Parallélogrammes particuliers

Chapitre 10 :
Parallélogrammes particuliers.
I- Le rectangle.
1) Définition.
Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Un rectangle possède :
 2 axes de symétries (les médiatrices des côtés)
 1 centre de symétrie (intersection des diagonales).
2) Propriétés : voir conjectures sur GeoGebra :
Propriété :
Le rectangle est un parallélogramme particulier donc, il a toutes les propriétés du parallélogramme.
Méthode pour démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle.
Etape 1 : On démontre que le quadrilatère est un parallélogramme en utilisant les propriétés du chapitre 8.
Etape 2 : On démontre que le parallélogramme est un rectangle en utilisant l’une des deux propriétés
suivantes :
 Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
 Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
II- Le losange.
1) Définition.
Un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur.
Un losange possède :
 2 axes de symétrie (ses diagonales)
 1 centre de symétrie (l’intersection des diagonales).
2) Propriétés : voir conjectures sur GeoGebra :
Propriété :
Le losange est un parallélogramme particulier, donc il a toutes les propriétés du parallélogramme.
Méthode pour démontrer qu’un quadrilatère est un losange.
Etape 1 : On démontre que le quadrilatère est un parallélogramme en utilisant les propriétés du chapitre 8.
Etape 2 : On démontre que le parallélogramme est un losange en utilisant l’une des deux propriétés suivantes :
 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
 Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
III- Le carré.
1) Définition.
Un carré est un quadrilatère ayant 4 côtés de même longueur et 4 angles droits. Un carré est à la fois un
rectangle et un losange.
Un carré possède :
 4 axes de symétrie (ses diagonales et les médiatrices des côtés)
 1 centre de symétrie (l’intersection des diagonales).
2) Propriétés : voir conjectures sur GeoGebra :
Propriétés :
 Le carré est un parallélogramme particulier, donc il a toutes les propriétés du parallélogramme.
 Le carré est un rectangle particulier, donc il a toutes les propriétés du rectangle.
 Le carré est un losange particulier, donc il a toutes les propriétés du losange.
Méthode pour démontrer qu’un quadrilatère est un carré.
Etape 1 : On démontre que le quadrilatère est un parallélogramme en utilisant les propriétés du chapitre 8.
En passant par un rectangle :
En passant par un losange :
Etape 2 : On démontre que le parallélogramme est un
rectangle en utilisant le I- 2).
Etape 2 : On démontre que le parallélogramme est un
losange en utilisant le II- 2).
Etape 3 : On démontre que le rectangle est un carré
en utilisant l’une des deux propriétés suivantes :
Etape 3 : On démontre que le losange est un carré en
utilisant l’une des deux propriétés suivantes :
 Si un rectangle a deux côtés consécutifs de
même longueur, alors c’est un carré.
 Si un losange a un angle droit, alors c’est un
carré.
 Si un rectangle a ses diagonales
perpendiculaires, alors c’est un carré.
 Si un losange a ses diagonales de même
longueur, alors c’est un carré.