Sheet 9

Cours d’Algèbre
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 5
29 novembre 2010
Corrigé de la série 9
Exercice 1
On rappelle que le degré d’un polynôme non-nul P (X) est le plus grand nombre naturel
n tel que le monôme X n apparait dans P (X) avec un coefficient non-nul (i.e. si P (X) =
an X n + ... + a1 X + a0 avec an 6= 0, alors le degré de P (X) est n).
a) Soit P (X) = an X n + ... + a1 X + a0 ∈ R[X] et Q(X) = bm X m + ... + b1 X + b0 ∈ R[X]
avec an 6= 0 et bm 6= 0. Soit k = max(n, m). Comme k + 1 > n et k + 1 > m, on observe
que X k+1 apparait avec un coefficient nul dans P (X) et dans Q(X) aussi, donc dans leur
somme aussi. Il s’ensuit que la valeur maximale du degré du polynôme (P + Q)(X) est k.
b) Par exemple pour P (X) = X 2 + X + 1 (qui est de degré 2) et Q(X) = −X 2 + 1 (qui
est de degré 2 aussi) on a (P + Q)(X) = X + 2 (qui est de degré 1).
Exercice 2
a) La relation P (X) = Q(X)S(X) + R(X), où S(X) ∈ K[X], implique que P (X) et
Q(X) d’une part, et Q(X) et R(X) d’autre part, ont les mêmes diviseurs communs. Par
conséquent, ils ont le même pgcd.
b) D’après le point a), on a
pgcd(P (X), Q(X)) = pgcd(Q(X), R1 (X)) = pgcd(R0 (X), R1 (X)),
pgcd(Rk−1 (X), Rk (X)) = pgcd(Rk (X), Rk+1 (X))
pour tout 1 ≤ k ≤ N − 1.
Par une récurrence immédiate, il s’en suit que pgcd(P (X), Q(X)) = pgcd(RN −1 (X), RN (X)).
Or RN (X) divise RN −1 (X), puisque RN +1 (X) = 0. Par conséquent, pgcd(RN −1 (X), RN (X)) =
RN (X), d’où pgcd(P (X), Q(X)) = RN (X).
c) α) On a P (X) = X 3 +X = [1]3 et Q(X) = X 2 +[1]3 . On effectue la division euclidienne
de P (X) par Q(X):
(X 3 + X + [1]3 ) = (X 2 + [1]3 ) · (X + [1]3 ) + ([2]3 X 2 + [1]3 ),
donc S1 (X) = X + [1]3 et R1 (X) = [2]3 X 2 + [1]3 . Comme R1 (X) n’est pas nul, on effectue
la division euclidienne de Q(X) par R1 (X):
X 2 + [1]3 = ([2]3 X 2 + [1]3 ) · [2]3 + [2]3 ,
donc S2 (X) = [2]3 et R2 (X) = [2]3 . Comme R2 (X) n’est pas nul, on effectue la division
euclidienne de R1 (X) par R2 (X):
[2]3 X 2 + [1]3 = [2]3 · (X 2 + [2]3 ) + 0,
1
donc S3 (X) = X 2 + [2]3 et R3 (X) = 0. Comme R3 (X) est le polynôme nul, l’algorithme
s’arrête. Donc le nombre d’étapes est 2. Le dernier reste non-nul est R2 (X) = [2]3 . Pour
le rendre unitaire, on le multiplie par [2]3 , et on obtient le polynôme [1]3 . Donc le pgcd
de P (X) et Q(X) est le polynôme constant [1]3 (c’est-à-dire les polynômes sont premiers
entre eux).
β) On a P (X) = X 3 + [3]5 X + [1]5 et Q(X) = X 2 + [4]5 X + [2]5 . On effectue la division
euclidienne de P (X) par Q(X):
X 3 + [3]5 X + [1]5 = (X 2 + [4]5 X + [2]5 ) · (X + [1]5 ) + ([2]5 X + [4]5 ),
donc S1 (X) = X + [1]5 et R1 (X) = [2]5 X = [4]5 . Comme R1 (X) n’est pas nul, on effectue
la division euclidienne de Q(X) par R1 (X):
X 2 + [4]5 X + [2]5 = ([2]5 X + [4]5 ) · ([3]5 X + [1]5 ) + [3]5 ,
donc S2 (X) = [3]5 X + [1]5 et R2 (X) = [3]5 . Comme R2 (X) n’est pas nul, on effectue la
division euclidienne de R1 (X) par R2 (X):
[2]5 X + [4]5 = [3]5 · ([4]5 X + [3]5 ) + 0,
donc S3 (X) = [4]5 X + [3]5 et R3 (X) = 0. Comme R3 (X) est le polynôme nul, l’algorithme
s’arrête. Donce le nombre d’étapes est 2. Le dernier reste non-nul est R2 (X) = [3]5 . Pour
le rendre unitaire, on le multiplie par [2]5 , ot on obtient le polynôme [1]5 . Donc le pgcd
de P (X) et Q(X) est le polynôme constant [1]5 (c’est-à-dire les polynômes sont premiers
entre eux).
Exercice 3
a) Pour tout N ∈ N, on note par P (N ) la proposition définie par:
Si P (X) et Q(X) sont deux polynômes non-nuls pour lesquels l’algorithme a N étapes,
alors il existe une relation de Bézout entre P (X) et Q(X).
Montrons que la proposition P (N ) est vraie pour tout N ∈ N. Pour cela, raisonnons par
récurrence sur N .
Initialisation de la récurrence: Soient P (X) et Q(X) deux polynômes non-nuls pour
lesquels l’algorithme d’Euclide a 0 étape. Alors Q(X) divise P (X), donc pgcd(P (X), Q(X)) =
Q(X). On obtient alors une relation de Bézout entre P (X) et Q(X) en écrivant
0 · P (X) + 1 · Q(X) = Q(X) = pgcd(P (X), Q(X)).
Ainsi, la proposition P (0) est vraie.
Pas de récurrence: Soit N ∈ N, N ≥ 1.
Hypothèse de récurrence: On suppose que la proposition P (N − 1) est vraie.
Montrons que la proposition P (N ) est vraie. Soient P (X) et Q(X) deux polynômes nonnuls pour lesquels l’algorithme d’Euclide a N étapes. On effectue la division euclidienne
de P (X) par Q(X): il existe S(X), R(X) ∈ K[X] tels que P (X) = Q(X) · S(X) + R(X),
et ou bien R(X) = 0 ou bien deg(R(X)) < deg(Q(X)). Puisque N ≥ 1, on a R(X) 6= 0.
Alors pgcd(Q(X), R(X)) = pgcd(P (X), Q(X)) (par l’exercice précédent) et l’algorithme
d’Euclide pour Q(X) et R(X) a N − 1 étapes. Par hypothèse de récurrence, il existe
A(X), B(X) ∈ K[X] tels que A(X)Q(X) + B(X)R(X) = pgcd(Q(X), R(X)). On a:
pgcd(P (X), Q(X)) = pgcd(Q(X), R(X)) = A(X)Q(X) + B(X)R(X) =
2
A(X)Q(X) + B(X)(P (X) − S(X)Q(X)) = B(X)P (X) + (A(X) − B(X)S(X))Q(X),
ce qui donne une relation de Bézout pour P (X) et Q(X). Par principe de récurrence, la
proposition P (N ) est vraie pour tout N ∈ N.
b) α) On obtient une identité de Bézout entre P (X) et Q(X) en ”remontant” comme suit
l’algorithme d’Euclide pour ces deux entiers naturels:
P (X) + [2]3 X · Q(X) = [1]3
β) De manière analogue, on obtient
([4]5 X + [3]5 )P (X) + (X 2 + [3]5 X + [4]5 )Q(X) = [1]5 .
3