Ex 1 Facile Soit deux matrices A ∈ GL n(K) et B ∈ Mn(K). Montrer

MPSI 2 : Exercices 28 1 Matrices (2)
Ex 1 Facile
Soit deux matrices A∈GLn(K) et B∈Mn(K). Montrer que AB et BA sont semblables.
Ex 2 Facile
On note En=Kn[X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients dans le corps Kde degr´e inf´erieur ou ´egal
`a n. On d´efinit l’endormorphisme de Esuivant :
φ:E−→ E
P7→ P0+P
´
Ecrire la matrice de φdans la base canonique de E. En d´eduire que les matrices
A=
11 0... 0
0 1 2 ....
.
.
.
.
..........0
.
.
....1n
0... ... 0 1
et B=
11 0... 0
0 1 1 ....
.
.
.
.
..........0
.
.
....1 1
0... ... 0 1
sont semblables.
Ex 3 Moyen, instructif
On consid`ere la matrice P=
0 1
%
1 0 
.
a) Montrer que la matrice Pest inversible et calculer son inverse P−1.
b) Pour une matrice A∈Mn(K), calculer la matrice P AP .
c) En d´eduire qu’une matrice triangulaire inf´erieure est semblable `a une matrice triangulaire sup´
erieure.
Ex 4 Moyen
A quelle condition deux matrices Epq et Ekl de la base canonique de Mn(R) sont-elles semblables?
Ex 5 `
A faire, instructif
Soit une matrice A∈M2(R) v´erifiant A2=Iet telle que An’est pas une matrice scalaire. Montrer que Aest
semblable `a la matrice 0 1
1 0
Ex 6 ENSI
On consid`ere un C-e.v. Ede dimension 3 et fun endomorphisme non nul de E. Montrez que f2= 0 si et
seulement s’il existe une base ede Etelle que
Mate(f) = 
0 1 0
0 0 0
0 0 0
Ex 7 Moyen
Soit un K-espace vectoriel de dimension finie net un endomorphisme f∈L(E) de rang 1.
a. Si l’on suppose que Ker f∩Im f={0E}, montrer qu’il existe une base εde Eet un scalaire λ∈Ktels
que
Matε(f) = 
λ0... 0
0.
.
..
.
.
.
.
..
.
..
.
.
0 0 ... 0
b. En d´eduire que pour tout endomorphisme fde rang 1, il existe un scalaire α∈Ktel que f2=αf .
c. Soit une base equelconque de E, et un endomorphisme f∈L(E) quelconque. On note B= Mate(f) la
matrice de l’endomorphisme fdans la base e. Montrer l’´equivalence
rg(f) = 1
(i)⇐⇒ ∃(X,Y )∈Mn1(K)2non nuls tels que B=XtY (ii)
(On se contentera de la d´emonstration dans le cas o`u Ker f∩Im f={0E}).

MPSI 2 : Exercices 28 2 Matrices (2)
Corrig´e des exercices
Q1 Si Aest inversible, il suffit d’´ecrire
AB =A(BA)A−1
Q2 Dans la base canonique, la matrice de φest Apuisque φ(1) = 1 et ∀k≥1, φ(Xk) = kXk−1+Xk. En consid´erant
la base de Taylor, t=1,X, X2
2! ,...,Xn n!, la matrice de φdans cette base est B. Les deux matrices Aet B
repr´esentent le mˆeme endomorphisme dans deux bases diff´erentes, elles sont semblables.
Q3 a) Soit E=Rnet e= (e1, . . . ,en) la base canonique. Alors ∃!u∈L(E) tq Mate(u) = P. On a ∀i∈[1,n],
u(ei) = en−i+1 et u2(ei) = eiet donc P2=I. Par cons´equent, P∈GLn(R) et P−1=P.
b) Puisque P=Pn
k=1 Ek,n−k+1,
P AP =X
1≤i,j,k,l≤n
aij Ek,n−k+1Eij En−l+1,l =X
i,j,k,l
δn+1−k,iδj,n+1−lEk,l =X
k,l
an+1−k,n+1−lEkl
La matrice P AP s’obtient en faisant deux sym´etries de Apar rapport aux deux diagonales.
c) Puisque P−1=P,P AP −1est une matrice triangulaire sup´erieure lorsque Aest une matrice triangulaire
inf´erieure.
Q4 Consid´erons l’espace vectoriel E=Knmuni de sa base canonique.
a. Une condition n´ecessaire est que les matrices aient mˆeme trace. Donc si p=qet k6=l, (ou bien p6=qet
k=l), les deux matrices ne sont pas semblables.
b. Montrons que deux matrices Epp et Eqq (p6=q) sont semblables. Soit ul’unique endomorphisme de E
tel que Mate(u) = Epp. Consid´erons la base e0obtenue en permutant les deux vecteurs epet eq. Dans
la base e0, la matrice de uest Eqq . Par cons´equent, les deux matrices Epp et Eqq repr´esentent le mˆeme
endomorphisme dans deux bases diff´erentes : elles sont semblables. Compl´ement : ´ecrivez la matrice de
passage de la base evers la base e0, et son inverse.
c. Soient quatre indices (p,q)∈[[1,n]]2avec p6=qet (k,l)∈[[1,n]]2avec k6=l. Notons ul’unique endomor-
phisme ayant pour matrice Epq dans la base e. Consid´erons la base e0obtenue en ´echangeant les vecteurs
eq↔elet ep↔ek. Alors la matrice de l’endomorphise udans la base e0est la matrice Ekl (faire un
dessin et v´erifier ce r´esultat mˆeme lorsque p=qou k=l). Donc les matrices Epq et Ekl sont semblables.
Pouvez-vous ´ecrire la matrice de passage Pe→e0correspondante? Quel est son inverse?
Q5 Soit E=R2et e= (e1,e2) la base canonique de E. Il existe un unique endomorphisme ude Eayant Acomme
matrice dans la base e. Puisque A2=I,u2= id et donc uest une sym´etrie vectorielle. Comme An’est pas
scalaire, u6= id et u6=−id. Par cons´equent, aucun des noyaux n’est r´eduit au vecteur nul. Ce sont des droites
vectorielles car on sait que
E= Ker(u−id) ⊕Ker(u+ id)
Consid´erons f16= 0 un vecteur de Ker(u−id) et f26= 0 un vecteur de Ker(u+ id). D’apr`es le th´eor`eme sur les
bases adapt´ees `a une somme directe, f= (f1,f2) est une base de E. Dans cette base,
D=Matf(u) = 1 0
0−1
De la mˆeme fa¸con, il existe un unique endomorphisme vayant B=0 1
1 0comme matrice dans la base
canonique. Comme B2= id, le mˆeme raisonnement montre que vest une sym´etrie vectorielle et permet de
construire une base gdans laquelle Matg(v) = D.
Par cons´equent, puisque Aet Dsont semblables et que Bet Dsont semblables, on en d´eduit que Aet Bsont
semblables.
Q6 Si f2= 0, Im f⊂Ker f. D’apr`es le th´eor`eme du rang,
dim Im f+ dim Ker f= 3
Comme dim Im f≤dim Ker f, il vient que 3 ≤2 dim Ker fet donc que dim Ker f≥2. Comme fn’est pas
l’endomorphisme nul, dim Ker f= 2 et dim Im f= 1. Donc il existe un vecteur e1∈Enon-nul tel que
Im f= Vect(e1). On compl`ete en une base (e1,e3) de Ker fque l’on compl`ete ensuite en une base (e1,e2,e3) de
E. Comme f(e2)∈Im f, il existe λ∈Rtel que f(e2) = λe1. Mais λn’est pas nul (sinon f= 0) ; on pose alors
ε2=1
λe2. La matrice de fdans la base e= (e1,ε2,e3) est de la forme souhait´ee. La r´eciproque est ´evidente.
Q7

MPSI 2 : Exercices 28 3 Matrices (2)
a. D’apr`es la formule du rang,
n= dim Ker f+ rg f
donc Ker fest un hyperplan de Ede dimension (n−1). Comme rg(f) = dim Im f= 1, il existe un
vecteur a6= 0 tel que Im f= Vect(a). Puisque l’on a suppos´e que Im f∩Ker f={0E}, et que dim Im f+
dim Ker f=n, on sait que
E= Vect(a)⊕Ker f
le syst`eme (a) est une base de Im f, et si l’on suppose n≥2, puisque Ker f6={0E}, il existe une base
de Ker fde la forme (ε2...,εn). Le th´eor`eme de la base adapt´ee `a une somme directe nous dit alors que
le syst`eme ε= (a,ε2,...,εn) est une base de E. Comme f(a)∈Im f= Vect(a), il existe λ∈Ktel que
f(a) = λa. La matrice de fdans la base εest donc bien de la forme souhait´ee.
b. Dans le cas o`u a∈Ker f, on a Im f⊂Ker fet donc f2= 0. Le r´esultat est montr´e avec α= 0K.
On peut donc supposer que Im f6⊂ Ker fet alors Im f∩Ker f={0}. D’apr`es a), on a construit une base
εdans laquelle la matrice de f´etait simple : A= Matε(f) = λE11. On calcule alors A2=λ2E11E11 =
λ2E11 =λA et on en d´eduit que f2=λf.
c. Supposons que rg f= 1. Lorsque Im f∩Ker f={0}, on a construit une base εdans laquelle la matrice
de fs’´ecrivait A=λE11. Posons X0la matrice colonne avec un λsur la premi`ere ligne et des z´eros sur
les autres lignes, et Y0la matrice colonne avec un 1 sur la premi`ere ligne et des z´eros sur les autres lignes.
Un calcul direct montre que
A=X0tY0
Mais puisque les matrices Aet Brepr´esentent le mˆeme endomorphisme fdans deux bases diff´erentes ε
et e, elles sont semblables. En notant Pla matrice de passage entre la base eet la base ε, on a
A=P BP −1= (P X0)tY0P−1= (P X0)t(tP−1Y0)
et il suffit de poser X=P X0∈Mn1(K) et Y=tP−1Y0∈Mn1(K) pour avoir B=XtY.
Si l’on suppose maintenant que B=XtY, en notant X= (xi)1≤i≤net Y= (yi)1≤i≤n, la matrice B
s’´ecrit :
B= ((xiyj))1≤i,j≤n=
x1y1x1y2. . . x1yn
x2y1x2y2. . . x2yn
.
.
..
.
..
.
..
.
.
xny1xny2. . . xnyn
On s’aper¸coit que toutes les colonnes de cette matrice sont proportionnelles `a la matrice colonne X. En
utilisant l’algorithme du rang, on trouve que cette matrice est de rang 1 (la colonne Xest non-nulle).