Sheet 9

Cours d’Alg` ebre Bachelor Semestre 5
Prof. E. Bayer Fluckiger 29 novembre 2010
Corrig´e de la s´erie 9
Exercice 1
On rappelle que le degr´e d’un polynˆome non-nul P(X) est le plus grand nombre naturel
ntel que le monˆome Xnapparait dans P(X) avec un coefficient non-nul (i.e. si P(X) =
anXn+... +a1X+a0avec an6= 0, alors le degr´e de P(X) est n).
a) Soit P(X) = anXn+... +a1X+a0∈R[X] et Q(X) = bmXm+... +b1X+b0∈R[X]
avec an6= 0 et bm6= 0. Soit k= max(n, m). Comme k+ 1 > n et k+ 1 > m, on observe
que Xk+1 apparait avec un coefficient nul dans P(X) et dans Q(X) aussi, donc dans leur
somme aussi. Il s’ensuit que la valeur maximale du degr´e du polynˆome (P+Q)(X) est k.
b) Par exemple pour P(X) = X2+X+ 1 (qui est de degr´e 2) et Q(X) = −X2+ 1 (qui
est de degr´e 2 aussi) on a (P+Q)(X) = X+ 2 (qui est de degr´e 1).
Exercice 2
a) La relation P(X) = Q(X)S(X) + R(X), o`u S(X)∈K[X], implique que P(X) et
Q(X) d’une part, et Q(X) et R(X) d’autre part, ont les mˆemes diviseurs communs. Par
cons´equent, ils ont le mˆeme pgcd.
b) D’apr`es le point a), on a
pgcd(P(X), Q(X)) = pgcd(Q(X), R1(X)) = pgcd(R0(X), R1(X)),
pgcd(Rk−1(X), Rk(X)) = pgcd(Rk(X), Rk+1(X))
pour tout 1 ≤k≤N−1.
Par une r´ecurrence imm´ediate, il s’en suit que pgcd(P(X), Q(X)) = pgcd(RN−1(X), RN(X)).
Or RN(X) divise RN−1(X), puisque RN+1(X) = 0. Par cons´equent, pgcd(RN−1(X), RN(X)) =
RN(X), d’o`u pgcd(P(X), Q(X)) = RN(X).
c)α) On a P(X) = X3+X= [1]3et Q(X) = X2+[1]3. On effectue la division euclidienne
de P(X) par Q(X):
(X3+X+ [1]3)=(X2+ [1]3)·(X+ [1]3) + ([2]3X2+ [1]3),
donc S1(X) = X+ [1]3et R1(X) = [2]3X2+ [1]3. Comme R1(X) n’est pas nul, on effectue
la division euclidienne de Q(X) par R1(X):
X2+ [1]3= ([2]3X2+ [1]3)·[2]3+ [2]3,
donc S2(X) = [2]3et R2(X) = [2]3. Comme R2(X) n’est pas nul, on effectue la division
euclidienne de R1(X) par R2(X):
[2]3X2+ [1]3= [2]3·(X2+ [2]3)+0,
1

donc S3(X) = X2+ [2]3et R3(X) = 0. Comme R3(X) est le polynˆome nul, l’algorithme
s’arrˆete. Donc le nombre d’´etapes est 2. Le dernier reste non-nul est R2(X) = [2]3. Pour
le rendre unitaire, on le multiplie par [2]3, et on obtient le polynˆome [1]3. Donc le pgcd
de P(X) et Q(X) est le polynˆome constant [1]3(c’est-`a-dire les polynˆomes sont premiers
entre eux).
β) On a P(X) = X3+[3]5X+ [1]5et Q(X) = X2+[4]5X+ [2]5. On effectue la division
euclidienne de P(X) par Q(X):
X3+ [3]5X+ [1]5= (X2+ [4]5X+ [2]5)·(X+ [1]5) + ([2]5X+ [4]5),
donc S1(X) = X+ [1]5et R1(X) = [2]5X= [4]5. Comme R1(X) n’est pas nul, on effectue
la division euclidienne de Q(X) par R1(X):
X2+ [4]5X+ [2]5= ([2]5X+ [4]5)·([3]5X+ [1]5) + [3]5,
donc S2(X) = [3]5X+ [1]5et R2(X) = [3]5. Comme R2(X) n’est pas nul, on effectue la
division euclidienne de R1(X) par R2(X):
[2]5X+ [4]5= [3]5·([4]5X+ [3]5)+0,
donc S3(X) = [4]5X+[3]5et R3(X) = 0. Comme R3(X) est le polynˆome nul, l’algorithme
s’arrˆete. Donce le nombre d’´etapes est 2. Le dernier reste non-nul est R2(X) = [3]5. Pour
le rendre unitaire, on le multiplie par [2]5, ot on obtient le polynˆome [1]5. Donc le pgcd
de P(X) et Q(X) est le polynˆome constant [1]5(c’est-`a-dire les polynˆomes sont premiers
entre eux).
Exercice 3
a) Pour tout N∈N, on note par P(N) la proposition d´efinie par:
Si P(X)et Q(X)sont deux polynˆomes non-nuls pour lesquels l’algorithme a N´etapes,
alors il existe une relation de B´ezout entre P(X)et Q(X).
Montrons que la proposition P(N) est vraie pour tout N∈N. Pour cela, raisonnons par
r´ecurrence sur N.
Initialisation de la r´ecurrence: Soient P(X) et Q(X) deux polynˆomes non-nuls pour
lesquels l’algorithme d’Euclide a 0 ´etape. Alors Q(X) divise P(X), donc pgcd(P(X), Q(X)) =
Q(X). On obtient alors une relation de B´ezout entre P(X) et Q(X) en ´ecrivant
0·P(X)+1·Q(X) = Q(X) = pgcd(P(X), Q(X)).
Ainsi, la proposition P(0) est vraie.
Pas de r´ecurrence: Soit N∈N,N≥1.
Hypoth`ese de r´ecurrence: On suppose que la proposition P(N−1) est vraie.
Montrons que la proposition P(N) est vraie. Soient P(X) et Q(X) deux polynˆomes non-
nuls pour lesquels l’algorithme d’Euclide a N´etapes. On effectue la division euclidienne
de P(X) par Q(X): il existe S(X), R(X)∈K[X] tels que P(X) = Q(X)·S(X) + R(X),
et ou bien R(X) = 0 ou bien deg(R(X)) <deg(Q(X)). Puisque N≥1, on a R(X)6= 0.
Alors pgcd(Q(X), R(X)) = pgcd(P(X), Q(X)) (par l’exercice pr´ec´edent) et l’algorithme
d’Euclide pour Q(X) et R(X) a N−1 ´etapes. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe
A(X), B(X)∈K[X] tels que A(X)Q(X) + B(X)R(X) = pgcd(Q(X), R(X)). On a:
pgcd(P(X), Q(X)) = pgcd(Q(X), R(X)) = A(X)Q(X) + B(X)R(X) =
2

A(X)Q(X) + B(X)(P(X)−S(X)Q(X)) = B(X)P(X)+(A(X)−B(X)S(X))Q(X),
ce qui donne une relation de B´ezout pour P(X) et Q(X). Par principe de r´ecurrence, la
proposition P(N) est vraie pour tout N∈N.
b)α) On obtient une identit´e de B´ezout entre P(X) et Q(X) en ”remontant” comme suit
l’algorithme d’Euclide pour ces deux entiers naturels:
P(X) + [2]3X·Q(X) = [1]3
β) De mani`ere analogue, on obtient
([4]5X+ [3]5)P(X)+(X2+ [3]5X+ [4]5)Q(X) = [1]5.
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