2 Dénition. La fontion aratéristique (f..) d'une v.a. X est dénie par : ϕ(t) = E(eitX ). Étant donné que |eitx| =1, la f.. est bien dénie. Propriétés Proposition. Soit ϕ(t) la f.. de la v.a. X . On a : • ϕ(0) = 1. • ϕ′ (0) = i EX. • ϕ′′(0) = −EX 2. Fontion Caratéristique Dans le as des v.a. disrètes la fontion génératrie permet une aratérisation simple de la loi et onstitue un outil puissant et eae pour manipuler des opérations omplexes telles que la somme des v.a. indépendantes, alul des moments et étude des omportements asymptotiques de suites des v.a. Dans le as des v.a. ontinues, on doit remplaer le onept de la somme par elle de l'intégrale. Il existe plusieurs tehniques pour dénir une transformation de même performane appliable à des lois de probabilité quelonques. L'outil le plus populaire est la fontion aratéristique 1 1 2 e− 2 x eitxdx. 2 e− 2 (x−it) dx. 1 1 2 2 e− 2 (x −2itx+(it) )dx 1 2 e− 2 (x −2itx)dx −∞ Z ∞ Exemple 2 (Loi Normale). Nous alulons la f.. de la v.a. suivant une loi normale entrée-réduite (N (0, 1)). On a : −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ 1 ϕ(t) = EeitX = √ 2π Nous avons alors : t2 1 ϕ(t) = √ 2π e− 2 = √ 2π t2 e− 2 = √ 2π 4 = aX + b, Proposition. Soient X et Y des v.a. indépendantes de f.. ϕX (t) et respetivement. Alors la v.a. Z = X + Y admet la f.. ϕY (t) ϕZ (t) = ϕX (t) ϕY (t). Proposition. Si la f.. de la v.a. X est ϕ(t), alors la v.a. Y où a, b ∈ N vaut eitbϕ(at). Quelques Exemples Z b 1 eitb − eitb . eitxdx = b−a a it(b − a) Exemple 1 (Loi Uniforme). Reonsidérons la v.a. X uniformément répartie dans [a, b]. Sa fontion aratéristique vaut : ϕ(t) = EeitX = 3 n! pk q n−k . k!(n − k)! Exemple 4. Soit X une v.a. binomiale de paramètres p et n. On suppose 0 ≤ p ≤ 1 et on pose q = 1 − p. Évidemment, on peut aluler la f.. diretement à partir de l'expression de la loi probabilité : P r(X = k) = Mais, sahant que la v.a. binomiale est la somme de n v.a. identiques et indépendantes de Bernoulli de paramètre p, une méthode plus subtile onsiste à aluler la f.. de la loi de Bernoulli ; la f.. de la v.a. sera alors, d'après la proposition sur la f.. de la somme de v.a. indépendante, la n−ème puissane de la f.. de Bernoulli. Don : ϕ(t) = (q + peit )n. 6 Dans le as des v.a. à valeurs dans N, si la f.g. est disponible, on peut la transformer en f.. : Z ∞ −∞ 2 e−y × √ 2dx √ , Cette dernière intégrale, suggère la hangement de variable y = x−it 2 et l'on aura : t2 = e− 2 t2 2π e− 2 ϕ(t) = √ Z ∞ 0 λe−λx eitxdx = λ Z ∞ 0 ex(−λ+it) dx = λ . λ − it Exemple 3 (Loi Exponentielle). Pour la f.. de la loi exponentielle de paramètre λ, nous avons : ϕ(t) = 5 Il faut noter que le alul de la f.. ne se limite pas aux v.a. admettant une densité. Calulons à titre d'exemple la f.. d'une v.a. binomiale. Convergene Stohastique Proposition (Inégalité de Bienaymé-Thebyhev). Soit v.a. d'espérane µ et de variane V . Alors, pour tout ǫ > 0 : V P r (|X − µ| ≥ ǫ) ≤ 2 . ǫ X une Dans la suite, nous étudions très sommairement ertaines notions d'approximation pour une suite de v.a. Il existe plusieurs dénitions de onvergenes pour une suite de v.a. Elles ne sont pas équivalentes et ertaines sont plus fortes que d'autres. Les onvergenes que nous allons onsidérer sont parmi les plus simples. 8 Proposition. Soit X une v.a. à valeurs dans N. Soit G(z) sa fontion génératrie. Alors sa fontion aratéristique vaut : ϕ(t) = G(eit). La formule d'inversion qui permet de onstruire la f.r. ou la densité à partir de la f.. sort du adre que nous nous sommes xé ii†. *************************************************************** 7 † Voir M. Métivier, Notions Fondamentales de la Théorie des Probabilités, Dunod, 1972. F (x) 10 de X On dit que la suite Xn onverge en loi vers la v.a. X , si pour tout a point de ontinuité de la f.r. de X : n→∞ lim P r (|Xn − X| ≥ ǫ) = 0. Dénitions. Soit Xn, n ∈ N une suite de v.a. et soit Xn une v.a. quelonque. • On dit que la suite Xn onverge en probabilité vers la v.a. X , si pour tout ǫ > 0 : • lim P r(Xn ≤ a) = P r(X ≤ a), n→∞ autrement dit, la f.r. Fn(x) de Xn onverge vers la f.r. en tout point de ontinuité de F (x). Nous en avons, d'ailleurs, déjà ité deux exemples portant sur la loi binomiale. Soit Xn une suite de v.a. binomiales de paramètres λ et n. Alors : • Si p reste xé et que n tend vers ∞, alors P r | Xnn − p| ≥ ǫ → 0, quel que soit ǫ > 0. • Si n tend vers ∞ et p tend vers 0 tels que np → λ > 0, alors k P r(Xn = k) tend vers e−λ λk! (i.e. une distribution de Poisson). Il est évident que es deux modes de onvergene, l'un pour Xnn et l'autre pour Xn, sont distints : le premier onrme que Xnn s'approhe alors que le seond montre que Xn une loi de Poisson. ave une quasi-ertitude vers p suit asymptotiquement 9 Théorème Central Limite La loi des grand nombre est très importante. Elle établit en eet un pont entre des prévisions probabilistes et des onrmations qui frisent la quasi-ertitude. Mais pour en arriver là, un grand nombre de répétitions d'épreuve est néessaire. Malheureusement la loi ne nous dit rien sur la vitesse de onvergene vers la ertitude. Le théorème entral limite a pour objetif de remédier à e problème en multipliant l'éart entre la valeur aléatoire (la moyenne) et la valeur ertaine approhée (l'espérane) par la raine arrée de de n. 12 L'inégalité de Bienaymé-Thebyhev (pour les v.a. réelles) permet de généraliser la loi des grands nombres pour les suites de v.a. indépendantes et identiquement distribuées (qui ne sont pas néessairement disrètes). Théorème (Loi faible des Grands Nombres). Soit Xn une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées, admettant haune l'espérane µ et la variane V . Alors la suite des v.a. onstituées de leurs moyennes arithmétiques, i.e. la suite Mn = n1 P1n Xi onverge en probabilité vers µ. 11 q p(1 − p)). Théorème (de Moivre-Laplae). Soit Xn, n = 1, 2, 3, ..., une suite de v.a. binomiales de paramètres p et n ; on suppose 0 < p < 1. Alors onverge en loi, lorsque n → ∞, vers une v.a. de loi la suite Xn√−np n N (0, Exemple (J. Istas). Deux andidats se présentent à une életion. Un institut eetue des sondages auprès des életeurs. Lorsque l'institut veut diviser l'erreur ommise par 10, de ombien doit-il augmenter l'eetif des sondés ? n 1 X Xn. n 1 14 Solution. On peut modéliser le nombre d'életeurs sondés favorables par une v.a. de Bernoulli de paramètres p et n. Le théorème de Moivre-Laplae nous dit que l'erreur ommise en eetuant un sondage diminue ave la raine arrée du nombre des sondés. Diviser l'erreur par 10 oblige à augmenter le nombre de sondés par 100. Mn = Théorème (Central limite). Soit Xn, n = 1, 2, 3, ..., une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées, admettant haune l'espérane µ et la variane V = σ2 > 0. Soit Mn la valeur moyenne de la suite : √ n (Mn − µ) ∈ [a, b] = 13 ! Z 1 x2 b √ exp − 2 dx. 2σ σ 2π a Alors la suite √n (Mn − µ) onverge en loi, lorsque n → ∞, vers une v.a. normale entrée et de variane σ2. Nous avons don, pour tout intervalle [a, b] de R : lim P r n→∞ On en déduit omme orollaire : Crible de Galton 16 15 17