espaces de matrices et de polynomes

ESPACES DE MATRICES ET DE POLYNOMES
1. Etudier si les syst`emes de matrices suivant constituent une base Bde M(2; R).
Si oui donner la matrice de passage de la base canonique `a la base B, et ´ecrire les coordonn´ees
de la matrice B=1 2
3 4dans cette base.
Dans le cas contraire, donner une base et la dimension du sous-espace que le syst`eme engendre
et ´ecrire les vecteurs du syst`eme dans cette base.
a)A1=1 1
0 0A2=0 1 0 1A3=0 0 1 1A4=1 0 1 0
b)A1=1 1
1 0A2=1 1 0 1A3=0 1 1 1A4=1 0 1 1
c)A1=1 1
1 1A2=1 1 0 1A3=1 0 0 1A4=0 1 0 0
d)A1=1 1
1 1A2=1−1 −1 1 A3=1 0 0 1A4=0 1 1 0
e)A1=1 1
1 1A2=1−1 1 1 A3=1 1 −1 1A4=1 1 1−1
2. Soit Adans M(p;R), et xun nombre r´eel.
a) Montrer que le sous-ensemble Fde M(p;R) form´e des matrices Mtelles que AM =xMA,
est un sous-espace vectoriel de M(p;R). D´eterminer Fsi A=I, puis si A=O.
b) On prend A=1 1
−1−1et p= 2. D´eterminer Fdans ce cas. Trouver une base et la
dimension de F.
3. Soit A=a b
c ddans M(2; R).
a) Calculer A2−(a+d)A. Retrouver la condition n´ecessaire et suffisante pour que Asoit inver-
sible, et exprimer l’inverse comme combinaison lin´eaire de Aet de I.
b) Soit Fle sous-espace de M(2; R) engendr´e par Aet I. D´eterminer la dimension de F, puis
montrer que le produit de deux ´el´ements de Fappartient `a F.
1

4. Dans R3[X], on donne le syst`eme Bform´e des polynˆomes.
P1(X) = (1 −X)3, P2(X) = X(1 −X)2, P3(X) = X2(1 −X), P4(X) = X3
a) Montrer que ce syst`eme est une base de R3[X].
b) En utilisant la formule du binˆome de Newton pour d´evelopper [X+ (1 −X)]k, exprimer les
polynˆomes 1,X,X2,X3en fonction des ´el´ements de B.
c) Ecrire la matrice de passage de la base canonique `a la base B, ainsi que la matrice de passage
de B`a la base canonique. V´erifier que le produit de ces deux matrices vaut bien I.
d) Dans Rn[X], on consid`ere les polynˆomes Pk+1(X) = Xk(1 −X)n−kpour kvariant de 0 `a n.
Exprimer les polynˆomes 1,X, . . . Xnen fonction des polynˆomes P1,· · · Pn+1. Qu’en d´eduit-on
pour le syst`eme (P1, . . . Pn+1)?
5. Etudier si les syst`emes de polynˆomes suivant constituent une base Bde R3[X].
Si oui exprimer les coordonn´ees du polynˆome H(X) = aX3+bX2+cX dans la nouvelle base..
Dans le cas contraire, donner une base et la dimension du sous-espace que le syst`eme engendre
et ´ecrire les vecteurs du syst`eme dans cette base.
a)P1(x) = 1 + X , P2(X) = 1 + X−X2, P3(X) = X2−X3, P4(X) = X3
b)P1(X) = 1 , P2(X) = X+ 1 , P3(X) = X2−X , P4(X) = X3+ 1
6. Soit les polynˆomes
P1(X) = X(X2−1) , P2(X) = X(X−1)(X−2) , P3(X) = X2(X−1) , P4(X) = X2+ 1 .
Ils engendrent un sous-espace Fde R3[X]. On veut d´eterminer ce sous-espace, sans d´evelopper
les polynˆomes et sans calcul matriciel.
a) Montrer que (P1,P2,P4) est un syst`eme libre.
b) Montrer que P3est une combinaison lin´eaire de (P1,P2,P4). En d´eduire la dimension de F.
c) Montrer que a+bX +cX2+dX3appartient `a F, si et seulement si il v´erifie la relation lin´eaire
a−b−c−d= 0. Comment appelle-t-on un tel sous-espace?
2

Corrig´e
1) La base canonique de M(2; R) est dans ce qui suit
a)E1=1 0
0 0E2=0 1 0 0E3=0 0 1 0E4=0 0 0 1
La matrice des coordonn´ees de Bdans cette base est donc 
1
2
3
4
.
Les syst`emes propos´es contiennent 4 matrices. On a donc une base si et seulement si le syst`eme
est de rang 4.
a) On a dans la base canonique
A1=E1+E2, A2=E2+E4, A3=E3+E4, A4=E1+E3,
et la matrice du syst`eme est donc
P=
1 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0
En effectuant un pivot sur cette matrice, on obtient
1 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0
=⇒
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 1
0 1 1 0
=⇒
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 1
0 0 1 1
=⇒
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 1
0 0 0 0
Le syst`eme est de rang 3. Ce n’est donc pas une base de M(2; R). Les trois premi`eres matrices
(A1,A2,A3) constituent une base du sous-espace engendr´e, qui est donc de dimension 3, et l’on
a la relation
A4=A1−A2+A3.
b) On a dans la base canonique
A1=E1+E2+E3, A2=E1+E2+E4, A3=E2+E3+E4, A4=E1+E3+E4,
et la matrice du syst`eme est donc
P=
1 1 0 1
1 1 1 0
1 0 1 1
0 1 1 1
En effectuant un pivot sur cette matrice, compl´et´ee par le vecteur colonne des coordonn´ees de
la matrice Bdans la base canonique, on obtient
1 1 0 1
1 1 1 0
1 0 1 1
0 1 1 1
1
2
3
4
=⇒
1 1 0 1
0 0 1 −1
0−1 1 0
0 1 1 1
1
1
2
4
=⇒
3

1 0 1 1
0 0 1 −1
0−1 1 0
0 0 2 1
3
1
2
6
=⇒
1002
001−1
0−1 0 1
0 0 0 3
2
1
1
4
=⇒
1 0 0 0
0 0 1 0
0−1 0 0
0 0 0 3
−2/3
7/3
−1/3
4
Le syst`eme est de rang 4. C’est donc une base de M(2; R). D’autre part l’´equation
B=x1A1+x2A2+x3A3+x4A4,
se traduit par le syst`eme
1 1 0 1
1 1 1 0
1 0 1 1
0 1 1 1
x1
x2
x3
x4
=
1
2
3
4
,
et le pivot pr´ec´edent donne donc les coordonn´ees de Bdans la nouvelle base :
x1=−2/3, x2= 1/3, x3= 7/3, x4= 4/3.
c) On a dans la base canonique
A1=E1+E2+E3+E4, A2=E1+E2+E4, A3=E1+E4, A4=E2,
et la matrice du syst`eme est donc
P=
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 0 0
1 1 1 0
On peut remarquer tout de suite que le syst`eme n’est pas une base, car il a deux lignes ´egales.
Donc le rang n’est pas quatre.
En effectuant un pivot sur cette matrice, on obtient
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 0 0
1 1 1 0
=⇒
0 1 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 0
=⇒
0 1 1 0
0 0 −1 1
1 0 0 0
0 0 0 0
Le syst`eme est de rang 3, et (A1,A2,A4) constitue une base du sous-espace engendr´e, qui est
donc de dimension 3. De plus,
A3=A2−A4.
d) On a dans la base canonique
A1=E1+E2+E3+E4, A2=E1−E2−E3+E4, A3=E1+E4, A4=E2+E3,
et la matrice du syst`eme est donc
P=
1 1 1 0
1−1 0 1
1−1 0 1
1 1 1 0
On peut remarquer tout de suite que le syst`eme n’est pas une base, car il a deux lignes ´egales,
donc le rang n’est pas quatre.
4

En effectuant un pivot sur cette matrice, on obtient
1 1 1 0
1−1 0 1
1−1 0 1
1 1 1 0
=⇒
1 1 1 0
0−2−1 1
0−2−1 1
0 0 0 0
=⇒
1 1 1 0
0−2−1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
Le syst`eme est de rang 2, et (A1,A4) constitue une base du sous-espace engendr´e, qui est donc
de dimension 2. De plus,
A2=A1−2A4et A3=A1−A4.
e) On a dans la base canonique
A1=E1+E2+E3+E4, A2=E1−E2+E3+E4, A3=E1+E2−E3+E4, A4=E1+E2+E3−E4,
et la matrice du syst`eme est donc
P=
1 1 1 1
1−1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1
En effectuant un pivot sur cette matrice, compl´et´ee par le vecteur colonne des coordonn´ees de
la matrice Bdans la base canonique, on obtient
1 1 1 1
1−1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1
1
2
3
4
=⇒
1 1 1 1
0−2 0 0
0 0 −2 0
0 0 0 −2
1
1
2
3
=⇒
1 0 1 1
0−2 0 0
0 0 −2 0
0 0 0 −2
3/2
1
2
3
=⇒
1 0 0 1
0−2 0 0
0 0 −2 0
0 0 0 −2
5/2
1
2
3
=⇒
1 0 0 0
0−2 0 0
0 0 −2 0
0 0 0 −2
4
1
2
3
Le syst`eme est de rang 4. C’est donc une base de M(2; R). D’autre part, l’´equation
B=x1A1+x2A2+x3A3+x4A4,
se traduit par le syst`eme
1 1 1 1
1−1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1
x1
x2
x3
x4
=
1
2
3
4
,
et le pivot pr´ec´edent donne donc les coordonn´ees de Bdans la nouvelle base :
x1= 4 , x2=−1/2, x3=−1, x4=−3/2.
2) a) On v´erifie les propri´et´es de sous-espace vectoriel. Tout d’abord
AO =xOA =O ,
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