Théorème de Sylow et actions de groupes

CHAPITRE I
Théorème de Sylow et actions de groupes
Dans ce chapitre, on cherche à énoncer et démontrer le théorème de Sylow. Ce théorème donne une restriction très
forte sur les structures possibles des groupes finis. Pour simplifier, il ramène « presque » l’étude des groupes finis à celle
des p-groupes. La démonstration utilise la notion nouvelle et fondamentale d’action de groupe.
1. Énoncé du théorème de Sylow
Dans toute la suite, G est un groupe fini d’ordre n =
k
Q
i=1
pri
i
où les pi sont des nombres premiers deux à deux distincts
et les risont des entiers >1. Les pri
isont les plus grandes puissances de nombres premiers qui divisent n.
1.1. Énoncés
On définit d’abord les notions de p-groupes et de p-sous-groupes de Sylow.
Définition (1.1)
Soit pun nombre premier, on dit qu’un groupe Gest un p-groupe lorsque o(G) = ptpour t>0.
Définition (1.2)
Soit G un groupe d’ordre n et pr l’un des pri
i
(i. e. pr|n et p-n
pr
). On dit que H < G ( H sous-groupe de G ) est un
p-sous-groupe de Sylow de Glorsque o(H) = pr.
Si H < G alors o ( H ) |n . En particulier, un p -sous-groupe de Sylow de G est un p -groupe qui est d’ordre maximal
parmi les p-groupes qui sont des sous-groupes de G.
A priori il n’est pas évident qu’un groupe Gd’ordre composé 1admette de tels sous-groupes. Mais en fait, on a :
Théorème (1.3 – Sylow)
1. Il existe au moins un p-sous-groupe de Sylow de G.
2. Soit H < G un p-groupe et soit Pun p-sous-groupe de Sylow de G, alors il existe g∈Gtel que gHg−1< P .
En particulier :
(a) Hest contenu dans un p-sous-groupe de Sylow.
(b) Deux p -sous-groupes de Sylow sont conjugués, c’est-à-dire que si P et P0 sont deux p -sous-groupes de Sylow
de G, il existe g∈Gtel que gP g−1=P0.
3. Soit nple nombre de p-sous-groupes de Sylow de G, alors np≡1 (mod p)et np|n
pr.
Remarque
∀H < G,∀g∈G,gHg−1est un sous-groupe de Gisomorphe à Hvia h7−→ ghg−1.
Démonstration – Voir la Proposition (1.5).
La preuve du théorème de Sylow utilise toute une panoplie d’actions de groupes. Elle sera faite ultérieurement.
1.2. Applications
Proposition (1.4)
Soit Gun groupe fini d’ordre net soit p|n, alors Gcontient au moins un x∈Gd’ordre p.
Démonstration – G contient un p -Sylow qu’on note P d’ordre pr avec r> 1. Soit y∈P avec y6 = e . On a donc
o(y) = psavec 16s6r. Mais ici, si on prend x=yps−1, on a x=eet x6=edonc x∈Get o(x) = p.
Proposition (1.5)
Soit Pun p-Sylow de Get soit nple nombre de p-Sylow de G, alors P  G ⇐⇒ np= 1.
Démonstration –  ⇒ On suppose P  G et on se donne P0 un autre p -Sylow. Avec le 2. (b) du Théorème (1.3) il
existe g∈Gtel que P0=gP g−1=P. Donc P0=Pet np= 1.
⇐On suppose np= 1. Soit Pl’unique p-Sylow de G. On doit voir que ∀g∈G,gP g−1=P.
1. il y a au moins deux nombres premiers qui divisent l’ordre du groupe
1

Lemme
Si g∈G , l’application sg:G−→ G
x7−→ gxg−1
est un isomorphisme de G appelé l’automorphisme intérieur associé à
g. En effet :
(i) Si x, y ∈G, alors sg(xy) = gxyg−1=gxg−1gyg−1=sg(x)sg(y)
(ii) sg−1est la bijection réciproque à sg
Cela étant, si g∈G est fixé, alors gP g−1 est l’image du sous-groupe P par un morphisme injectif. C’est donc un
p-Sylow de G. Il est forcément égal à P.
Proposition (1.6)
Soit Gun groupe, alors le centre de G, noté Z(G)est non trivial.
Démonstration – Voir dans la partie suivante. 
Proposition (1.7)
Soit Gun groupe d’ordre n=prmavec p-m, alors Gadmet des sous-groupes d’ordre pspour tout savec 16s6r.
Démonstration – Les cas s = 1 et s = r sont déjà traités. Par le 1. du Théorème (1.3) on peut supposer sans perte
de généralité que G est un p -groupe d’ordre pr . Dans ce cas, Z ( G )est non trivial et ce centre contient un élément x
d’ordre p . Mais dans ce cas, hxi G car si g∈G et si xk∈ hxi alors gxkg−1 = xk . Donc ghxig−1⊂ hxi . Ici, le groupe
quotient G/hxi est d’ordre pr−1 et contient donc des sous-groupes d’ordre ps pour tout s avec 1 6s6r en faisant une
récurrence sur r . Soit K < G/hxi avec o ( K ) = ps−1 et soit π:G−→ G/hxi la surjection canonique, alors π−1 ( K ) < G
qui est d’ordre o(K) o(hxi) = ps−1×p=p. Donc Gadmet ce sous-groupe π−1(K)qui est d’ordre ps.
2. Actions de groupes
2.1. Action d’un groupe
Définition (1.8)
Une action (à gauche) d’un groupe G sur un ensemble E est la donnée
G×E−→ E
(g, x)7−→ g∗x
qui est compatible avec
la loi de G, c’est-à-dire :
(i) ∀x∈E,1G∗x=x
(ii) ∀x∈E,∀g, g0∈G,g∗(g0∗x)=(gg0)∗x
Habituellement, on note GEou GElorsque le groupe Gopère sur E
Exemples
1. Soit Eun ensemble, alors SEopère habituellement sur Eavec la formule σ∗x=σ(x).
2. Soit K un corps et Kn l’espace des matrices colonnes. Le groupe GLn ( K )agit sur Kn via M∗X = MX
(multiplication des matrices). En outre, de cette façon là, GLn ( K )agit sur, par exemple, l’ensemble des sous-
espaces de dimension dpour 16d6n.
3. Soit Aun espace affine et  Asa direction vectorielle, alors v ∗A:=A+v est une action du groupe  Asur A.
4. Soit Gun groupe. Il agit sur Gde deux façons naturelles :
(a) action par translation à gauche : g∗h=gh
(b) action par conjugaison : g∗h=ghg−1
5. Pour définir le produit semi-direct externe HoK , on utilise K−→ Aut ( H )qui définit une action de K sur H
par automorphisme.
Si ϕ:K−→ Aut ( H ), on considère H×K comme ensemble et on pose ( h, k ) ⊥ϕ ( h0, k0 )
:
= ( hϕ ( k )( h0 ) , kk−1 )ce qui
définit sur H×Kune structure de groupes. Ici, l’action est juste k∗h0= (ϕ(k))(h).
Proposition (1.9)
Soit Gun groupe et Eun ensemble.
1. La donnée d’une action ∗de Gsur Edéfinit ϕ∗:G−→ SEen posant (ϕ∗(g))(x) = g∗x.
2. La donnée d’un morphisme ϕ:G−→ SEdéfinit une action ∗ϕde Gsur Een posant g∗ϕx= (ϕ(g))(x).
3. Ces deux opérations sont réciproques l’une de l’autre car si ∗ est une action de G sur E et si ϕ:G−→ SE est un
morphisme alors ∗ϕ∗=∗et ϕ∗ϕ=ϕ.
Action de Gsur E⇐⇒ morphisme G−→ SE.
2

Démonstration – 1. On fixe ∗ une action GE . On pose ( ϕ∗ ( g ))( x ) = g∗x . Cette formule définit bien une
application ϕ∗ ( g ) :E−→ E . Vérifions que ϕ∗ ( g )est bien une bijection. Soient x, x0 deux éléments de E tels que
ϕ∗ ( g )( x ) = ϕ∗ ( g )( x0 ), alors g∗x = g∗x0 et donc g−1∗ ( g∗x ) = g−1∗ ( g∗x0 ). Donc x = e∗x = ( g−1g ) ∗x = g−1∗ ( g∗
x ) = g−1∗ ( g∗x0 ) = x0 . Donc ϕx ( g )est injective. Soit x∈E , alors x = g∗ ( g−1∗x ) = ( ϕ∗ ( g ))( g−1∗x ) ∈Im ϕ∗ ( g ).
Donc ϕ∗ ( g )est surjective. Donc ϕ∗ ( g ) ∈SE et ϕ∗:G−→ SE . Il reste à voir que ϕ∗ est un morphisme de
groupe. Soit g et g0 dans G . On doit vérifier ϕ∗ ( gg0 ) = ϕ∗ ( g ) ◦ϕ∗ ( g0 ), mais ϕ∗ ( gg0 ) = ϕ∗ ( g ) ◦ϕ∗ ( g0 ) ⇐⇒ ∀ ∈ E ,
( ϕ∗ ( gg0 ))( x )=( ϕ∗ ( g ) ◦ϕ∗g0 )( x ) ⇐⇒ ∀x∈E ,( gg0 ) ∗x = ϕ∗ ( g )( ϕ∗ ( g0 )( x )) ⇐⇒ ∀x∈E ,( gg0 ) ∗x = g∗ ( g0∗x )
ce qui est vrai par définition des actions de groupes.
2. Soit ϕcolonG −→ SE , montrons que g∗ϕx = ϕ ( g )( x )définit bien une action GE . Clairement, ( g, x ) 7−→
ϕ ( g )( x )est une application G×E−→ E . Soit 1
G∈G
alors ϕ (1
G
) = IdE et ϕ (1
G
)( x ) = Id ( x ) = x pour tout
x∈E . D’où (i). Si g, g0∈G et x∈E , alors g∗ϕ ( g0∗ϕx )=( gg0 ) ∗ϕx . En effet, ( gg0 ) ∗ϕx = ϕ ( gg0 )( x ) =
(ϕ(g)◦ϕ(g0))(x) = ϕ(g)(ϕ(g0)(x)) = g∗(g0∗x).
2.2. Vocabulaire
Définition (1.10)
Soit GXet soit x∈X.
1. Le stabilisateur de x est le sous groupe Gx: = {g∈G / g ∗x = x} . On l’appelle aussi sous-groupe d’isotropie de x .
2. L’orbite x∈Xest le sous-ensemble de Xnoté G∗x={g∗x / g ∈G}.
3. L’action de G sur X est dite transitive si il n’y a qu’une seule orbite, i. e. ∀x∈X , ∀y∈X , ∃g∈G avec g∗x = y .
4. L’action de G sur X est dite libre lorsque ( ∀g∈G, ∃x∈X, g ∗x = x = ⇒g = e ) ⇐⇒ ∀x∈X, Gx = {e} ⇐⇒
∀x∈X, |G∗x|= o(G).
5. L’action de G sur X est dite fidèle lorsque [( ∀g∈G, ∀x∈X, g ∗x = x ) = ⇒g = e ] ⇐⇒ T
x∈X
Gx = {e} ⇐⇒
ϕx:G−→ SXest injective.
6. L’action GXest dite simplement transitive lorsqu’elle est à la fois libre et transitive.
On reprend les exemples précédents.
Exemples
1. SEagit fidèlement et transitivement sur E.
Si x, y ∈E , sopit σ:E−→ E définie par σ ( x ) = y et σ ( y ) = x et ∀z∈E\ {x, y} , σ ( z ) = z vérifie σ∗x = y . Mais
Snn’agit pas librement sur {1, . . . , n}dès que n>3(car n!> n).
3. L’action A sur A est libre et transitive parce que c’est déjà le cas dans l’exemple 4. (a) des actions par translation.
4. (b) Le sous-groupe d’isotropie Ghde h∈Gest le sous-groupe des g∈Gqui commutent avec h.
Si Gest abélien, chaque orbite est réduite à un singleton.
L’action GG via g∗h = ghg−1 est loin d’être transitive si G6 = { 1
G}
. Dans cet exemple, l’application
ϕ∗:G−→ SGarrive en réalité dans le sous-groupe Aut(G)des automorphismes de G. Dans ce cas, on dit
que Gagit sur lui-même par automorphisme.
5. C’est le même phénomène que précédemment.
Exemple
Soit H < G qui agit librement par translation à gauche sur G. Pour gfixé, si il existe htel que gh =h=⇒g=e).
Théorème (de Lagrange)
Hg est l’orbite de g pour cette action. Si G est fini, on a donc o ( G ) = |S|o ( H ). Donc |S| = |G/H| =
o(G)
o(H)
, o ( H ) |o ( G )
et si on utilise la même démarche à droite, on trouve aussi |H\G|=o(G)
o(H)=|G/H|.
2.3. Action et combinatoire
Proposition (1.11)
Soit GX et x∈X . Il existe une bijection entre l’orbite G∗x et l’ensemble des classes à gauche G/Gx de G modulo
le sous-groupe d’isotropie Gx . En particulier, si G est fini alors |G∗x| = [ G : Gx ] =
o(G)
o(Gx)
. La bijection est donnée par
gGx7−→ g∗x∈G∗x.
Notation
Si Eest fini, on note |E|ou #Eson cardinal.
Démonstration – On doit juste vérifier que gGx7−→ g∗x est une application bien définie et est bijective. gGx: =
{gh / h ∈Gx} ⊂ G et c’est la classe à gauche de g modulo Gx< G . Prenons g et g0 dans G tels que gGx = g0Gx c’est-à-
dire tels que g−1g0 = h∈Gx ou encore tel qu’il existe h∈Gx tel que g0 = gh . Mais alors g0∗x = ( gh ) ∗x = g∗ ( h∗x ) = g∗x .
3

Donc g∗x ne dépend que de la classe gGx et pas du choix de g∈gGx . L’application gGx7−→ g∗x est donc bien
définie. On note f:G/Gx −→ G∗x
gGx7−→ g∗x
. Alors si y∈G∗x il existe g∈G avec y = g∗x et donc y = f ( gGx ).
Donc f est surjective. Soit gGx et g0Gx deux classes de G/Gx . On suppose g∗x = f ( gGx ) = f ( g0Gx ) = g0∗x . Mais
alors g−1∗(g∗x) = g−1∗(g0∗x)donc x= (g−1g0)∗x. Donc g−1g0∈Gx donc g0Gx=gGx.
Étant donné GX , on peut définir une relation d’équivalence ∼ sur X en posant x∼y⇐⇒ ∃g∈G tel que y = g∗x .
Les orbites correspondent alors aux classes d’équivalences. Soit S⊂X un système de représentant des orbites de X
sous l’action de G. C’est-à-dire une partie S⊂Xtelle que :
(i) si s6=s0∈Salors G∗s6=G∗s0
(ii) ∀x∈X,∃!s∈Stel que G∗s=G∗x
Alors on a X=F
s∈S
G∗s.
Théorème (1.12 – Équation des classes)
Soit G fini agissant sur X fini, S un système de représentants des orbites, alors on a |X|(1) =P
s∈S
|G∗x|(2) =P
s∈S
[ G : Gs ]
(3)
=
P
s∈S
o(G)
o(Gs).
Démonstration – L’égalité (1) c’est juste écrire le nombre d’éléments de part et d’autre dans X =
F
s∈S
G∗s . L’égalité
(2) est la Proposition 1.11. L’égalité (3) c’est juste o(G)=[G:Gs] o(Gs).
Proposition (1.13)
Soit G un p -groupe et X fini avec GX . On dit que x∈X est un point fixe sous l’action de G lorsque ∀g∈G ,
g∗x = x (cela équivaut à Gx = G ou encore G∗x = {x} ). On note XG l’ensemble (contenu dans X ) de tous les points
fixes. Alors |X| ≡ |XG|(mod p).
Démonstration – On fixe S un système de représentants de X sous l’action de G . Alors si x∈XG , on a forcément
x∈G∗s pour un s∈S et donc s∈G∗x , donc s = x . Donc XG⊂S . Maintenant, |X| =
P
s∈S
[ G : Gs ] =
P
s∈Gs
1 + P
s∈S\Gs
[G:Gs] = |XG|+P
s∈S
o(G)
o(Gs)≡ |XG|(mod p).
Conséquence (Proposition 1.6)
Le centre d’un p-groupe est non trivial.
Démonstration – On fait agir G le p -groupe sur lui-même par conjugaison i. e. g∗h = ghg−1 . Par définition, avec
cette action Z ( G ) = GG et 1
G∈Z
( G )et o ( G ) ≡ ( mod p )d’après la Proposition 1.13 , donc on a au moins p− 1
autres éléments de Z(G).
3. Preuve du théorème de Sylow
On va démontrer les points 1., 2. et 3. dans l’ordre.
Démonstration – On se donne Gfini, o(G) = prmavec p-m.
1. Soit X l’ensemble des parties de G contenant pr éléments. x∈X⇐⇒ x⊂G
|x|=pr
. Alors |X| = Cpr
mpr
=
(mpr)!
pr!(mpr−pr)!
. On fait agir G sur X par translation à gauche, i. e. g∗A = gA ∈X pour g∈G et A∈X . Ceci
est bien défini parce que si g∈Galors (x∈G7−→ gx ∈G)est une bijection.
On admet provisoirement le lemme
Lemme (1.14)
Cpr
mpr≡m(mod p)si p-met donc si p-malors p-|X|.
Soit Sun système de représentants de Xsous GX.
|X|=X
s∈S
[G:Gs]
Donc si il existe s∈S tel que p- [ G : Gs ] =
o(G)
o(Gs)
. Alors on pose A0 = s tel que GA0 vérifie pr|o ( GA0 )et
A0⊂S et |A0| = pr . Alors GA0 contient au moins pr éléments et si a∈A0 alors ∀g∈GA0 , ga ∈A0 parce que
GA0 est le sous-groupe d’isotropie pour GX .
GA0−→ A0
g7−→ ga
est une injection de GA0 dans A0 . Ainsi,
GA0contient exactement préléments. (N.B. Les actions par translation sont libres.)
4

Démonstration (du lemme 1.14) –
Cpr
mpr=mpr(mpr−1) · · ·(((((
(
(mpr−pr)!
pr!(((((
(
(mpr−pr)!
=mpr
pr
pr−1
Y
i=1
mpr−i
pr−i
=m
pr−1
Y
i=1
mpr−i
pr−i
On fixe un tel i = ps avec p- et s < r , de sorte que
mpr−i
pr−i
=
mpr−ps`
pr−ps`
=
mpr−s−`
pr−s−`≡
1 ( mod p ). Donc Cpr
mpr≡m
(mod p).
On a X = {A⊂G / |A| = pr} et GX via la formule g∈G et A∈X alors gA = g∗A∈X . Cette action
n’est ni libre ni fidèle ni transitiv. Mais si A∈X , son sous-groupe d’isotropie est lui un p -groupe. En effet, si
g∈GA alors gA = A , donc ∀g∈GA , ∀a∈A , ga ∈A . Donc GaA par translation. Cette action est libre donc
pr = |A| = |S|o ( GA )donc GA est un p -groupe. Réciproquement, on a vu qu’il existait A∈X tel que p- [ G : GA ].
2. Soit H < G un p -groupe, soit P un p -Sylow de G , alors ∃g∈G tel que H < gP g−1 . On fait agir HG/P
par translation, h∈H , gP ∈G/P on pose h∗gP = hgP ∈G/P . Par la formule des p -classes, on sait que
m = |G/P | ≡ ( G/P )
H6≡
0 ( mod p ). Il existe donc g∈G tel que ∀h∈H , hgP = gP . En particulier, ∀h∈H ,
on a g−1hg ∈P. D’où ∀h∈H,h∈gP g−1. Donc H < gP g−1.
Conséquence
(a) Tout p-groupe H < G est contenu dans un p-Syow de G.
(b) Les p-Sylow de Gsont deux à deux conjugués.
3. Soit X={P < G / o(P) = pr}={p-Sylow de G}. On a |X|=np. Alors
(i) np|m
(ii) np≡1 (mod p)
G opère transitivement par conjugaison sur X . Donc pour P∈X , np = |X| = G∗P = [ G : GP ]. Mais
∀g∈P , on a gP g−1 = P et donc P < GP . o ( P ) = pr|o ( Gp ) = prs . Donc [ G : Gp ] | [ G : P ] = m car
[G:Gp] = o(G)
o(GP)=prm prs=m s|m. D’où (1).
On fait agir P < G par conjugaison sur X = {H < G / o ( H ) = pr} . Alors P∈XP car ∀g∈P , gP g−1 = P .
Pour conclure np = |X| ≡ 1 ( mod p ), il suffit de voir que |XP| = 1, c’est-à-dire que P est le seul point fixe
pour cette action. Soit Q∈XP , alors ∀g∈P , gQg−1 = Q . Or, l’ensemble {g∈G / gQg−1}: = NG ( Q )est le
normalisateur de Q . C’est un sous-groupe de G et on a P < NG ( Q )et Q < NG ( Q ). En particulier, on a o ( P )
mod o ( NG ( Q )) |o ( G )et o ( P ) = pr et o ( G ) = prm . Donc o ( NG ( Q )) = prt avec p-t . Donc Q et P sont deux
p -Sylow de NG ( Q )et il existe g∈NG ( Q )tel que gQg−1 = P mais comme g∈NG ( Q ), on a aussi gQg−1 = Q .
Donc P=Q. On trouve alors que 1 = |XP|≡|X|(mod p)≡np(mod p).
5