Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

MPSI - Exercices - M´ecanique II - Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives page 1/1
Mouvement dans un champ de forces
centrales conservatives
Exercice 1. Formules de Binet et ´equations des trajectoires.
1. En posant u=1
r, montrer que, pour un mouvement `a force centrale, v2=
C2"u2+du
dθ 2#et que a=−C2u2d2u dθ2+uero`u Cest la constante des aires et
erest le vecteur radial de la base polaire.
2. En appliquant alors le principe fondamental de la dynamique `a un point mat´eriel M
de masse msoumis `a l’attraction gravitationnelle d’un gros astre O de masse M, quelle
est l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par u? En d´eduire l’´equation polaire g´en´erale des tra-
jectoires (`a t= 0, OM =r0,θ= 0, v=v0et (r0,v0) = α).
3. Pr´eciser en particulier le param`etre de la conique ainsi que son excentricit´e en fonction
des conditions initiales. Exprimer finalement l’´energie m´ecanique en fonction du para-
m`etre et de l’excentricit´e.
Exercice 2. Vecteur de Runge-Lenz.
Soit un point mat´eriel M de masse msoumis `a l’attraction gravitationnelle d’un gros astre
O, fixe dans un r´ef´erentiel galil´een R, et de masse M. Montrer que le vecteur de Runge
Lenz d´efini par A=1
GmM (v∧LO(M)) −erest un invariant du mouvement, qu’il est
port´e par l’axe polaire de la trajectoire conique et que sa norme est ´egale `a l’excentricit´e
de la conique. Les vecteurs vitesse et moment cin´etique sont ´evalu´es par rapport au
r´ef´erentiel galil´een Ret le vecteur erest le vecteur radial de la base cylindrique. Il faudra
introduire le vecteur ezorthogonal au plan de la trajectoire, et le vecteur eθ, contenu
dans le plan de la trajectoire.
Exercice 3. A propos de Spoutnik.
Le premier satellite artificiel sovi´etique, Spoutnik I, fut plac´e sur orbite en 1957. Son
apog´ee ´etait `a l’altitude hA= 947 km et son p´erig´ee ´etait `a l’altitude hP= 228 km. Nous
supposerons la Terre sph´erique, de rayon R= 6380 km. D´eterminer alors le demi-grand
axe ade la trajectoire, l’excentricit´e ede la trajectoire et le param`etre pde la conique.
D´eterminer aussi la p´eriode de r´evolution T, sachant qu’au niveau de la surface terrestre
le champ de pesanteur vaut g= 9,81 m.s−2.
Exercice 4. A propos des com`etes (d’apr`es concours).
Dans tout l’exercice, R0d´esigne le rayon de l’orbite suppos´ee circulaire de la Terre
autour du Soleil et v0d´esigne la vitesse de la Terre par rapport au r´ef´erentiel h´e-
liocentrique. Pour les applications num´eriques, nous prendrons R0= 150.106km et
v0=rGMS
R0
= 30 km.s−1, o`u MSd´esigne la masse du Soleil.
1. ´ Etude de la com`ete de Halley
Le p´erih´elie (point le plus proche du Soleil) de la com`ete de Halley se trouve `a la distance
D= 0,6R0du centre du Soleil (dont la masse MSvaut MS= 2.1030 kg), sa p´eriode
Test de 76 ann´ees terrestres. Justifier alors que la trajectoire de cette com`ete autour
du Soleil est elliptique. D´eterminer le demi-grand axe ade cette ellipse. En d´eduire
l’excentricit´e ede la trajectoire de la com`ete de Halley.
2. ´ Etude d’une com`ete parabolique
Une com`ete C dont la trajectoire est coplanaire `a l’orbite terrestre a une masse m. Son
p´erih´elie P se trouve `a une distance rp=R0/2 du centre du Soleil et la norme de la
vitesse de la com`ete en ce point P est vp= 2v0par rapport au r´ef´erentiel h´eliocentrique.
a. Quelle est la nature de la trajectoire de la com`ete C ?
b. Exprimer la norme de la vitesse vde la com`ete par rapport au r´ef´erentiel h´eliocen-
trique quand la com`ete se trouve `a une distance rdu centre du Soleil, en fonction de la
constante de gravitation Get de la masse du Soleil MS.
c. Calculer l’excentricit´e et le param`etre de la conique d´ecrite par la com`ete en fonction
de R0. Calculer aussi la distance com`ete-Soleil pour θ=−π/2 (point A) et pour
θ=π/2 (point B), les angles ´etant rep´er´es par rapport `a l’axe polaire. Les points A et
B correspondent aux intersections de la trajectoire de la com`ete avec la trajectoire de la
Terre.
d. Calculer l’angle que fait la tangente en A `a la trajectoire de la com`ete par rapport `a
la tangente en A `a la trajectoire terrestre.
e. Calculer (en jours) le temps pass´e par la com`ete `a l’int´erieur de l’orbite terrestre,
temps qui donne un ordre de grandeur de la visibilit´e `a l’oeil nu de la com`ete depuis la
Terre. Donn´ee
Zπ/2
−π/2
dθ
(1 + cos θ)2=4 3