pdf]

X
ϕ(t) = E(eitX).
|eitx|=1
ϕ(t)X
•ϕ(0) = 1.
•ϕ′(0) = iEX. •ϕ′′(0) = −EX2.
X Y ϕX(t)
ϕY(t)Z=X+Y
ϕZ(t) = ϕX(t)ϕY(t).
X ϕ(t)Y=aX +b
a, b ∈Neitbϕ(at)
X
[a, b]
ϕ(t) = EeitX =1
b−aZb
aeitxdx =eitb −eitb
it(b−a).
N(0,1)
ϕ(t) = EeitX =1
√2πZ∞
−∞ e−1
2x2eitxdx.
ϕ(t) = 1
√2πZ∞
−∞ e−1
2(x2−2itx)dx
=e−t2
2
√2πZ∞
−∞ e−1
2(x2−2itx+(it)2)dx
=e−t2
2
√2πZ∞
−∞ e−1
2(x−it)2dx.

y=x−it
√2
ϕ(t) = e−t2
2
√2πZ∞
−∞ e−y2×√2dx
=e−t2
2
λ
ϕ(t) = Z∞
0λe−λxeitxdx =λZ∞
0ex(−λ+it)dx =λ
λ−it.
X p n
0≤p≤1q= 1 −p
P r(X=k) = n!
k!(n−k)!pkqn−k.
n
p
n−
ϕ(t) = (q+peit)n.
N
XNG(z)
ϕ(t) = G(eit).
†
†
X
µ V ǫ > 0
P r (|X−µ| ≥ ǫ)≤V
ǫ2.

Xnλ n
•p n ∞P r |Xn
n−p| ≥ ǫ→0
ǫ > 0
•n∞p0np →λ > 0
P r(Xn=k)e−λλk
k!
Xn
n
XnXn
n
pXn
Xn, n ∈NXn
•XnX
ǫ > 0
lim
n→∞P r (|Xn−X| ≥ ǫ)= 0.
•XnX
a X
lim
n→∞P r(Xn≤a) = P r(X≤a),
Fn(x)XnF(x)X
F(x)
Xn
µ V
Mn=1
nPn
1Xi
µ
n

Xnn= 1,2,3, ...
µ V =σ2>0Mn
Mn=1
n
n
X
1
Xn.
√n(Mn−µ)n→ ∞
σ2
[a, b]R
lim
n→∞P r √n(Mn−µ)∈[a, b]=1
σ√2πZa
bexp −x2
2σ2!dx.
Xnn= 1,2,3, ...
p n 0< p < 1
Xn−np
√nn→ ∞
N(0,qp(1 −p))
p n