TS. Contrôle 8 - Correction ♣ EX 1 : ( 4 points ) Chaque année, deux

♣
TS. Contrôle 8 - Correction
E X 1 : ( 4 points ) Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort
un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de
transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un
premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.
Un concurrent tire au hasard un jeton :
– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo,
– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, il effectuera le trajet en roller,
– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied,
– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
On observe que lorsqu’un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70 % des cas, il choisit le
roller dans 20 % des cas el il décide de faire le parcours à pied dans 10 % des cas.
1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
V
Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au
millième.
0, 25
R
0, 25
2. Calculer la probabilité qu’un concurrent effectue le trajet à vélo.
•
On a p(V ) = 0, 25 + 0, 25 × 0, 7 = 0, 25 × 1, 7 = 0, 425
0, 25
3. Sachant qu’un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la
probabilité qu’il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?
On a p V (L) =
0, 25
P
L
p(V ∩ L) 0, 25 × 0, 7 0, 175
7
=
=
=
≈ 0, 412
p(V )
0, 425
0, 425
17
0, 7
V
0, 2
R
0, 1
P
4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
L’expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d’avoir effectué le
2
trajet à vélo est . Calculer la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée au moins
3
une fois par un concurrent « non cycliste ».
Les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres donc la probabilité qu’au cours des six
µ ¶6
2
.
prochaines années l’épreuve soit remportée 0 fois par un concurrent « non cycliste » est égale à
3
Donc la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée au moins une fois par un
concurrent « non cycliste »est égale à :
1−
µ ¶6
2
36 − 26
665
=
=
≈ 0, 912
6
3
3
729
E X 2 : ( 3 points ) Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac.
7
1.
a. On note A l’évènement « obtenir deux jetons blancs ». Démontrer que P (A) = .
15
Les jetons sont indiscernables au toucher donc on peut légitimement supposer qu’on se trouve dans une
situation d’équiprobabilité.
¡ ¢
¡7¢
Il y a 10
2 manières de choisir 2 jetons parmi 10 et il y a 2 manières de choisir 2 jetons blancs parmi les 7
¡7¢
7
2
jetons blancs. Ainsi P (A) = ¡10
¢=
15
2
b. On note B l’évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer P (B ).
¡6¢
1
2
De même, 6 jetons portent des numéros impairs donc P (B ) = ¡10
¢=
3
2
c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
¡4¢
2
De même, 4 jetons blancs portent des numéros impairs donc P (A ∩ B ) = ¡10
¢=
2
2
15
7 1
7
2
6
Ainsi, P (A) × P (B ) =
× =
alors que P (A ∩ B ) =
=
15 3 45
15 45
Donc P (A) × P (B ) 6= P (A ∩ B ) les évènements A et B ne sont pas indépendants.
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2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer l’espérance mathématique de X .
La variable aléatoire X peut valoir 0, 1 ou 2.
¡7¢ ¡3¢
×
1
p(X = 0) = 0 ¡10¢ 2 =
15
2
D’où :
X = xi
¡7¢ ¡3¢
×
7
p(X = 2) = 2 ¡10¢ 0 =
15
¡7¢ ¡3¢
×
7
p(X = 1) = 1 ¡10¢ 1 =
15
2
0
1
15
p (X = x i )
E (X ) =
2
1
7
15
2
7
15
1
7
7
7
×0+
×1+
×2 =
15
15
15
5
E X 3 : ( 3 points ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3
boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
7
7 1
×
×
10 10 3
¡ ¢
¡ ¢
tirages possibles. Il y a 72 façons de choisir 2 boules
Trois boules sont tirées simultanément, il y a donc 10
3
¡ ¢
blanches parmi les 7 présentes dans l’urne et 31 façons de choisir une boule noire parmi les trois présentes, donc
¡7¢ ¡3¢
au toucher, on est dans une situation
2 × 1 tirages réalisant l’évènement. Puisque les boules sont ¡indiscernables
7¢ ¡3¢
7!
7×6
× 3!
×
21
2 ×3
d’équiprobabilité, et donc la probabilité de l’évènement est : 2 ¡10¢ 1 = 2!×5! 10! 1!×2! = 10×9×8
= .
40
3×2
a.
21
40
7 6 1
× ×
10 9 3
b.
c.
3!×7!
3
2. De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées
de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les
dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule blanche est égale à :
7
a.
60
7 1
×
10 6
c.
1 1 1 1
× + ×
2 6 2 4
14
23
b.
On peut représenter la situation par l’arbre suivant :
7
10
B
1
6
G
5
6
•
G
1
4
3
10
G
N
3
4
7 1 3 1
14
9
23
× +
× =
+
=
10 6 10 4 120 120 120
7 1
7
De plus p(G ∩ B ) =
× =
10 6 60
On a donc p(G) =
G
Donc pG (B ) =
7
60
23
120
=
14
.
23
3. Soient A, B et C trois évènements d’un même univers Ω muni d’une probabilité P .
2
3
et P (A ∪ B ) = . Alors P (B ) est égale à :
On sait que : A et B sont indépendants ; P (A) =
5
4
7
7
7
a.
b.
c.
8
12
20
P (A ∪ B ) =P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )
3
2
2
=
+ P (B ) − × P (B )
4
5
5
15 8
3
−
=
× P (B )
20 20
5
P (A ∩ B ) = P (A) × P (B ) car A et B sont indépendants
d’où
3
7
× p(B ) =
⇐⇒ P (B ) =
5
20
7
20
3
5
=
7
12