) est similaire); comme pet qsont premiers entre eux, il existe x, y ∈Ztels
que xq −yp =−b, d’o`u: (nx + 1)q−nyp = 1. On en tire que S=nx + 1 p
ny q 
appartient `a Γ(n) car p≡0 (mod n) et q≡1 (mod n). De plus αS(0) = p
q. On
prouve de mani`ere semblable que l’orbite de ∞sous Γ(n) est
p
q|p≡ ±1 (mod n), q ≡0 (mod n)∪ {∞}.
Maintenant, nous pouvons d´emontrer que si p
q,A B∈Qsont tels que p≡A, q ≡B
(mod n),(le cas p≡ −A, q ≡ −B(mod n) est similaire) alors il existe S∈
Γ(n) telle que αSp
q=A B.Comme Q∪ {∞} est une orbite de GL2(Z), il ex-
iste T=a b
c d ∈GL2(Z) tel que αTp
q=n n+ 1 ∈Γ(n)(0) , c-`a-d.
ap +bq =n
cp +dq =n+ 1 .Prouvons maintenant que αTA
B∈Γ(n)(0).Deux possi-
bilit´es doivent ˆetre envisag´ees:
•si cA +dB > 0, alors on a aA +bB ≡ap +dq ≡0 (mod n)
cA +dB ≡cp +dq ≡1 (mod n),
•si cA +dB < 0, alors on a −(aA +bB)≡ −(ap +dq)≡0 (mod n)
−(cA +dB)≡ −(cp +dq)≡ −1 (mod n),
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et αTA
B∈Γ(n)(0).Le cas cA +dB = 0 est exclu car cA +dB ≡cp +dq ≡/0
(mod n).Nous avons montr´e que αTp
qet αTA Bappartiennent tous deux `a
l’orbite de 0 sous Γ(n). On en d´eduit qu’il existe C∈Γ(n) tel que (C◦T)·p
q=
T·A
Bet donc (T−1◦C◦T)·p q=A B. Comme Γ(n) est un sous-groupe normal
de GL2(Z), on a S=T−1◦C◦T∈Γ(n). 
3 Orbites sur les irrationnels
L’objet de cette partie est d’´etudier les orbites de Γ(n) sur les irrationnels. Nous aurons
besoin de quelques r´esultats d´ecrivant l’action de GL2(Z) sur ceux-ci.
3.1 R´esultats pr´eliminaires
Proposition 2 Soit T=a b
c d ∈GL2(Z)et x, y ∈R\Qtels que
αT(x) = y
cx +d > 0avec x= [a0;a1, ...]de r´eduites pi/qi y= [b0;b1, ...]de r´eduites Aj/Bj
alors il existe u∈N0, v > −utels que
ai=bi+vpour tout i > u (c-`a-d.: xet yont mˆeme queue), et
apu+bqu=Av+u
cpu+dqu=Bv+uapu−1+bqu−1=Av+u−1 cpu−1+dqu−1=Bv+u−1.
La d´emonstration de cette Proposition d´ecoule directement de la preuve du Th´eor`eme
174 `a la page 143 dans [HW75].
Proposition 3 Soit T=a b
c d ∈GL2(Z)et x, y ∈R,x= [a0;a1, ...], y = [b0;b1, ...]
tels qu’il existe i, j ≥1pour lesquels
api+bqi=Aj
cpi+dqi=Bj
et api−1+bqi−1=Aj−1
cpi−1+dqi−1=Bj−1;
alors
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