cours integr impropre

Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Intégrales généralisées (ou impropres)
Université Mohammed I
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Oujda.
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Plan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Responsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI.
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Dans ce chapitre on va étudier l'intégrale des fonctions continues
sur un intervalle I de la forme :
[a, b[, ]a, b], ] − ∞, a], [a, +∞[, ]a, b[, ] − ∞, +∞[.
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Denition
Soit f une fonction continue sur [a,b[ telle que lim− f (x ) = ∞.
x →b R
Pour tout x appartenant à [a,b[, on dénit Φ(x ) = ax f (t )dt.
On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a,b[ ;
R
notée ab f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si
lim Φ(x ) existe et elle est nie,
x →b −
on note lim− Φ(x ) =
x →b
Z
a
b
f (t )dt.
Dans le cas où lim− Φ(x ) n'existe pas, on dit que
x →b
divergente (DV).
Mars 2012
Rb
a
f (t )dt est
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Denition
Soit f une fonction continue sur ]a,b] telle que lim+ f (x ) = ∞.
x →a
Pour tout x appartenant à ]a,b], on dénit Φ(x ) = xb f (t )dt.
On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur ]a,b] ;
R
notée ab f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si
R
lim Φ(x ) existe et elle est nie,
x →a+
on note lim+ Φ(x ) =
x →a
Z
a
b
f (t )dt.
Dans le cas où lim+ Φ(x ) n'existe pas, on dit que
x →a
divergente (DV).
Mars 2012
Rb
a
f (t )dt est
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque
.
1/ Soit f une fonction continue sur [a,b[ telle que
lim f (x ) = l .
x →b −
On dénit e
f le prolongement de f par
e
f (t ) =
f (t )
l
si t ∈ [a, b[
si t = b
e
f est continue sur [a,b]. Alors f est Riemann-integrable sur [a,b[ et
on a :
Z
a
b
f (t )dt =
Z
b
e
f (t )dt .
a 2012
Mars
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque
2/ Soit f une fonction continue sur ]a,b] telle que
lim f (x ) = l .
x →a +
On dénit e
f le prolongement de f par
e
f (t ) =
f (t )
l
si t ∈]a, b]
si t = a
e
f est continue sur ]a,b]. Alors f est Riemann-integrable sur ]a,b] et
on a :
Z
a
b
f (t )dt =
Z
a
b
e
f (t )dt .
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Denition
Soit f une fonction continue sur [a, +∞[.
R
Pour tout x appartenant à [a, +∞[, on dénit Φ(x ) = ax f (t )dt.
On ditRque l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a, +∞[ ;
notée a+∞ f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si
lim Φ(x ) existe et elle est nie,
x →+∞
on note lim Φ(x ) =
x →+∞
Z
a
+∞
f (t )dt.
Dans le cas où lim Φ(x ) n'existe pas, on dit que
x →+∞
divergente (DV).
Mars 2012
R +∞
a
f (t )dt est
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque
.
Soit f une fonction continue sur ] − ∞, a].
R
Pour tout x appartenant à ] − ∞, a], on dénit Φ(x ) = xa f (t )dt.
On ditRque l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur ] − ∞, a] ;
a
f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si
notée −∞
lim Φ(x ) existe et elle est nie,
x →−∞
on note lim Φ(x ) =
x →−∞
Z
a
f (t )dt.
+∞
Dans le cas où lim Φ(x ) n'existe pas, on dit que
x →−∞
divergente (DV).
Exemple
Mars 2012
Ra
−∞ f
(t )dt est
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Denition
Soit f une fonction continue sur ]a, b[ (−∞ ≤ a < b ≤ +∞).
R
Soit c ∈]a, b[, on dit que ab f (t )dt est (CV) si et seulement si
Rc
Rb
a f (t )dt et c f (t )dt sont (CV).
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque
.R
R
b
f (t )dt est (DV) si et seulement si ac f (t )dt est (DV) ou
a
Rb
c f (t )dt est (DV).
Exemple
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur [a, b[.
Rb
Rx
a f (t )dt est (CV) si et seulement si ∀x ∈ [a, b [, Φ(x ) = a f (t )dt
est majorée.
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque
.
1/ Soit f une fonction continue et négative ou nulle sur [a, b[.
Rb
Rx
a f (t )dt est (CV) si et seulement si ∀x ∈ [a, b [, Φ(x ) = a f (t )dt
est minorée.
2/ Il en de même si l'on considère ]a,b].
Exemple
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
(Comparaison des intégrales généralisées de deux fonctions
positives)
Soit f et g deux fonctions continue et positives ou nulle sur
I = [a, b[ ou ]a, b], vériant f (t ) ≤ g (t )∀t ∈ I . Alors
R
R
i- ab g (t )dt est (CV) implique que ab f (t )dt est (CV).
R
R
ii- ab f (t )dt est (DV) implique que ab gt )dt est (DV).
Mars 2012
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
(Intégrales généralisées de deux fonctions positives et équivalentes)
Soient f et g deux fonctions continues, positives sur I = [a, b[ ou
]a, b] (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) et équivalentes en l'extrémité de I.
R
R
Alors ab f (t )dt et ab gt )dt sont de même nature.
Mars 2012
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
Mars 2012
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Les intégrales suivants serviront souvent comme intégrales de
comparaison
1
2
3
4
Intégrales
généralisées de RRiemann :
R a dt
(CV)
SSi α < 1 et a+∞ tdtα (CV) SSi α > 1.
α
0 t
Intégrales
de Bertrand :
R +∞
dt
(CV) SSi α > 1 ou (α = 1 et β > 1).
t α (logt )β
dt
0 t α |logt |β
R
R +∞
(CV) SSi α < 1 ou (α = 1 et β > 1).
exp(−αt )dt (CV) SSi α > 0.
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
Mars 2012
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Denition
On dit que ab f (t )dt est absolument convergente (ACV) si
Rb
a |f (t )|dt est (CV).
R
Denition
On dit que ab f (t )dt est semi-convergente (SCV) si elle est (CV)
sans être (ACV).
R
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soit f une fonctions continues sur I = [a, b[ ou ]a, b]
R
(−∞ ≤ a < b ≤ +∞). Pour que ab f (t )dt soit (CV) il sut
qu'elle soit (ACV) et on a
Z
|
a
b
f (t )dt | ≤
Z
a
b
|f (t )|dt .
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
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Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b[ (
éventuellement b = +∞ ), alors
Z
a
b
u (t )v (t )dt = [ lim− u (x )v (x ) − u (a)v (a)] −
0
x →b
Z
a
b
u 0 (t )v (t )dt .
Si l'une des intégrales est convergentes et ( lim− u (x )v (x )) existe
x →b
et nie alors l'autre intégrale est convergente.
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
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Intégrales de Comparaison
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Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
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Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Denition
Soit I un intervalle quelconque de R. Une application f : I −→ R
sera dite localement intégrale sur I si sa restriction à chaque
sous-intervalle fermé et borné de I est integrable au sens de
Riemann.
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soit f une fonction localement integrable sur [a, b[ (b ∈ R ou
b = +∞).
R
Pour que l'intégrale ab f (t )dt soit convergente, il faut et il sut
que, pour toute suite (xn )n∈N de limite b, la suite
F (xn ) =
Z
ait une limite et lim F (xn ) =
Z
n→+∞
xn
a
a
b
f (t )dt
f (t )dt
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
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Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
(Critère de Cauchy pour les intégrales généralisées)
Soit f une fonction localement integrable sur [a, b[ (b ∈ R ou
b = +∞) à valeur dans R.
R
Pour que l'intégrale ab f (t )dt soit convergente, il faut et il sut
que ∀ > 0, ∃X () tel que b > v > u ≥ X () ≥ a entraînent :
Z
u
v
f (t )dt < .
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[a, +∞[ et ]−∞, a]
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Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
2
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ] − ∞, a]
3
Intégrales généralisées aux deux bornes
4
Critères de convergence
5
Intégrales de Comparaison
6
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7
Utilisation de l'intégration par parties
8
Critère de Cauchy
9
Règle d'Abel
1
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornes
Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
La proposition suivante permet de prouver la convergence de
certaines intégrales non absolument convergentes.
Theorème
Soit f : [a, +∞[−→ R, positive, décroissante et tendant vers zéro à
l'inni.
Soit g localement integrable sur [a, +∞[, telle que la fonction
x 7−→ |
Z
a
x
g (t )dt |
soit
R +∞majorée par un nombre K indépendant de x. Alors l'intégrale
f (t )g (t )dt est convergente.
a
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Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a, +∞[ et ]−∞, a]
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Critères de convergence
Intégrales de Comparaison
Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par parties
Critère de Cauchy
Règle d'Abel
Mars 2012