Théorème de Sylow et actions de groupes

CHAPITRE I
Théorème de Sylow et actions de groupes
Dans ce chapitre, on cherche à énoncer et démontrer le théorème de Sylow. Ce théorème donne une restriction très
forte sur les structures possibles des groupes finis. Pour simplifier, il ramène « presque » l’étude des groupes finis à celle
des p-groupes. La démonstration utilise la notion nouvelle et fondamentale d’action de groupe.
1. Énoncé du théorème de Sylow
Dans toute la suite, G est un groupe fini d’ordre n =
k
Q
i=1
pri i où les pi sont des nombres premiers deux à deux distincts
et les ri sont des entiers > 1. Les pri i sont les plus grandes puissances de nombres premiers qui divisent n.
1.1.
Énoncés
On définit d’abord les notions de p-groupes et de p-sous-groupes de Sylow.
Définition (1.1)
Soit p un nombre premier, on dit qu’un groupe G est un p-groupe lorsque o(G) = pt pour t > 0.
Définition (1.2)
Soit G un groupe d’ordre n et pr l’un des pri i (i. e. pr | n et p p-sous-groupe de Sylow de G lorsque o(H) = pr .
n
pr ).
On dit que H < G (H sous-groupe de G) est un
Si H < G alors o(H) | n. En particulier, un p-sous-groupe de Sylow de G est un p-groupe qui est d’ordre maximal
parmi les p-groupes qui sont des sous-groupes de G.
A priori il n’est pas évident qu’un groupe G d’ordre composé 1 admette de tels sous-groupes. Mais en fait, on a :
Théorème (1.3 – Sylow)
1. Il existe au moins un p-sous-groupe de Sylow de G.
2. Soit H < G un p-groupe et soit P un p-sous-groupe de Sylow de G, alors il existe g ∈ G tel que gHg −1 < P .
En particulier :
(a) H est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow.
(b) Deux p-sous-groupes de Sylow sont conjugués, c’est-à-dire que si P et P 0 sont deux p-sous-groupes de Sylow
de G, il existe g ∈ G tel que gP g −1 = P 0 .
3. Soit np le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G, alors np ≡ 1 (mod p) et np |
n
pr .
Remarque
∀H < G, ∀g ∈ G, gHg −1 est un sous-groupe de G isomorphe à H via h 7−→ ghg −1 .
Démonstration – Voir la Proposition (1.5).
La preuve du théorème de Sylow utilise toute une panoplie d’actions de groupes. Elle sera faite ultérieurement.
1.2.
Applications
Proposition (1.4)
Soit G un groupe fini d’ordre n et soit p | n, alors G contient au moins un x ∈ G d’ordre p.
Démonstration – G contient un p-Sylow qu’on note P d’ordre pr avec r > 1. Soit y ∈ P avec y 6= e. On a donc
s−1
o(y) = ps avec 1 6 s 6 r. Mais ici, si on prend x = y p , on a x = e et x 6= e donc x ∈ G et o(x) = p.
Proposition (1.5)
Soit P un p-Sylow de G et soit np le nombre de p-Sylow de G, alors P / G ⇐⇒ np = 1.
Démonstration – ⇒ On suppose P / G et on se donne P 0 un autre p-Sylow. Avec le 2. (b) du Théorème (1.3) il
existe g ∈ G tel que P 0 = gP g −1 = P . Donc P 0 = P et np = 1.
−1
⇐ On suppose np = 1. Soit P l’unique p-Sylow de G. On doit voir que ∀g ∈ G, gP g = P .
1. il y a au moins deux nombres premiers qui divisent l’ordre du groupe
1
Lemme
G −→
Si g ∈ G, l’application sg :
x 7−→
g. En effet :
G
gxg −1
est un isomorphisme de G appelé l’automorphisme intérieur associé à
(i) Si x, y ∈ G, alors sg (xy) = gxyg −1 = gxg −1 gyg −1 = sg (x)sg (y)
(ii) sg−1 est la bijection réciproque à sg
Cela étant, si g ∈ G est fixé, alors gP g −1 est l’image du sous-groupe P par un morphisme injectif. C’est donc un
p-Sylow de G. Il est forcément égal à P .
Proposition (1.6)
Soit G un groupe, alors le centre de G, noté Z(G) est non trivial.
Démonstration – Voir dans la partie suivante.
Proposition (1.7)
Soit G un groupe d’ordre n = pr m avec p - m, alors G admet des sous-groupes d’ordre ps pour tout s avec 1 6 s 6 r.
Démonstration – Les cas s = 1 et s = r sont déjà traités. Par le 1. du Théorème (1.3) on peut supposer sans perte
de généralité que G est un p-groupe d’ordre pr . Dans ce cas, Z(G) est non trivial et ce centre contient un élément x
d’ordre p. Mais dans ce cas, hxi / G car si g ∈ G et si xk ∈ hxi alors gxk g −1 = xk . Donc ghxig −1 ⊂ hxi. Ici, le groupe
quotient G/hxi est d’ordre pr−1 et contient donc des sous-groupes d’ordre ps pour tout s avec 1 6 s 6 r en faisant une
récurrence sur r. Soit K < G/hxi avec o(K) = ps−1 et soit π : G −→ G/hxi la surjection canonique, alors π −1 (K) < G
qui est d’ordre o(K) o(hxi) = ps−1 × p = p. Donc G admet ce sous-groupe π −1 (K) qui est d’ordre ps .
2. Actions de groupes
2.1.
Action d’un groupe
Définition (1.8)
G×E
Une action (à gauche) d’un groupe G sur un ensemble E est la donnée
(g, x)
la loi de G, c’est-à-dire :
−→
7−→
E
qui est compatible avec
g∗x
(i) ∀x ∈ E, 1G ∗ x = x
(ii) ∀x ∈ E, ∀g, g 0 ∈ G, g ∗ (g 0 ∗ x) = (gg 0 ) ∗ x
Habituellement, on note G E ou G E lorsque le groupe G opère sur E
Exemples
1. Soit E un ensemble, alors SE opère habituellement sur E avec la formule σ ∗ x = σ(x).
2. Soit K un corps et Kn l’espace des matrices colonnes. Le groupe GLn (K) agit sur Kn via M ∗ X = M X
(multiplication des matrices). En outre, de cette façon là, GLn (K) agit sur, par exemple, l’ensemble des sousespaces de dimension d pour 1 6 d 6 n.
~ sa direction vectorielle, alors ~v ∗ A := A + ~v est une action du groupe A
~ sur A.
3. Soit A un espace affine et A
4. Soit G un groupe. Il agit sur G de deux façons naturelles :
(a) action par translation à gauche : g ∗ h = gh
(b) action par conjugaison : g ∗ h = ghg −1
5. Pour définir le produit semi-direct externe H o K, on utilise K −→ Aut(H) qui définit une action de K sur H
par automorphisme.
Si ϕ : K −→ Aut(H), on considère H × K comme ensemble et on pose (h, k) ⊥ϕ (h0 , k 0 ) := (hϕ(k)(h0 ), kk −1 ) ce qui
définit sur H × K une structure de groupes. Ici, l’action est juste k ∗ h0 = (ϕ(k))(h).
Proposition (1.9)
Soit G un groupe et E un ensemble.
1. La donnée d’une action ∗ de G sur E définit ϕ∗ : G −→ SE en posant (ϕ∗ (g))(x) = g ∗ x.
2. La donnée d’un morphisme ϕ : G −→ SE définit une action ∗ϕ de G sur E en posant g ∗ϕ x = (ϕ(g))(x).
3. Ces deux opérations sont réciproques l’une de l’autre car si ∗ est une action de G sur E et si ϕ : G −→ SE est un
morphisme alors ∗ϕ∗ = ∗ et ϕ∗ϕ = ϕ.
Action de G sur E ⇐⇒ morphisme G −→ SE .
2
Démonstration –
1. On fixe ∗ une action G E. On pose (ϕ∗ (g))(x) = g ∗ x. Cette formule définit bien une
application ϕ∗ (g) : E −→ E. Vérifions que ϕ∗ (g) est bien une bijection. Soient x, x0 deux éléments de E tels que
ϕ∗ (g)(x) = ϕ∗ (g)(x0 ), alors g ∗x = g ∗x0 et donc g −1 ∗(g ∗x) = g −1 ∗(g ∗x0 ). Donc x = e∗x = (g −1 g)∗x = g −1 ∗(g ∗
x) = g −1 ∗ (g ∗ x0 ) = x0 . Donc ϕx (g) est injective. Soit x ∈ E, alors x = g ∗ (g −1 ∗ x) = (ϕ∗ (g))(g −1 ∗ x) ∈ Im ϕ∗ (g).
Donc ϕ∗ (g) est surjective. Donc ϕ∗ (g) ∈ SE et ϕ∗ : G −→ SE . Il reste à voir que ϕ∗ est un morphisme de
groupe. Soit g et g 0 dans G. On doit vérifier ϕ∗ (gg 0 ) = ϕ∗ (g) ◦ ϕ∗ (g 0 ), mais ϕ∗ (gg 0 ) = ϕ∗ (g) ◦ ϕ∗ (g 0 ) ⇐⇒ ∀ ∈ E,
(ϕ∗ (gg 0 ))(x) = (ϕ∗ (g) ◦ ϕ∗ g 0 )(x) ⇐⇒ ∀x ∈ E, (gg 0 ) ∗ x = ϕ∗ (g)(ϕ∗ (g 0 )(x)) ⇐⇒ ∀x ∈ E, (gg 0 ) ∗ x = g ∗ (g 0 ∗ x)
ce qui est vrai par définition des actions de groupes.
2. Soit ϕc olonG −→ SE , montrons que g ∗ϕ x = ϕ(g)(x) définit bien une action G E. Clairement, (g, x) 7−→
ϕ(g)(x) est une application G × E −→ E. Soit 1G ∈ G alors ϕ(1G ) = IdE et ϕ(1G )(x) = Id(x) = x pour tout
x ∈ E. D’où (i). Si g, g 0 ∈ G et x ∈ E, alors g ∗ϕ (g 0 ∗ϕ x) = (gg 0 ) ∗ϕ x. En effet, (gg 0 ) ∗ϕ x = ϕ(gg 0 )(x) =
(ϕ(g) ◦ ϕ(g 0 ))(x) = ϕ(g)(ϕ(g 0 )(x)) = g ∗ (g 0 ∗ x).
2.2.
Vocabulaire
Définition (1.10)
Soit G X et soit x ∈ X.
1. Le stabilisateur de x est le sous groupe Gx := {g ∈ G / g ∗ x = x}. On l’appelle aussi sous-groupe d’isotropie de x.
2. L’orbite x ∈ X est le sous-ensemble de X noté G ∗ x = {g ∗ x / g ∈ G}.
3. L’action de G sur X est dite transitive si il n’y a qu’une seule orbite, i. e. ∀x ∈ X, ∀y ∈ X, ∃g ∈ G avec g ∗ x = y.
4. L’action de G sur X est dite libre lorsque (∀g ∈ G, ∃x ∈ X, g ∗ x = x =⇒ g = e) ⇐⇒ ∀x ∈ X, Gx = {e} ⇐⇒
∀x ∈ X, |G ∗ x| = o(G).
T
5. L’action de G sur X est dite fidèle lorsque [(∀g ∈ G, ∀x ∈ X, g ∗ x = x) =⇒ g = e] ⇐⇒
Gx = {e} ⇐⇒
x∈X
ϕx : G −→ SX est injective.
6. L’action G X est dite simplement transitive lorsqu’elle est à la fois libre et transitive.
On reprend les exemples précédents.
Exemples
1. SE agit fidèlement et transitivement sur E.
Si x, y ∈ E, sopit σ : E −→ E définie par σ(x) = y et σ(y) = x et ∀z ∈ E \ {x, y}, σ(z) = z vérifie σ ∗ x = y. Mais
Sn n’agit pas librement sur {1, . . . , n} dès que n > 3 (car n! > n).
~ sur A est libre et transitive parce que c’est déjà le cas dans l’exemple 4. (a) des actions par translation.
3. L’action A
4. (b) Le sous-groupe d’isotropie Gh de h ∈ G est le sous-groupe des g ∈ G qui commutent avec h.
Si G est abélien, chaque orbite est réduite à un singleton.
L’action G G via g ∗ h = ghg −1 est loin d’être transitive si G 6= {1G }. Dans cet exemple, l’application
ϕ∗ : G −→ SG arrive en réalité dans le sous-groupe Aut(G) des automorphismes de G. Dans ce cas, on dit
que G agit sur lui-même par automorphisme.
5. C’est le même phénomène que précédemment.
Exemple
Soit H < G qui agit librement par translation à gauche sur G. Pour g fixé, si il existe h tel que gh = h =⇒ g = e).
Théorème (de Lagrange)
Hg est l’orbite de g pour cette action. Si G est fini, on a donc o(G) = |S| o(H). Donc |S| = |G/H| =
et si on utilise la même démarche à droite, on trouve aussi |H \ G| =
2.3.
o(G)
o(H)
o(G)
o(H) ,
o(H) | o(G)
= |G/H|.
Action et combinatoire
Proposition (1.11)
Soit G X et x ∈ X. Il existe une bijection entre l’orbite G ∗ x et l’ensemble des classes à gauche G/Gx de G modulo
o(G)
le sous-groupe d’isotropie Gx . En particulier, si G est fini alors |G ∗ x| = [G : Gx ] = o(G
. La bijection est donnée par
x)
gGx 7−→ g ∗ x ∈ G ∗ x.
Notation
Si E est fini, on note |E| ou #E son cardinal.
Démonstration – On doit juste vérifier que gGx 7−→ g ∗ x est une application bien définie et est bijective. gGx :=
{gh / h ∈ Gx } ⊂ G et c’est la classe à gauche de g modulo Gx < G. Prenons g et g 0 dans G tels que gGx = g 0 Gx c’est-àdire tels que g −1 g 0 = h ∈ Gx ou encore tel qu’il existe h ∈ Gx tel que g 0 = gh. Mais alors g 0 ∗x = (gh)∗x = g∗(h∗x) = g∗x.
3
Donc g ∗ x ne dépend que de la classe gGx et pas du choix de g ∈ gGx . L’application gGx 7−→ g ∗ x est donc bien
G/Gx −→ G ∗ x
définie. On note f :
. Alors si y ∈ G ∗ x il existe g ∈ G avec y = g ∗ x et donc y = f (gGx ).
gGx 7−→ g ∗ x
Donc f est surjective. Soit gGx et g 0 Gx deux classes de G/Gx. On suppose g ∗ x = f (gGx ) = f (g 0 Gx ) = g 0 ∗ x. Mais
alors g −1 ∗ (g ∗ x) = g −1 ∗ (g 0 ∗ x) donc x = (g −1 g 0 ) ∗ x. Donc g −1 g 0 ∈ Gx donc g 0 Gx = gGx .
Étant donné G X, on peut définir une relation d’équivalence ∼ sur X en posant x ∼ y ⇐⇒ ∃g ∈ G tel que y = g ∗ x.
Les orbites correspondent alors aux classes d’équivalences. Soit S ⊂ X un système de représentant des orbites de X
sous l’action de G. C’est-à-dire une partie S ⊂ X telle que :
(i) si s 6= s0 ∈ S alors G ∗ s 6= G ∗ s0
(ii) ∀x ∈ X, ∃!s ∈ S tel que G ∗ s = G ∗ x
F
Alors on a X =
G ∗ s.
s∈S
Théorème (1.12 – Équation des classes)
(3)
(1) P
(2) P
Soit G fini agissant sur X fini, S un système de représentants des orbites, alors on a |X| =
|G ∗ x| =
[G : Gs ] =
s∈S
s∈S
P o(G)
o(Gs ) .
s∈S
Démonstration – L’égalité (1) c’est juste écrire le nombre d’éléments de part et d’autre dans X =
F
G ∗ s. L’égalité
s∈S
(2) est la Proposition 1.11. L’égalité (3) c’est juste o(G) = [G : Gs ] o(Gs ).
Proposition (1.13)
Soit G un p-groupe et X fini avec G X. On dit que x ∈ X est un point fixe sous l’action de G lorsque ∀g ∈ G,
g ∗ x = x (cela équivaut à Gx = G ou encore G ∗ x = {x}). On note X G l’ensemble (contenu dans X) de tous les points
fixes. Alors |X| ≡ |X G | (mod p).
Démonstration – On fixe S un système de représentants de X sous l’action de G. Alors si x ∈ X G , on
P a forcément
x ∈ G ∗ s pour un s ∈ S et donc s ∈ G ∗ x, donc s = x. Donc X G ⊂ S. Maintenant, |X| =
[G : Gs ] =
s∈S
P
P
P
o(G)
G
1+
[G : Gs ] = |X G | +
o(Gs ) ≡ |X | (mod p).
s∈Gs
s∈S\Gs
s∈S
Conséquence (Proposition 1.6)
Le centre d’un p-groupe est non trivial.
Démonstration – On fait agir G le p-groupe sur lui-même par conjugaison i. e. g ∗ h = ghg −1 . Par définition, avec
cette action Z(G) = GG et 1G ∈ Z(G) et o(G) ≡ (mod p) d’après la Proposition 1.13, donc on a au moins p − 1
autres éléments de Z(G).
3. Preuve du théorème de Sylow
On va démontrer les points 1., 2. et 3. dans l’ordre.
Démonstration – On se donne G fini, o(G) = pr m avec p - m.
1. Soit X l’ensemble des parties de G contenant pr éléments. x ∈ X ⇐⇒
x⊂G
pr
r . Alors |X| = Cmpr =
|x| = p
(mpr )!
. On fait agir G sur X par translation à gauche, i. e. g ∗ A = gA ∈ X pour g ∈ G et A ∈ X. Ceci
− pr )!
est bien défini parce que si g ∈ G alors (x ∈ G 7−→ gx ∈ G) est une bijection.
On admet provisoirement le lemme
pr !(mpr
Lemme
(1.14)
pr
Cmp
r ≡ m (mod p) si p - m et donc si p - m alors p - |X|.
Soit S un système de représentants de X sous G X.
X
|X| =
[G : Gs ]
s∈S
o(G)
Donc si il existe s ∈ S tel que p - [G : Gs ] = o(G
. Alors on pose A0 = s tel que GA0 vérifie pr | o(GA0 ) et
s)
r
r
A0 ⊂ S et |A0 | = p . Alors GA0 contient au moins
p éléments et si a ∈ A0 alors ∀g ∈ GA0 , ga ∈ A0 parce que
GA0 −→ A0
GA0 est le sous-groupe d’isotropie pour G X.
est une injection de GA0 dans A0 . Ainsi,
g
7−→ ga
r
GA0 contient exactement p éléments. (N.B. Les actions par translation sont libres.)
4
Démonstration (du lemme 1.14) –
r
p
Cmp
r =
r(
mpr (mpr − 1) · · · (
(mp
)!
(r(−(p(
(
(
r
(
pr !(
(mp
((− pr)!
r
p −1
pr Y mpr − i
=m r
p i=1 pr − i
=m
r
pY
−1
i=1
On fixe un tel i = ps ` avec p - ` et s < r, de sorte que
(mod p).
mpr − i
pr − i
mpr −i
pr −i
=
mpr −ps `
pr −ps `
=
mpr−s −`
pr−s −`
r
p
≡ 1 (mod p). Donc Cmp
r ≡ m
On a X = {A ⊂ G / |A| = pr } et G X via la formule g ∈ G et A ∈ X alors gA = g ∗ A ∈ X. Cette action
n’est ni libre ni fidèle ni transitiv. Mais si A ∈ X, son sous-groupe d’isotropie est lui un p-groupe. En effet, si
g ∈ GA alors gA = A, donc ∀g ∈ GA , ∀a ∈ A, ga ∈ A. Donc Ga A par translation. Cette action est libre donc
pr = |A| = |S| o(GA ) donc GA est un p-groupe. Réciproquement, on a vu qu’il existait A ∈ X tel que p - [G : GA ].
2. Soit H < G un p-groupe, soit P un p-Sylow de G, alors ∃g ∈ G tel que H < gP g −1 . On fait agir H G/P
par translation, h ∈ H, gP ∈ G/P on pose h ∗ gP = hgP ∈ G/P . Par la formule des p-classes, on sait que
m = |G/P | ≡ (G/P )H 6≡ 0 (mod p). Il existe donc g ∈ G tel que ∀h ∈ H, hgP = gP . En particulier, ∀h ∈ H,
on a g −1 hg ∈ P . D’où ∀h ∈ H, h ∈ gP g −1 . Donc H < gP g −1 .
Conséquence
(a) Tout p-groupe H < G est contenu dans un p-Syow de G.
(b) Les p-Sylow de G sont deux à deux conjugués.
3. Soit X = {P < G / o(P ) = pr } = {p-Sylow de G}. On a |X| = np. Alors
(i) np | m
(ii) np ≡ 1 (mod p)
G opère transitivement par conjugaison sur X. Donc pour P ∈ X, np = |X| = G ∗ P = [G : GP ]. Mais
∀g ∈ P , on a gP g −1 = P et donc P < GP . o(P ) = pr | o(Gp ) = pr s. Donc [G : Gp ] | [G : P ] = m car
r
o(G)
m
= pprm
[G : Gp ] = o(G
s = s | m. D’où (1).
P)
On fait agir P < G par conjugaison sur X = {H < G / o(H) = pr }. Alors P ∈ X P car ∀g ∈ P , gP g −1 = P .
Pour conclure np = |X| ≡ 1 (mod p), il suffit de voir que |X P | = 1, c’est-à-dire que P est le seul point fixe
pour cette action. Soit Q ∈ X P , alors ∀g ∈ P , gQg −1 = Q. Or, l’ensemble {g ∈ G / gQg −1 } := NG (Q) est le
normalisateur de Q. C’est un sous-groupe de G et on a P < NG (Q) et Q < NG (Q). En particulier, on a o(P )
mod o(NG (Q)) | o(G) et o(P ) = pr et o(G) = pr m. Donc o(NG (Q)) = pr t avec p - t. Donc Q et P sont deux
p-Sylow de NG (Q) et il existe g ∈ NG (Q) tel que gQg −1 = P mais comme g ∈ NG (Q), on a aussi gQg −1 = Q.
Donc P = Q. On trouve alors que 1 = |X P | ≡ |X| (mod p) ≡ np (mod p).
5