L`indépendance linéaire Algèbre linéaire I --

L’ind´ependance lin´eaire
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 18 janvier 2011

Rappel : syst`eme homog`ene
Un syst`eme lin´eaire homog`ene comme
1 2 −3
3 5 9
5 9 3
x1
x2
x3
=
0
0
0
peut ˆetre mis sous la forme d’une ´equation vectorielle
x1
1
3
5
+x2
2
5
9
+x3
−3
9
3
=
0
0
0
L’´equation vectorielle a la solution triviale 
x1
x2
x3
=
0
0
0
=0.
Mais est-ce la seule solution ?

Ind´ependance lin´eaire (p. 65)
D´efinition
Un ensemble indic´e de vecteurs {v1,v2, ..., vp}de IRnest dit
lin´eairement ind´ependant si l’´equation vectorielle
x1v1+x2v2+···+xpvp=0
n’admet que la solution triviale.

D´ependance lin´eaire (p. 65)
D´efinition
Un ensemble indic´e de vecteurs {v1,v2, ..., vp}de IRnest dit
lin´eairement d´ependant s’il existe des poids c1, c2, ..., cpnon
tous nuls tels que
c1v1+c2v2+···+cpvp=0.
D´efinition
L’´equation
c1v1+c2v2+···+cpvp=0.
o`u les poids c1, c2, ..., cpne sont pas tous nuls est appel´ee une
relation de d´ependance lin´eaire entre les vecteurs v1,v2, ..., vp.

(In)d´ependance lin´eaire – Exemple
Exemple : Soit v1=
1
3
5
,v2=
2
5
9
,v3=
−3
9
3
.
a. D´eterminez si {v1,v2,v3}est lin´eairement ind´ependant.
b. Si possible, donnez une relation de d´ependance lin´eaire entre
v1,v2et v3.