Forces centrales conservatives (Ex)

PCSI 2 Forces centrales conservatives
2016 – 2017 1/15
FORCES CENTRALES CONSERVATIVES
I Au cours d'un voyage interplanétaire, un vaisseau spatial de masse m = 1
t est transféré depuis la Terre jusqu'à la planète Mars. Ce transfert
s'effectue suivant une orbite elliptique (ellipse d'Hohmann) tangente aux
deux orbites coplanaires, pratiquement circulaires, de la Terre et de Mars,
de rayons respectifs R1 = 1,5.108 km et R2 = 2,3.108 km, et dont le Soleil
est un foyer. On négligera l'attraction exercée par les planètes sur le
vaisseau et on ne considérera que l'attraction solaire.
On donne le masse du Soleil M = 2.1030 kg; constante de gravitation
universelle G = 6,67.10-11 S.I.
Déterminer en fonction de R1, R2, G et M, puis calculer numériquement :
1) l'excentricité e et le paramètre p de l'orbite de transfert d'Hohmann,
et la constante des aires
€
C=pGM
de cette orbite ;
2) la durée T de ce voyage interplanétaire Terre-Mars ;
3) l'augmentation de vitesse qu'il faut communiquer au vaisseau
a) lors du lancement depuis la terre ;
b) lors de son arrivée sur la planète mars ;
4) la position relative angulaire que doit avoir la planète Mars par rapport à la Terre à l'instant où le vaisseau quitte la terre.
Réponse : e =
€
R2−R1
R2+R1
; p =
€
2R1R2
R1+R2
; C =
€
2GM R1R2
R1+R2
; T =
€
π
GM
R1+R2
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
3/ 2
;
ΔvT =
€
GM
R1
2R2
R1+R2
−1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
; ΔvM = -
€
GM
R2
1−2R
1
R
1+R2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
; 45°.
II Satellite Hipparcos
Le satellite Hipparcos lancé le 8 août 1987 était constitué principalement d'un télescope de 30 cm de diamètre. Celui-ci a permis
d'établir un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118 000 étoiles avec une précision jamais atteinte.
Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H = 36 000 km. Un problème de mise à feu du moteur
d'apogée a laissé Hipparcos sur son orbite de transfert, son altitude variant entre h et H. Après utilisation des moteurs de
positionnement, l'altitude minimale a été portée à h = 500 km. Une programmation du satellite a permis de s'affranchir des problèmes
liés à cette orbite.
Au cours d'une révolution, il passe dans la ceinture de Van Hallen. On supposera que cette ceinture est comprise entre deux sphères de
rayon r1 = 8 400 km et r2 = 28 000 km et de centre celui de la Terre. La ceinture de Van Hallen est constituée de particules chargées
piégées dans le champ magnétique terrestre. Ces particules aveuglent les détecteurs d'Hipparcos interrompant les mesures des positions
des étoiles. Il est cependant utilisable à 65% .
On assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6 400 km et de masse M et le satellite à un point matériel (S, m). On
suppose le référentiel géocentrique Rgc galiléen. La période de rotation de la Terre dans ce référentiel appelée jour sidéral vaut
T = 86 164 s. On note G la constante de gravitation, sa valeur numérique n'est pas utile dans ce problème.
A Moment cinétique
1) Montrer que le moment cinétique
€
L
en O du satellite est une constante du mouvement.
2) On utilise les coordonnées cylindriques
€
(O,ur,u
θ
,uz)
avec
€
uz
tel que
€
L
= L
€
uz
.
Montrer que le mouvement est plan et exprimer r2
€
d θ
dt
en fonction de L et m.
Quelle est le nom de cette grandeur ?
B Vecteur excentricité
Trajectoire
de Mars
Trajectoire
de la Terre
Ellipse de
transfert
Soleil

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2016 – 2017 2/15
1) Montrer que
€
e
=
€
u
θ
-
€
L
GmM
V
est une constante du mouvement (
€
V
étant la vitesse du satellite).
2) On choisit l'origine de l'angle polaire pour avoir θ = (
€
e
,
€
u
θ
).
Montrer que l'équation de la trajectoire peut se mettre sous la forme : r(θ) =
€
p
1−ecos θ
où e est la norme de
€
e
.
En déduire la trajectoire du satellite.
C Trajectoire d'Hipparcos
1) Exprimer et calculer e et p en fonction de h, H et R.
2) Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.
D Période d'Hipparcos
1) Enoncer sans démonstration la troisième loi de Képler.
2) Exprimer la période Th de révolution d'Hipparcos en fonction de T, R, H et h. Calculer Th en heure.
E Ceinture de Van Hallen
1) Déterminer les valeurs numériques des angles θ1, θ2 d'entrée et de sortie de la ceinture de Van Hallen du satellite.
On donnera les valeurs comprises entre 0° et 180°.
2) Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire A balayée par
€
OS
lors d'un passage dans la ceinture de Van
Hallen.
Pour la question suivante, on prendra une valeur approchée de A = 200.106 km2.
3) Déterminer le rapport ρ = to/Th en fonction de A et Ae (aire de l'ellipse) où to est la durée totale d'inactivité d'Hipparcos sur une
période. Commenter.
On donne l'aire de l'ellipse : Ae =
€
π p2
1−e2
( )
3/ 2
.
Réponse : e =
€
H−h
2R+H+h
; p =
€
2
R+h
( )
R+H
( )
2R+H+h
; a = R +
€
H+h
2
; Th = T
€
R+H+h
2
R+H
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3/ 2
; ρ = 2
€
A
Ae
.
III Interaction nucléaire entre proton et neutron
Dans la théorie de Yukawa sur les forces nucléaires, l’interaction attractive entre un
neutron et un proton est caractérisée par l’énergie potentielle suivante, fonction de la
distance r qui sépare les deux particules :
Ep(r) =
€
K
r
e−r/a
a étant une distance caractéristique et K une constante négative d’interaction.
1) Donner l’expression de la force correspondante.
2) Donner l’expression de l’énergie potentielle effective Ep,ef en fonction de la masse
µ du système et de son moment cinétique L dans le référentiel du centre de masse.
Le graphe Ep,ef(r) a l’allure représentée sur la figure ci-contre. Discuter les différents
mouvements possibles suivant la valeur de l’énergie E = Ec + E
p. Quelle est
l’équation qui relie les constantes L, a, µ, K à la valeur rm pour laquelle la dérivée
dEp,ef/dr est nulle ?
3) Calculer le moment cinétique L et l’énergie E dans le cas d’un mouvement
circulaire de rayon ro.
Réponse :
€
!
F =K
r21+r
a
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
e−r/a! e
r
;
€
Ep,ef =1
2
L2
µ r2+Ep
;
€
K1+rm
a
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
e−r
m/a+L2
µ rm
=0
;
€
L=− µ Kro1+ro
a
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
e−r
o/a
;
€
E=K
2ro
1−ro
a
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
e−r
o/a
.
0
Eo
E1
ro
r1
r
Ep,ef

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2016 – 2017 3/15
IV Forces centrales en
€
1 / r2
Partie A : Résultats généraux
On s’intéresse dans ce problème aux mouvements de satellites ou de météorites en interaction gravitationnelle avec la Terre. L’étude se
fera dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, la Terre étant une sphère homogène de centre
€
T
, de rayon
€
RT
, et de
masse totale
€
MT
. Un objet quasi ponctuel
€
P
, de masse
€
m
évolue à une distance
€
r
du centre de la Terre et à une altitude
€
h
€
(h+RT=r)
.
On note
€
G
la constante de gravitation universelle.
On note
€
ur
le vecteur unitaire de la droite
€
TP
orienté de
€
T
vers
€
P
.
Dans tout le problème, on utilisera les valeurs numériques suivantes :
* Rayon terrestre :
€
RT=6400 km
.
* Intensité de la pesanteur à la surface de la Terre :
€
go=9,81m.s−2
.
* Dans tout cette partie l’objet étudié ne sera soumis qu’à la seule
force de gravitation exercée par la Terre.
1) Exprimer la force gravitationnelle
€
F
à laquelle
€
P
est soumis, en fonction
de
€
m
,
€
MT
,
€
G
et
€
r
, puis en fonction de
€
m
,
€
RT
,
€
h
et de
€
go
.
2) Etablir que
€
F
est une force conservative et donner l’expression de
l’énergie potentielle
€
Ep
dont dérive cette force en fonction de
€
G
,
€
MT
,
€
m
et
€
r
. On choisira la constante de manière à ce que l’énergie potentielle du
satellite soit nulle s’il est infiniment éloigné de la Terre.
3) On désigne par
€
v
la norme de la vitesse de
€
P
. Exprimer l’énergie mécanique
€
E
de
€
P
.
4) Quelle est, en fonction de la distance
€
r
, la vitesse minimale
€
vmin (r)
qui permettrait à cet objet d’échapper à l’attraction terrestre.
5) Evaluer littéralement puis numériquement
€
vlib =vmin (RT)
(vitesse de libération à la surface terrestre) et
€
vmin (2RT)
.
6) Montrer que le mouvement de l’objet est plan et qu’il s’effectue suivant la loi des aires.
Partie B : Etude d’un satellite
1) Orbite géostationnaire
a) Le satellite a un mouvement circulaire de rayon
€
r
à l’altitude
€
h
.
α) Déterminer sa vitesse
€
v
en fonction de
€
h
,
€
RT
et
€
go
.
β) En déduire sa période
€
T
en fonction de
€
h
,
€
RT
et
€
go
, et son énergie mécanique totale en fonction de
€
m
,
€
h
,
€
RT
et
€
go
.
γ) On veut que le satellite soit géostationnaire, c’est à dire qu’il soit immobile par rapport à un observateur lié à la Terre.
Déterminer numériquement son altitude
€
hg
, ainsi que sa vitesse orbitale
€
vg
. Préciser quel est alors le plan de la trajectoire.
b) Zones de visibilité :
α) Déterminer la latitude maximale d’où un satellite géostationnaire est visible à la surface de la Terre.
β) En fait, à cause des perturbations apportées par l’atmosphère terrestre, un satellite n’est utilisable pour le repérage que s’il
est au moins
€
5°
au dessus de l’horizon. Déterminer la nouvelle latitude
maximale de visibilité.
γ) Pour le repérage, on utilise en fait des satellites d’orbite quasi-circulaire
de période
€
To
égale à 12 heures. Déterminer leur altitude
€
ho
.
2) Lancement d’un satellite
On ne tiendra pas compte de l’effet de l’atmosphère terrestre.
Le satellite est lancé depuis la surface de la Terre avec une vitesse initiale
€
vi=4km.s−1
, et un angle de tir
€
α
(angle de la vitesse initiale avec l’horizontale
locale au point de tir cf figure (2)) de telle manière que l’apogée de la trajectoire
soit à une altitude
€
hA=300 km
. On désignera alors par
€
rA
sa distance au centre
de la Terre.
a) Déterminer l’expression de l’énergie mécanique du satellite. En déduire sa
vitesse
€
vA
à l’apogée, ainsi que l’angle de tir
€
α
.
b) Déterminer le paramètre
€
p
et l’excentricité
€
e
de l’ellipse.

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2016 – 2017 4/15
c) A l’apogée, on communique au satellite, de façon quasi-instantanée, une vitesse supplémentaire tangente à la trajectoire pour
effectuer une mise sur orbite circulaire de rayon
€
rA
à la vitesse
€
v1
. Déterminer
€
v1
et la vitesse supplémentaire
€
Δv1
à
communiquer.
Partie C : Mouvements de météorites
1) Dans cette partie on étudie des météorites au voisinage de la Terre. Une météorite de masse
€
m
s’approche de la Terre. Au point
€
I
tel que
€
rI=9RT
, sa vitesse a pour norme
€
vI
et la direction de
€
vI
est portée par une droite à la distance
€
d
de
€
T
.
a) Exprimer l’énergie mécanique de la météorite en fonction uniquement de
€
m
,
€
vI
et
€
vlib
(vitesse de libération définie en A 5).
b) Exprimer la norme
€
LT(P)
du moment
cinétique de la météorite par rapport
€
T
à en
fonction de
€
m
,
€
d
et
€
vI
.
c) Sur la figure (3) sont dessinées plusieurs
trajectoires où (1) et (5) sont des segments de
droite, (2) est une ellipse, (3) et (7) sont des arcs de
parabole, (4) et (6) des arcs d’hyperboles.
Indiquer parmi ces trajectoires celles qui sont à
exclure et préciser pourquoi. Classer celles qui à
priori sont possibles en fonction de leur énergie
mécanique.
d) Quelle est la forme de la trajectoire
correspondant à
€
rI=9RT
et
€
vI=vlib
? Pouvez-
vous préciser la valeur de la norme de sa vitesse au
bout d’un temps très grand ?
2) On utilise les coordonnées polaires
€
r, θ
dans le plan du mouvement. Une météorite
€
P
est observée très loin de la Terre avec une
vitesse de norme
€
v∞
.
Au point
€
I
à la distance
€
rI=ro
de la Terre la norme de sa vitesse est
€
vI=vo3
où
€
vo=GM T
ro
.
La météorite passe par le point
€
J
à la distance
€
rJ=ro
2
de la Terre avec une vitesse
de norme
€
vJ
et intercepte l’axe polaire au point
€
K
à la distance
€
rK=r
1
de la
Terre.
L’équation de la trajectoire de la météorite est :
€
r( θ )=ro
1+2 cos θ
.
a) Déterminer les angles polaires en
€
I
et
€
J
(attention aux signes !).
b) Exprimer
€
r
1
en fonction de
€
ro
.
c) Déduire de l’équation de la trajectoire, la nature de la conique et son
excentricité.
d) Exprimer l’énergie mécanique
€
Eo
de la météorite au point
€
I
en fonction de
€
m
et
€
vo
. Commenter le résultat obtenu.
e) Exprimer en fonction de
€
Eo
les travaux
€
WIJ
et
€
WJK
effectués par la force de
gravitation entre les points
€
I
et
€
J
et entre les points
€
J
et
€
K
.
f) Exprimer
€
vJ
et
€
vK
en fonction de
€
vo
. Vérifier que l’on obtient
€
vK=vo(1+2)
.
g) Quelle est la direction de
€
vK
? Justifier.
h) Déterminer
€
v∞
et le paramètre d’impact
€
b
(distance de
€
T
à la droite qui
porte la vitesse à l’inifini).
Réponse :
€
vlib =2goRT
;
€
hg≈36000km
;
€
vg≈3, 08km.s−1
; λ = 81,3° puis 76,3° ;
€
ho≈20300km
;
€
vA=vi
2+2goRT 21
RT+hA
−1
RT
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
; α = 32,5° ; p = 1159 km ; e = 0,827 ; v1 = 7,74 km.s-1 ;
€
E=1
2
m vI
2−1
9
vlib
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
;
€
LT(P)=mdvI
; seuls (2) (3) (4) possibles ; (4) hyperbole ;
€
v∞=8
3
vlib
;
€
θ
I=−
π
2
;
€
θ
J=−
π
4
;
€
r
1=ro
1+2
;
€
e=2
;

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2016 – 2017 5/15
€
Eo=1
2
mvo
2
;
€
WIJ =2Eo
;
€
WJK =2 2 −1
( )
Eo
;
€
vJ=5vo
;
€
v∞=vo
;
€
b=ro
.
V Dans l’espace
Données : Masse de la Terre : MT = 5,97.1024 kg Rayon de la Terre : RT = 6,38.106 m
Masse du Soleil : MS = 333.103.MT Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 S.I.
Jour sidéral : Tsid = 86 164 s
1) Lancement d’un satellite
On étudie le lancement d’un satellite artificiel à partir d’un point O de la surface terrestre.
a) Etablir l’expression de la vitesse du point O dans le référentiel géocentrique Rg (assimilé ici à un référentiel galiléen) en
fonction de la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de l’axe de ses pôles Ω, du rayon terrestre RT et de la latitude du
lieu λ.
b) En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement du satellite. Parmi les trois champs de tirs suivants, lequel
choisir de préférence ?
Baïkonour au Kazakhstan λ = 46° ; Cap Canaveral aux USA λ = 28,5° ; Kourou en Guyanne française λ = 5,23°.
2) Champ de gravitation
On considère que la Terre de masse MT et de rayon RT a une répartition de masse à symétrie sphérique et une masse volumique ρ.
a) Enoncer la loi de la gravitation universelle.
b) Montrer qu’en un point situé à une distance r du centre de la Terre (r > RT), le champ de gravitation peut se mettre sous la
forme :
€
!
G =−GMT
r2
!
e
r
. Définir le vecteur
€
!
e
r
.
3) Lancement d’un satellite artificiel
a) Etablir l’expression de l’énergie potentielle de gravitation du système {Terre-satellite} en fonction de l’altitude z du satellite
par rapport au sol. On prend pour référence une énergie potentielle nulle à l’infini. En déduire l’expression de l’énergie
mécanique du satellite sur sa base de lancement dans le référentiel géocentrique.
b) On appelle ici vitesse de libération vl, la vitesse verticale minimale qu’il faut communiquer initialement au satellite par
rapport au sol, pour qu’il puisse se libérer de l’attraction terrestre. Donner l’expression de vl. Calculer sa valeur numérique dans
le cas où le satellite est lancé de la base de Kourou.
4) Satellite artificiel en orbite
On considère un satellite artificiel de masse m en mouvement circulaire autour de la Terre.
a) Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Etablir l’expression de la vitesse du satellite en fonction de son altitude
ainsi que la troisième loi de Képler liant la période de rotation T du satellite au rayon r de sa trajectoire.
b) Calculer le rayon de l’orbite d’un satellite géostationnaire et définir son plan de révolution.
c) Quelle énergie cinétique minimale faut-il communiquer au satellite pour qu’il échappe à l’attraction terrestre s’il est
initialement en orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude z ? A.N. : z = 36 000 km ; m = 6 t.
d) Soit un satellite d’énergie initiale Emo. Son orbite est relativement basse et il subit donc les frottements des hautes couches de
l’atmosphère. Il s’ensuit que l’énergie mécanique du satellite varie selon la loi : Em = Emo ( 1 + b t ), b étant un cœfficient
constant positif.
On suppose que la trajectoire reste approximativement circulaire.
Préciser le signe de Emo. Etablir l’expression du rayon r et de la vitesse v du satellite en fonction du temps. Comparer les
évolutions de r et de v ainsi que celles des énergies potentielle et cinétique. Que devient l’énergie perdue ?
5) Sonde solaire
On cherche à positionner une sonde spatiale de masse m en un point P de manière à ce que, abandonnée en ce point, la sonde reste
immobile par raport au système {Terre-Soleil}. Les positions correspondant à cette situation sont appelées « points de Lagrange ».
Soient :
• P1 et P2 les positions de Lagrange pour lesquelles le point P est aligné avec le centre T de la Terre et avec le centre S du
Soleil ; T et P se trouvant du même côté du Soleil ;
• x la distance entre la sonde et la Terre ;
• d la distance Terre-Soleil ;
• k = MS/MT.
La masse de la sonde est négligée par rapport aux masses de la Terre et du Soleil. On tiendra compte de la rotation de la Terre
autour du Soleil.
a) Déterminer les valeurs des distances SP correspondant à ces positions. Faire un schéma. On considère que x/d << 1.
b) Quel est l’intérêt de placer un satellite en l’un de ces points ? Donner un exemple de ces satellites particuliers.