2011TOU30135

UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Université Toulouse 3 Paul Sabatier
Institut de mathématiques de Toulouse
ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES, INFORMATIQUE ET
TÉLÉCOMMUNICATIONS (MITT)
THÈSE
présentée en vue d'obtenir le grade de
Doteur de l'université de Toulouse
Spéialité : Mathématiques
par
Alexandre DEZOTTI
sous la diretion de Xavier Bu
Titre :
Les langues de Arnold de la famille standard double
Explosion des yles dans la famille z 2 + λ
soutenue publiquement le mardi 7 juin 2011, 16h00
Rapporteurs
Adam Epstein
John Hubbard
Autres membres du jury
François Berteloot
Kevin Pilgrim
Pasale Roesh
Les langues de Arnold de la famille standard double
Explosion des yles dans la famille z 2 + λ
Alexandre Dezotti
2011
4
Table des matières
1 Quelques préliminaires
13
1.1
Notations
1.2
Sur l'appliation de Bötther, les rayons externes et la fontion de Green
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.1
Prolongement de l'inverse de l'appliation de Bötther
. . . . . . . .
14
1.2.2
Courbe des yles périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.3
Une inégalité sur la fontion de Green
15
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Les langues de Arnold de la famille des appliations standard doubles
2.1
13
. .
17
introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1
La famille des appliations standard doubles et les langues de Arnold
17
2.1.2
Classiation des langues de Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
ga,b
2.2
Propriétés générales des appliations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
Déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.1
24
2.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Retour dans la famille des appliations standard doubles
2.4.1
2.5
La déformation
. . . . . . . . . . .
27
Type du yle déformé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Chemin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1
Analytiité
2.5.2
Aboutissement du hemin lorsque le multipliateur onverge vers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.
.
30
31
31
3 Vitesse de roissane des oeients de la série de Laurent de l'inverse de
l'appliation de Bötther
35
3.1
Introdution et énonés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ψ
35
3.2
Expression de
et démonstration du lemme 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3
Un équivalent des oeients de la série entière raine arrée . . . . . . . . .
38
3.4
Preuve de la première identité du théorème 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.5
Calul de
h(η)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4 Ensembles de Julia inniment renormalisables non loalement onnexes
45
4.1
Composantes hyperboliques, sillages, membres de l'ensemble de Mandelbrot
et renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
Inégalité de Pommerenke-Lévine-Yooz pour les bords du sillage
. . . . . .
48
4.3
Ensembles de Julia non loalement onnexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5
4.4
Critère de Douady-Sullivan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5 Inégalité de Lévine sur la position des valeurs ritiques de la fontion
multipliateur
55
5.1
5.2
Préliminaires sur les formes et diérentielles quadratiques . . . . . . . . . . .
1-forme méromorphe
1-formes . . . .
55
5.1.1
Résidu d'une
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.1.2
Images diretes de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.1.3
Diérentielles quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.1.4
Diérentielles quadratiques ave parties polaires presrites
. . . . . .
60
5.1.5
Images diretes de diérentielles quadratiques
. . . . . . . . . . . . .
62
5.1.6
Parties polaires invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Dénition de la diérentielle quadratique assoiée à une fration rationnelle
et à un yle périodique
5.2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Diérene entre la diérentielle quadratique et son image direte . . .
68
5.3
L'inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.4
Une majoration sur le diamètre de membres de l'ensemble de Mandelbrot . .
77
6 Critère de non loale onnexité d'ensembles de Julia quadratiques inniment renormalisables d'après Guénadi Lévine
79
6.1
Inverse de la fontion multipliateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
6.2
Suite de renormalisations satellites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
6.2.1
Fontions d'explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.2.2
Rayon de ontrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6.2.3
Convergene de la suite des raines des bifurations satellites . . . . .
90
6.2.4
Non loale onnexité de l'ensemble de Julia du paramètre limite . . .
92
7 Modèle hypothétique d'explosion de yles
101
7.1
Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Dénition et expliation du modèle
7.3
Quelques propriétés du ompat
7.4
101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
K∞
7.3.1
Adresse d'un point dans le ompat limite
7.3.2
Lemmes de aluls
. . . . . . . . . . . . . . .
106
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
7.3.3
Résultats
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
Lien entre le modèle et son origine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
111
Introdution
Les langues de Arnold de la famille des appliations standard doubles
La famille des appliations standard doubles est la famille des appliations du erle
1
T = R/Z
dénie par
b
sin(2πx)
π
fa,b (x) = 2x + a −
ave
x ∈ T1
et paramétrée par
a ∈ T1
Il s'agit d'une famille réelle de
mod 1,
b ∈ [0, 1].
dimension 2 de perturbations de
et
la famille de revêtements
doubles du erle
x 7→ 2x + a
paramétrée par
mod 1
a ∈ T1 .
Sa dénition et son introdution dans le hamps de l'étude de la dynamique est due à
Mihaª Misiurewiz et Ana Rodrigues dans les artiles [25℄ et [26℄.
Un des buts anonés dans es artiles est la ompréhension des phénomènes liés à présene de points de ramiations dans un système dynamique. Dans e as partiulier, les
1
appliations fa,b sont de degré 2, de plus, pour tout a ∈ T , l'appliation fa,1 a un point
ritique.
Similairement
à
e
x 7→ x + a + b sin(2πx),
qui
passe
pour
l'appliation
standard
de
où ertaines portions de l'espae des paramètres
Vladimir
Arnold,
1
(a, b) ∈ T × [0, 1],
appelées langues de Arnold, orrespondent à des systèmes se omportant de façon organisée,
aratérisés par une phase asservie, il existe des regions de l'espae des paramètres de la
famille standard double dont les paramètres orrespondant possèdent un attrateur disret
indépendant des onditions initiales.
On peut assoier à e yle attratif une donnée ombinatoire liée à la dynamique de
l'appliation de doublement
x 7→ 2x mod 1.
Ces zones, lassiées ombinatoirement, sont
aussi appelées langues de Arnold. Le hapitre 2 a pour but de montrer que les langues de
Arnold de la famille des appliations standard doubles sont onnexes.
La setion 2.1 dénit le problème plus en détail.
Vitesse de roissane des oeients de la série de Laurent de l'inverse de l'appliation de Bötther
λ ∈ C tel que le polynme quadratique z 2 + λ a un ensemble de Julia non onnexe,
'est-à-dire λ ∈
/ M où M est l'ensemble de Mandelbrot. Cela entraîne que les oordonnées
de Bötther B à l'inni (normalisée de façon unique en hoisissant 1 omme valeur de la
dérivée en ∞) ne se prolongent pas sur tout son bassin.
−1
Il existe alors un rayon minimal R > 1 ave lequel on peut dénir un inverse ψ = B
sur
p
le omplémentaire du disque fermé D(0, R). Ce rayon est R =
|B(λ)|. On en déduit une
Soit
7
borne supérieure asymptotique de la roissane des oeients du développement en série
∞
X
βk
de Laurent de la fontion ψ(z) = z
:
2k
z
k=0
lim sup
p
2k+1
k→∞
|βk | =
p
|B(λ)|.
βk . Pour ela on hoisit
D(0, 1), positive sur ]0, 1[.
Le but du hapitre 3 est d'expliiter un équivalent préis pour les
une raine arrée
u 7→
√
1 + u,
Cei et l'imparité de la fontion
dénie holomorphe sur le disque
ψ
p
permettent de dénir de façon unique le nombre omplexe
B ′ (λ)
=
lim
2
z →η
z
p
1 − zη2
.
ψ(z)
Le théorème est alors le suivant.
Théorème 3.1.3 Soit α < 1. Soit λ ∈ C tel que λ ∈/ M et soit
ψ(z) = z
∞
X
βk
z 2k
k=0
l'inverse des oordonnées de Bötther Bλ du polynme quadratique f (z) = z 2 + λ.
Alors pour tout n ∈ N,
(B(λ))n
1
p
βn = − √
.
1+O
3/2
′
nα
2 πn
B (λ)
Inégalité de Lévine sur la position des valeurs ritiques de la fontion
multipliateur
On sait que sur haque omposante hyperbolique
fontion qui à un paramètre
entre
H
H
de l'ensemble de Mandelbrot, la
λ assoie le multipliateur du yle attratif est un isomorphisme
et le disque unité. En outre ette fontion se prolonge holomorphiquement sur un
voisinage du sillage de
H
et, dans le sillage, n'est de module inférieur ou égal à
1
que sur
H.
Les positions des points ritiques de ette fontion restent à déterminer de façon globale.
L'inégalité suivante permet d'exlure une zone préise au voisinage de la omposante
H.
Théorème 5.3.1 Soit d ∈ N tel que d ≥ 2. Soit C ≥ 2, il existe des onstantes M > 1,
K0 > 0 et K1 > 0 qui ne dépendent que de C telles que, pour tout λ ∈ C tel que |λ| ≤ C et tel
que le polynme z d + λ possède un yle répulsif de période m de multipliateur ρ (dépendant
de λ), on a
ρ̇ m
m |ρ − 1| ≤ K0 M
log |ρ| + K1 ,
(1)
ρ
8
où ρ̇ désigne la dérivée de la fontion multipliateur ρ par rapport au paramètre λ.
Le théorème i-dessus est une généralisation du théorème 3 de [19℄ qui est valable pour
2
la famille z + λ. Guénadi Lévine démontre elui-i en utilisant des tehniques analytiques,
notamment de déformations quasionformes. À l'origine il sert d'outil pour ontrler les
explosions de yles le long d'une suite de bifurations satellites suessives et parvenir au
ritère de non loale onnexité de l'ensemble de Julia dont on parle plus loin.
2
Il s'est avéré que l'on peut se passer de se théorème pour la famille z + λ.
L'idée générale de la démonstration est la relation profonde qu'il y a entre diérentielles quadratiques et le otangent de l'espae des déformation d'une famille déterminée de
fontions rationnelles (voir [10℄). Par e biais on peut expliiter la relation algébrique liant
variation du multipliateur d'un yle et elle de la valeur ritique. C'est, entre autres, de
ette relation que provient l'inégalité i-dessus.
Pour e faire il a fallu, étant donnés une fration rationnelle
f
dont le multipliateur est distint de
1
et
quadratiques, invariantes le long du yle
b
0,
f
et un yle périodique
b de
expliiter les parties polaires de diérentielles
(f proposition 5.1.16).
Une telle diérentielle quadratique peut être hoisie de façon unique modulo le hoix
d'un ensemble reeptale de trois ples omptés ave multipliités. Pour les polynmes il est
∞, la diérentielle quadratique obtenue s'érit, lorsque
b = (b0 , . . . , bm−1 ) à 1,
ommode de mettre un ple triple en
l'on a xé le résidu en les points de
2
q(z)dz =
m−1
X
j=0
1
αj
+
2
(z − bj )
z − bj
dz 2 ,
(f ◦m )′′ (bj )
, où ρ est le multipliateur du yle b.
ρ(ρ−1)
L'invariane des parties polaires met à jour la relation entre variation du multipliateur
ave
αj =
et déplaement de la valeur ritiques dans la formule (théorème 5.2.5) :
q − f∗ q = −
1 ρ̇ 1
dz 2 ,
λ̇ ρ z − λ
où les points représentent les dérivées par rapport au paramètre
f (z) = z d + λ.
λ,
qui est aussi la valeur
ritique de
La suite de la démonstration met en jeu des estimations sur la perte de masse par poussée
en avant de la diérentielle quadratique
q
par la fration rationnelle
f
(voir [11℄).
Ensembles de Julia quadratique inniment satellite renormalisables
Les polynmes inniment satellite renormalisables sont les polynmes quadratiques
dont les paramètes
λ
z 2 +λ
se trouvent à l'intersetion d'une suite innie de opies de l'ensemble
de Mandelbrot suessivement attahées les unes aux autres (voir [7℄, [22℄).
La dynamique de es polynmes et la topologie de l'espae des paramètres en es points
sont mal onnues et leur étude est liée à la question de la loale onnexité de l'ensemble de
Mandelbrot.
9
On peut voir le phénomène de bifuration satellite omme l'explosion d'un yle périodique en un yle de période multiple de la préedente. Cette explosion est en fait la ollision
d'un premier yle ave un seond yle en un paramètre ou le multipliateur du premier
yle est une raine de l'unité et elui du seond est
1.
Ce phénomène est formalisé par la
dénition de fontions d'explosions, f. proposition 6.2.2 qui s'applique au as d'une famille
de germes générale.
Un polynme quadratique
z2 + λ
inniment satellite renormalisable orrespond don
à une suite de yles qui sont issus des yles qui les préèdent par une explosion. À de
tels polynmes
on peut assoier une donnée ombinatoire qui est une suite de nombres
pn
rationnels
appelés nombres de rotation. Il s'agit de l'angle interne en lequel la
qn
n∈N
opie de Mandelbrot suivante est rattahée à la préédente dans la suite de opies ajaentes
auxquelles appartient le paramètre
λ.
Non loale onnexité de l'ensemble de Julia
Les polynmes quadratiques inniment renormalisables font partie de eux pouvant avoir
un ensemble de Julia non loalement onnexe (voir [14℄). Le théorème de Guénadi Lévine
(f. [19℄) donne une ondition expliite sur la suite des nombres de rotation qui implique que
l'ensemble de Julia du polynme orrespondant n'est pas loalement onnexe.
La ondition est la suivante. Si la suite de nombres entiers
suite de nombres rationnels
pn
qn
n
vérie :
pn+1 1/qn
lim sup < 1,
qn+1 n→∞
(qn )n
tend vers
∞
et que la
(2)
2
alors
le polynme z + λ inniment satellite renormalisable de suite de nombres de rotation
pn
a un ensemble de Julia qui n'est pas loalement onnexe.
qn
n
Je présente une version simpliée de la démonstration de Guénadi Lévine.
Une partie du problème est de montrer que la donnée de la suite des nombres de rotation
et d'une omposante hyperbolique initiale sut, dans le as qui nous onerne, à aratériser
2
le polynme quadratique z + λ de façon unique (voir setion 6.2.3).
La démonstration repose sur un ontrle des explosions de yles. Pour ela on doit
onsidérer des domaines où e ontrle est possible grâe notamment aux inégalités de
Pommrenke-Lévine-Yooz que l'on applique, en plus des as habituels, aux bords du sillage,
là où le nombre de rotation est nul (f. setion 4.2). On peut onstruire une suite de domaine
où l'on suit les yles, via des fontions impliites et des fontions d'explosions (proposition
6.2.6) et utiliser la ompaité et des inégalités de distortion pour avoir le ontrle voulu
(orollaire 6.2.18). Ainsi on voit que le ritère de Douady-Sullivan s'applique (voir setion
4.4).
10
Un modèle pour les inniment satellite renormalisables
J'expose un modèle de la situation en question dans le dernier hapitre 7. Je réfère aux
setions 7.1 et 7.2 pour plus de détails sur le problème.
Plan-résumé
Le ontenu se déoupe de la façon suivante. Les première et deuxième parties onernent
mes travaux autour de la mise en pratique de tehniques de la dynamique holomorphe à un
problème de la dynamique du erle et d'une étude analytique des oordonnées de Bötther
et. La suite est onsarée aux polynmes quadratiques inniment satellite renormalisables
en lien ave les ensembles de Julia non loalement onnexe.
Pour la famille des appliations standard doubles du erle, Mihaª Misiurewiz et Ana
Rodrigues ont introduit une nouvelle aeption de la notion de langue de Arnold. Je prouve
que le type d'une langue (f. dénition 2.1.1) est un bon lassiateur pour les langues de
Arnold de la famille standard double, plus préisément que les domaines d'un type donné
sont onnexes. Cei permet de onlure dénitivement que les langues de Arnold pour la
famille des appliations standard double ont vraiment la forme de langues de Arnold. La
démonstration de la onnexité onsiste en l'utilisation du prolongement du système dynamique analytique réel sur le erle en un système dynamique itératif holomorphe sur un
ouvert du plan omplexe. Sur e dernier, l'utilisation de tehniques de déformations quasionformes permet de onstruire un hemin ontinu à l'intérieur du domaine de l'espae des
paramètres onsidéré.
Je donne un équivalent préis pour les oeients du développement en série de Laurent
de l'appliation inverse des oordonnées de Bötther pour les polynmes quadratiques dont
le point ritique s'éhappe à l'inni.
La partie onsarée à l'étude des ensembles de Julia de polynmes quadratiques inniment
satellite renormalisables non loalement onnexes est divisée en plusieurs sous parties.
Je démontre une généralisation d'une inégalité qui sert à déterminer un domaine à l'intérieur duquel il n'y a pas de valeur ritique de la fontion multipliateur.
Je reprends d'abords les travaux de Guénadi Lévine sur la question. Le but est une
bonne ompréhension du méanisme des bifurations satellites suessives ainsi que des outils
(parfois impliites) et approhes que Guénadi Lévine utilise pour ontrler e qui s'y passe.
Enn, je ommene l'étude d'un modèle proposé par Xavier Bu. Il s'agit d'un modèle des
renormalisations réé de façon géométrique et générant un modèle topologique hypothétique
d'un ompat invariant dans l'ensemble de Julia de es polynmes. Les deux aspets de la
justesse et de la desription préise de e modèle restent à étudier. Si e modèle est orret,
il donne une nouvelle ondition de non loale onnexité des ensembles de Julia de polynmes
quadratiques inniment satellite renormalisables.
11
Remeriements
Je remerie toutes les personnes qui m'ont aidé pour mes travaux mathématiques durant
les presque quatre années qu'auront durée ma thèse.
Je remerie tout partiulièrement Xavier Bu, mais aussi Adam Epstein, Arnaud Chéritat, Pasale Roesh, Shishikura Mitsuhiro, John Hubbard ainsi que tous les autres ontributeurs plus ou moins importants à l'aboutissement de e travail.
Je remerie aussi les personnes qui m'ont aidé à résoudre mes problèmes ave l'administration, en partiulier André Legrand, Xavier Bu et Éri Lombardi.
12
Chapitre 1
Quelques préliminaires
1.1 Notations
L'ensemble des nombres omplexes est
surfae
C
par ajout d'un point
∞. C'est
C.
La notation
point
∞.
La surfae
dénote le ompatié de la
une surfae de Riemann que l'on onsidérera munie
C
lui-même, et d'un point distingué, le
1
est isomorphe la droite projetive omplexe P . C'est ainsi qu'elle
d'une arte privilégiée, représentée par l'ensemble
b
C
b
C
sera appelée, par abus de notation, lorsqu'elle sera sans point ni arte distinguée.
C le disque de entre c ∈ C et
en 0 dans C est noté D(0, 1) = D.
Dans
entré
de rayon
r ∈ R+
est noté
D(c, r).
Le disque unité
Lorsque l'on utilisera la métrique hyperbolique sur
on la notera dS (·, ·).
1
◦n
Étant donnée une appliation holomorphe f dénie sur P , f
désigne le n-ième itéré
◦n
de l'appliation f , 'est-à-dire la omposition, là où ela est possible, f
= f ◦ · · · ◦ f de
un disque, voire une surfae hyperbolique quelonque,
l'appliation
f n
fois ave elle même.
2
Le polynme quadratique z + λ, déni sur
b,
C
sera noté
fλ
alors que
e2π
√
−1α
z + z2
sera
α sont des nombres omplexes).
En général Jξ désigne l'ensemble de Julia d'une appliation holomorphe gξ dépendant d'un
paramètre quelonque ξ . Si les fontions gξ sont des polynmes, Kξ désignera son ensemble
noté
pα (λ
S,
et
de Julia rempli.
gξ est un polynme, le point ∞ possède
Gξ la fontion de Green orrespondante :
Si la fontion
A∞ ,
et on note
Gξ (z) :=
où
d
est le degré du polynme
gξ , z ∈ C
un bassin attratif onnexe, noté
1
log+ |gξ◦n (z)|,
n→∞ dn
lim
et
log+ = max{0, log}.
gξ est un polynme, elle admet des oordonnées de Bötther. En
partiulier si la fontion gξ (fξ ou pξ ) est un polynme quadratique, il existe une unique
appliation holomorphe Bξ dénie au voisinage du point ∞, tangente à l'identité en e point
2
et vériant Bξ ◦ fξ = (Bξ ) . La fontion Bξ est dénie sur tout le bassin attratif de l'inni
Comme la fontion
lorsque les points ritiques du polynme ne s'éhappent pas. Là où elle est dénit elle satisfait
log |Bξ | = Gξ .
13
L'inverse de l'appliation
fontion holomorphe
ψξ
Bξ
∞) sera noté ψξ . Comme la
∞ et tangente l'identité en e point
(déni au voisinage du point
est dénie au voisinage du point
elle admet un développement en série de Laurent de la forme :
ψξ (z) = z +
∞
X
bk (ξ)
k=0
où
bk (ξ)
zk
,
sont des oeients omplexes dépendant du paramètre
L'ensemble de Mandelbrot, 'est-à-dire l'ensemble des λ ∈
2
dratique z + λ a un ensemble de Julia onnexe, sera noté M.
C
ξ.
tels que le polynme qua-
1.2 Sur l'appliation de Bötther, les rayons externes et
la fontion de Green
1.2.1 Prolongement de l'inverse de l'appliation de Bötther
On rappelle que lorsque le point ritique
λ
du polynme quadratique
fλ = z 2 + λ
est
dans l'ensemble de Julia rempli, l'inverse de l'appliation de Bötther se prolonge en un isomorphisme holomorphe entre le omplémentaire dans
du disque unité fermé et le omplé-
b de l'ensemble de Julia rempli de fλ . Ce prolongement reste une onjugaison
C
2
l'appliation z 7→ z et fλ sur son ensemble de dénition.
mentaire dans
entre
b
C
Remarque 1.2.1 Dans le as ontraire (i.e. lorsque le point ritique s'éhapppe), on!peut
b
prolonger holomorphiquement l'appliation ψλ = Bλ−1 sur l'ensemble C\
D∪
√
In = f0−n ([e
−1θ
, Bλ (λ)]) et θ est un argument de Bλ (λ).
[
In
où
n∈N∗
Théorème 1.2.2 ([5℄,VIII) L'appliation λ 7→ Bλ (λ) est un isomorphisme holomorphe
entre le omplémentaire de l'ensemble de Mandelbrot dans C et le omplémentaire du disque
unité fermé.
Ce théorème permet de dénir les rayons externes dans l'espae à paramètres
omme
√
θ est l'ensemble Rθ = {λ : ∃r, Bλ (λ) = re −1θ }, 'est-à-dire
suit. Le rayon externe d'angle
l'ensemble des paramètres
passe par la valeur ritique
λ tels
λ.
que, dans le plan dynamique, le rayon externe d'angle
θ
2
Pour simplier les énonés,
on dira qu'un angle θ est périodique pour l'appliation z 7→ z
√
−1θ
si le nombre omplexe e
est périodique par ette appliation (i.e. θ mod 1 est périodique
pour l'appliation
x ∈ R/Z 7→ 2x ∈ R/Z).
Les angles périodiques bornent des domaines de
l'ensemble des paramètres appellés sillages, f le hapitre 4 pour plus de détails.
14
1.2.2 Courbe des yles périodiques
On notera
tels que
z0
Xd,m
(λ, (z0 , . . . , zm−1 )) ∈ C × Cm
d
du polynme fλ (z) = z + λ.
la ourbe algébrique onstituée des ouples
est un point périodique de période
m
exate
Par le théorème des fontions impliites, ette ourbe est lisse au voisinage des ouples
(λ, (z0 , . . . , zm−1 )) tels que (fλ◦m )′ (z0 ) 6= 1. En partiulier, la fontion ρd,m qui au ouple
(λ, (z0 , . . . , zm−1 )) assoie le multipliateur (fλ◦m )′ (z0 ) du yle orrespondant est bien dénie
et holomorphe sur l'ouvert de
Xd,m
où e multipliateur est diérent de
1.
Dans la setion 4.1, on sera amené à onsidérer l'adhérene de la ourbe
notera
Xm
X2,m
que l'on
(voir notamment théorème 4.1.1).
1.2.3 Une inégalité sur la fontion de Green
Le résultat suivant, reliant la fontion de Green d'un polynme uniritique aux multipliateurs de ses yles périodiques, sera utilisé dans la suite. On rappelle que la fontion de
Green d'un polynme est ontinue sous-harmonique sur
C et harmonique sur l'ouvert où elle
est non nulle.
Lemme 1.2.3 Soit d ∈ N tel que d ≥ 2 et soit fλ (z) = zd + λ. On suppose que l'appliation
fλ possède un yle périodique (b0 , . . . , bm−1 ) de période m et de multipliateur ρ tel que
|ρ| > 1.
On note Gλ la fontion de Green assoiée au polynme fλ . Alors
Gλ (0) ≤
log |ρ|
.
m
Remarque 1.2.4 Alexandre Eremenko et Guénadi Lévine ont démontré un résultat plus
fort et plus général dans [12℄ (f. theorem 1.6). Celui-i est équivalent au lemme i-dessus
pour le as où d = 2.
Dém.
G d'un polynme f est
log |f ◦n (z)|
Gλ (z) = max 0, lim
.
n→∞
dn
On rappelle que la fontion de Green
dénie par :
λ 7→ Gλ (0) est ontinue, positive et harmonique sur {z ∈ C : Gλ (z) > 0}.
d−1
tout z 6= 0, |fλ (z)| ≥ |z| |z|
− |λ|
. Par onséquent si le module r = |z|
|z|
La fontion
Pour
du
|λ|
> 1, le point z est dans le bassin de l'inni du polynme fλ .
r
Notons Re le maximum de 2 et du plus petit nombre réel positif vériant, pour tout r > Re ,
r d−1 − |λ|
> 1. Ce dernier nombre étant la plus grande solution de l'équation r d − |λ| − r = 0,
r
on a l'enadrement suivant :
point
z
vérie
r d−1 −
max{2, |λ|1/d } ≤ Re ≤ max{2, (2|λ|)1/d}.
15
D'autre part, lorsque |λ| > Re (e qui est vrai pour tout paramètre λ assez grand), on
Ri = (|λ| − Re )1/d . Alors, pour tout paramèrtre λ assez grand pour que la onstante
pose
Ri
puisse être dénie, le disque ouvert entré en le point
omplémentaire du disque fermé entré en
0
et de rayon
0 et de rayon Ri est envoyé dans le
Re . On a Ri ∼ |λ|1/d pour λ → ∞.
Remarque 1.2.5 Cei montre que l'ensemble de Julia du polynme zd + λ est inlus, pour
λ → ∞, dans un anneau rond de rayons d'ordre |λ|1/d et d'épaisseur d'ordre 1/|λ|1−1/d .
Considérons le yle périodique
tiennent à l'ensemble de Julia du
(dRi )m ≤ |ρ| ≤ (dRe )m . Ainsi,
(b0 , . . . , dm−1 ). Comme les points bi de e yle apparpolynme fλ , ils vérient Ri ≤ bi ≤ Re , de sorte que
log |ρ|
≥ log d + log Ri
m
1
≥ log d + log(|λ| − Re ),
d
1
e dernier terme étant équivalent à
log |λ| lorsque λ → ∞.
d
En outre, si un point z s'éhappe
du polynme fλ et que pour tout n ∈ N,
par itération
|λ|
◦n
|fλ (z)| ≥ r , où r > 0 est tel que r 1 − rd > 1, alors l'enadrement, vrai pour tout n ∈ N,
|λ|
|λ|
◦n
d
◦n+1
◦n
d
|fλ (z)| 1 − d ≤ |fλ (z)| ≤ |fλ (z)| 1 + d
r
r
entraîne l'enadrement
1
|λ|
1
|λ|
log |z| +
log 1 − d ≤ Gλ (z) ≤ log |z| +
log 1 + d .
d−1
r
d−1
r
Alors, d'après l'enadrement 1.1 vrai pour
|λ|
(1.1)
assez grand,
1
Gλ (λ)
d
1
1
1
.
≤
log |λ| +
log 1 + d−1
d
d−1
|λ|
Gλ (0) =
1
log |λ| pour λ → ∞. Il existe don une onstante positive
d
ε, ne dépendant que de |λ|, tendant vers 0 lorsque λ → ∞ telle que
Ce dernier terme est équivalent à
log |ρ|
≥ (1 + ε)Gλ (0).
(1.2)
m
∗
Soit r ∈ R+ assez grand et ε > 0 tel que l'inégalité 1.2 est vraie pour tout λ de module
+
égal à r . Lorsque la valeur de log |ρ| est 0, la fontion (λ, (z0 , . . . , zm−1 )) 7→ Gλ (0) est nulle
ar le point ritique appartient alors à l'ensemble de Julia rempli du polynme fλ . On peut
alors étendre l'inégalité 1.2 aux paramètres λ tels que |λ| ≤ r en appliquant le prinipe du
log+ |ρ|
maximum aux fontions
et (1 + ε)Gλ (0) qui sont harmoniques sur l'ouvert de Xd,m où
m
Gλ (0) > 0.
Ainsi, omme ε → 0 lorsque r → 0, l'inégalité annonée est vraie sur tout
(λ, (z0 , . . . , zm−1 )) ∈ Xd,m .
16
Chapitre 2
Les langues de Arnold de la famille des
appliations standard doubles
2.1 introdution
2.1.1 La famille des appliations standard doubles et les langues de
Arnold
Soit la famille d'appliations
Fa,b (X) = 2X + a −
ave
b
sin(2πX)
π
(a, b) ∈ R × [0, 1] et X ∈ R. Ces appliations passent
1 pour donner
(fa,b )a∈R/Z,b∈[0,1] , et que
au quotient modulo
e qu'on appellera la famille des appliations standard doubles, notée
l'on peut exprimer de façon légèrement abusive en posant :
fa,b (x) = 2x + a −
ave
x ∈ R/Z.
Les appliations
fa,b
b
sin(2πx)
π
mod 1,
sont des appliations analytiques du erle
T1 = R/Z
de degrés
2.
Un des buts énoné dans [25℄ est d'étudier ette famille en tant qu'exemple de perturbations
de l'appliation de doublement
x 7→ 2x+ a, es perturbations pouvant être ampliées jusqu'à
apparition d'une ramiation (pour tout a ∈ R/Z, l'appliation fa,1 a un point ritique dans
T1 ). Les prinipaux travaux la onernant ont été initiés par Mihal Misiurewiz et Ana
Rodrigues ainsi que Mihael Benediks ([25℄, [26℄, [24℄, [2℄).
1
On peut montrer ([25℄, [16℄ proposition 2.4.9) que pour tout (a, b) ∈ T × [0, 1], il existe
1
1
une unique appliation ϕa,b : T → T ontinue de degré 1 préservant l'orientation, vériant,
1
∀x ∈ T ,
ϕa,b ◦ fa,b (x) = 2ϕa,b (x)
17
mod 1.
Cette semionjugaison peut-être obtenue omme passage au quotient modulo
1
d'une limite
uniforme :
ϕa,b (X mod 1) :=
En outre,
ϕa,b
dépend ontinûment de
Aux appliations
appliations
fa,b ,
◦n
Fa,b
(X)
n→∞
2n
mod 1.
lim
(a, b) ∈ T1 × [0, 1].
on peut faire orrespondre, via l'appliation exponentielle, des
S1 = {z ∈ C : |z| = 1}, qui se
ga,b ,
dénies sur le erle unité omplexe
∗
prolongent en des appliations holomorphes de C :
√
ga,b (z) = e2πa
La restrition
pliation
ga,b
ga,b|S1 : S1 → S1
−1 2 −b(z−1/z)
z e
est une appliation de degré
.
2
préservant l'orientation. L'ap∀z ∈ C∗ ,
est symétrique par rapport au erle unité, 'est-à-dire
ga,b (1/z) =
1
ga,b (z)
.
En outre, l'appliation
ga,b
a exate-
ment deux points ritiques simples ou un
seul point ritique double, symétriques par
rapport au erle unité et elle ne possède
∗
pas de valeur asymptotique dans C . Il s'ensuit
que
les
(ga,b )a∈T1 ,b∈[0,1]
éléments
de
la
famille
ne peuvent avoir plus de
deux yles attratifs. Par la propriété de
symétrie de
ga,b
es yles sont de même
période, symétriques par rapport au erle
unité et sont onfondus si et seulement si
les points des yles sont sur le erle unité
(et auune préimage d'un point du erle
Fig. 2.1 Les langues de Arnold de la famille standard double (
a
en absisse,
b
qui ne se trouve pas dans le erle ne peut
être périodique par itération de
en ordonnée)
ga,b ).
Étant donné le problème du départ (étudier une famille d'appliations ontinues du
Ω des paramètres (a, b) pour lesquels ga,b admet
1
ensemble est un ouvert de T × [0, 1]. Son allure est don-
erle), on est amené à onsidérer l'ensemble
un yle attratif sur le erle. Cet
née par le dessin 2.1.1. Les omposantes onnexes de et ensemble ont été nommées langues
de Arnold par Mihal Misiurewiz et Ana Rodrigues par analogie aux langues de Arnold
de la famille des appliations standard. Ces auteurs ont montré qu'elles étaient simplement
onnexes [26℄. On remarque que, ontrairement à la famille standard, le bout des langues de
Arnold de la famille standard double se trouvent en général à des niveaux diérents de
outre, il ne peut y avoir de yle attratif lorsque
1
grande que 1 sur T .
18
b < 1/2
b. En
ar la dérivée est stritement plus
Fig. 2.2 Les graphes
(x, a(x))
La gure 2.2 montre en bleu lair et rouge les graphes des fontions
que le ouple
période
(a(x), 1)
≤ 10). Ces fontions a(x)
x
x 7→ a(x)
telles
est un point périodique de fa,1 (ave
1
sont dénies sur tout T . Les parties du graphe où a(x) est
est un paramètre pour lequel
déroissante, en rouge, orrespondent à un yle répulsif et inversement elles où la fontion
est roissantes, en bleu lair, à un yle attratif. Les intervalles (bandes horizontales) des
valeurs de
a(x)
pour lesquelles
fa,1
a un yle attratif de période inférieure ou égale à
10
sont en rose.
2.1.2 Classiation des langues de Arnold
Un moyen de lassier les langues de Arnold de la famille (fa,b )a,b est d'introduire la
1
notion de type [25℄. Pour ela, on onsidère un paramètre (a, b) ∈ T × [0, 1] tel que ga,b
1
admet un yle attratif sur le erle unité et x0 ∈ S le point du yle dont la omposante
∗
orrespondante du bassin d'attration immédiat dans C ontient les points ritiques de ga,b .
Ce point sera dit "distingué". En fait, la propriété de symétrie de la fontion
ga,b entriane que
la omposante du bassin d'attartion ontenant le point distingué ontient ses deux points
ritiques.
Dénition 2.1.1 Un ouple de paramètres (a, b) ∈ T1 × [0, 1] est dit de type τ si ga,b a un
yle attratif sur le erle tel que ϕa,b (x0 ) = τ , où x0 est le point distingué du yle attratif.
19
Fig. 2.3 Exemples de graphes de
ϕa,b
ave
(a, b) = (0.64, 0.22), (0.33, 0.59)
et
(0, 0.99)
Il est à noter que l'ensemble des types possibles est l'ensemble des points périodiques
de l'appliation x 7→ 2x mod 1, 'est-à-dire l'ensemble des nombres rationnels de la forme
k
p
, ave k ∈ {0, . . . , 2 − 2}, p étant un multiple de la période du yle orrespondant. Par
2p −1
ontinuité, le type est onstant sur les langues. Mon but était alors de montrer l'existene
d'une bijetion entre l'ensemble des langues et l'ensemble des types possibles.
Théorème 2.1.2 ([4℄ theorem 1.4) Pour tout type possible τ , il existe une et une seule
omposante onnexe de l'ensemble
Ω = {(a, b) ∈ T1 × [0, 1] : ga,b a un yle attratif sur le erle}
dont les paramètres orrespondant sont de type τ .
La démonstration de e résultat onsiste essentiellement en la onstrution d'un hemin à
l'intérieur de l'espae des paramètres reliant tout paramètres de type
de type
τ
τ
à l'unique paramètre
dont le yle orrespondant est super attratif (voir [4℄ setion 5.2 pour une preuve
de l'existene et de l'uniité d'un tel paramètre).
Théorème 2.1.3 ([4℄) Pour tout type possible τ , il existe un unique paramètre (aτ , bτ ) ∈
T1 × [0, 1] tel que gaτ ,bτ a un yle super attratif de type τ . En outre, on a bτ = 1.
Enn, tout paramètre (a, b) de type τ peut être relié à e paramètre (aτ , 1) par un hemin
ontinu dans l'ensemble des paramètres de type τ .
Dém.
(Résumé shématique) L'existene et l'uniité du paramètre
(aτ , bτ )
et
bτ = 1
est une
question d'analyse réelle exploitant les propriétés de monotonies des appliation onsidérées.
Le hemin lui-même est obtenu par déformation quasionforme. Il s'agit de faire déroître
le multipliateur du yle jusqu'à
0. Il est faile de onstruire une déformation qui ne modie
pas le type du yle.
Le fait que l'on retombe presque, après déformation, dans la famille des appliations
standard doubles est essentiellement topologique, travaillant en fait dans une famille un peu
20
plus large, stable par omposition à droite et à gauhe par des homéomorphismes de
C∗
pour
lesquels la onjuguée est enore holomorphe ([4℄ proposition 4.6). On retrouve des arguments
similaires dans les travaux de Saeed Zakeri [39℄.
La onvergene vers le paramètre
(aτ , 1)
lorsqu'on fait tendre le multipliateur vers
0
repose entre autres sur le fait que le hemin onstruit est en fait analytique et sur l'uniité
de e paramètre.
2.2 Propriétés générales des appliations
Nous étudions quelques propriétés des appliations
ga,b
ga,b
que nous utiliserons plus tard.
Étudions d'abord l'ensemble des valeurs ritiques de es appliations. Soit
g(z) = z 2 eu(1/z)+v(z) ,
où
u
et
v
p ≥ 1 et q ≥ 1. Puisque deg v ≥ 1,
g ontient 0. Le point ∞ est le seul autre point
sont des polynmes de degrés respetifs
l'ensemble des singularités essentielles de
dans et ensemble.
Le lemme suivant est utilisé dans la proposition 2.4.1
Lemme 2.2.1 La dérivée de g est g ′ (z) =
où P (z) est le polynme
z v (z) + 2z − z u (1/z). Le degré de P est p + q et son terme onstant est égal au terme
de degré q de u (et don non nul). En partiulier les points ritiques de g sont les raines de
P ave mêmes multipliités.
p+1 ′
p
1
P (z)eu(1/z)+v(z) ,
z p−1
p−1 ′
∗ 2
p = q = 1√
, on appelle (a, b, c) ∈ C/Z × (C ) des nombres omplexes vériant
v(z) + u(1/z) = 2πA −1 − (bz − c/z), ave a = A mod 1. Alors les points ritiques
de
√
1± 1−bc
2
g sont les raines du polynme quadratique bz − 2z + c, en d'autres termes :
, où
b
√
1 − bc désigne l'une des deux (quelonque) des raines arrées de 1 − bc.
∗
∗
Nous dirons qu'une appliation f : C → C est symétrique par rapport au erle unité
1
1
∗
= f (z)
si, pour tout z ∈ C , f
. En partiulier, si on suppose que g est symétrique par
z
Lorsque
c = b et a ∈ R.
p = q = 1 et que g est symétrique par rapport au erle unité
2 −(bz−b/z)
et notons ette appliation ga,b , i.e. ga,b (z) = λz e
, ave |λ| = 1. On remarque qu'il
2 −(b̃z−b̃/z)
existe une unique rotation onjuguant ga,b à une fontion gã,b̃ (z) = λ̃z e
ave b̃ ∈ R+ .
|b|
En fait la seule manière d'y arriver est de onjuguer par l'appliation linéaire z 7→
z . On
b
λ|b|
obtient λ̃ =
et b̃ = |b|.
b
rapport au erle unité, alors
Supposons maintenant que
Lemme 2.2.2 Soit a ∈ T1 , b ∈ C. Alors l'appliation
√
ga,b = e2πa
−1 2 −(bz−b/z)
z e
se restreint en une appliation monotone de S1 si et seulement si |b| ≤ 1. Si on est dans e
as, alors |b| = 1 équivaut à e que les points ritiques se trouvent sur le erle unité.
21
Dém.
Lorsque
|b| < 1
les points ritiques de
ga,b ,
partiennent pas au erle unité. Par onséquent,
lui-même, est monotone sur le erle. Comme
enore monotone lorsque
1/b
|b| = 1.
ga,b
qui sont
ga,b ,
1−
√
1−|b|2 1+
,
b
√
1−|b|2
b
qui admet une restrition de
dépend ontinûment de
ga,b
Dans e as, l'appliation
, n'ap-
S1
dans
b, la restrition est
n'a qu'un seul point ritique
et elui-i appartient au erle.
Inversement, supposons
|b| > 1.
Il est plus pratique de faire les aluls ave l'appliation
fa,|b| de ga,|b| (onjuguée à ga,b par une rotation). Les points ritiques de fa,b sont
1
les solutions de cos(2πx) =
. Ces points ritiques appartiennent à l'axe réel et la dérivée
|b|
′′
seonde fa,b (x) = −4π|b| sin(2πx) ne s'annule pas en es points. Par onséquent fa,|b| et don
ga,b |S1 ne sont pas monotones lorsque |b| > 1.
relevée
On rappelle que α est une valeur asymptotique de ga,b s'il existe un hemin ontinu
[0, +∞[→ C∗ tel que la limite de η(t) lorsque t → +∞ est 0 ou ∞ et tel que α =
η :
lim ga,b (η(t)).
Si on note Sga,b l'ensemble des valeurs singulières de la fontion ga,b , 'est-àt→+∞
dire la réunion de l'ensemble des valeurs ritiques et de l'ensemble des valeurs asymptotiques
de la fontion
ga,b ,
z ∈ §ga,b , l'appliation ga,b
−1
: C \ga,b
(Sga,b ) → C\Sga,b est
alors, au dessus de n'importe quel voisinage de
n'est pas un revêtement et réirproquement, la restrition
ga,b
un revêtement.
∗
Nous allons aluler les valeurs asymptotiques de l'appliation
ga,b .
Proposition 2.2.3 Soit λ ∈ S1 , b ∈ R∗ . Alors l'ensemble des valeurs asymptotiques de
g(z) = λz 2 e−b(z−1/z) est {0, ∞}.
Dém.
On voit, grâe au hemins
t 7→ η± (t) = ±t,
que
0
et
∞
sont des valeurs asymptotiques.
On montre alors, omme dans [39℄, qu'une valeur asymptotique
que
0
ou
∞.
Par dénition, on a
α = lim g ◦ η(t)
t→+∞
pour un hemin
η
α
ne peut être autre hose
tendant vers
0
ou vers
∞.
Par
η(t) → ∞ lorsque t → +∞.
√
Soit x, y : [0, +∞[→ R dénis par x +
−1y = −b(η − 1/η).
S'il existe c ∈ R et une suite tn → ∞ tels que x(tn ) ≥ c pour tout n, alors g(η(tn )) → ∞.
Ainsi α 6= 0 entraîne que x(t) → −∞ lorsque t → +∞. Notons arg0 la détermination
de l'argument prenant ses valeurs dans [0, 2π[. Une onséquene de e qui préède est que
√ arg0 η = arg0 x+ −b−1y + o(1) ∈ π2 , 3π
pour tout t assez grand.
2
symétrie, on peut supposer que
n )|)n est bornée, alors g(η(tn )) → 0
(|y(t
2
2
x
2
quand n → ∞. En fait, log |g[= log |η| + x = log
+ yb2 + x + o(1), don log |g(η(tn ))| =
b2
x(tn ) + o(x(tn )). Puisque x(tn ) → −∞, nous aurions g(η(tn )) → 0 quand n → ∞. En
onséquene de quoi, α 6= 0 entraîne y est non borné.
D'un autre té, s'il existe
tn → +∞
tel que
22
arg la partie imaginaire du prolongement analytique d'un hoix de log g le long du
η . Puisque log g ◦ η(t) onverge lorsque t → ∞, la fontion arg g ◦ η est bornée. Or
arg g ◦ η = y + arg λ + 2 arg η , arg η est non borné. Cei ontredit e qui préède.
Soit
hemin
On aurait aussi pu utiliser le théorème d'Ahlfors-Carleman-Denjoy pour montrer que
ga,b n'a pas de valeur asymptotique dans C∗ . Le résultat provient du fait que la fontion
b
entière fa,b (z) = 2z − a +
sin 2πz n'a pas de valeur asymptotique nie. Cela néessiterait
π
l'utilisation du fait que l'ordre de roissane de fa,b est ni. Nous rappelons ii e que nous
entendrons par ordre de roissane.
Dénition 2.2.4 Soit a un point de la sphère de Riemann P1 , U un voisinage de a et
f : U\{a} :→ C une fontion holomorphe dénie sur le voisinage épointé U\{a} de a, ayant
une singularité essentielle en a. Alors l'ordre de roissane de f prés de a est déni par :
lim sup −
r→0
log log Ma (f, r)
,
log r
où Ma (f, r) = supd(z,a)=r |f (z)| et d est la distane sphérique.
Cette dénition ne dépend pas du hoix de arte dans le domaine. Pour la famille d'appliations
(ga,b )a∈T1 ,b∈R∗ ,
les ordres de roissanes prés de
0
et
∞
sont égaux à
1.
Le dernier résultat de ette setion permet de relier les éventuels bassins attratifs aux
points ritiques de
ga,b .
Proposition 2.2.5 Pour tout (a, b) ∈ T1 × [0, 1], l'appliation ga,b peut avoir au plus deux
yles attratifs, et s'il y en a, ils sont de même période. De plus, le bassin immédiat d'un
yle attratif ontient au moins un point ritique.
Si un yle attratif appartient au erle unité, il attire les deux points ritiques et il
n'y a pas d'autre yle attratif. Dans e as les points ritiques appartiennent à la même
omposante du bassin immédiat.
Dém.
Les valeurs asymptotiques de
ga,b
n'appartiennent pas à son ensemble de dénition,
par onséquent, si z n'est pas l'un des n premiers itérés d'un point ritique de la fontion
◦n
ga,b , ga,b
est un revêtement au-dessus d'un voisinage de e point. Par onséquent les valeurs
◦n
asymptotiques de ga,b sont les mêmes que elles de ga,b .
∗
Soit n ∈ N la période du yle attratif de ga,b . Soit R > 0 le rayon maximal d'un disque
entré en
0
et sur lequel l'inverse ψ de la linéarisante orrespondante à e yle attratif est
r
r < R tel que |ρ|
> R (ρ est le multipliateur du yle).
dénie. Soit
Br := ψ(D(0, r)) ne ontient pas de valeur asymptotique ni de valeur
◦n
◦n
◦n −1
ritique de ga,b , alors ga,b : ga,b
(Br ) → Br est un revêtement. Puisque Br est simplement
◦n
onnexe, on aurait une branhe inverse de ga,b dénie sur l'ensemble Br . Alors ψ pourrait
◦n −1
être prolongée dans D(0, r/|ρ|) par la formule ψ(z) = ga,b
(ψ(ρz)) e qui ontredit la
maximalité de R < r/|ρ|.
Si on suppose que
23
◦n
ontient un point ritique ou asymptotique de ga,b . Ce ne peut
◦n
être une valeur asymptotique ar les valeurs asymptotiques de ga,b n'appartiennent pas au
domaine de dénition de l'appliation. Don le bassin immédiat du yle attratif ontient
On en onlut que
Br
au moins un point ritique.
Puisqu'il n'y a que deux points ritiques, il y a au plus deux yles attratifs. La symétrie
entraîne qu'ils ont même période. En outre, si e yle appartient au erle unité, par symétrie, les deux points ritiques appartiennent à la même omposante du bassin immédiat.
2.3 Déformation
Lemme 2.3.1 Soit (a, b) ∈ T1 × [0, 1] tels que ga,b a un yle attratif sur le erle unité de
type τ et de multipliateur λ. Alors il existe une famille (ϕρ )ρ∈]0,1[ d'homéomorphismes quasionformes ϕρ : P1 → P1 de la sphère de Riemann xant 0 et ∞, dépendant analytiquement
de la variable réelle ρ, telle que ϕλ = idP1 et tel que ϕρ onjugue ga,b à un gaρ ,bρ ayant un
yle attratif sur le erle de type τ ave multipliateur ρ :
C∗
ϕρ
/ C∗
(2.1)
gaρ ,bρ
ga,b
C∗
ϕρ
/ C∗
Démontrons e lemme. Le but est de onstruire une appliation
famille omplexe des appliations standard doubles, à partir de
que
g
mais ave un multipliateur donné
forme.
ρ ∈]0, 1[.
gã,b̃ ,
g := ga,b
appartenant à la
ayant le même type
Cei est fait par déformation quasion-
2.3.1 La déformation
◦p
une appliation linéarisante loale de g , où p est la période du yle, dénie au
1
voisinage de x ∈ S , où x est le point du yle qui se trouve dans la même omposante de
Soit
ϕ
Fatou que le point ritique de
g.
√
ϕ en x vaut ϕ′ (x) = − −1x. Cette normalisation permet
◦p
a ϕ◦g
= λg .
On supposera que la dérivée de
de dénir
ϕ
de façon unique. On
Il est faile de voir que
ϕ
est symétrique (f lemme 2.3.2 i-dessous), e qui entraîne que
−1
−1
si DR est un disque entré en 0 = ϕ(x) sur lequel ϕ
est bien dénie, alors U = ϕ (DR )
est stable par
z 7→ 1/z .
Lemme 2.3.2 Soit f une fontion holomorphe dénie sur un voisinage du erle unité,
symétrique par rapport au erle unité et ayant un yle attratif (x, f (x), . . . , f ◦p−1(x)) de
période p dans S1 ave multipliateur λ.
√
Alors λ ∈ R et la linéarisante ϕ dénie dans un voisinage de x vériant ϕ′ (x) = −1x
satisfait ϕ(1/z) = ϕ(z) et les préimages par ϕ de disques entrés en 0 sont symétriques par
rapport au erle unité.
24
Dém.
f est symétrique
ψ(z) = ϕ(1/z), on voit
Puisque
on pose
par rapport au erle unité, le multipliateur est réel. Si
ψ ◦ f = λψ ar λ est réel. De plus ψ est
ψ (x) = ϕ (x).
ψ = ϕ. Enn ϕ(z) ∈ DR ⇔ ϕ(z) ∈ DR ⇔ ϕ(1/z) ∈ DR .
failement que
′
′
holomorphe et un alul diret donne
Par uniité, il s'ensuit que
Les lemmes suivants permettent de proéder une déformation au voisinage du yle attratif.
Lemme 2.3.3 Soit α > 0 et
χ : C∗ −→ C∗
z 7−→ |z|α z.
(2.2)
Alors :
χ est un diéomorphisme réel-analytique satisfaisant χ(reiθ ) = r α+1 eiθ et χ(zz ′ ) =
χ(z)χ(z ′ ) (pour tout z, z ′ dans C∗ ) ;
on a
α/2 z
∂χ/∂z
=
.
µχ :=
(2.3)
∂χ/∂z
1 + α/2 z
α/2 En partiulier |µχ | est onstant et ||µχ ||∞ = 1+α/2 ;
log r
si α = log
− 1, χ envoie le disque DR (de rayon R) sur le disque Dr ;
R
si de plus R, r < 1, alors
|µχ | =
|1 − log r/ log R|
< 1.
1 + log r/ log R
(2.4)
On a le diagramme ommutatif suivant :
DR
z7→λz
DR
χ
χ
/D
/D
(2.5)
r
z7→ρz
r
ave ρ = χ(λ) = λ1+α (en partiulier 0 < ρ < 1).
Dém.
log r
L'appliation χ est monotone sur les rayons, χ(0) = 0 et χ(R) = R log R =
∂|z|
∂|z|
∂χ
z
z
on a
= 12 |z|
et
= 12 |z|
. Don
= α2 |z|α−2 z 2 et ∂χ
= α2 + 1 |z|α ;
∂z
∂z
∂z
∂z
Du premier point il vient :
Lemme 2.3.4 La omposition
r;
χ(λz) = χ(λ)χ(z) = ρχ(z).
ϕ
χ
U −→ DR −→ Dr
25
induit une forme de Beltrami σρ sur U , dépendant analytiquement de ρ, qui est invariante
par g :
dz
α/2
ϕ(z) ϕ′ (z) dz
σρ = µρ
·
=
·
.
dz
1 + α/2 ϕ(z) ϕ′ (z) dz
En outre σρ vérie µρ (1/z) = µρ (z) sur U .
Dém.
La dilatation
µρ
est le oeient de la forme de Beltrami
log ρ
− 1.
log λ
provient de (2.3) et (2.5) i-dessus.
tique provient de (2.3) et du fait que
L'invariane par
g
∂χ◦ϕ
. La dépendane analy∂χ◦ϕ
α=
Ainsi nous avons une forme de Beltrami σρ dénie sur un ouvert symétrique (image
−1
du disque DR par ϕ ) invariante par g ave oeient de dilatation µρ symétrique (i.e.
µρ (1/z) = µρ (z)).
On propage σρ
sur presque tout le bassin (i.e. en dehors des points ritiques et de leurs
g . La forme de Beltrami qui en résulte est
0 en dehors du bassin.
dz
la forme de Beltrami prolongée σρ = µρ
∈ L∞ est onstruite de ette
dz
préimages) attratif en la tirant en arrière par
enore symétrique et nous pouvons l'étendre à
Plus préisément,
façon (voir [35℄) :
−1
sur U = ϕ (DR ),
sur les préimages
σρ est la forme de Beltrami g -invariante donnée
g −n (U) de U , la forme σρ est donnée par :
σρ (z) =
dz
g ◦n′ (z)
◦n
µ
(g
(z))
.
ρ
g ◦n′ (z)
dz
On remarque que ette dénition fontionne pare que
ailleurs
par le lemme 2.3.4 ;
σρ
est
g -invariante
sur
U;
σ = 0.
||σρ ||∞ = ||σρ ||L∞ (P1 ) = ||σρ ||L∞ (U ) .
◦n′
Il est faile de voir que le oeient µρ est symétrique sur U . De plus, ∀n, ∀z , g
(1/z) =
◦n
◦n′
g (z). Il s'ensuit que pour tout z tel que g (z) ∈ U ,
Puisque
g
est holomorphe, on a
g ◦n′ (1/z)
µρ (1/z) = ◦n′
µρ (g ◦n (1/z)) =
g (1/z)
!
g ◦n′ (z)
µρ (g ◦n (z)) = µρ (z).
g ◦n′ (z)
Remarque 2.3.5 La variable ρ n'intervient pas dans la proédure de tirer-en-arrière idessus. Par onséquent, la forme de Beltrami σρ dépend analytiquement de ρ.
Puisque
||σχ ||∞ = ||σρ ||∞ < 1,
le théorème de Riemann mesurable (relèvement des
strutures quasionformes) donne l'existene d'un unique homéomorphisme quasionforme
Φρ : (P1 , 0, ∞, x) −→ (P1 , 0, ∞, x) tel que
la forme de Beltrami
σρ
est
Φρ -invariante. De
plus
et homéomorphisme est symétrique par rapport au erle unité (voir setion 2.2) et, grâe
26
ρ,
à la dépendane analytique en fontion de
1
pour tout z ∈ P .
Par l'invariane par
g,
on sait que (voir [1℄
g̃ := Φρ ◦ g ◦ Φ−1
ρ
les appliations
et
holomorphes sur leur domaine de dénition respetifs :
Φ−1
ρ
ϕ
ρ 7→ Φρ (z)
est analytique
−1
ϕ̃ := (Φρ ◦ ϕ−1 ◦ χ)
sont
χ
ϕ̃ : Φρ (U) −→ U −→ DR −→ Dr
Φρ (U)
Φ−1
ρ
/ DR
g
g̃
Φρ (h(U))
Φ−1
ρ
ϕ
/ h(U)
χ
/ Dr
×λ
/ λD
χ
R
(2.6)
×ρ
/ ρDr
p, omme g , ave une
Φρ (x) = x (point du yle attratif
1+α
en question). Le multipliateur de e nouveau yle est ρ = λ
. On remarque que toutes
les valeurs de l'intervalle ]0, 1[ peuvent être aetées à ρ en hoisissant la valeur de α idoine.
Il faut voir que l'on peut, en déformant g de ette façon, obtenir, après une éventuelle
renormalisation, une appliation qui appartient enore à la famille des ga,b . Dans la seLa nouvelle appliation
linéarisante loale
ϕ̃
g̃
ϕ
/U
possède un yle attratif de période
dénie dans un voisinage du point
tion suivante, on montre que, après onjugaison par une rotation onvenable, la nouvelle
appliation appartient à la famille.
2.4 Retour dans la famille des appliations standard doubles
Vérions que l'appliation
rotation
R
g̃
onstruite dans la setion préédente est onjuguée par une
à un unique élément de la famille
(ga,b )a,b .
Proposition 2.4.1 Soit (a, b, c) ∈ C/Z × C∗ × C∗ et soit ga,b,c : C∗ → C∗ dénie par :
√
ga,b,c (z) = e2
−1πa 2 −(bz−c/z)
z e
.
b préservant l'orientation xant
Soit ϕ, ψ des homéomorphismes de la sphère de Riemann C
0 et ∞.
Si l'appliation ψ ◦ ga,b,c ◦ ϕ : C∗ → C∗ est holomorphe, alors il existe (α, β, γ) ∈ C/Z ×
C∗ × C∗ tel que ψ ◦ ga,b,c ◦ ϕ = gα,β,γ .
Si on suppose que l'appliation ga,b,c est symétrique par rapport au erle unité, don que
a ∈ T1 et c = b, et que ϕ et ψ sont aussi symétriques par rapport au erle unité, alors
l'appliation gα,β,γ est aussi symétrique par rapport au erle unité, α ∈ T1 , γ = β et on a
|β| < 1 si et seulement si |b| < 1 et |b| = 1 si et seulement si |β| = 1.
Dém. On peut supposer que les homéomorphismes ϕ et ψ sont quasionformes. En eet,
soit V l'ensemble des valeurs ritiques de ga,b,c . Il ontient un ou deux points et ψ(V ) est
27
b,
l'ensemble des valeurs ritiques de h := ψ ◦ ga,b,c ◦ ϕ. Comme V est ni et par ompaité de C
1
1
il existe une isotopie ψt : P → P entre l'homéomorphisme ψ = ψ0 et un homéomorphisme
ψ1 telle que pour tout t ∈ [0, 1], ψt (0) = 0, ψt (∞) = ∞ et pour tout v ∈ V ,
ψt (v) = ψ(v). Grâe à ette dernière propriété, l'isotopie ψt peut être relevée en une isotopie
ϕt entre l'homéomorphisme ϕ = ϕ0 et l'homéomorphisme ϕ1 qui est quasionforme puisque
quasionforme
loalement omposition d'homéomorphisme quasionformes.
ϕ et ψ préservent l'orientation de C∗ , ils induisent l'identité
∗
∗
d'homologie de C à oeients entiers H1 (C , Z). Ce groupe est
d'homologie [γ] d'une ourbe γ faisant un tour autour de 0 dans la
Puisque les homéomorphismes
sur le premier groupe
engendré par la lasse
diretion direte, ainsi :
1
√
2 −1π
Z
(0,+)
h′ (z)
1
dz = √
h(z)
2 −1π
Cette intégrale dépend ontinûment des paramètres
'est une onstante indépendante de
1
√
2 −1π
Z
(0,+)
(a, b, c).
Alors :
h′ (z)
1
dz = √
h(z)
2 −1π
Z
(0,+)
′
ga,b,c
(z)
dz.
ga,b,c (z)
(a, b, c) ∈ C/Z × C × C.
Z
(0,+)
Par onséquent
′
g0,0,0
(z)
dz = 2.
g0,0,0 (z)
u : C∗ → C∗ telle que h(z) = z 2 eu(z) . An de onnaître
utiliser l'ordre de roissane de la fontion h prés de 0
Il existe don une fontion holomorphe
la fontion
et de
u
plus préisément, on va
∞.
Supposons à partir de maintenant que les homéomorphismes
ϕ
et
ψ
sont des homéo-
b.
C
K -quasionformes de
On sait que de tels homéomorphismes sont loalement
1/K . Alors, en appliquant l'inverse de la bijetion ϕ prés de ∞,
b vériant
on trouve des onstantes R∞ > 0 et C∞ > 0 telles que pour tout point z ∈ C
K
|ϕ(z)| ≥ R∞ , on a |ϕ(z)| ≤ C∞ |z| . De plus, on peut hoisir les onstantes R∞ et C∞ de
sorte que l'on ait la même hose si on remplae ϕ par ψ .
Nous estimons l'ordre de roissane de l'appliation holomorphe h au voisinage du point
∞. Puisque ϕ(z) → ∞ lorsque z → ∞, on peut supposer que |z| est telle que |ϕ(z)| ≥ R∞ .
morphismes
Hölder ontinus d'exposant
Alors :
Re − bϕ(z) +
′
c
ϕ(z)
K
|c|
|ϕ(z)|
|c|
≤ |b|C∞ |z|K +
.
R∞
≤ |b||ϕ(z)| +
|g◦ϕ(z)| ≤ C|z|2K eC |z| , pour des onstantes C, C ′ > 0. Ainsi, si |ψ◦ga,b,c ◦ϕ(z)| ≥ R∞ ,
′′
2K 2 C ′′′ |z|K
′′
′′′
alors |h(z)| = |ψ ◦ ga,b,c ◦ ϕ(z)| ≤ C |z|
e
pour des onstantes C , C
> 0. Don
l'ordre de roissane de l'appliation holomorphe h au voisinage de ∞ est ni.
Il en va de même pour l'ordre de roissane au voisinage du point 0 par un argument
tout à fait similaire utilisant la Hölder ontinuité de l'appliation ϕ prés du point 0.
Don
28
Ainsi l'appliation
u
admet un développement en série de Laurent non nul :
u(z) =
q
X
an z n ,
n=−p
(p, q) ∈ N∗ × N∗ , a−p 6= 0 et aq 6= 0.
Par dénition de h, l'appliation h a le même nombre de points ritiques
sait que la fontion ga,b,c a deux points ritiques omptés ave multipliités.
ave
que
ga,b,c .
On
On a (f. lemme 2.2.1) :
2z + z 2 u′ (z) eu(z)
1
= p−1 2z p + z p+1 u′ (z) eu(z) .
z
h′ (z) =
P (z) = (2z p + z p+1 u′(z)) est un polynme de degré exat p + q tel que P (0) 6= 0.
fontion h a p + q points ritiques omptés ave multipliités. Par onséquent p =
La fontion
Don la
q = 1,
e qui termine la démonstration de la première partie de la proposition 2.4.1.
La partie sur la symétrie est failement établie. Les équivalenes sur la majoration
ou l'identité
|β| = 1
sont onséquenes du lemme 2.2.2.
|β| < 1
1
De ette proposition il s'ensuit qu'il existe (α, β) ∈ T × D dépendant de ρ tels que
√
2 −1πa 2 −(βz−β/z)
z e
Φρ ◦ g ◦ Φ−1
. De plus nous avons dans la setion 2.2 qu'il existait une
ρ = e
−1
unique rotation R telle que R
◦ Φρ ◦ g ◦ Φ−1
ρ ◦ R appartienne à la famille d'appliations
(ga,b )a∈T1 ,b∈[0,1] .
2.4.1 Type du yle déformé
ρ ∈]0, 1[,
Étant donné
nous avons un proessus qui onstruit une appliation qui ap-
partient à la famille des appliations standard doubles par déformation d'une appliation
appartenant à une langue, de sorte que ette appliation déformée ait un yle attratif de
multipliateur
ρ.
Il nous faut vérier que le type de e yle est le même que elui du yle
orrespondant à l'appliation de départ.
Proposition 2.4.2 Le ouple de paramètres (ã, b̃) orrespondant à la fontion déformée g̃
est de type τ .
Dém.
On rappelle que
τ
est l'image par l'appliation
◦n
φã,b̃ (x) = lim Fa,b
(x)/2n
(voir [25℄) du
n→∞
point x̃ du yle attratif de gã,b̃ appartenant à la omposante du bassin ontenant les points
ritiques.
La proposition est une onséquene de la propriété d'uniité suivante onernant la semionjuguaison
φa,b .
Lemme 2.4.3 Soit f : T1 → T1 une appliation ontinue monotone. Si ϕ, ψ : T1 → T1
sont des appliations roissantes (n'inversant pas l'orientation) ontinues de degré 1 telles
que ϕ ◦ f = 2 × ϕ et ψ ◦ f = 2 × ψ , alors ϕ = ψ .
29
Remarque 2.4.4 Dans e lemme, l'hypothèse de ontinuité est superue.
Dém.
Soit
F
f
un relevé de l'appliation
une fontion roissante 'est un relevé de
Don il existe un entier
k
ϕ̃
2ϕ.
et
un relevé de l'appliation
ϕ.
Puisque
ϕ̃ ◦ F
est
tel que
∀x ∈ R, ϕ̃(F (x)) = 2ϕ̃(x) + k.
ϕ1 = ϕ̃ + k , on a ϕ1 ◦ F = 2ϕ1 . On suppose qu'on a la même propriété pour
un relevé ψ1 de ψ .
Les appliations ϕ1 et ψ1 sont roissantes de degré 1 et loalement bornées. Don la
fontion ϕ1 − ψ1 est périodique et bornée. Or
1
(ϕ1 (F (x)) − ψ1 (F (x))) ,
ϕ1 (x) − ψ1 (x) =
2
Alors, si on pose
don
pour tout
n.
n
1
ϕ1 (x) − ψ1 (x) =
(ϕ1 (F ◦n (x)) − ψ1 (F ◦n (x))) ,
2
Ainsi
ϕ1 (x) − ψ1 (x) = 0.
Le diagramme suivant est ommutatif :
T1
Ψ−1
fã,b̃
T1
Ψ
est dénie par
est de type
τ.
φa,b
fa,b
où
/ T1
exp ◦Ψ = Φ|S1 ◦ exp.
(2.7)
D
Ψ−1
/ T1
/ T1
φa,b
Don on a
/ T1
φã,b̃ = φa,b ◦ Ψ−1 .
Par onséquent
(ã, b̃)
2.5 Chemin
ρ
Le lemme 2.3.3 donne la valeur du multipliateur ρ de la nouvelle appliation gã,b̃ , 'est
= λ1+α , où α est pris dans l'intervalle ] − 1, +∞[. Alors il est lair que toutes les valeurs
dans l'intervalle ]0, 1[ peuvent être assignées à
log ρ
α = log
− 1).
λ
ρ
lorsque l'on hange le paramètre
α
(il sut
de poser
Soit
γ(ρ) := (ã(ρ), b̃(ρ)) où (ã(ρ), b̃(ρ)) est le ouple de
gã,b̃ sur le erle unité (l'appliation gã,b̃ est
restrition de
fã,b̃ ,
par la
paramètres orrespondant à
onstruite à partir de
ga,b
déformation quasionforme dérite préédemment).
Cette appliation
langue
Tτ
de type
γ
est bien dénie sur
]0, 1[,
vérie
γ(λ) = (a, b)
et est à valeurs dans la
τ.
On va montrer ette appliation
ρ 7→ γ(ρ)
est ontinue. En fait elle est réel-analytique.
Après quoi il restera à montrer qu'on peut dénir
γ(0)
et que ela doit orrespondre à un
paramètre dont l'appliation orrespondante possède un yle superattratif de type
30
τ.
2.5.1 Analytiité
La preuve de la dépendane analytique en
ρ
de
(ã, b̃) = (a(ρ), b(ρ))
se fonde sur l'étude
de la régularité de la dépendane des points et valeurs ritiques de la fontion
g̃ρ ,
issue
diretement de la déformation avant rotation, ainsi que de la rotation qui permet d'en faire
un membre de la famille des appliations standard doubles (f proposition 2.4.1).
On sait déjà, par le théorème de redressement des formes de Beltrami à paramètres,
que l'appliation ρ 7→ Φρ (z) est réel analytique pour tout z . Les points ritiques de g̃ρ =
Φρ ◦ g ◦ Φ−1
ρ , qui sont aratérisables topologiquement, sont les images des points ritiques de
g par l'homéomorphisme Φρ . Soit ω l'un des deux points ritiques de la fontion
g et ω̃ρ := Φρ (ω). Puisque l'appliation ρ 7→ Φρ (ω) est réel analytique le point ritique ω̃ρ
dépend analytiquement de ρ.
La onjugaison par une rotation Rρ permet de normaliser la déformée g̃ρ de sorte que la
−1
fontion gρ = Rρ ◦ g̃ρ ◦ Rρ soit un élément de la famille qu'on étudie. Puisque les points
√
1± 1−|b|2
2 −(bz−b/z)
sont
∈ 1b R, ela revient à ramener le
ritiques de la fontion g̃ρ (z) = λz e
b
|ω̃ρ |
point ritique sur le demi axe réel positif. Préisément, Rρ z =
z.
ω̃ρ
Par onséquent, le point ritique orrespondant pour gρ , ωρ = Rρ ω̃ρ = |ω̃ρ |, dépend lui
aussi analytiquement de ρ.
Des formules des point ritiques de gρ = ga(ρ),b(ρ) , on tire :
la fontion
b(ρ) =
2ωρ
,
1 + ωρ2
ωρ .
ρ en utilisant
l'expression de la valeur ritique de
√
2πa(ρ) −1 2 −b(ρ)(z−1/z)
gρ (z) = e
z e
et image de h(ω) par
qui est valable pour les deux points ritiques
On peut exprimer
gρ , qui est à la
Rρ ◦ Φρ . On a :
a(ρ)
en fontion de
fois image de
ωρ
par
√
e2πa(ρ)
Ainsi l'appliation
1
T × [0, 1].
−1
ρ 7→ (a(ρ), b(ρ))
=
Rρ ◦ Φρ (f (ω))
.
ωρ2 e−b(ρ)(ωρ −1/ωρ )
est un hemin analytique déni sur
]0, 1[
dans
Tτ ⊂
2.5.2 Aboutissement du hemin lorsque le multipliateur onverge
vers 0
(a, b) = (a(0), b(0)) dans la langue de
type τ , il existe un hemin ontinu ρ ∈]0, 1[7→ γ(ρ) = (a(ρ), b(ρ)) dans ette langue, dans une
diretion duquel le multipliateur du yle de type τ est ρ et tend vers 0. Il reste à montrer
que le hemin tend vers une limite dénie lorsque ρ → 0, que ette limite orrespond à un
paramètre de type τ ave yle superattratif et que e point ne dépend pas du point de
Nous avons montré que, étant donné un paramètre
départ dans la langue.
31
Montrons d'abord que la limite
b(ρ) ≤ 1
pour tout
ρ
≥ 2(1 − b)
pour tout
(a, b, x)
On remarque que
par l'orientation.
′
Puisque fa,b (x)
lim (a(ρ), b(ρ))
puisque pour
et
est l'un des points du yle attratif (de période
1
ρ → 1.
à (a, b),
lorsque
existe.
ρ→0
b > 1,
l'appliation
fa,b
ne préserve
◦p
lim(fa(ρ),b(ρ)
)′ (x(ρ)) = limρ = 0,
ρ→0
p)
de
ρ→0
fa(ρ),b(ρ) ,
la valeur de
b(ρ)
où
x(ρ)
tend vers
En partiulier, par la dépendane ontinue de la semionjuguaison
φa,b
par
(a(ρ), b(ρ)) lorsque ρ → 0, l'appliation
orrespondante a un yle superattratif de période exate p.
L'ensemble Λ des valeurs d'adhérene du hemin γ(ρ) = (a(ρ), b(ρ)) lorsque ρ → 0 est
1
inlus dans l'ensemble des points (a, 1) ∈ T × {1}. Cet ensemble Λ est ompat et onnexe
puisque 'est l'intersetion déroissante des ensembles ompats onnexes γ(]0, 1/n[). Don
1
le ompat Λ est réduit à un point ou alors ontient un ouvert non vide ]a1 , a2 [ de T × {1}.
rapport
pour toute valeur d'adhérene de
On montre son intérieur est vide.
◦p
Lemme 2.5.1 Pour tout p ∈ N, l'appliation T1 ∋ a 7→ fa,1
(1/2) ∈ T1 est stritement
roissante de degré 2p − 1.
◦p
∂
Dém. La roissane vient de l'inégalité ∂a
Fa,1
(1/2) ≥ 1, qui peut être obtenue par un alul
p
∂Fa,b
◦p+1 ◦p
∂
∂
′ ∂Fa,b
diret (voir [26℄). En eet on a
F
=
1
et la formule
F
=
(F
)
+
F
a,b
a,b ∂a
a,b
a,b
∂a
∂a
∂a
permet de faire une réurrene (la dérivée de Fa,b est positive).
Il sut maintenant de montrer que pour tout (a, b, x) ∈ R × [0, 1] × R et tout p ∈ N on
a :
◦p
◦p
Fa+1,b
(x) = Fa,b
(x) + 2p − 1
(on rappelle que
R → R).
fa,b : T1 → T1
Cette identité est vraie pour
est l'appliation quotientée dans
p = 1,
T1
en outre, une réurrene sur
p
de l'appliation
Fa,b :
donne :
◦p+1
◦p
Fa+1,b
(x) = Fa+1,b (Fa+1,b
(x))
◦p
= Fa,b (Fa,b (x) + 2p − 1) + 1
◦p+1
= Fa,b
(x) + 2p+1 − 1.
Maintenant nous montrons que la limite est unique. Sinon le point
point ritique de
a ∈]a1 , a2 [,
ga,1 ,
serait un point
p-périodique
1/2,
pour toutes les appliation
qui est le seul
fa,1
telles que
e qui impossible d'après e qui préède. La limite est don unique.
′
En eet, e paramètre possède un type τ ,
1
mais puisque l'ensemble des paramètres d'un type donné est un ouvert de T × [0, 1], toutes
′
les valeurs du hemin assez prohe du paramètre limite (a, 1) doivent être aussi de type τ ,
′
e qui entraîne que τ = τ .
Le type du paramètre limite
(a, 1)
doit être
32
τ.
Lemme 2.5.2 Soit p ∈ N∗ , (a, b) ∈ T1 , X ∈ R. Soit k ∈ N tel que k < 2p − 1 et x = X
◦p
mod 1 ∈ T1 . Si Fa,b
(X) = X + k alors φa,b (x) =
Dém.
k
.
2p −1
On a :
◦n
Fa,b
(X)
mod 1,
φa,b (x) =
lim
n→∞
2n
◦np
Fa,b
(X)
=
lim
mod 1.
n→∞
2np
Or
◦p
Fa,b
(X) = X + k
don :
◦np
Fa,b
(X)
lim
=
np
n→∞
2
lim
X +k
n→∞
np
Pn−1
j=0
np
2
2pj
−1
k 22p −1
= lim
.
n→∞ 2np
Proposition 2.5.3 Soit τ ∈ T1 un point périodique de l'appliation de doublement D : x 7→
2x. Alors il existe un unique paramètre a ∈ T1 tel que le ouple de paramètres (a, 1) est de
type τ et le yle orrespondant de ga,b est superattratif.
Remarque 2.5.4 Si ga,b possède un yle superattratif alors b = 1 (f setion 2.2).
Dém. Comme le point τ ∈ T1 est un point périodique de D il existe p ∈ N∗ , k ∈ {0, . . . , 2p −2}
k
∗
p
tels que τ = p
. De plus, par le lemme 2.5.1, pour tout p ∈ N et tout k ∈ {0, . . . , 2 − 2}
2 −1
◦p
1
il existe un unique a ∈ T tel que Fa,b (1/2) = 1/2 + k . Mais alors, d'après le lemme 2.5.2, le
paramètre (a, 1) est de type τ .
Corollaire 2.5.5 Si τ ∈ T1 est un type, la langue Tτ de type τ est non vide.
Corollaire 2.5.6 Les langues sont onnexes.
Dém.
La langue
Tτ
est non vide. Prenant n'importe quel point dans ette langue en tant
γ : [0, 1] → Tτ omme préédemment.
L'extrémité γ(1) de e hemin est un paramètre (a, 1) de type τ orrespondant à un yle
superattratif. Un tel paramètre est unique et don tous les points de Tτ sont reliés.
que point de départ, on onstruit le hemin ontinu
33
34
Chapitre 3
Vitesse de roissane des oeients de
la série de Laurent de l'inverse de
l'appliation de Bötther
3.1 Introdution et énonés
ψ l'inverse de l'appliation de Bötther B du polynme f = fλ (z) = z 2 + λ. La
b
fontion ψ est dénie holomorphe et univalente de l'ouvert ∆R = C\D(0,
R) sur le ompléb
mentaire d'un ompat de C.
Par dénition, ψ vérie :
Soit
ψ(z 2 ) = f (ψ(z)) = ψ(z)2 + λ
|z| > R.
fontion ψ est
pour tout
La
impaire. En eet
Le développement en série de Laurent
f (ψ(z)) = ψ(z 2 ) = f (ψ(−z))
de la fontion ψ s'érit don :
ψ(z) = z +
don
ψ(−z)2 = ψ(z)2 .
∞
X
b2k+1
z 2k+1
k=0
∞
X
βk
= z
z 2k
k=0
β0 = 1 et
∞
X
série
βk z 2k
en posant
pour
de la
est
k ≥ 1, βk = b2k−1 (λ).
1/R ≤ 1,
k=0
uniformément sur tout ompat de
On suppose que le rayon de onvergene
e qui équivaut à e que la série de Laurent onverge
∆R .
Remarque 3.1.1 Le rayon R étant égal à |Bλ (λ)|1/2 , la suite des oeents βn vérie
lim sup
n→∞
p
n
|βn | = |B(λ)|.
35
η
λ
ψ
0
Fig. 3.1 Le prolongement maximal de
ψ
a pour image le omplémentaire d'un huit
Le théorème 3.1.3 donne une estimation plus préise de la vitesse de roissane de ette suite.
Dans le as où le bassin de l'inni de
f = fλ
ontient le point ritique
0,
'est-à-dire
J n'est pas onnexe, le rayon de onvergene vérie
R > 1 et ψ est univalente sur le domaine ∆R . Si M désigne l'ensemble de Mandelbrot on a
alors λ ∈
/ M. En outre, on notera η = B(λ) la préimage de la valeur ritique λ par ψ , on a
|η| = R2 .
quand l'ensemble de Julia orrespondant
Lemme 3.1.2 Soit λ ∈ C, λ ∈/ M, ψ l'inverse des oordonnées de Bötther du polynme
quadratique f (z) = z 2 + λ. Soit η la préimage de la valeur ritique λ par l'appliation ψ et
soit ∆R = C\D(0, R) le domaine de onvergene de la série de Laurent en z représentant
ψ(z) (on a R = |ω|). Alors, étant donné un hoix holomorphe de raine arrée de la fontion
1 − zη2 , il existe une fontion holomorphe h dénie sur ∆R telle que
r
η
ψ(z) = zh(z 2 ) 1 − 2 .
z
Ce lemme permet de donner une expression préise de la vitesse de roissane des oeients
βk (λ)
Théorème 3.1.3 Soit λ ∈ C, λ ∈/ M, et soit
ψ(z) = z
∞
X
βk
z 2k
k=0
l'inverse des oordonnées de Bötther B du polynme quadratique f (z) = z 2 p
+ λ.
2
Soit h la fontion holomorphe dénie sur ∆R telle que ψ(z) = zh(z ) 1 − zη2 , où la
branhe de la raine arrée est elle qui est positive en les raines arrées du nombre omplexe
1/2η (donné par le développement en série 3.1).
Alors pour tout α < 1,
B(λ)n h(B(λ))
1
√ 3/2
βn = −
.
1+O
nα
2 πn
36
En outre si la valeur de
valent 1 en ∞) alors
p
βn
B ′ (λ) est elle donnée par le hoix de
p
1−
η
z2
(es deux fontions
1
(B(λ))n
p
1+O
.
= − √
3/2
′
nα
2 πn
B (λ)
3.2 Expression de ψ et démonstration du lemme 3.1.2
1
La fontion holomorphe ψ présente une singularité de type oin d'ouverture π (modulo
2
2
π ) en les préimages par z de η = B(λ). Cela provient du fait que le bord de son image est
la préimage d'une ourbe analytique simple par une fontion holomorphe ayant une valeur
ritique simple sur ette ourbe.
Ainsi la fontion
ψ "ressemble" au voisinage de deux points ±ω du bord de son domaine de
dénition à une fontion raine arrée, es points étant les deux préimages du point ritique
0
par l'appliation
ψ
prolongée par ontinuité jusqu'au bord de son domaine de dénition.
An de tenir ompte au mieux de es singularités on fatorise par les termes orrespondants
"
p
(z − ω)(z + ω)".
Dém.
(du lemme 3.1.2). On va montrer qu'on peut érire :
r
η
ψ(z) = zh(z ) 1 − 2 ,
z
2
b ) ∆R .
est une fontion holomorphe sur le domaine (inlus dans C
η
2
Comme |η| = R , pour tout z ∈ ∆R , 1 − 2 6= 0 don il existe une fontion holomorphe
z
p
b
raine arrée
1 − zη2 dénie sur le domaine C\D(0,
R) et une fontion holomorphe g déni
sur le même domaine telles que
où
h
ψ(z) = g(z)
r
1−
η
.
z2
ψ est impaire, don la fontion g est aussi impaire. Par onséquent
2
holomorphe h dénie sur le domaine ∆R2 telle que g(z) = zh(z ).
fontion h se prolonge sur ∆R . Pour ela, on onsidère la fontion
On sait que la fontion
il existe une fontion
Montrons que la
2 )−λ
φ(z) = ψ(z
.
1− η2
z
z tels que
|z| > R. En fait elle est holomorphe sur et ensemble. En eet, la fontion z 7→ 1 − zη2 admet
2
un zéro simple en ω et −ω et il en est de même pour la fontion ψ(z ) − λ ar ψ(η) = c et
la fontion ψ est univalente au voisinage de η . De plus ette fontion ne s'annule pas sur le
2
domaine {z ∈ C : |z| > R} ar ψ est univalente sur son domaine de dénition ∆R .
ψ(z 2 )−λ
2
2
D'un autre té, la fontion g(z) = zh(z ) vérie g(z) =
pour tout nombre
1− η2
z
omplexe z ∈ ∆R . Comme la fontion ψ est univalente sur ∆R et tangente à l'identité en
Cette fontion est dénie méromorphe sur l'ensemble des nombres omplexes
2
37
∞,
la fontion
xant le point
z 7→ ψ(z 2 ) + λ
∞, don
est un revêtement ramié de degré
Z
(∞+)
2
sur
∆√R
ramié en
∞,
2zψ ′ (z 2 )
dz = −2.
ψ(z 2 ) + λ
D'autre part on a
−
Z
(0+)
2η/(1/z)3 dz
= −2η
η
2
1 − (1/z)
2 z
= 0.
Z
(0+)
z
dz
1 − ηz 2
On en déduit que
Z
(∞+)
et don qu'il existe une fontion
√
φ
φ′ (z)
dz = −2,
φ(z)
holomorphe sur
∆√R
vériant
√
2
φ =φ
et
g|∆R =
√
φ.
Corollaire 3.2.1 Soit h la fontion holomorphe dénie sur ∆R que l'on vient de onstruire.
Soit an les oeients du développement en série de Laurent de la fontion h(z 2 ) :
∞
X
an
.
2n
z
n
h(z 2 ) =
Alors pour tout R′ >
√
R il existe une onstante C(R′ ) > 0 telle que pour tout n ∈ N,
|an | ≤ C(R′ )R′2n .
3.3 Un équivalent des oeients de la série entière raine arrée
On rappelle que pour
|t| < 1,
la fontion
√
le développement en série entière :
√
ave
sn
vériant la réurrene :
1 − t,
1−t =
(
∞
X
38
sn tn ,
n=0
s0 = 1,
sn+1 =
valant
n− 12
s .
n+1 n
1
en
t = 0,
peut être dénie par
En partiulier, on a, pour tout
n ≥ 1,
sn = −
(2n − 2)!
.
− 1)!)2
22n−1 n((n
On supposera que 'est e hoix de raine arrée que l'on prend lorsque l'on onsidère la
p
p
fontion
1 − zη2 ave t = zη2 , 'est-à-dire que la fontion 1 − zη2 est dénie par :
r
où les oeients
sn
∞
η n
X
η
1− 2 =
sn 2 ,
z
z
n=0
(3.1)
sont eux dérits i-dessus.
Lemme 3.3.1 Soit
√
1−t =
∞
X
sn tn
n=0
le développement en série entière de la fontion raine arrée de 1 − t dénie sur D valant
1 en t = 0.
Alors
1
1
31
1
sn = − √ √
1+
+ O( 2 ) .
2 πn n
8n
n
Dém.
D'après la formule de Stirling (qu'on peut trouver dans [38℄) on a :
Γ(n) =
où
e n r 2π
n
n
eθ(n)/12n
0 < θ(n) < 1 et θ(n) → 1 très vite quand n → ∞.
Γ(n + 1) = n!, don, pour n ≥ 1, on a :
Γ(2n − 1)
n22n−1 (Γ(n))2
!
2n−1 r
1
1
2n − 1
2π J(2n−1) e 2n n −2J(n)
= −
e
e
n 22n−1
e
2n − 1
n
2π
sn = −
où
J(n) = θ(n)/12n,
sn
1
= − √
n n
!
r
2n−1
2n
n
1
1
1
√
e n−
nE ,
2
2π 2n − 1 n
39
ave
E = exp(J(2n − 1) − 2J(n)) = 1 +
E
sn = − √
n n
θ(2n−1)
12(2n−1)
−
θ(n)
6n
+ O( n12 ).
2n−1 s
1
1
e 1−
2n
2−
1
n
Don
1
√
2π
!
.
Or
2n
1
1
1
1
= exp(2n log(1 − )) = exp(−1 −
+ O( 2 ))
1−
2n
2n
4n
n
1
1
= e−1 (1 −
+ O( 2 ))
4n
n
et
1
1
1− 2n
=1+
1
2n
+ O( n12 ),
s
puis
1
2−
1
n
1
=√
2
s
1
1
1
1
√ (1 +
+ O( 2 )).
1 =
4n
n
1 − 2n
2
D'où :
sn
1
1
1
1
1
1
1
1
= − √ √ E 1−
+ O( 2 )
1+
+ O( 2 )
1+
+ O( 2 )
4n
n
2n
n
4n
n
n n2 π
1
1
1 1 θ(n)
θ(2n − 1)
1
= − √ √
1+ ( −
)+
+ O( 2 ) .
n n2 π
n 2
6
12(2n − 1)
n
Étant donné que
1
1 1
=
12(2n − 1)
24 n
1
1
1−
+ O( 2 ) ,
2n
n
on a :
sn
1
1
= − √ √
n n2 π
1 1 θ(n) θ(2n − 1)
1
1+
−
+
+ O( 2 ) .
n 2
6
24
n
Ainsi,
sn
1
1
= − √ √
2 πn n
31
1
1+
+ O( 2 ) .
8n
n
40
3.4 Preuve de la première identité du théorème 3.1.3
On montre que si
et
n3/2 q Kn → 0
q∈
i
h
√1 , 1 , si
R
n→∞
quand
Kn
1+O
Kn
n
n3/2 qnKn
+O
Pour le théorème, il sut de prendre n'importe quel nombre
la suite
1−α
Kn = n
Kn /n → 0
alors
η n h(η)
= − √ 3/2
2 πn
βn
est une suite de nombres entiers telle que
.
On a :
q∈
i
.
√1 , 1
R
h
et de onsidérer
r
η
ψ(z) = z
= z h(z ) 1 − 2 ,
2n
z
z
n=0
!
!
∞
n
∞
l
X
X
X
p
a
η
ak n
k
η
2
ave h(z ) =
et
1 − z2 =
sl 2l . On a ainsi βn =
η sn−k .
2k
z
z
ηk
k=0
k=0
l=0
i
h
1
Soit n ∈ N un entier, Kn une suite d'entiers naturels et q ∈ √ , 1 . On onsidère
R
∞
X
βn
2
√
n
X
√ 3/2
2 πn3/2
ak
ξn βn = −
β
=
−
(2
πn sn−k ) k .
n
n
η
η
k=0
Tout d'abord, on a
onstante
C0 > 0
∞
X
ak
. Or, d'après le orollaire 3.2.1,
ηk
ηk
k=K+1 k=0
a k
pour tout k ∈ N, kk ≤ C0 q . On a alors :
η
∞
X
1
ak .
≤ C0 q K+1
k
η 1−q
k=K +1
h(η) =
telle que
Kn
X
ak
+
il existe une
n
D'après le lemme 3.3.1, il existe une onstante
sur
N,
indépendantes de
n
et de
K ≤ n,
C1 > 0
et une fontion
k ≤ K,
r1 (n − k)
1+
.
n−k
telles que pour tout
1
sn−k = − √
2 π(n − k)3/2
Don :
√
3/2
−2 πn
En outre
k≤K
sn−k =
n
n−k
3/2 r1 (n − k)
1+
.
n−k
entraîne
1≤
n
n−k
3/2
≤
41
1
1 − Knn
!3/2
.
r1
bornée par
C1
Don,
√
C1 1
≤ −2 πn3/2 sn−k ≤
1−
Kn
n 1− n
−3/2
Kn
1−
n
C1 1
1+
n 1 − Kn
!
C2 > 0, indépendante des entiers n et K , et une
bornée par C2 sur l'ensemble N × {k ∈ N : k ≤ Kn }, indépendante des entiers n
√ 3/2
que −2 πn
sn−k = 1 + r2 (n, k) Knn , pour entier k tel que k ≤ K .
don il existe une onstante
fontion
et
K,
r2
telles
On a alors :
Kn
X
√
3/2
(−2 πn
k=0
Kn
Kn
X
ak X
ak
Kn
ak
sn−k ) k =
+
r2 (n, k) ,
k
k
η
η
η
n
k=0
k=0
le deuxième terme du seond membre satisfaisant la majoration :
En outre
p.
Alors
sp → 0
Kn
∞ X
ak
Kn Kn X ak r2 (n, k)
.
≤ C2
ηk
n n k=0 η k k=0
don il existe une onstante
C3 > 0
telle que
|sp | < C3
pour tout entier
∞
X
√
√ 3/2 K+1 1
a
k
3/2 2
≤
C
2
πs
n
πn q
.
3
n−k
k
η
1
−
q
k=K +1
n
Finalement
e qui entraîne :
√
Kn
∞ X
ak K X ak 2 πq Kn +1
≤ C2
ξn βn −
η k + C3 1 − q
ηk n
k=0
k=0
Kn
= O
+ O n3/2 q Kn ,
n
βn
η n h(η)
= − √ 3/2
2 πn
1+O
Kn
n
3/2 Kn
+O n
q
.
3.5 Calul de h(η)
La fontion
h
vérie, pour tout nombres omplexe
h(z 2 )2 =
z
tel que
ψ(z 2 ) − λ
.
z2 − η
42
|z| > R
:
η , la fontion ψ vérie ψ(z)−λ = ψ ′ (η)(z−η)+O((z−η)2), don pour
ψ(z 2 )−λ
2
= ψ ′ (η) + O ((z 2 − η)2 ).
tout point z tel que z est dans un voisinage du point η , on a
z 2 −η
Or au voisinage du point
ψ(z 2 )−λ
Ainsi, la fontion
est dénie sur des voisinages des points
z 2 −η
′
ψ (η) 6= 0 en es points.
ω
et
−ω
et atteint la valeur
h
aux voisinages des
Alors il existe un unique prolongement analytique de la fontion
q
ψ(z 2 )−λ
au voisinage du nombre
z 2 −η
−ω , il s'agit d'un hoix de raine arrée
′
omplexe ψ (η). Ce hoix est déterminé par la relation, vraie
tel que |z| > R :
s
ψ(z 2 ) − λ
ψ(z)
= p
,
2
z −η
z 1 − zη2
points
ω
et
p
pour tout nombre omplexe
η
est la raine arrée préédemment hoisie de la fontion
z2
′
′
Pour onlure on utilise le fait que ψ (η) = 1/B (λ).
où la fontion
1−
43
1−
z
η
.
z2
44
Chapitre 4
Ensembles de Julia inniment
renormalisables non loalement onnexes
Le but de e hapitre est de rappeler quelques notions et résultats utilisés dans la suite.
2
On rappelle qu'on note, pour λ ∈ C, fλ (z) = z + λ.
4.1 Composantes hyperboliques, sillages, membres de l'ensemble de Mandelbrot et renormalisation
Les notions et résultats suivants, trés utilisés par la suite, sont bien onnus. On les
retrouve dans [5℄, [6℄, [22℄, [14℄, [17℄ et ailleurs.
Théorème 4.1.1 ([6℄,XIV) Soit m ∈ N∗ et soit Xm l'ensemble analytique suivant :
Xm =
(λ, z) ∈ C2 : fλ◦m (z) = z, ∀k = 1, . . . , m − 1, fλ◦k (z) 6= z .
La ourbe algébrique Xm est lisse et la projetion
π : (λ, z) ∈ Xm 7→ λ
est un revêtement ramié.
Par le théorème des fontions impliites, l'ensemble des points de ramiations de l'appliation
π
est inlus dans l'ensemble des paramètres où le yle est de multipliateur
Proposition 4.1.2 L'appliation
ρm : (λ, z) ∈ Xm 7→ (fλ◦m )′ (z)
est propre.
Cei peut se voir diretement grâe à la remarque 1.2.5 par exemple.
45
1.
Dénition 4.1.3 Une omposante hyperbolique de l'ensemble de Mandelbrot est une om-
posante onnexe H de l'ensemble de Mandelbrot telle que pour tout paramètre λ ∈ H , le
polynme quadratique fλ possède un yle attratif.
Remarque 4.1.4 Sur une omposante hyperbolique H , la période du yle attratif est
onstante.
H , on notera mH la période des yles atmultH : H → D la fontion multipliateur qui à un
multipliateur du yle attratif de fλ .
Étant donnée une omposante hyperbolique
tratifs des polynmes
paramètre
λ∈H
fλ
pour
assoie le
λ∈H
et
Théorème 4.1.5 ([6℄, XIX) Les omposantes hyperboliques de l'ensemble de Mandelbrot
sont simplement onnexes.
L'appliation multH : H → D qui à un paramètre assoie le multipliateur du yle
attratif orrespondant est un biholomorphisme entre la omposante et le disque unité et
ette appliation s'étend en un homéomorphisme entre H et le disque unité fermé.
Plus préisément, le yle peut être suivi jusqu'au bord de la omposante sur lequel le
multipliateur est de module 1 et la fontion qui à un paramètre du bord de H assoie le
multipliateur est un homéomorphisme entre les espaes topologiques ∂H et S1 = {z ∈ C :
|z| = 1}.
Dénition 4.1.6 ([6℄, XIV) Soit H une omposante hyperbolique. Le paramètre λ ∈ H tel
que multH (λ) = 1 est appellé raine de la omposante hyperbolique H .
paramètre du bord
d'une omposante hyperbolique H tel que le multipliateur
√
2π −1p/q
est une raine de l'unité e
diérente de 1 (on suppose p et q premiers entre eux). Il
′
existe une omposante hyperbolique H sur laquelle les polynmes quadratiques possèdent
Soit
λ un
mH ′ = qmH , adjaente à la omposante H en λ. Le yle
′
orrespondant à un yle attratif sur H est de multipliateur 1 en le paramètre de tangene
λ et se onfond à elui qui est attratif sur H en e paramètre (f. proposition 6.2.6).
′
On dira que la omposante hyperbolique H est attahée à la omposante H en le point
λ. On dit aussi que la omposante H ′ est satellite de la omposante H . La omposante
′
hyperbolique H sera qualifée de omposante mère de la omposante hyperbolique H .
un yle attratif de période
Théorème 4.1.7 Soit H ′ une omposante hyperbolique attahée à une omposante hyperbo-
lique H en un paramètre λ. Alors, il existe deux rayons externes dans l'espae de paramètres
aboutissant au paramètre λ et séparant la omposante H de la omposante H ′ .
Dénition 4.1.8 Soit H ′ une omposante hyperbolique attahée à une omposante hyperbo-
lique H en un paramètre λ.
La omposante onnexe W ′ de l'espae des paramètres privé des deux rayons aboutissant
en la raine de la omposante hyperbolique H ′ et de leur point d'aboutissement ommun,
ontenant la omposante H ′ est appellée sillage de la omposante hyperbolique H ′.
La partie L′ de l'ensemble de Mandelbrot ontenue dans le sillage W ′ au quel on a ajouté
le point de tangene à la oposante H , est appellée membre attahé en H .
La raine de la omposante hyperbolique H ′ est aussi appellée raine du membre L′ .
46
Théorème 4.1.9 Soit H ′ une omposante hyperbolique attahée à une omposante hyperbo-
lique H en un paramètre λ.
On peut suivre de façon holomorphe le yle orrespondant à la omposante H ′ sur tout
le sillage, 'est-à-dire qu'il existe mH ′ fontions holomorphes (bi )i=0,...,mH ′ −1 dénies sur W ′
telles que, pour tout nombre omplexe λ ∈ W ′ , (b0 (λ), . . . , bmH ′ −1 (λ)) est un yle périodique
de fλ de période exate mH ′ , attratif sur H ′ .
De plus e yle est répulsif en dehors de H ′.
Dénition 4.1.10 Le nombre p/q , orrespondant au multipliateur e2π
√
du yle parabolique en la raine d'une omposante hyperbolique H attahé en une omposante hyperbolique H , est appelé nombre de rotation de H ′ (ou de W ′ , L′ ) par rapport à H .
−1p/q
′
Sauf mention ontraire, on suppose qu'un nombre rationel
p/q représentant un nombre de
rotation d'une omposante hyperbolique est donné sous sa forme réduite, i.e. que les entiers
p
et
q
sont premiers entre eux et que
q > 0.
Théorème 4.1.11 Soit H une omposante hyperbolique de l'ensemble de Mandelbrot satel-
lite d'une autre omposante hyperbolique de période m. On suppose que H a pour nombre
de rotation de p/q . Soit W le sillage de la omposante hyperbolique H . Soit, pour λ ∈ W ,
ξ(λ) = (ξ0 (λ), . . . , ξm−1 (λ)) le yle orrespondant à la omposante hyperbolique parente de
H.
Alors, il existe un yle périodique (θ0 , . . . , θmq−1 ) de l'appliation de doublement x 7→ 2x
mod 1 tel que pour tout λ ∈ W , haque point du yle ξ(λ) est
de q des
√ point d'atterrissage
√
rayons externes du plan dynamique de fλ d'angles externes 2 −1πθ0 , . . . , 2 −1πθmq−1 .
Rappelons le lien entre omposantes hyperboliques adjaentes et renormalisations.
Dénition 4.1.12 Soit f un polynome quadratique et soit n ∈ N∗ . On rappelle (voir par
exemple [21℄) que le polynme f ◦n est dit renormalisable renormalisable s'il existe des disques
topologiques ouverts U et V tels que U est relativement ompat dans V , le point ritique 0
appartient à U et l'appliation f ◦n : U → V est propre ave ensemble de Julia onnexe.
Lorsqu'il existe une suite innie d'entiers (nk )k pour lesquels f ◦nk est renormalisable, le
polynome quadratique f est dit inniement renormalisable.
λ appartenant au sillage d'une omposante hyperbolique adjaente à
m et de nombre de rotation p/q par rapport à
mq
ette omposante (ave p et q premiers entre eux), le polynome fλ est presque renormalisable
Pour tout paramètre
une autre omposante hyperbolique de période
dans le sens où il satisfait aux hypothèses de la dénition 4.1.12 sauf elle de onnexité de
l'ensemble de Julia. On parle, dans e adre, de renormalisation satellite.
Tout paramètre
λ,
limite d'une suite de omposantes hyperboliques adjaentes est don
inniment renormalisable. Dans e as, on dira aussi, par abus, que l'ensemble de Julia du
polynme quadratique
fλ
est inniment renormalisable.
47
|ρ1 | > 1
|ρ2 | > 1
•
|ρ1 | < 1
•
|ρ2 | > 1
← |ρ2 | < 1
Fig. 4.1 Exemple de deux omposantes hyperboliques adjaentes dans l'ensemble de Man-
delbrot
Fig. 4.2 Exemple de domaine déterminé par l'inégalité i-dessus dans le plan des loga-
rithmes des multipliateurs (m
= 3)
en vert à droite (les nombres omplexes dont la partie
réelle est négative sont en bleu sarelle).
4.2 Inégalité de Pommerenke-Lévine-Yooz pour les bords
du sillage
Soit H une omposante hyperbolique de l'ensemble de Mandelbrot. On notera CycleH
l'appliation holomorphe qui à un pararmètre λ ∈ H , assoie les points du yle attratif
2
du polynme fλ (z) = z + λ. Ces appliations se prolongent holomorphiquement sur un
voisinage de l'ensemble
λH
sa raine.
W \{λH },
où
On onsidérera que l'appliation
W
est le sillage de la omposante hyperbolique
CycleH
H
et
est dénie holomorphe sur un tel voisinage et
dont l'intersetion ave l'ensemble de Mandelbrot est réduite au membre attahé en
λH
privé
de sa raine.
Lemme 4.2.1 (Inégalité de Pommerenke-Lévine-Yooz) Soit H une omposante hy48
perbolique de période m de l'ensemble de Mandelbrot. Alors, l'ensemble Ω déni par :
(
)
2
π
1
|L|
Ω =
ρ ∈ C : ∃L ∈ C, ρ = eL et arctan m
≤ 2πm log 2
2 − 1 Re L Re L
ontient les images des rayons externes délimitant le sillage de la omposante hyperbolique
H par l'appliation multH : W → C donnant le multipliateur du yle assoié au sillage W
de la omposante hyperbolique H .
Dém. Le yle b(λ), qui est attratif pour les paramètres de la omposante hyperbolique
H , dépend holomorphiquement du paramètre sur tout le sillage. Sur les rayons externes de
l'espae des paramètres délimitant le sillage W , l'appliation orrespondant au yle b(λ)
admet un prolongement ontinu, puisque sur les rayons externes en question se trouvent à
l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot et don tous les yles sont de multipliateur diérent
de
1
e qui permet de les suivre loalement. En partiulier la fontion multipliateur
est ontinue sur
W
et au voisiange de
W \{λH },
où
λH
est la raine de
multH
W.
On sait grâe au lemme 4.2.2 i-dessous qu'en dehors du sillage et au voisinage de elui-i
le nombre de rotation est nul.
2π
2m −1
Gλ (0)
ω
η
Fig. 4.3 Illustration de la démonstration du lemme 4.2.1 (après rotation d'un quart de
tour)
En appliquant le théorème 7 de [32℄, qui fontionne tel quel pour un nombre de rotation
nul, on obtient :
| log ρ|2
m
≤ 2π log 2 ,
log |ρ|
ω
où
log ρ
L'angle
est une détermination du logarithme du multipliateur
ω
est déni omme suit (f. gure 4.2).
49
multH ,
et
ω
est un angle.
On onsidère le domaine déni dans la remarque 1.2.1, sur lequel on peut dénir une
appliation holomorphe prolongeant l'inverse de l'appliation de Bötther
où
λ
est un
multH (λ) = ρ. La préimage ∆ de et ouvert par l'appliation
{Re ≤ 0} et d'une
famille de segments horizontaux attahés en la droite vertiale {Re = 0} et de longueur de
n
la forme Gλ (0)/2 (n ∈ N).
n
Pour tout entier n ∈ N, le nombre de segments de longueur Gλ (0)/2 est égal au nombre
n+1
iθ
2
de préimages du nombre omplexe e par l'appliation z 7→ z
, où θ est l'angle de elui
des deux rayons délimitant le sillage W , qui attérit sur la valeur ritique en le paramètre λ
onsidéré. En partiulier, il y a exatement deux segments de longueur Gλ (0).
√
√
Soit 2π −1θ/2 ± η −1 le point d'atterrissage dans e plan (intersetion d'une droite
horizontale ave la droite vertiale {Re = 0}), le plus prohe du point d'attahement du
√
segment d'extrémité Gλ (0) + 2π −1θ/2 (e point est tel que son image par un prolongement
−1
ontinu de Bλ ◦ exp est le point ritique 0), parmi tous les points d'atterrissage de rayons
atterrissant sur le yle b(λ).
√
√
L'angle ω est l'angle d'ouverture (< π ) du seteur issu du point 2π −1θ/2 ± η −1
√
√
√
2π −1
et dont les bord passent par les points 2π −1θ/2 + Gλ (0) et 2π −1θ/2 + Gλ (0) ± m
.
2 −1
−1
(L'important est que e seteur se trouve dans le domaine de dénition de Bλ et qu'il soit
√
√
issu du point 2π −1θ/2 ± η −1).
paramètre du sillage
W
Bλ
tel que
exponentielle onsiste en le omplémentaire du demi-plan fermé de droite
Les points d'atterrissage, dans le plan des logarithmes des oordonnées √
de Bötther, du
−1
b(λ) sont espaés d'au moins 2π
ar ils sont
2m −1
√
√
yle de rayons attérrissant sur le yle
m. Cei entraîne qu'en
h √
i dehors du point 2π −1θ/2 ± η −1, l'intervalle vertial
√
√
2π −1
2π −1θ/2, 2π −1θ/2 ± 2m −1 ne ontient auun autre de es points. Par onséquent, du
√
√
√
fait de la minimalité de η , les segments ouverts 2π −1θ/2 ± η −1, 2π −1θ/2 + Gλ (0)
i √
h
√
√
√
2π −1
et 2π −1θ/2 ± η −1, 2π −1θ/2 + Gλ (0) ± m
n'intersetent pas le omplémentaire
2 −1
du domaine ∆ et le seteur que es segments délimitent est inlus dans le domaine ∆.
de période
Alors on a :
η
1
2π
ω = arctan
−η
+ arctan
Gλ (0)
2m − 1
Gλ (0)
π
1
≥ arctan m
.
2 − 1 Gλ (0)
On se sert alors du lemme 1.2.3.
Lemme 4.2.2 Soit H une omposante hyperbolique de l'ensemble de Mandelbrot satellite
d'une autre omposante. Soit W le sillage de la omposante hyperbolique H et λH sa raine.
Alors il existe un voisinage V de W \{λH } dans le omplémentaire de l'ensemble de
Mandelbrot privé du membre attahé en λH , tel que l'appliation CycleH est dénie sur V et
pour tout λ ∈ V \W les rayons externes dynamiques d'angles externes les itérés des angles
externes du bord du sillage W atterrit sur le yle CycleH (λ).
50
Dém.
CycleH est répulsif sur le bord de W (en dehors de la raine), il existe
un voisinage ouvert V de ∂W \{λH } sur lequel on peut prolonger la fontion holomorphe λ 7→
CycleH (λ). On suppose en outre que l'ouvert V n'intersete pas l'ensemble de Mandelbrot.
Comme le yle
On doit démontrer que la propriété sur les rayons externes est vériée.
Soit
θ
le yle d'angles externes orrespondant aux angles externes de l'espaes des pa-
H.
Le yle d'angles externes θ atterrit sur un yle périodique C(λ) de fλ pour tout λ ∈
′
V = V \W . Dans et ensemble V ′ , le yle C(λ) est répulsif et peut don être suivi loalement
′
holomorphiquement. Quitte à restreindre V , on peut supposer V et V simplement onnexes.
′
L'appliation λ 7→ C(λ) est alors dénie holomorphe sur V . Les rayons externes d'angles
′
appartenant au yle θ atterrissent sur le yle C(λ) pour tout λ ∈ V .
On sait qu'en la raine λH , es rayons atterrissent sur le yle parabolique limite de
CycleH (λ) quand λ → λH . Si la fontion λ 7→ C(λ) ne tend pas vers CycleH (λ) quand
λ → λH , alors on peut la prolonger holomorphiquement au voisinage de λH et C(λH ) est un
yle périodique répulsif du polynme fλ .
Comme λH ∈ M, il existe un yle de rayons externes périodiques qui atterrit sur les
points du yle C(λH ).
Or, par ontinuité, e yle de rayon externe doit enore atterrir sur C(λ) pour λ assez
prohe de λH . Il ne peut y avoir deux yle de rayons externes distints atterrissant sur un
yle périodique d'un polynme. Ainsi C(λH ) est le yle parabolique de fλH .
′
Enn, si H est une omposante satellite d'une autre omposante H , le yle C(λ) ne peut
être le yle CycleH ′ assoié à la omposante parente. En eet le yle de rayons externes
d'angles θ n'atterrit pas sur CycleH ′ sur un voisinage de W à l'extérieur du sillage W . On a
montré que C = CycleH .
ramètres bordant le sillage de
4.3 Ensembles de Julia non loalement onnexes
Dénition 4.3.1 Soit X un espae topologique séparé.
On dit que l'espae topologique X est loalement onnexe si tout point de X admet une
base de voisinages onnexes.
Cette dénition est équivalente (f. [23℄) au fait que tout point de l'ensemble
X
admette
une base de voisinages onnexes et ouverts.
Un ensemble de Julia sera don dit loalement onnexe s'il vérie, en tant qu'espae topologique ompat, la propriété de la dénition i-dessus et non loalement onnexe s'il la met
en défaut. Par exemple, 'est le as pour les polynmes quadratiques dont l'ensemble de Julia
n'est pas onnexe, puisque dans e as là, l'ensemble de Julia en question est homéomorhe à
l'ensemble de Cantor.
Dans le as d'un polynme quadratique ayant un ensemble de Julia onnexe, la non loale onnexité requiert, d'après un théorème de Jean-Christophe Yooz, que le polynme
en question soit inniment renormalisable ou ait un yle irrationnellement indiérent. Une
51
onstrution dérite dans l'artile de Dan Erik Krarup Sørensen [37℄, basée sur des idées
d'Adrien Douady, donne des exemples d'ensembles de Julia non loalement onnexe de polynmes quadratiques inniment satellite renormalisables.
Dans et artile, la démonstration que de tels ensembles de Julia quadratiques existent
est faite par un argument de ontinuité. John Milnor a proposé de façon empirique un
ritère expliite onernant la suite des nombres de rotation, sous lequel l'ensemble de Julia
du paramètre inniment satellite renormalisable orrespondant, doit être non loalement
onnexe. Ce ritère est nalement orret mais plus exigeant que de néessaire.
La première ondition expliite démontrée pour qu'un tel paramètre ait un ensemble de
Julia non loalement onnexe a été donné par Guénadi Lévine. Ses travaux font l'objet des
deux hapitres suivants.
4.4 Critère de Douady-Sullivan
Le ritère de Douady-Sullivan est une alternative permettant de montrer que ertains
ensembles de Julia ne sont pas loalement onnexes. Il est utilisé dans de nombreux exemples
si bien qu'on puisse onjeturer qu'il est appliable à tous les as d'ensembles de Julia non
loalement onnexes de frations rationnelles ayant un ensemble de Julia onnexe (voir [34℄).
Lemme 4.4.1 (Voir [23℄, démonstration du lemme 18.8) Soit (X, d) un espae métrique ompat, h : X → h(X) ⊂ X un homéomorphisme de l'espae X sur h(X) tel que
∃ε > 0, ∃k > 1, ∀(x, y) ∈ X × X, d(x, y) ≤ ε ⇒ d(h(x), h(y)) ≥ kd(x, y).
Alors l'ensemble X est ni.
Dém.
h−1 : h(X) → X est uniformément ontinue, il existe don δ > 0 tel que
pour tout (x, y) ∈ X × X , d(h(x), h(y)) ≤ δ ⇒ d(x, y) ≤ ε.
s
et don, pour tout
En partiulier, pour tout s ≤ δ , on a d(h(x), h(y)) ≤ s ⇒ d(x, y) ≤
k
δ
◦n
◦n
n ∈ N, d(h (x), h (y)) ≤ δ ⇒ d(x, y) ≤ kn .
N
[
Ui , où Ui sont des ouverts
Comme X est ompat, il existe un reouvrement ni X =
i=1
!
N
N
[
[
−n
de diamètre majoré par δ . On a X ⊂ h
Ui =
h−n (Ui ) et diam(h−n (Ui )) ≤ kδn
L'appliation
i=1
i=1
n.
Soit x1 , . . . , xN , xN +1 des points de l'ensemble X , alors il existe au moins deux indies
δ
distints i1 et i2 tels que xi1 = xi2 . Soit n ∈ N tel que n < min{d(xi , xj ), xi 6= xj }. Puisque
k
N
−n
pour tout indie i ∈ {1, . . . , N + 1}, xi ∈ ∪j=i h
(Uj ), il existe des indies j , i1 et i2 tels que
−n
−n
i1 6= i2 et {xi1 , xi2 } ⊂ h (Uj ). Or diam(h (Uj )) ≤ kδn , don xi1 = xi2 .
Par onséquent l'ensemble X a au plus N éléments. Ainsi l'espae X est ompat disret
don ni.
pour tout
52
Proposition 4.4.2 (Critère de Douady-Sullivan, f. [33℄) Soit f un polynme.Soit C
un ompat inlus dans l'ensemble de Julia du polynme f et soit B le bassin de l'inni. On
suppose que le ompat C ne renontre pas les points ritiques de f et est tel que f|C est une
bijetion de C . On suppose en outre que le bassin immédiat B ne ontient pas d'autre point
ritique que l'inni.
Alors, ou bien l'ensemble de Julia du polynme f n'est pas loalement onnexe, ou bien
C est une union nie de points périodiques paraboliques ou répulsifs du polynme f .
Dém.
Cette démonstration reprend essentiellement elle donnée dans [34℄ p.42.
Comme
f
est un polynme et que l'on suppose que le bassin de l'inni
B
ne ontient pas
de point ritique ni, elui-i est simplement onnexe.
Supposons que
∂B
est loalement onnexe. Soit
d
le degré de la restrition
f|B .
Soit
ϕ : D → B l'appliation de onjugaison de Bötther dénie de façon unique par le diagramme
f
BO
/B
O
ϕ
ϕ
D
et par le fait que sa dérivée en
Alors
0
soit
zd
/D
1 (ϕ(0) = ∞).
ϕ s'étend ontinûment jusqu'au bord (théorème de Carathéodory, voir par exemple
[23℄, theorem 17.14) et tous les rayons
(R(θ))θ∈R/Z =
n
√
2π −1θ
ϕ(re
o
), r ∈ [0, 1[
θ
γ : R/Z → ∂B l'appliation qui à un angle θ assoie l'aboutissement du
R(θ). Soit K := {θ tel que le rayon R(θ) d'angle θ aboutit dans C}.
L'ensemble K est ompat ar l'appliation γ est ontinue, par le théorème de Carathéodory,
et l'ensemble C est fermé.
′
Pour tout θ ∈ R/Z on a f (γ(θ)) = γ(dθ). Si on suppose qu'il existe des angles θ et θ ,
′
′
′
éléments de l'ensemble K , tels que dθ = dθ alors f (γ(θ)) = γ(dθ) = γ(dθ ) = f (γ(θ )).
′
′
L'appliation f est injetive sur C don γ(θ) = γ(θ ). Si θ 6= θ , les images des rayons R(θ) et
R(θ′ ) par l'appliation f sont deux rayons distints, ar C ne ontient pas de point ritique.
′
′
′
Or f (R(θ)) = R(dθ) et f (R(θ )) = R(dθ ), don dθ 6= dθ . On en déduit que l'identité
dθ = dθ′ implique l'identité θ = θ′ , en onséquene de quoi l'appliation θ 7→ dθ mod 1 est
injetive sur K .
L'image du ompat K par ette appliation est un sous-ensemble ompat de K . Son
injetivité nous permet d'appliquer le lemme 4.4.1 et de onlure que l'ensemble C est ni
(ar la préimage d'un singleton par l'appliation γ est nie). L'ensemble C est don onstitué
de points périodiques de l'appliation f non attratifs (ar éléments de l'ensemble de Julia
du polynme f ).
Par invariane et injetivité, les éléments de l'ensemble C sont des points périodiques de
l'appliation f . Comme C est ni et invariant par f , étant donné un point x ∈ C il existe un
aboutissent. Soit
rayon orrespondant
53
◦n
et un itéré f
de l'appliation f tels que le rayon externe
◦n
◦n ′
et tel que f (R(θ)) = R(θ). En outre (f ) (x) 6= 0.
angle
x
θ
R(θ)
aboutit en le point
On peut alors appliquer le lemme de l'esargot ("snail lemma", voir [23℄ lemma 16.2) à
f ◦n qui envoie le point x sur lui-même,
la branhe inverse loale de l'appliation holomorphe
munie du rayon externe
R(θ).
54
Chapitre 5
Inégalité de Lévine sur la position des
valeurs ritiques de la fontion
multipliateur
Le but de e hapitre est de donner une démonstration utilisant les diérentielles quadratiques, d'une généralisation d'une généralisation d'une inégalité de Guénadi Lévine ([19℄
Theorem 3) qui permet d'obtenir un domaine sur lequel on n'a pas de valeur ritiques pour
l'appliation multipliateur
mult.
Dans ses artiles, Guénadi Lévine se sert ensuite de ette
mult−1 sur un domaine expliite an
inégalité d'utiliser une extension de la fontion inverse
de ontrler l'explosion des yles lors des bifurations satellites.
Théorème 5.3.1 Soit d ∈ N tel que d ≥ 2 et soit C ≥ 2, il existe des onstantes M > 1,
K0 > 0 et K1 > 0 qui ne dépendent que de C telles que, pour tout λ ∈ C tel que |λ| ≤ C et tel
que le polynme z d + λ possède un yle répulsif de période m de multipliateur ρ (dépendant
de λ), on a
m |ρ − 1| ≤ K0 M
m
ρ̇ log |ρ| + K1 ,
ρ
(5.1)
où ρ̇ désigne la dérivée de la fontion multipliateur ρ par rapport au paramètre λ.
5.1 Préliminaires sur les formes et diérentielles quadratiques
P1 (C)
désigne la sphère de Riemann vue omme variété omplexe sans point distingué.
Par ontre,
b
C
désigne le ompatié de
sphère de Riemann pointée en
∞.
C, C ∪ {∞},
55
isomorphe (de façon non unique) à la
5.1.1 Résidu d'une 1-forme méromorphe
C, m ∈ U et f : U\{m} → C une fontion holmorphe.
On note
f (z)dz l'unique valeur de l'intégrale de la fontion f le long de hemins
(m+)
d'indie 1 par rapport au point m et homotopes à un point dans U ∪ {m} ('est le as de
tout hemin dans un voisinage assez petit du point m).
R
En d'autres termes,
f (z)dz est l'intégrale de la 1-forme f (z)dz sur n'importe quel
(m+)
Soit
U
un ouvert de
R
hemin de la lasse d'homotopie d'un petit erle (de rayon assez petit) parouru une fois
en sens diret et entré en
m.
Étant donnés une surfae de Riemann
α
dénie sur
S\{m},
on note
Rés(α, m)
S , m un
1
√
Dans le as où la surfae de Riemann
la arte
C,
S
2π −1
est
on utilise la notation
Z
f (z)dz :=
(∞,+)
b
C
Z
et
1-forme
le résidu de la
Rés(α, m) =
S
point de
Z
α une 1-forme méromorphe
α en m. On notera aussi :
α.
(m+)
et la forme onsidérée s'érit
(0,+)
−
f (z)dz
dans
f (1/z)
dz.
z2
5.1.2 Images diretes de 1-formes
Les formes sont des objets pour lesquels tirer en arrière est une opération naturelle. On
sera néanmoins amené à pousser en avant des formes. La dénition suivante, bien qu'elle ne
le néessite pas, sera toujours utilisée ave des fontions
f
propres.
Dénition 5.1.1 Soit U et V des surfaes de Riemann, α une 1-forme méromorphe sur U ,
f : U → V une appliation holomorphe. La 1-forme image direte (ou poussée en avant)
f∗ α de la 1-forme α par l'appliation holomorphe f est la 1-forme méromorphe dénie par :
∀(m, ξ) ∈ T U ('est-à-dire m ∈ U et ξ ∈ Tm U ),
X
f∗ α(m; ξ) =
α(w; df (w)−1ξ).
(5.2)
w:f (w)=m
Si
U
est un ouvert de
C
et
α = g(z)dz ,
f∗ α(z; ξ) =
où
la formule (5.2) s'érit :
X
w:f (w)=z
g(w)
dz(z; ξ),
f ′ (w)
dz(z; ξ) = ξ .
Remarque 5.1.2 Lorsque la fontion f est propre, la poussée en avant d'une 1-forme est
méromorphe et ses poles éventuels sont situés en les valeurs ritiques de la fontion f .
56
On rappelle que si
f
est une fontion holomorphe dénie sur un ouvert de C, s'érivant
c, f (z) = v + a(z − c)d + O (z − c−)d+1 , alors il existe un
au voisinage d'un point ritique
voisinage
U de c inlus dans le domaine de dénition de f et une appliation
ϕ dénie sur U telle que ∀z ∈ ϕ(U), f ◦ ϕ−1 (z) = v + z d .
univalente
holomorphe
On utilise le lemme suivant pour pouvoir faire le alul de résidu de la proposition 5.1.4
i-dessous.
Lemme 5.1.3 Soit U et V des ouverts de C, f : U → V une fontion holomorphe, c ∈ U
un point ritique de la fontion f et v = f (c) la valeur ritique orrespondante. Soit γ :
[0, 1] → V un hemin ontinu faisant un tour dans le sens diret autour de v .
Alors il existe une famille (γi )i∈Zd de hemins ontinus lisses (paramétrés par [0, 1]) tels
que
∀i ∈ Zd , γi (1) = γi+1 (0),
le hemin omposé γ̃ = γ0 · · · · · γd−1 est une ourbe de Jordan faisant un tour dans le
sens diret autour du point c,
il existe un paramétrage ontinu δ : [0, 1] → U d'une ourbe de Jordan lisse homotope
au hemin γ telle que, ∀t ∈ [0, 1], ∀i ∈ Zd , δ(t) = f (γi(t)).
Dém.
f (z) = v + z d . En eet, il existe un
−1
d
′
biholomorphisme ϕ déni sur un voisinage de c tel que f ◦ ϕ (z) = v + z . Si γi désigne les
−1
−1
hemins orrespondants pour f ◦ ϕ (z), on voit failement que les hemins γi := ϕ
◦ γi′
Il sut de onstruire les hemins
γi
dans le as où
satisfont aux onlusions.
Soit don
f (z) = v + z d .
Soit
D
un disque entré en
v.
Quitte remplaer le hemin
par un hemin homotope, on peut onsidérer que 'est un erle entré en
disque
∆
D.
Soit
∆
la demie-droite issue du point
n'intersete le hemin
γ
v
dième
i ∈ Zd ,
Alors il existe une branhe de la raine
Les fontions holomorphes
passant par le point
qu'en e point l).
gi
dénies, pour
satisfont :
lim
arg(z)→arg(γ(1))+
gi (z) =
(la demi-droite
z − v dénie holomorphe
√ sur√D\∆.
D\∆ par gi (z) = e2π −1i/d d z − v
lim
γi
inlus dans le
sur
arg(z)→arg(γ(1))−
On vérie alors que les prolongements ontinus
satisfont les propriétés reherhes.
√
d
γ(0)
v
γ
(pour
gi+1 (z).
t→0
et
t → 1)
des hemins
gi ◦ γ
Proposition 5.1.4 Soit U un ouvert de C, α = g(z)dz une 1-forme méromorphe sur U , f
une fontion holomorphe dénie sur U .
Soit c un point ritique de la fontion f et v = f (c) la valeur ritique orrespondante.
On suppose que le point c est le seul point ritique qui s'envoie sur v et que la fontion g est
holomorphe sur U\{c}.
Enn on suppose que pour tout laet ontinu γ susamment prohe du point v , ne passant
pas par e point, f −1 (γ) est une réunion de laets ontinus.
57
Alors
Rés(f∗ α, v) = Rés(α, c).
Remarque 5.1.5 L'hypothèse sur les préimages laets susamment voisins de la valeur
ritique est toujours vériée dans le as où l'appliation f est un revêtement ramié de degré
ni.
Dém. Soit γ : [0, 1] → V un hemin ontinu faisant un tour dans le sens diret autour de v .
Soit d le degré loal de l'appliation holomorphe f au voisinage de c
D'après le lemme 5.1.3, il existe une famille de hemins ontinus (γi )i∈Zd paramétrés par
[0, 1], se joignant en un laet faisant un tour diret autour de c et relevant le hemin γ dans
le sens où pour tout indie i ∈ Zd , f ◦ γi est une ourbe de Jordan lisse homotope au hemin
γ . En outre pour tout t ∈ [0, 1] et tout ouple d'indies (i, j), on a f ◦ γi (t) = f ◦ γj (t).
Alors
f∗ α(γ(t); γ ′ (t)) =
ave
γ
R
[0,1]
X
g(w) ′
γ (t)
f ′ (w)
w:f (w)=γ(t)
d−1
X
g(γi(t)) ′
=
γ (t) + h(t),
f ′ (γi(t))
i=0
h(t)dt = 0
par l'appliation
(grâe aux hypothèses sur la fontion
f ).
Or
Z
[0,1]
γi′ (t) =
γ ′ (t)
f ′ (γi (t))
g
et sur les primages du hemin
, don
′
f∗ α(γ(t); γ (t))dt =
=
d−1 Z
X
Zi=0
[0,1]
g(γi(t))γi′ (t)dt
g(z)dz
(c+)
d'après la propriété de reollement des hemins
γi .
5.1.3 Diérentielles quadratiques
On rappelle ([15℄, p.207) qu'une diérentielle quadratique holomorphe sur une surfae de
Riemann
S
est une setion du arré tensoriel du faiseau des
Dans une arte
1-formes
holomorphes sur
S.
M , une diérentielle quadratique holomorphe sur une surfae de Riemann
q = qM dz 2 ave qM une fontion dénie et holomorphe sur l'image de la
peut don s'érire
arte. Étant donné qu'il n'existe pas de diérentielle quadratique holomorphe non nulle sur la
sphère de Riemann, on sera amené à onsidérer des diérentielles quadratiques méromorphes,
dénies omme suit.
58
Dénition 5.1.6 Une diérentielle quadratique méromorphe q sur une surfae de Riemann
S est la donnée d'un ensemble P ⊂ S disret (l'ensemble des ples) et d'une diérentielle
quadratique q holomorphe sur S\P tels que pour tout p ∈ P , il existe un voisinage U de p
dans S tel que P ∩ U = {p} et une arte ϕ : U → V ⊂ C telle que ϕ∗ q = qϕ dz 2 sur V \{ϕ(p)}
et qϕ se prolonge en une fontion méromorphe sur V .
On vérie aisément que si l'on hoisit une autre arte
fontion
qψ
représentant
q
ψ
au voisinage du point
p,
dans ette arte admet un ple du même ordre que elui de
la
qϕ .
On peut alors parler de ples et d'ordres orrespondant à es ples pour une diérentielle
quadratique méromorphe donnée.
S et une diérentielle quadratique méromorphe q
dénie sur S et un ple ξ de q d'ordre pair p, on peut dénir le résidu de q en ξ . Pour ela, on
onsidère une arte ϕ au voisinage de ξ qui envoie ξ en 0 et on note q0 la fontion méromorphe
2
dénie au voisinage de 0 représentant q dans ette arte ('est-à-dire ϕ∗ q = q0 dz au voisinage
de 0). Elle a don un ple d'ordre p en 0.
Étant donnés une surfae de Riemann
Lemme 5.1.7 Soit U un ouvert de C tel que 0 ∈ U , f une fontion holomorphe sur U ne
s'annulant qu'en 0. Si
1
2
Z
(0,+)
√
f ′ (z)
dz ∈ 2 −1πZ,
f (z)
alors, il existe une fontion holomorphe g dénie sur U , ne s'annulant qu'en 0 telle que
g 2 = f . De plus, si h est une fontion holomorphe sur U , telle que h2 = f , alors h = g ou
h = −g .
Dém.
Il s'agit d'un argument standard. La partie uniité du lemme provient de l'uniité
relative d'un relèvement par un revêtement.
La fontion
1/q0
vérie les hypothèses du lemme préédent pour un ertain (assez petit)
0. Il existe don une fontion
2
√
q0 dz = q0 dz 2 . On pose alors
voisinage de
que
méromorphe
√
q0
dénie au voisinage de
0
√
Rés(q, ξ) = (Rés ( q0 dz, 0))2 .
telle
(5.3)
On voit que ette quantité ne dépend ni du hoix de raine arrée, ni de la arte (ar 'est
le as pour le résidu d'une
1-forme méromorphe et
par uniité du ouple de raines arrées).
C'est e qu'on appellera le résidu de la diérentielle quadratique
q
en
ξ.
À l'image de e qui se fait dans les travaux d'Adam Epstein ([10℄, [11℄), on devra ondièrer
S,
et
plus généralement les parties polaires de setions méromorphes de brés holomorphes sur
S.
les parties polaires de diérentielles quadratiques dénies sur la surfae de Riemann
Dénition 5.1.8 Soit α et β des setions méromorphes d'un même bré holomorphe F
b et C une arte xée de C\{∞}
b
de bres de dimension 1 au dessus de C
qui est aussi une
59
trivialisation du bré F . Soit ξ ∈ C et soit α0 et β0 les fontions méromorphes sur C
représentant respetives les setions α et β dans la arte C.
On dit que les setions α et β ont même partie polaire au point ξ si la setion α − β est
holomorphe au voisinage du point ξ .
Cette dénition s'applique aussi bien aux diérentielles quadratiques méromorphes qu'aux
hamps de veteurs méromorphes sur
b.
C
Une partie polaire s'identie loalement aux termes négatifs du développement en série
de Laurent entré au point
arte au voisinage de
ξ.
ξ
α
de la fontion méromorphe représentant la setion
dans une
Les oeients de e développement dépendent néanmoins de la
arte utilisée.
On notera
ξ.
Lorsque
α
P PF (α, ξ)
la partie polaire de la setion méromorphe
α
du bré
F
au point
est une diérentielle quadratique (ou lorsqu'il n'y a pas de onfusion possible)
P Pξ (α).
on la notera
5.1.4 Diérentielles quadratiques ave parties polaires presrites
On suppose maintenant que la surfae
S
b.
C
b
que C
est la sphère de Riemann
Pour des raisons de ohomologie, une diérentielle quadratique
quatre ples, es ples étant omptés ave multipliités.
possède au moins
On va voir qu'on peut presire les parties polaires d'une diérentielle quadratique sur la
sphère de Riemann en un nombre ni de points hoisis arbitrairement, pour peu que l'on
hoisisse susamment de points additionnels où mettre où des parties polaires néessaires
au rééquilibrage.
b . Soit
Proposition 5.1.9 Soit E et F des sous-ensembles
nis disjoints non vides de C
X
(ny )y∈F des entiers stritement positifs tels que
ny = 3.
y∈F
Soit (px )x∈E une famille arbitraire de parties polaires.
b dont l'ensemble
Alors il existe une unique diérentielle quadratique méromorphe sur C
des ples est inlus dans E ∪ F ayant pour parties polaires px en les points x ∈ E et ayant
des ples d'ordre au plus ny en les points y ∈ F .
Dém.
b ≃ C ∪ {∞} telle que (E ∪ F ) ∩ {0, ∞} = ∅.
C
diérentielle quadratique q dont l'expression dans C est :
X
X
q0 (z)dz 2 =
Px (z)dz 2 +
Qy (z)dz 2 + ϕ(z)dz 2 ,
On hoisit une arte
trouver une
C
de
x∈E
où
Px
−1,
si
y∈F
désigne le développement en série (nie) de Laurent entré en
représentant la partie polaire
Laurent entré en
ny = 0)
et
ϕ
y
px
Il s'agit de
dans la arte
débutant à l'ordre
est une fontion entière.
−1
C, Qy
x
et débutant à l'ordre
un développement en série de
et se terminant (au plus) à l'ordre
60
−ny (Qy = 0
αx , βx , γx
On dénit les familles de onstantes omplexes
et
ay , by , cy
1
(z − x)4
αx
βx
γx
Px (z) =
+
+
+O
2
z − x (z − x)
(z − x)3
ay
by
cy
Qx (z) =
+
+
.
2
z − y (z − y)
(z − y)3
Lorsqu'on fait le hangement de arte
ψ(z)dz 2
où
q
ψ
X
1
= 4
z
z 7→ 1/z ,
Px (1/z)dz 2 +
x∈E
∞.
X
ay , by , cy
,
X
Qy (1/z)dz 2 + ϕ(1/z)dz 2 ,
y∈F
0,
!
ar la diérentielle quadratique
ϕ = 0 et
X
= −
αx
Cei entraîne alors que
X
y∈F
X
ay
y∈F
(5.4)
x∈E
(yay + by ) = −
y 2 ay + 2yby + cy
y∈F
Des solutions
on obtient :
est une fontion holomorphe au voisinage du point
n'a pas de ple en
de sorte qu'on ait
= −
X
x∈E
X
x∈E
(xαx + βx )
(5.5)
x2 αx + 2xβx + γx .
(5.6)
de e système linéaire produisent des diérentielles quadratiques dont
les ples sont dans l'ensemble
E ∪ F,
de parties polaires
au plus triples en les points de l'ensemble
au système est de rang maximal
F.
px
en les
x∈E
et ave des ples
Ces solutions existent ar la matrie assoiée
3.
Nous allons maintenant vérier que es solutions existent enore lorsqu'on impose en
P
y∈F ny = 3 et que dans e as elles sont uniques.
Sans perte de généralité on suppose que ∀y ∈ F , ny 6= 0. Il y a trois possibilités.
outre que
L'ensemble
ay , by , cy
F
est de ardinal
1,
dans e as les inonnues sont les trois oeients
du développement en série de Laurent au niveau de l'unique ple
y
dans
F
qui est d'ordre au plus trois. Les équations 5.4, 5.5 et 5.6 se réduisent en le système
linéaire triangulaire suivant
ay = A = −
yay + by = B = −
2
y ay + 2yby + cy = C = −
X
αx
x∈E
X
x∈E
X
x∈E
(xαx + βx )
x2 αx + 2xβx + γx .
La matrie assoiée est inversible puisque ses oeients diagonaux sont des
61
1.
Lorque le ardinal de
le point
y2
F
le systéme devient :
Le déterminant étant
2, on pose F = {y1 , y2} où le point y1 est le ple d'ordre 1 et
2. Dans e as les inonnues sont a1 = ay1 , a2 = ay2 , b2 = by2 ,
est
le ple d'ordre
  
 
A
1 1 0
a1
B  = y1 y2 1  a2  .
C
y12 y22 2y2
b2
(y1 − y2 )2
et les nombres omplexes
y1
et
y2
étant distints, on a
bien une unique solution.
Enn, si
F = {y1, y2 , y3 }
les inonnues sont les trois oeients
ai = ayi .
La matrie
du système est une matrie de Vandermonde et elle-i est inversible ar les
yi
sont
distints.
5.1.5 Images diretes de diérentielles quadratiques
La tirée en arrière est un objet naturel à dénir pour les hamps de tenseurs ovariants tels
∗
que les diérentielles quadratiques. On rappelle que la tirée en arrière f q d'une diérentielle
2
∗
quadratique méromorphe q = q0 dz par une fontion méromorphe f vérie f q0 (z; dz) =
′
2
2
q0 (f (z))f (z) dz . Dans la suite nous aurons besoin de pousser en avant des diérentielles
quadratiques.
Proposition 5.1.10 Soit une fration rationnelle f : P1 → P1 non onstante et soit Sf
l'ensemble de ses valeurs ritiques. Soit q une diérentielle quadratique méromorphe sur P1 .
Soit f∗ q déni, pour tout (z, ξ) ∈ T P1 tel que z ∈
/ Sf , par :
X
f∗ q(z; ξ) =
q w; df (w)−1ξ ,
w:f (w)=z
où df (w)−1 est l'inverse de l'appliation tangente de f en w .
Alors,
f∗ q se prolonge en une diérentielle quadratique méromorphe sur P1 et son ensemble de
ples est ontenu dans la réunion de l'image de l'ensemble des ples de la diérentielle
quadratique q et de l'ensemble des valeurs ritiques de l'appliation f .
Lorsqu'une valeur ritique v de f n'est pas l'image d'un ple de la diérentielle quadratique q , le ple de la diérentielle quadratique f∗ q en v est d'ordre au plus 1.
Si p est image d'un ple de la diérentielle quadratique q , son ordre en tant que ple
(éventuellement nul) de la diérentielle quadratique f∗ q est au plus le maximum des
ordres des ples de q dont p est l'image.
Cette proposition permet de dénir l'image direte (ou poussée en avant) d'une diérentielle quadratique.
Dénition 5.1.11 Soit une fration rationnelle f : P1 → P1 et une diérentielle quadratique
méromorphe q sur P1 . Alors l'image direte (la poussée en avant) f∗ q de q est dénie par :
62
∀(z, ξ) ∈ T P1 ,
f∗ q(z; ξ) =
X
w:f (w)=z
q w; df (w)−1ξ ,
df (w)−1 étant l'inverse de l'appliation tangente de f en w .
b ∞) → (C,
b ∞)
f : (C,
arte C :
Si
la
X
est une fration rationnelle, on obtient omme expression dans
q0 (w)
w:w∈C,f (w)=z
ξ
f ′ (w)
2

X
= 
w:w∈C,f (w)=z

q0 (w)  2
ξ .
f ′ (w)2
b ∞) → (C,
b ∞) une fration rationnelle, l'opérateur de transRemarque 5.1.12 Soit f : (C,
fert de Ruelle Tf assoié à f est un opérateur sur les fontions (méromorphes) g déni par
(voir [18℄) :
X
Tf g(z) =
w:w∈C,f (w)=z
g(w)
,
f ′ (w)2
(5.7)
de sorte que
f∗ (gdz 2 ) = (Tf g)dz 2 .
Dém.
(de la proposition 5.1.10) En dehors des valeurs ritiques les branhes inverses de
X
l'appliation f sont bien dénies et la somme
q w; df (w)−1ξ est loalement bien
w:f (w)=z
dénie et méromorphe ave des ples d'ordres au plus eux des ples éventuels de
préimages du point
z.
Ainsi,
f∗ q
dénie en dehors des valeurs ritiques de
La diérentielle quadratique
valeurs ritiques de
f
q
en les
est une diérentielle quadratique méromorphe globalement
f∗ q
f.
se prolonge méromorphiquement sur
P1 .
En eet les
sont isolées et, dans n'importequelle arte au voisinage d'une valeur
ritique, le module de la fontion qui représente ette diérentielle quadratique dans ette
arte tend vers
+∞
(à moins d'être borné) lorsque l'on s'approhe de l'image de la valeur
ritique dans la arte.
Il reste à majorer l'ordre du ple en une valeur ritique
v
de
f.
Pour ei on peut se
ontenter de raisonner loalement, 'est-à-dire de ne onsidérer que ertaines préimages de
la valeur ritique, puisque les ontributions aux ples de haque préimage s'ajoutent. En
partiulier, on supposera, sans perte de généralité, qu'il n'y a qu'un seul point ritique
d'image
c
v.
On onsidère une arte où la valeur ritique v de l'appliation f est le point 0. Soit
g(z)dz 2 le représentant de q dans ette arte, la fontion g étant méromorphe au voisinage
63
0. Soit k ≥ 2 et c ∈ C∗ tels que f (z) = cz k + O z k+1
C1 > 0 et C2 > 0 telles que, pour w voisin de 0 on ait
du point
. Il existe alors des onstantes
|f (w)| ≤ C1 |w|k
1
≤ C2 /|w|2k−2.
′
2
|f (w)|
Pour tout
z
susament prohe de
0,
toutes les préimages par
dans la arte sont dans la même arte. Ainsi il existe
g
Lorsque la fontion
X g(w) C
≤
′
2
|z|2−2/k
w:f (w)=z f (w) n'a pas de ple en
0,
que le ple de la diérentielle quadratique
C
f
du point représenté par
X
w:f (w)=z
|g(w)|.
o (1/|z|2 ),
plus 1.
e dernier terme est un
f∗ q
en
v
est d'ordre au
e qui montre
Les estimations préédentes permettent aussi de traiter le as où la fontion
en
z
est une onstante positive telle que
g
a un ple
0.
Remarque 5.1.13 L'operateur image direte par une fration rationnelle f non onstante
agit linéairement sur les parties polaires qui se trouvent en des points en dehors de l'ensemble
préritique f −1 (Sf ).
b → C
b une fration rationnelle xant ∞
Lemme 5.1.14 ([18℄ lemma 3.1) Soit f : C
n'ayant que des points ritiques simples en dehors de ∞. Soit c1 , . . . , cN ses points ritiques
nis et vi = f (ci ) les valeurs ritiques orrespondantes. Soit a ∈ C tel que ∀i, a 6= ci . Alors
Tf
1
z−a
N
X
1
1
1
1
=
+
,
′
′′
f (a) z − f (a) i=1 f (ci )(ci − a) z − vi
et
Tf
Dém.
1
(z − a)2
N
X
1
f ′′ (a)
1
1
1
=
−
+
.
2
′
2
′′
2
(z − f (a))
f (a) z − f (a) i=1 f (ci )(ci − a) z − vi
Se fait par un alul de résidu, la deuxième formule déoulant de la première par
dérivation par rapport à
a,
voir [18℄.
5.1.6 Parties polaires invariantes
Soit
f
f
une fration rationnelle non onstante et
de période exate
m.
b = (b0 , . . . , bm )
un yle périodique de
Adam Epstein a donné une lassiation omplète des divergenes
invariantes le long d'un yle selon son multipliateur dans [11℄, une divergene invariante
64
étant une lasse de partie polaire modulo les termes de degré
direte.
−1 qui est invariante par image
b est ρ ∈
/ {0, 1} et que que e yle est disjoint
f . On se propose d'expliiter quelles sont les parties
d'ajouter le terme de degré −1 aux onsidérations
On suppose que le multipliateur du yle
de l'ensemble
Sf
des valeurs ritiques de
polaires invariantes par
f∗ ,
'est-à-dire
faites dans la référene i-dessus.
Dénition 5.1.15 Soit f une fration rationnelle non onstante et b = (b0 , . . . , bm−1 ) un
yle périodique de f de période exate m.
Une famille de parties polaires (Pi )i=0,...,m−1 invariante le long de b est une famille de
parties polaires Pi situées en les points du yle bi telles que pour toute diérentielle quadratique méromorphe q dénie au voisinage de b et ayant Pi pour partie polaire en bi , on
ait
P P (bi, (gi−1 )∗ q) = P P (bi , q)
où gi est la restrition de l'appliation f sur un voisinage de bi sur lequel q est dénie et sur
lequel le degré de f est égal au degré loal en bi (1 si f ′ (bi ) 6= 0 et k si bi est un point ritique
de multipliité k ).
D'après la lassiation d'Adam Epstein de telles parties polaires sont d'ordre
2
et il y
bi d'une diérentielle quadratique ayant
b , telle que ∀i,
C de P1 , identié alors à C
a uniité si l'on suppose que le résidu en les points
es parties polaire y vaut
bi ∈ C
et
bi 6= f (∞).
Soit
1. Choisissons une arte
q = q0 (z)dz 2 la diérentielle
q0 (z)dz
2
=
m−1
X
i=0
αi ∈ C sont
m-uplet (α0 , . . . , αm−1 ) ∈ Cm
sont invariantes par f∗ .
où les onstantes
quadratique dénie par
αi
1
+
2
(z − bi )
z − bi
dz 2 .
à déterminer. Nous allons montrer qu'il existe un et un seul
tel que les parties polaires de la diérentielle quadratique
q
D'après le lemme 5.1.14,
P P (f∗q0 , bi ) =
où l'on pose
bm = b0 .
1
f ′′ (bi )
1
αi
1
−
+ ′
,
2
′
2
(z − bi+1 )
f (bi ) z − bi+1 f (bi ) z − bi+1
Ainsi on est ramené aux équations (αm
αi+1
1
=
′
f (bi )
:= α0 )
:
f ′′ (bi )
αi − ′
.
f (bi )
αi
+ Ci , où Ci est une onstante dépendant de i. Comme
ρ
qu'il existe une et une seule solution.
On en tire que
αi =
65
(5.8)
ρ 6= 1,
on sait
αi omme suit. En dérivant deux fois la relation f ◦m (f (z)) = f (f ◦m (z))
◦m ′′
et en l'appliquant à z = bi , on obtient (f
) (bi+1 )f ′ (bi )2 +ρf ”(bi ) = f ′′ (bi )ρ2 +f ′ (bi )(f ◦m )′′ (bi ).
On peut aluler
On en déduit que
f ′′ (bi )
(f ◦m )′′ (bi+1 )
(f ◦m )′′ (bi )
′
=
−
f
(b
)
.
i
f ′ (bi )
ρ(ρ − 1)
ρ(ρ − 1)
◦m ′′
Ainsi
) (bi )
)i=0,...,m−1
( (fρ(ρ−1)
est la solution des équations (5.8).
Ainsi pour toute diérentielle quadratique méromorphe
q
sur
P1
telle que les seuls ples
q qui s'envoient sur le yle b (ne ontenant auune valeur ritique de f ) sont en les points
de b et auun point de b. Alors, si les parties polaires de q sont invariantes par f∗ , elles sont
de
de la forme
PP
1
αi
+
(z − bi )2 z − bi
dz
2
(f ◦m )′′ (bi )
.
ρ(ρ−1)
On a montré le résultat suivant.
ave
αi =
Proposition 5.1.16 Les parties polaires invariantes le long du yle b sont les multiples de
PP
ave
1
αi
+
2
(z − bi )
z − bi
αi =
dz
2
,
(f ◦m )′′ (bi )
.
ρ(ρ − 1)
Etant donnés une diérentielle quadratique méromorphe
q
et un hamps de veteurs mé-
ξ dénis sur une surfae de Riemann S , le produit tensoriel q⊗ξ est anoniquement
1-forme méromorphe sur S , puisqu'une diérentielle quadratique sur une surfae de riemann est un hamps de 2-tenseurs symétriques ovariants que l'on peut don ontrater de
façon non ambigüe ave un hamps de veteurs. Si E désigne une famille nie d'ensembles
nis de S , on note < q, ξ >E la somme des résidus de la 1-forme méromorphe q ⊗ ξ en les
points des ensembles E .
romorphe
une
La proposition suivante met en avant l'utilité du point de vue de la dynamique holomorphe des diérentielles quadratiques ayant des parties polaires invariantes. Elle donne la
variation du multipliateur d'un yle qui n'est ni parabolique ni superattratif par un alul
de résidu. Ce as ainsi que d'autres as ont étés amplement traités dans [10℄.
Proposition 5.1.17 ([10℄, lemma 6) Soit U un ouvert de C et soit, pour tout λ ∈ U , fλ
une fration rationnelle. On suppose que l'appliation λ 7→ fλ est holomorphe.
On suppose qu'il existe une appliation holomorphe b : U → Cm telle que pour tout λ ∈ U ,
b(λ) est un yle périodique de fλ de période exate m et de multipliateur ρ distint de 0 et
de 1.
66
Soit λ0 ∈ U et soit q une diérentielle quadratique méromorphe sur P1 ayant une partie
polaire invariante par f = fλ0 le long du yle b = b(λ0 ) ave résidu 1.
Soit ρ̇ la dérivée du multipliateur par rapport à λ en λ0 et soit η le hamps de veteurs
méromorphe sur P1 déni par f ′ (z)η(z) = ∂fλ /∂λ|λ=λ0 .
Alors, la somme des résidus de la 1-forme q ⊗ η le long du yle b vaut ρ̇ρ .
Dém.
On proède à un alul diret.
f˙(z) = ∂fλ /∂λ|λ=λ0 (z) et b = (b0 , . . . , bm−1 ). Soit i ∈ {0, . . . , m − 1}.
′
f˙i = f˙(bi ), fi′ = f ′ (bi ), fi′′ = f ′′ (bi ) et f˙i = f˙′ (bi ). Alors, pour z prohe de 0,
Notons
On note
˙ i + z) = bi+1
˙ + ḟi ′ z − b˙i f ′ (bi + z) + O(z 2 )
f(b
˙ − b˙i f ′ + z(f˙i ′ − b˙i f ′′ ) + O(z 2 ).
= bi+1
i
i
Ainsi
f˙
(bi + z) =
f′
Le résidu de la
1-forme
f˙
f′
équations 5.8. On a alors
αi
L'identité
f (bi ) = bi+1
⊗q
en
bi
!
′
˙
f˙i
fi′′ bi+1
−
′
fi
(fi′ )2
+z
est don
˙
αi ffi′ +
i
′
f˙i
′
fi
!
+ O(z 2 ).
′′
˙ f′i 2
− bi+1
(f )
i
où les
αi
satisfont les
˙
ḟi
ḟi − bi+1
fi′′
˙
˙ αi+1 .
=
α
−
b
+ bi+1
i
i+1
fi′
(fi′)2
fi′
entraine
αi
Par onséquent,
˙
bi+1
− b˙i
fi′
˙
f˙i + fi′ b˙i = bi+1
et don
f˙i
fi′′
˙ .
˙
= −αi b˙i + αi+1 bi+1
−
b
i+1
fi′
(fi′ )2
m−1
X
′
ḟi
ρ̇
< q, η >b =
= .
′
f
ρ
i=0 i
5.2 Dénition de la diérentielle quadratique assoiée à
une fration rationnelle et à un yle périodique
Proposition 5.2.1 Soit f une fration rationnelle de P1 , m ∈ N∗ , b = (b0 , . . . , bm ) un yle
périodique de f de période exate m et de multipliateur distint deX
1 et 0. Soit F ⊂ P1
F
disjoint de b tel que 1 ≤ card(F ) ≤ 3 et soit (ny )y∈F ∈ (N∗ ) tel que
ny = 3.
y∈F
Alors il existe une unique diérentielle quadratique méromorphe q sur P1 vériant :
l'ensemble des ples de q est inlus dans b ∪ F ,
67
la partie polaire de la diérentielle quadratique q est invariante le long du yle b ave
résidu 1,
en y ∈ F , q a un ple d'ordre au plus ny .
Dém. Il s'agit d'une appliation de la proposition 5.1.9 ave E = b et les
E sont les uniques parties polaires invariantes le long de b ave résidu 1.
parties polaires en
Dénition 5.2.2 Soit un ensemble non vide F ayant au plus 3 éléments et muni de poids
(ny )y∈F de somme 3. Étant donnés une fration rationnelle f et un yle périodique b de f
de multipliateur, on appellera la diérentielle quadratique méromorphe q de la proposition
5.2.1, la diérentielle quadratique assoiée à (f, b).
5.2.1 Diérene entre la diérentielle quadratique et son image direte
Lemme 5.2.3 ([18℄, theorem 3) Soit un ensemble non vide F ayant au plus 3 éléments
et muni de poids (ny )y∈F de somme 3.
b →C
b une fration rationnelle. Soit c1 , . . . , cp les point ritiques nis de f dans
Soit f : C
b et pour i = 1, . . . , p vi = f (ci ), les valeurs ritiques assoiées.
C
Soit b = (b0 , . . . , bm−1 ) un yle périodique de f de période m et de multipliateur ρ ∈
/
{0, 1}, on suppose que ∀i, bi 6= ∞.
Soit q la diérentielle quadratique assoiée à (f, b) et q0 (z)dz 2 et (f∗ q)0 (z)dz 2 représentent
respetivement q et f∗ q dans la arte C.
Alors il existe L = (L1 , . . . , Lp ) ∈ Cp tel que
q0 (z) − (f∗ q)0 (z) =
p
X
i=1
Li
+ P,
z − vi
(5.9)
où P est un ensemble de parties polaires situées en les points de f ({∞} ∪ F ).
Dém.
On sait, par onstrution de
valeurs ritiques de
f
q
que les seuls ples éventuels de
et en les images des points de
F.
q − f∗ q
se trouvent en les
Les ples en les valeurs ritiques sont simples et les ples en les points de
plus triples. Don le ple éventuel en
polynmial dans l'expression 5.9.
∞
f (F )
sont au
est au plus triple, e qui justie l'absene de terme
68
Lemme 5.2.4 Soit U, V des ouverts de C, f : U → V une appliation holomorphe, q
une fontion méromorphe dénie sur U et v ∈ V tel que toutes les préimages du point v
par l'appliation f sont soit des points ritiques simples de f soit des points réguliers (non
ritiques).
Soit c1 , . . . , ck les points ritiques préimages du point v . On suppose que la fontion q n'a
pas de ple en les ci .
Alors
P P (Tf q, v)(z) =
k
X
i=1
Dém.
en v .
q(ci )
.
i )(z − v)
f ′′ (c
Un développement limité permet de voir que la fontion
Tf q
a un ple au plus simple
Nous allons aluler le résidu orrespondant à e ple. Ce résidu est la somme de toutes
les ontributions de haque
simple
ci ,
on se ramène alors au as où
f
a un unique point ritique
c.
On a :

X

q(w)
dz, v 
f ′ (w)2
w:f (w)=z
q(z)
dz , v
= Rés f∗
f ′ (z)
q(z)
dz, c ,
= Rés
f ′ (z)
Rés(Tf q, v) = Rés 
d'après la proposition 5.1.4. Ce qui donne bien le résultat attendu.
Dans la suite l'appliation
F = {∞}
et
f
sera un polynme. Dans e as, il est pratique de prendre
n∞ = 3.
Théorème 5.2.5 ([18℄, Theorem 1) Soit (fλ )λ une famille de polynmes moniques en-
trés dépendant holomorphiquement d'un paramètre λ appartenant à un ouvert U de C.
On suppose qu'il existe un veteur b(λ) = (b0 (λ), . . . , bm−1 (λ)) ∈ Cm dépendant holomorphiquement du paramètre λ ∈ U tel que pour tout paramètre λ ∈ U , b(λ) est un yle
périodique du polynme fλ qui n'est ni de multipliateur 1, ni superattratif.
On note c1 (λ), . . . , ck (λ) les points ritiques du polynme fλ , v1 (λ), . . . , vk (λ) les valeurs
ritiques orrespondantes (non néessairement distintes), ρ(λ) le multipliateur orrespondant au yle b(λ) et v̇i et ρ̇ les dérivées par rapport au paramètre λ ∈ U évaluées en le
paramètre λ = λ0 ∈ U .
On suppose en outre que les points ritiques ci (λ) ne hangent pas de multipliité lorsque
λ varie dans U et qu'auun d'eux n'est un point xe de fλ .
Soit q la diérentielle quadratique assoiée au ouple (f, b) = (fλ0 , b(λ0 ))
69
Alors
q − f∗ q =
k
X
i=1
Li
dz 2
z − vi
où les onstantes Li satisfont :
k
X
i=1
v̇i Li = −
Dém.
Soit
η
le hamps de veteurs méromorphe sur
est le veteur dérivée par rapport au paramètre
b
C
ρ̇
.
ρ(λ0 )
˙
b déni par l'équation df · η = f˙, où f(z)
C
˙
λ de la fontion fλ (z) évaluée en λ0 (f(z)
attahé en fλ0 (z)).
2
Dans la suite on notera q0 (z)dz la diérentielle quadratique
est un veteur tangent à
q exprimée dans la arte C
f , b, ci , vi , ρ, sans référene au paramètre, à la plae de, respetivement, fλ0 , b(λ0 ), ci (λ0 ),
vi (λ0 ) et ρ(λ0 ).
Les ples du hamps de veteurs η se trouvent en les points ritiques de f . Les ples
éventuels de la 1-forme q ⊗ η se situent don le long du yle b en les points ritiques
c = (c1 , . . . , ck ) ou en ∞. Don par le théorème des résidus on a :
et
< q, η >c,b,∞ = 0.
Étant donné que le polynme
au moins triple en
don
∞,
f
est monique entré, le hamps de veteurs
or le ple de la diérentielle quadratique
q
en
∞
η
admet un zéro
est au plus triple
< q, η >∞ = 0.
On a alors
< q, η >c = − < q, η >b .
(5.10)
i ∈ {1, . . . , k}, soit Ui et Vi des voisinages respetifs des points ci et vi tels que
f (Ui ) ⊂ Vi . On suppose que Ui ∩ Vi = ∅. Soit θ le hamps de veteurs méromorphe déni sur
Ui ∪ Vi par θ(z) = −v˙i pour z ∈ Vi et par θ(z) = (f ∗ θ)(z) + η(z), pour z ∈ Ui .
Soit
On a alors
Rés(q ⊗ η, ci ) = Rés(q ⊗ η|Ui , ci )
= Rés(q ⊗ (θ − f ∗ θ), ci )
= Rés(q ⊗ θ, ci ) − Rés(q ⊗ (f ∗ θ), ci ).
En vertu de la proposition 5.1.4,
Rés(q ⊗ (f ∗ θ), ci ) = Rés(f∗ (q ⊗ (f ∗ θ)), vi ).
70
Or

P P (f∗(q ⊗ (f ∗ θ)), vi ) = P P 
X
w∈U :f (w)=z

q0 (w)θ0 (z) 
, vi
f ′ (w)
= P P ((f∗q) ⊗ θ, vi ).
(5.11)
(5.12)
Ainsi
Rés(q ⊗ (f ∗ θ), ci ) = Rés((f∗ q) ⊗ θ, vi ).
ν≥2
ci ne hange pas quand λ varie, pour tout
ν
f˙λ (ci (λ)+ζ) =
λ ∈ U et tout ζ ∈ C assez petit, fλ (ci (λ)+ζ) = vi (λ)+O(ζ
). Par onséquent
v̇i (λ) + O(ζ ν−1). Or, pour ζ assez petit, θ(ci + ζ) = −v˙i + f˙(ci + ζ) /f ′ (ci + ζ). Ainsi, le
hamps de veteurs θ n'a pas de ple en ci .
Par onséquent < q, η >ci = − < f∗ q, θ >vi . D'après le lemme 5.2.3, il existe un Li ∈ C
L
tel que la partie polaire de f∗ q en vi soit − i . D'où
z−vi
Comme la multipliité
du point ritique
< q, η >c = −
k
X
Li v̇i .
i=0
La proposition 5.1.17 et l'égalité 5.10 entrainent que
< q, η >c = − ρ̇ρ .
5.3 L'inégalité
On onsidère la famille des polynmes
fλ (z) = z d + λ
paramétrée par
λ ∈ C.
Théorème 5.3.1 Soit d ∈ N tel que d ≥ 2 et soit C ≥ 2, il existe des onstantes M > 1,
K0 > 0 et K1 > 0 qui ne dépendent que de C telles que, pour tout λ ∈ C tel que |λ| ≤ C et tel
que le polynme z d + λ possède un yle répulsif de période m de multipliateur ρ (dépendant
de λ), on a
ρ̇ m
m |ρ − 1| ≤ K0 M
log |ρ| + K1 ,
(5.13)
ρ
où ρ̇ désigne la dérivée de la fontion multipliateur ρ par rapport au paramètre λ.
Corollaire 5.3.2 Étant donné C ≥ 2, sur l'ensemble des paramètres λ tels que |λ| ≤ C et
ayant un yle de période m de multipliateur ρ vériant
|ρ − 1| >
K0 M m
log |ρ|
m
(5.14)
(où les onstantes sont elles données par le théorème préédent), la dérivée de la fontion
qui au paramètre λ assoie le multipliateur du yle de période m est non nulle.
71
Remarque 5.3.3 Il est possible à partir de là de onstruire un domaine autour du disque
unité sur lequel on peut dénir l'inverse de la fontion qui à un paramètre donné assoie le multipliateur du yle onsidéré que l'on suit ontinûment (en tant qu'ensemble non
ordonné) en fontion du paramètre (voir par exemple [19℄, theorem 4, dans le adre quadratique).
Fig. 5.1 Ci-dessus une illustration du orollaire 5.3.2 dans le plan des multipliateurs : en
orange le disque unité et en vert la partie hors du disque vériant l'inégalité 5.14.
La démonstration du théorème i-dessus reprend elle de Guénadi Lévine pour la famille
quadratique en les généralisant.
Dém.
b = (b0 , . . . , bm−1 ) le yle du polynme fλ (z) = z d + λ dont il est question dans
b assoiée au ouple (fλ , b) et q la fontion
l'énoné. Soit qλ la diérentielle quadratique sur C
2
méromorphe de C telle que qλ vaut qdz dans la arte C. Grâe au théorème 5.2.5, on sait
ρ̇ dz 2
que qλ = (fλ )∗ qλ +
(en abusant légèrement des notations).
ρ z−λ
1
log+ |fλ◦j | la fontion de Green du polynme fλ . La fontion
Notons G = Gλ = lim
j→∞ dj
G est dénie et positive sur tout C. Étant donné η > 0, on appellera l'ensemble {z ∈ C :
G(z) = η}, l'équipotentielle de potentiel η .
−1
m
Soit g0 > 0, et soit g = g0 /d . Soit V = {z : G(z) ≤ dg}\Bδ et U = fλ (U). La
onstante g0 sera déterminée plus tard, en fontion de la onstante C uniquement, de façon
à e qu'elle soit supérieure au potentiel ritique (lemme 5.3.9). On note Bλ les oordonnées
de Bötther normalisées, dénies et holomorphes sur {z ∈ C : Gλ (z) > g0 }. La fontion Bλ
Soit
dépend ontinuement de
λ
et est telle que
−1 ′
z(Bλ
) (z)
−1
Bλ (z)
72
∼1
pour
z → ∞.
On peut étendre ette
V
V
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000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000
U
Aδ
11
00
00
11
1111
0000
0000
1111
0000
1111
11
00
00Rδ
11
11
00
00
11
Fig. 5.2 En haut à gauhe le domaine
autour de
b0 ).
W
11
00
00Rδ
11
00
11
00Rδ
11
11
00
00
11
V
En haut à droite, le domaine
en yan (le plus grs trou représente le disque
U
en bleu, ave en grisé le domaine
la supperposition des deux ave en jaune l'ensemble
Rδ
et en rouge l'anneau
U.
En bas
Aδ .
fontion en un diéomorphisme du omplémentaire du disque unité sur un ouvert du bassin
de l'inni du polynme
Soit
δ > 0
et
Bδ
fλ
dont le omplémentaire dans e bassin est de mesure nulle.
la réunion du disque
D(b0 , δ)
et des omposantes onnexes de ses
préimages suessives ontenant les points du yle jusqu'à
On a alors
m − 1.
V ∪ Aδ = Wg ∪ U ∪ Rδ
b0 , Wg = {g < G ≤ dg} et Rδ sont les ompoBδ disjointes de Bδ . Quitte à prendre δ assez petit, on peut supposer
que les ensembles Wg , Aδ , Bδ et Rδ sont disjoints les uns des autres.
Par onstrution |q| est intégrable sur U et V (par rapport à la mesure de Lebesgue dxdy
R
du plan). La démonstration onsiste en un enadrement de l'intégrale
|q|dxdy .
Wg
où
Aδ
est un anneau fondamental autour de
santes de la préimage de
Lemme 5.3.4 Lorsque δ → 0, on a
Z
Wg
|q|dxdy ≤
Z
Aδ
|q|dxdy +
73
Z
V
|q − (fλ )∗ q|dxdy + o(1)
Dém.
On a :
Z
|q|dxdy =
V
Z
|q|dxdy +
Wg
Z
|q|dxdy −
U
Z
Aδ
|q|dxdy +
Z
Rδ
|q|dxdy.
Rδ onverge, lorsque δ → 0, versRun ensemble ni de points distints des ples
la fontion q . Ainsi, pour δ tendant vers 0,
|q|dxdy = o(1).
Rδ
R
R
−1
D'autre part, omme U = fλ (V ),
|q|dxdy
≥
|(fλ )∗ q|dxdy .
U
V
L'ensemble
de
Ainsi
Z
Wg
Z
|q|dxdy ≤
|q|dxdy −
Z
Z
|(fλ )∗ q|dxdy +
|q|dxdy + o(1)
Aδ
Z
Z
≤
|q − (fλ )∗ q|dxdy +
|q|dxdy + o(1).
V
V
V
Aδ
Lemme 5.3.5 Lorsque δ → 0, on a
Z
Aδ
Dém.
|q|dxdy = 2π log |ρ| + o(1).
D'une part,
Z
Aδ
|q|dxdy =
Z
Aδ
dxdy
+ o(1).
|z − b0 |2
fλ◦m (D(b0 , δ)\Aδ ) = D(b0 , δ), un
En fait, omme par onstrution
résultat bien onnu dit
que (voir la remarque 5.3.13) :
Z
Aδ
dxdy
= 2π log |ρ|.
|z − b0 |2
Lemme 5.3.6 Il existe une onstante K > 0 ne dépendant que de g et C telle que
Z
V
Dém.
ρ̇ |q − (fλ )∗ q|dxdy ≤ K .
ρ
Grâe au théorème 5.2.5, on a
Z
ρ̇ 1 dxdy.
|q − (fλ )∗ q|dxdy ≤ ρ {z:G(z)≤dg} z − λ V
1 R
dxdy .
suivant permet de ontrler l'intégrale
Z
Le lemme
{z:G(z)≤dg} z−λ
74
Lemme 5.3.7 Soit g > 0, C > 0 et Gλ la fontion de Green assoiée au polynme fλ (z) =
z d + λ. Alors, pour tout paramètre λ tel que |λ| ≤ C ,







eg


{z ∈ C : Gλ (z) ≤ g} ⊂ D 0, max .
1 ,1 + C


d−1
 1− C

(1+C)d
Dém.
Pour tout nombre omplexe
z
tel que
C
1 − R|λ|d ≥ 1 − (1+C)
d.
C
Soit γ = 1 −
alors
(1+C)d
on a
|z| > R, on a
Rγ = 1 + C −
z tel
1
G(z) ≥ log(γ d−1 |z|).
Ainsi pour tout nombre omplexe
γ
dn −1
d−1
n
|z|d
et don
que
|fλ (z)|
|z|d
> 1 − R|λ|d . Posant R = 1 + C ,
C
> 1.
(1 + C)d−1
|z| > R
et tout entier
n ∈ N∗ ,
on a
|fλ◦n (z)| >
Corollaire 5.3.8 Il existe R0 = R0 (C) tel que pour tout d ≥ 2, tout λ ∈ D(0, C) et tout
η > 0, on a
{z ∈ C : Gλ (z) ≤ η} ⊂ D(0, eη R0 ).
{G ≤ g0 /dm−1 } est don inlus dans un disque xé D , dont le rayon (ni) ne
dépend que des onstantes C et g0 .
R
1
La fontion λ 7→
dxdy est bornée pour λ ∈ D(0, C). On obtient alors une
D |z−λ|
onstante K > 0, dénie uniquement en fontion des onstantes C et g0 , telle que
Z
ρ̇ |q|dxdy ≤ 2π log |ρ| + K .
(5.15)
ρ
Wg
R
Il faut maintenant minorer le terme
|q|dxdy .
Wg
L'ensemble
Lemme 5.3.9 Soit C > 0 et Gλ la fontion de Green assoiée au polynme fλ (z) = zd + λ.
Alors, pour tout paramètre λ tel que |λ| ≤ C et tout nombre omplexe z tel que |z| ≤ 1 + C ,
!
2d−1
d(d−1)
C
Gλ (z) ≤ log (1 + C) 1 +
.
(1 + C)d
C
Dém. Si z est un nombre omplexe tel que |z| > 1+C alors |fλ (z)| > |z| (1 + C)d−1 − 1+C
>
C
|z| et |f (z)| ≤ |z|d 1 + (1+C)
, pas onséquent, si z est un nombre omplexe tel qu'il existe
d
∗
◦n
un nombre entier n ∈ N , que l'on supposera minimal, tel que |fλ (z)| > 1 + C , alors
!
d
d−1
1
1
C
◦n
◦n
Gλ (z) = n Gλ (fλ (z)) ≤ n log
1+
|fλ (z)|
d
d
(1 + C)d
2d−1 !
d(d−1)
C
≤ log (1 + C) 1 +
.
(1 + C)d
75
Si un tel entier
Dém.
n
est l'inégalité est enore vraie.
(du lemme 5.3.10)
Il existe don une onstante
on a
Gλ (z) = 0
n'existe pas alors
K0
G(0) ≤ K0 .
À partir de maintenant, on xe
telle que pour tout
g 0 > K0
d ≥ 2,
tout
indépendamment de
λ∈C
tel que
|λ| ≤ C ,
λ.
Lemme 5.3.10 Il existe des onstantes réelles K∗ > 0 et M > 0, ne dépendant que de C et
d, tels que
Z
Wg
|q|dxdy ≥ K∗ M m |ρ − 1|.
Dém. On dénit le hamps de veteurs ξ(z) = (fλ◦m (z) − z)∂/∂z ,
ω = dBλ /Bλ presque partout sur le omplémentaire du Julia rempli
1
érire |qλ | =
|q ξ| · |ω|.
|ωξ| λ
sur
de
C, et la 1-forme
fλ . On peut alors
En prenant des branhes loales du logarithme des oordonnées de Bötther
θ+
√
−1η ,
on trivialise la
Z
où, pour tout
η , γη
Wg
1-forme ω en dζ .
Z dg Z
|qλ | =
1
|qλ ξ|dη
g
γη |ωξ|
Z
1
≥ (d − 1)g inf
· inf
|qλ ξ|,
Wg |ωξ| g≤η≤dg γ
η
Z
γη
Dém.
η.
est l'équipotentielle de potentiel
Lemme 5.3.11
ζ = log Bλ =
On a alors
√
qλ ξ = 2π −1m(ρ − 1).
Dans le plan dynamique, l'équipotentielle
γη
est onstituée d'une réunion de ourbes
dont l'indie global (somme des indies de haune des ses omposantes) autour de haun
des points
bi
du yle est
L'intégrand
qλ ξ
1.
1-forme méromorphe
est une
dénie sur
C,
holomorphe au voisinage des
équipotentielles de potentiel stritement positif.
Les ples de la diérentielle quadratique
sont d'ordre
qλ
2,
qλ
dans
ave omme oeient dominant
en es points). Le hamps de veteurs
ξ
1
C
se trouvent en les points du yle et
(le résidu de la diérentielle quadratique
s'annule en es points ave dérivée
Le résultat suit par le alul des résidus en haun des ples.
ρ − 1.
Lemme 5.3.12 Il existe des onstantes K∗ > 0 et M∗ > 0, déterminées uniquement à partir
de C et d, telles que
1 ≥ K∗ .
Mm
Wg ωξ
∗
Z
76
Dém.
La
tout
λ
1-forme ω dépend
tel que |λ| ≤ C et
λ. Il existe
z ∈ {g0 ≤ G ≤ dg0 },
ontinûment de
tout
don une onstante
K∗
telle que pour
|ω| ≤ K∗ |dz|.
◦m
En outre fλ (Wg ) est inlus dans l'anneau
∗
l'identité fλ ω = dω . Ainsi on a
sup |ωξ| ≤
Wg
{g0 ≤ G ≤ dg0 }.
Or la
1-forme ω
vérie
1
K∗ sup (fλ◦m )′ (z) (fλ◦m (z) − z) .
m
d
z∈Wg
|fλ′ (z)| = d|z|d−1
λ lorsque
Gλ (z) ≤ dg0 par une onstante M∗ > 0 (ette onstante ne dépend que de C , d et g0 ).
◦m
Pour la même raison, on majore |fλ (z) − z| uniformément en z et λ sur l'ensemble Wg
◦m
(l'image de et ensemble par fλ
étant inluse dans l'ensemble {G ≤ g0 }).
On obtient ainsi le résultat attendu.
R
K∗∗
Ainsi
,
pour
une
ertaine
onstante
K
déterminée
uniquement
m|ρ−1|
|q|dxdy
≥
∗∗
Mm
Wg
à partir de C et d. Il sut maintenant de ombiner ette inégalité ave l'inégalité 5.15.
Le orollaire 5.3.8 permet de majorer
uniformément en
Remarque 5.3.13 La démonstration i-dessus utilise le fait que l'opérateur image direte
des diérentielles quadratiques est une ontration pour la norme L1 orrigée de termes
soures ou puits.
Ces aspets de la théorie des diéretielles quadratiques appliquée à la dynamique holomorphe montrent leur importane dans l'artile
Epstein [11℄ donnant un ranement
R d'Adam
dxdy
de l'inégalité de Fatou-Shishikua (la limite Aδ |z−b0 |2 = 2π log |ρ| y est notée Res(f : q)).
5.4 Une majoration sur le diamètre de membres de l'ensemble de Mandelbrot
Du théorème 5.3.1 on peut déduire une majoration de la taille des membres orrespondant
à une suite de renormalisations satellites. Cette majoration permet à Guénadi Lévine de
montrer que sous ertaines hypothèses sur la suite de nombres de rotation (es hypothèses
sont vériées dans le adre du théorème 6.2.14), l'ensemble de Mandelbrot est loalement
onnexe en le paramètre limite de la suite de omposantes hyperboliques assoiée à la suite
de renormalisation.
77
78
Chapitre 6
Critère de non loale onnexité
d'ensembles de Julia quadratiques
inniment renormalisables d'après
Guénadi Lévine
Le but est de redémontrer le théorème de Guénadi Lévine suivant, donnant une ondition expliite sur les nombres de rotation de bifurations satellites suessives sous laquelle
l'ensemble de Julia du polynme quadratique inniment renormalisable orrespondant n'est
pas loalement onnexe.
Théorème 6.2.14 ([19℄) Soit
qn → ∞.
pn
qn
n
une suite de nombres rationnels ave (pn , qn ) = 1 et
Soit (λn )n la suite des raines de bifurations satellites orrespondant à la suite (pn /qn )n .
Supposons que la suite (qn )n tende vers ∞ et que la suite pqnn
vérie :
n
pn+1 1/qn
lim sup < 1.
qn+1 n→∞
(6.1)
Alors la suite (λn )n onverge vers un paramètre λ∗ orrespondant à un polynme quadratique
z 2 + λ∗ inniment renormalisable dont l'ensemble de Julia n'est pas loalement onnexe.
La démonstration repose essentiellement sur des ontrles expliites des domaines de dénition des fontions d'explosions et d'univalene des fontions multipliateur. Contrairement
à Guénadi Lévine, nous n'utiliserons pas le théorème du hapitre préédent.
79
6.1 Inverse de la fontion multipliateur
Dénition 6.1.1 (f. gure 6.1) Soit H une omposante hyperbolique de l'ensemble de Mandelbrot de période m on note Ωm l'ouvert déni par
m
π
|L|2
L
Ωm =
ρ ∈ C : ∀L tel que ρ = e , arctan m
> 2πm log 2 ∪ D
2 − 1 log |ρ| log |ρ|
et Ωlog
H l'ensemble
L
:=
Ωlog
L
∈
C
:
−π
<
Im
L
≤
π
et
e
∈
Ω
.
H
H
Lemme 6.1.2 L'ouvert Ωm est un domaine simplement onnexe.
Dém.
Ωlog
∈ C : Re z < 0} et du omplémentaire
m est la réunion du demi-plan {z√
d'un ensemble fermé C invariant par translation de 2π −1. L'ensemble C intersete la droite
√
vertiale {Re = 0} en des points espaés de 2π −1, il s'agit de l'ensemble suivant :
[
√
C = 2π −1Z +
({z : |z − Y (m, r)| ≤ Y (m, r)} ∩ {z : Re z = r}) ,
L'ensemble
r>0
où
Y (m, r) =
Comme les diamètres des disques
r roît et
Ωm et est
πm log 2
.
arctan 2mm−1 πr
{z : |z − Y (m, r)| ≤ Y (m, r)}
roissent assez vite lorsque
qu'ils sont tous tangents au même point à la droite vertiale
onnexe et simplement onnexe.
Comme préédemment, on note
la omposante hyperbolique
H
multH
{Re = 0},
la fontion qui à un paramètre
λ
assoie le multipliateur du yle attratif de
l'ouvert
appartenant à
fλ .
Proposition 6.1.3 L'inverse mult−1
H de l'isomorphisme multH : H → D s'étend holomor-
phiquement en une appliation univalente dénie sur le domaine Ωm .
L'image de l'appliation mult−1
H : Ωm → C est inluse dans le sillage de la omposante
hyperbolique H .
Dém.
On sait que la ourbe algébrique
Xm =
Xm
dénie par
(λ, z) ∈ C2 : fλ◦m (z) = z, ∀k = 1, . . . , m − 1, fλ◦k (z) 6= z
est lisse et la projetion
π : (λ, z) → λ
est un revêtement ramié au dessus de l'espae des
paramètres (f. théorème 4.1.1).
80
′
ρm (λ, z) = fλ◦k (z), dénie sur Xm , est une fontion propre
−1
de Xm sur C (f. lemme 1.2.3). Don sa restrition à ρm (Ωm ) est propre sur Ωm .
Soit W̃ la réunion des omposantes onnexes de la préimage du sillage W de la omposante
hyperbolique H orrespondant à la ontinuation du yle assoié à la omposante H . La
projetion π restreinte à et ouvert est un revêtement trivial au-dessus de e sillage W ar
L'appliation multipliateur
le yle peut être suivi holomorphiquement en fontion du paramètre à l'intérieur du sillage
(théorème 4.1.9).
D'après le lemme 4.2.1 on a
L'appliation
ρm
ρm
ρm (∂ W̃ ) ⊂ C\Ωm .
est don propre sur les omposantes préimages de l'ensemble
qui sont inluses dans
W̃ .
Ωm
par
Chaune de es omposantes ne peut ontenir qu'une seule
préimage du disque unité, le degré de
ρm est don 1 (ωm est simplement onnexe) sur haune
de es omposantes.
Enn es omposantes se projettent toutes de façon univalente sur l'espae des para-
mètres.
Ωlog
m (à gauhe
domaine Ωm ).
Fig. 6.1 Exemples de domaines
unité et en yan le reste du
en vert) et
Ωm
(à droite, en vert le disque
Lemme 6.1.4 Il existe une onstante numérique K > 1 telle que pour tout m ∈ N assez
grand, pour toute une omposante hyperbolique
H de l'ensemble de Mandelbrot de période m
√
et pour tout α ∈ R, la distane entre −1α et le bord de Ωlog
m vérie :
√
1
|α| α2
|α| α2
log
min
,
≤ dist −1α, ∂Ωm ≤ K min
,
.
K
2m/2 m
2m/2 m
Dém.
Pour tout
x > 0,
on a
max
x π 1
, −
1+x 2 x
n
πo
≤ arctan(x) ≤ min x,
.
2
81
Ainsi, on se ramène à étudier les frontières des ensembles suivants
ΩM
Ωm
où
φ=
φ π
2
2
(x + y ) > κx ,
=
(x, y) ∈ R : −π < y ≤ π, min
,
x 2
φ
π x
2
2
2
(x + y ) > κx
=
(x, y) ∈ R : −π < y ≤ π, max
, −
x+φ 2 φ
2
mπ
et
2m −1
κ = 2πm log 2. De sorte que l'on aura l'enadrement
√
√
√
dist( −1α, ∂ΩM ) ≤ dist −1α, ∂Ωlog
≤ dist( −1α, Ωm ).
m
φ π 2
La ondition min
,
(x + y 2 ) = κx est équivalente à
x 2
q
p
φ
2
x =
|y|
si |y| ≥
φ(κ − φ) et
π
κ−φ q
2
κ
x =
1 − 1 − πκ2 y 2 sinon.
π
Ainsi il existe des onstantes stritement
positives
k1 et k2 telles que la distane de
n
o
|α|
α2
bord de ΩM est minorée par min k1 m/2 , k2
pour m assez grand.
m
2
φ
= π2 − φx pour x = δφ où δ est la onstante universelle
D'autre part, on a
x+φ
1
δ =
2
π
−1+
2
r
iα
au
telles que la distane de
iα
π
π
−1
+3
.
2
2
Par onséquent,
φ
π x
φ
π
max
, −
≥ max
, −δ .
x+φ 2 φ
x+φ 2
n
o
φ
π
La ondition max
, − δ (x2 + y 2) = κx est alors équivalente
q x+φ 2
κφ
κ−φ 2
1 + 4 κφ y − 1 pour y 2 ≥ δφ(κ(1 + δ) − δφ) et
x =
2(κ−φ)
q
(π−2δ)2 2
κ
x =
1 − 1 − κ2 y
sinon.
π−2δ
Ainsi il existe des onstantes stritement
positives
n
o
|α|
α2
au bord de Ωm est majorée par min K1 m/2 , K2
.
m
2
K1
et
K2
à
6.2 Suite de renormalisations satellites
de l'ensemble de Mandelbrot M, on note,
2
le multipliateur du yle attratif du polynme z + λ et mH sa
Étant donnée une omposante hyperbolique
pour
λ ∈ H , multH (λ)
H
période.
multn :=
Ωn pour le
Lorsque l'on onsidère des suites de omposantes hyperboliques, on notera
multHn
et
domaine
mn := mHn
Ωmn
la période du yle attratif orrespondant, ainsi que
déni dans la setion 6.1 (dénition 6.1.1).
82
6.2.1 Fontions d'explosion
Lemme 6.2.1 Soit U , V des ouverts de C ontenant 0. Soit (a, α) ∈ (C∗ )2 , q ∈ N∗ . Soit
ϕ : U × V → C une fontion holomorphe vériant, pour s et ζ voisins de 0,
ϕ(s, ζ) = αsq + aζ q + O sq+1 + O (sq ζ) + O (sζ q ) + O ζ q+1 .
Alors il existe un voisinage W de 0 et q fontions holomorphes (Xi : W → V )i=0,...,q−1
telles que ϕ(s, ζ) = 0 et (s, ζ) ∈ W × V équivaut à ∃i, ζ = Xi (s).
De plus, pour tout i ∈ {0, . . . , q − 1}, (Xi′ (0))q = αa .
Dém. Puisque, pour s et ζ voisins de 0, ϕ(s, ζ) = αsq (1 + O(s) + O(ζ))+aζ q (1 + O(s) + O(ζ)),
il existe des fontions g1 et g2 holomorphes au voisinage de (0, 0) ∈ U × V telles que
ϕ(s, ζ) = α (sg1 (s, ζ))q + a (ζg2(s, ζ))q
g1 (0, 0) = g2 (0, 0) = 1.
La ondition ϕ(s, ζ) = 0 est alors équivalente à l'armation suivante. Il existe une raine
q -ième γ de αa telle que sg1 (s, ζ) + γζg2(s, ζ) = 0.
√
a
2 −1πi/q
. On note, pour i = 1, . . . , q − 1, γi = e
ses autres
Soit γ0 une raine q -ième de
α
raines q -ièmes.
Par le théoréme des fontions impliites, il existe un voisinage W de 0 et des fontions
holomorphes Xi : W → C pour lesquelles on a l'équivalene suivante : sg1 (s, ζ) = −γi ζg2 (s, ζ)
et (s, ζ) ∈ W × V équivaut à ζ = Xi (s). Ainsi, les fontions Xi vérient les propriétés
reherhées.
et
Proposition 6.2.2 (existene loale des fontions d'explosion)
Soit Λ un ouvert de C et S une surfae de Riemann. Soit pour tout λ ∈ Λ, une appliation
holomorphe fλ : S 7→ S . On suppose que fλ dépend holomorphiquement de λ.
On suppose qu'il existe un entier m ∈ N∗ , un yle périodique b = (b0 , . . . , bm−1 ) ∈ S m
de fλ0 de période exate m et un nombre rationnel pq ∈ Q∗ (ave p et q premiers entre eux)
√
tel que le multipliateur du yle b est e2 −1πp/q .
On suppose enn que les points bi sont des points xes de fλ◦mq
de multipliité q + 1, que
0
l'on peut suivre le yle b loalement en fontion de λ au voisinage de λ0 et que λ0 n'est pas
un point ritique de la fontion qui à λ assoie le multipliateur du yle orrespondant.
Alors il existe un voisinage ouvert U de λ0 dans Λ, un voisinage S de 0 dans C et m
fontions holomorphes (xpi )i=0,...,m−1 dénies sur S tels que :
1. il existe une fontion holomorphe C : U 7→ S m telle que C(λ0 ) = b et pour tout λ ∈ U ,
C(λ) est un yle périodique de l'appliation fλ de période exate m ;
2. la fontion ρ : U 7→ C qui à λ ∈ U assoie le multipliateur du C(λ) de fλ est
univalente ;
√
3. S = {s ∈ C : ∃λ ∈ U, ρ(λ) = e2
−1πp/q
+ sq } ;
83
4. ∀i ∈ {0, . . . , m − 1}, ∀s ∈ S , xpi (s) = 0 ou ∀i ∈ {0, . . . , m − 1}, xpi (0) = 0 et
xp′i (0) 6= 0 ;
√
5. pour tout s ∈ S , bi + xpi (e2 −1πj/q s) i=0,...,m−1 est un yle périodique de fλ ave
√
ρ(λ) = e2
Dém.
j=0,...,q−1
−1πp/q
+ sq .
(Voir aussi [3℄, proposition 1)
Comme le multipliateur du yle
b
est diérent de
1,
on peut appliquer le théorème des
fontions impliites et on peut don suivre e yle en fontion de λ sur un voisinage U0 de
m
Cei donne la fontion C = (C0 , . . . , Cm−1 ) : U0 7→ S
du premier point. Par hypothèse,
◦m ′
on peut hoisir U0 assez petit pour que la fontion λ 7→ ρ(λ) = (fλ ) (C0 (λ)) soit univalente
sur U0 .
◦mq
∗
Le point xe parabolique b0 de fλ
est non dégénéré, il existe don a ∈ C tel que, pour
0
◦mq
z prohe de b0 , fλ (z) = z + a(z − b0 )q+1 + O((z − b0 )q+2 ). Alors, par le théorème de Rouhé,
λ0 .
0
V0 , . . . , Vm−1 , voisinages respetifs des points b0 , . . . , bm−1 et un
λ0 tels que fλ◦mq admet exatement q + 1 points xes (omptés
ave multipliité) dans haque Vi .
Comme la fontion multipliateur est univalente au voisinage de λ0 , la multipliité de
C0 (λ) en tant que point xe de fλ◦mq est stritement inférieure à q + 1 dans U2 \{λ0 } ou
U2 ⊂ U1 est un voisinage ouvert de λ0 . Par onséquent, pour tout λ ∈ U2 \{λ0 }, fλ admet un
yle périodique ξ distint de C(λ) de période divisant mq et visitant haun des ouverts Vi
dans le même ordre que C(λ). En partiulier sa période est divisible par m.
Par univalene de la fontion multipliateur ρ, on peut rétréir le voisinage U2 de sorte que
l'on puisse supposer que e yle ξ est de multipliateur distint de 1 pour tout
λ ∈ U2 \{λ0 }. Le théorème des fontions impliites permet de le suivre loalement. Par
ailleurs les ontinuations ξ(λ) de e yle le long de hemins tendant vers λ0 tendent vers
b = C(λ0 ). L'uniité de la fontion impliite entraine l'impossibilité que le multipliateur de
ξ ne tendentpas vers 1 le long de tels hemins. La période du yle ξ est don exatement
′
mq , ar fλ◦k0 (b0 ) 6= 1 pour k < mq .
Par onséquent, pour tout λ ∈ U2 \{λ0 }, il existe un unique yle périodique ξ(λ) dans
V = V0 ∪ · · · ∪ Vm−1 de période exate mq et dépendant loalement holomorphiquement de
λ. Cependant, la fontion ξ n'a pas de prolongement global sur U2 du fait de problèmes de
il existe des ouverts disjoints
voisinage ouvert
U1 ⊂ U0
de
monodromie.
√
r > 0 assez petit pour que, pour tout s ∈ D(0, r), e2
π : D(0, r) → π(D(0, r)) ⊂ U2 dénie par
Soit
−1πp/q
+ sq ∈ ρ(U2 ). La fontion
√
π(s) = ρ−1 e2 −1πp/q + sq
est un revêtement ramié holomorphe de degré
degré loal
(en
s)
q.
Fatoriser par
π
q,
ramié uniquement en
permet de suivre le yle de période
sur un voisinage au-dessus de
λ0 .
84
mq
λ0 = π(0)
ave
holmorphiquement
Le yle parabolique b de fλ0 est non dégénéré, don, pour tout
ai ∈ C∗ tel que, pour ζ tendant vers 0,
existe
i ∈ {0, . . . , q − 1},
il
fλ◦mq
(bi + ζ) = bi + ζ + ai ζ q+1 + O(ζ q+2).
0
On en déduit que, pour
ε
et
ζ
tendant vers
0
et pour tout
i ∈ {0, . . . , q − 1},
fλ◦mq
(Ci (λ0 + ε) + ζ) = Ci (λ0 + ε) + (ρ(λ0 + ε))q ζ + ai ζ q+1 + O εζ 2 + ζ q+2 .
0
q
s ∈ D(0, r), ε = π(s) − λ0 . Alors ε = sρ̇ + O(s2q ),
D(0, r) × W , où W est un voisinage de 0 assez petit, par
On pose alors, pour
dénit
ϕ
sur
ϕ(s, ζ) =
La fontion
ϕ
◦qm
fπ(s)
(Ci (π(s)) + ζ) − Ci (π(s)) − ζ
ζ
où
ρ̇ =
∂ρ
|
. On
∂λ λ=λ0
.
est holomorphe et vérie
√
ϕ(s, ζ) = qe−2
s + ai ζ q + O s2q + O ζ q+1 + O (sq ζ) .
−1πp/q q
Cei permet d'appliquer le lemme 6.2.1. On pose
propriétés demandées.
xpi = X0 − bi .
La fontion
xpi
vérie les
Dénition 6.2.3 Les fontions xpi sont appelées fontions d'explosion.
Remarque 6.2.4 La proposition 6.2.2 donne l'existene des fontions d'explosion xpi sur
un voisinage de 0.
√
On peut les prolonger sur tout disque D(0, r̃) dont l'image par l'appliation s 7→ e2 −1πp/q +
sq est ontenue dans l'image par la fontion multipliateur
ρ d'un domaine
où ette fontion
√
2 −1πj/q
s) i=0,...,m−1 de période
est univalente, et tel que le multipliateur du yle bi + xpi (e
j=0,...,q−1
mq ainsi déni reste de multipliateur distint de 1.
La dénition qui suit onerne le as de l'ensemble de Mandelbrot.
Dénition 6.2.5 Soit p/q ∈ Q∗ . Soit H une omposante hyperbolique de l'ensemble de
Mandelbrot, W son sillage et multH : W → C la fontion multipliateur assoiée. On suppose
que la omposante hyperbolique H est satellite d'une omposante hyperbolique H0 .
Soit multH0 la fontion multipliateur assoiée à la omposante hyperbolique H0 .
On dénit R0 (H, p/q) omme étant le suprémum des nombres réels R > 0 ayant les
propriétés suivantes :
√
1. le domaine e
−1πp/q
+ D(0, R) est inlus dans le sillage de H0 ,
√
2. la fontion multH0 est univalente sur le domaine e
−1πp/q
+ D(0, R),
3. le multipliateur du yle représenté par prolongement analytique sur D(0, R1/q ) des
fontions d'explosions assoiées à la raine de la omposante hyperbolique H est diérent de 1.
85
Le rayon
R0 (H, p/q)
dans un ertain sens maximal parmi les rayons
R>0
on peut prolonger holomorphiquement les fontions d'explosions sur les disques
1/q
La proposition suivante donne un minorant du rayon R0 (H, p/q)
.
surlesquels
D(0, R1/q ).
Proposition 6.2.6 ([20℄, lemma 4.1) Soit H1 une omposante hyperbolique satellite d'une
omposante hyperbolique H0 de l'ensemble de Mandelbrot, de nombre de rotation p/q par rapport à sa omposante mère. Soit m0 = mH0 la période de la omposante hyperbolique H0 et
m1 = mH1 elle de la omposante H1 .
Soit
1/q
√ p
1
2π −1 q
r =
min
, ∂ΩH0
.
, dist e
2m0 q 3
√
Alors l'image du disque S = D (0, r) par l'appliation s 7→ sq + e2 −1πp/q est ontenue
dans le domaine de dénition de l'appliation mult−1
H0 (f. proposition 6.1.3) et il existe q
fontions holomorphes (xp0 , xp2 , . . . , xpq−1 ) dénies sur S telles que :
1. pour tout indie i = 0, . . . , q − 1, xpi (0) = 0 et xp′i (0) 6= 0 et
2. pour tout nombre omplexe s ∈ S , l'ensemble
n
o
√
bi + xpi (se2π −1j/q ), i = 0, . . . , q − 1, j = 0, . . . , q − 1
√
2π −1p/q
q
est le yle de période m1 = qm0 du polynme quadratique z 2 +mult−1
e
+
s
,
H0
2π
attratif sur H1 , où {bi }i est le mH0 -yle parabolique du polynme z 2 +mult−1
H0 (e
√
−1p/q
).
Dém.
√ D'après la remarque 6.2.4, il sut que l'image du disque D(0, r) par l'appliation s 7→
2 −1πp/q
e
+sq soit, d'une part, inluse dans le domaine ΩH0 , e qui est garanti par la dénition
r , et d'autre part, que le multipliateur du yle de période m1 = m0 q , paramétré
par s ∈ D(0, r), reste distint de 1.
Supposons qu'il existe s ∈ D(0, r) tel que le multipliateur du prolongement du yle y
√
−1
2 −1πp/q
q
tend vers la valeur 1 lorsque le paramètre tend vers le paramètre λ = multH
e
+s .
0
Alors le paramètre λ est une raine d'un membre de l'ensemble de Mandelbrot attahé
−1
en la omposante hyperbolique H0 ar l'image du domaine ΩH0 par l'appliation multH est
0
′
′
inluse dans le sillage de H0 . Soit p /q le nombre de rotation de e membre.
′
D'après le lemme 6.1 de [19℄, le dénominateur de e nombre de rotation vérie q ≤ q + 1.
du rayon
La taille des disques de Yooz permet de voir que ela n'est pas possible sur le disque
D(0, r).
Lemme 6.2.7 Soit H0 une omposante hyperbolique de l'ensemble de Mandelbrot de période
m. Soit p/q ∈ Q ave p et q premiers entre eux et soit H1 l'unique omposante hyperbolique
attahée à H0 ave nombre de rotation p/q .
86
Soit multH1 un prolongement holomorphe au voisinage de la raine de la omposante
hyperbolique H1 de la fontion multipliateur de la ontinuation analytique du yle assoié
à H1 .
√
2π −1p/q
Pour tout r < R0 (H0 , p/q), la fontion multH1 est bien dénie sur mult−1
D(e
,
r)
H0
et on a :
√
q2
−1
2π −1p/q
multH1 ◦ multH0 D(e
, r) ⊃ D 1, r ,
16
où multH0 désigne la fontion multipliateur assoiée à la omposante hyperbolique H0 et
multH1 la fontion multipliateur assoiée à la omposante hyperbolique H1 .
Dém. La démonstration repose sur deux lemmes. Le premier lemme est un résultat lassique.
Lemme 6.2.8
multH1 ◦ mult−1
H0
Dém.
′ e2π
√
−1 pq
=−
On sait qu'en e qui onerne le yle de période
le paramètre
q2
e2π
m0
√
−1 pq
et de multipliateur
e2π
√
−1p/q
en
λ0 point d'attahe de la omposante hyperbolique H1 , il peut être suivi de façon
holomorphe au voisinage de e paramètre, 'est-à-dire qu'il existe une fontion holomorphe
λ 7→ ξ(λ)
dénie au voisinage de
λ0
vériant
fλ◦m0 (ξ(λ)) = ξ(λ),
pour tout paramètre
morphes
gu
λ
appartenant à e voisinage. On dénit la famille de fontions holo-
en posant :
0
gu (z) = fλ◦m
(ξ(λ0 + u) + z) − ξ(λ0 + u),
0 +u
voisin de λ0 . Les
fontions
√
g0′ (0) = e2 −1πp/q .
Ainsi, il existe une onstante c
pour
λ0 ,
u
gu
gu (0) = 0,
vérient
pour tout
u
dans un voisinage de
et on a
gu (z) =
La fontion holomorphe
√
e2
∈C
−1πp/q
telle que pour
u→0
on a
+ cu z + O uz 2 + O u2 + O z 2 .
g0 possède un point xe 1-parabolique en 0. Comme l'appliation fλ0
a un unique point xe, il n'y a qu'un seul yle de pétales attahé au point xe parabolique.
γ ∈ C∗ telle que :
Il existe don une onstante
gu◦q (z)
√
−2 −1πp/q
= 1 + qe
cu z + γz q+1 + O uz 2 + O u2 z + O z q+2 .
87
Un point
ζ
du yle de
sante hyperbolique
H1 ,
√
qe−2
e qui entraîne
gu ,
attratif pour les paramètres
tend vers le point
−1πp/q
0
lorsque
u→0
λ0 + u
appartenant à la ompo-
et satisfait alors
cuζ + γζ q+1 = O uζ 2 + O u2 ζ + O ζ q+2 ,
√
γζ q = −qe−2
−1πp/q
cu + O (uζ 2) + O (u2 ζ) + O (ζ q+2 ) = O (u).
Par onséquent
√
(gu◦q )′ (ζ(u)) = 1 + qe−2
−1πp/q
cu + (q + 1)γζ(u)q + o(u)
et don
(gu◦q )′ (0) − 1
q2
√
√
=
−
p .
gu′ (0) − e2 −1πp/q
e2π −1 q
L'autre lemme utile est un lemme de surjetivité, appelé lemme de Carathéodory-Fekete
dans [20℄ (attribué à Hurwitz par Zéev Néhari dans [27℄, theorem I).
Lemme 6.2.9 Si une fontion holomorphe f dénie sur le disque D(0, 1) vérie f (z) =
1
0 ⇔ z = 0 et si f ′ (0) = 1, alors f (D(0, 1)) ⊃ D 0, 16
.
Dém. Supposons que le nombre omplexe a ∈ C∗ ne soit pas dans l'image. Alors la restrition
∗
de l'appliation holomorphe f à D(0, 1)\{0} = D est à valeurs dans la surfae hyperbolique
∗
C \{a}. Ainsi sa dérivée par rapport aux métriques hyperboliques respetives des surfaes
∗
∗
hyperboliques D et C \{a} doit être majorée par 1.
Le résultat déoule alors d'une estimation de la métrique hyperbolique de la surfae
C∗ \{a}
au voisinage du point
0.
Cette estimation se fait grâe à l'expression analytique du
revêtement universel de ette surfae (voir, par exemple, [28℄, hapter VI, setion 6).
−1
Soit g = multH1 ◦ multH . On note que, par dénition de R0 , la fontion g est bien dénie
0
n √
o
√
2π −1p/q
2π −1p/q
et ne peut valoir 1 sur D(e
, r)\ e
.
Appliquant e lemme à une transformation ane de la fontion
g,
dont on peut donner
la formule ave l'aide du lemme préédent, ela donne :
√
2π −1p/q
g D(e
q2
, r) ⊃ D 1, r .
16
An de montrer la onvergene d'une suite de paramètres orrespondant a des bifurations
satellites suessives il faut ajouter une ontrainte au domaine sur lequel on suit les explosions
de yles.
88
Dénition 6.2.10 Soient H , p/q et H0 d'un ontexte identique à elui de la dénition 6.2.5.
On dénit R(H, p/q) omme étant le suprémum des nombres réels R > 0 vériant, en outre
des propriétés 1,2,3 de la dénition 6.2.5, la propriété suivante.
Pour tout θ ∈ C tel que |θ| = 1, l'équation
multH ◦ mult−1
H0 (ρ) = θ
√
admet au plus une solution sur le disque D(e2
−1πp/q
, R).
R0 (H, p/q) ≥ R(H, p/q) > 0. Le lemme suivant donne une minoration de R(H, p/q).
La vitesse de roissane de pn /qn imposée à la suite de nombres de rotation (pn /qn )n permetOn a
tra d'utiliser e lemme et don de se passer d'une l'hypothèse de onvergene des paramètres
raines
λn .
Lemme 6.2.11 Soit H1 une omposante hyperbolique satellite d'une omposante hyperbo-
lique H0 de l'ensemble de Mandelbrot, de nombre de rotation p/q par rapport à sa omposante
mère. Soit m0 = mH0 la période de la omposante hyperbolique H0 et m1 = mH1 elle de la
omposante H1 .
Soit
√ p
1/q
1
2π −1 q
, dist e
r =
min
, ∂ΩH0
2m0 q 3
et soit θ ∈ C tel que |θ| = 1.
√
Alors, sur le disque B = D(e2 −1πp/q , r q ), l'équation
multH1 ◦ mult−1
H0 (ρ) = θ
admet au plus une solution.
Dém.
L'argument est le même que pour la n de la démonstration du théorème 6.2.6 : si
l'appliation
fc ,
pour
c ∈ M,
admet un yle neutre de période
m1
alors le paramètre
trouve sur le membre dont la raine est la raine de la omposante hyperbolique
bord d'une omposante hyperbolique
H1
H.
se
sur le
Cette omposante hyperbolique ne peut être que
puisqu'en dehors de elle-i, et à l'intérieur du sillage de
module plus grand que
H1 ,
c
H1 ,
le multipliateur est de
1.
6.2.2 Rayon de ontrle
Étant donnée une omposante hyperbolique
de l'ensemble de Mandelbrot
(p, q) = 1 on
√ p
1
R̃(H0 , p/q) = min
, dist 2π −1 , ∂ΩH0
.
2mH0 q 3
q
d'une autre omposante
H0
H
ave nombre de rotation
89
p/q
où
note
M, satellite
Où
ΩH0
est le domaine déni dans la proposition 6.1.3. On rappelle qu'on a
On a vu que
R̃(H0 , p/q) ≤ R(H0 , p/q)
mH = qmH0 .
(f. dénition 6.2.5).
Dans le as où l'on onsidère une suite de omposantes hyperboliques satellites
pn /qn par rapport à
R̃n := R̃(Hn , pn /qn ).
de nombres de rotation
Rn := R(Hn , pn /qn )
et
Hn+1
leur omposantes mères respetives, on notera
6.2.3 Convergene de la suite des raines des bifurations satellites
Soit
H0 = H♥
la omposante hyperbolique prinipale de l'ensemble de Mandelbrot. Étant
pn
qn
, on dénit les suites (Hn )n et (λn )n par réurn
rene en assignant à λn le paramètre raine de la omposante hyperbolique Hn+1 attahée à
donnée une suite de nombres rationnels
Hn
en le point d'argument interne
On a ainsi déni la suite
suite
(λn )n
pn /qn .
des raines de bifurations satellites orrespondantes à la
(pn /qn )n .
Théorème 6.2.12 ([19℄) Il existe une onstante numérique C > 0 ayant les propriétés
suivantes.
Soit pqnn
une suite de nombres rationnels ave (pn , qn ) = 1.
n
Soit (λn )n la suite des raines de bifurations satellites orrespondant à la suite (pn /qn )n .
−1
Soit Rn une suite de nombres réels stritment
positifs
tels que la fontion multn ◦ exp
√
est dénie et univalente sur le disque D 2 −1π pqnn , Rn .
Supposons que la suite pqnn
vérie, à partir d'un ertain rang, la ondition
n
C
qn2
pn+1 qn+1 < Rn .
(6.2)
Alors la suite (λn )n onverge vers un paramètre λ∗ orrespondant à un polynme quadratique z 2 + λ∗ inniment renormalisable.
Dém. On pose, pour tout entier n ∈ N, ψn := mult−1
n ◦ exp. Par dénition
√ de la onstante
Rn , la fontion ψn est dénie holomorphe et univalente sur le disque D 2 −1π pqnn , Rn .
Soit C = 2738, α = 243/500. On onsidère les domaines
√
pn αC pn+1 Dn = ψn D 2 −1π , 2 .
qn qn qn+1 On va montrer qu'ils forment une suite déroissante de domaines emboités dont les diamètres
tendent vers
0
lorsque
n → ∞.
Dn′
où
β=
Pour e faire on aura besoin des domaines intermédiaires
= ψn
√
pn βC
D 2 −1π , 2
qn qn
1469
.
10000
90
pn+1 ,
qn+1 λn+1 ∈ Dn′ . On a :
√
√ pn βC pn+1 pn βC
exp D 2π −1 , 2 ⊃ D e2 −1π qn , 2
qn qn qn+1
4qn
1. Premièrement on voit que
multn+1
Grâe à la proposition 6.2.6, on sait que
est bien dénie sur le domaine
don, d'après le lemme 6.2.7
Or
√ pn+1
2 −1π qn+1
e
βC
′
multn+1 (Dn ) ⊃ D 1,
64
n+1 βC pn+1 − 1 < 2π pqn+1
≤ 64 qn+1 .
Et don, par injetivité (lemme 6.2.11) on a
2. Le paramètre
λn
Dn+1 ⊂ Dn
0 < u < 1.
la fontion ψn est
3. Montrons que
vériant
Comme
Dn+1
ar,
√
n+1
0∈
/ D 2 −1π pqn+1
, Rn+1 .
diam Dn+1 ≤ u diam Dn ,
et que
Dn′ ,
pn+1 qn+1 .
λn+1 ∈ Dn′ .
n'appartient pas au domaine
pn+1 qn+1 .
univalente sur le disque
où
D(0, Rn ),
u
est une onstante
l'inégalité 6.2 et une
inégalité de distorsion lassique (voir, par exemple, [9℄, theorem 2.6) entrainent, pour
tout
n∈N
:
rn =
C
2
qn
α
D λ n , rn
1 + α2
ainsi que
où
β
D λ n , rn
1 + β2
√
pn+1 ′
qn+1 ψn 2 −1π pqnn .
α
⊂ Dn ⊂ D λ n , r n
1 − α2
⊂
Dn′
β
⊂ D λ n , rn
1 − β2
Une onséquene de es inlusions et du fait que le paramètre
αrn+1
est l'inégalité |λn+1 − λn | ≥
. Ainsi :
1+α2
Dn+1
Dn+1
Or
λn+1 ∈ Dn′ ,
don
λn
αrn+1
⊂ D λn+1 ,
1 − α2
1 + α2
⊂ D λn+1 ,
|λn+1 − λn |
1 − α2
2
⊂ D λn ,
|λn+1 − λn | .
1 − α2
|λn+1 − λn | ≤
Dn+1
βrn
. Ainsi
1−β 2
βrn
2
⊂ D λn ,
1 − β 2 1 − α2
βrn
2/u
,
⊂ D λn ,
1 − β ′2 1 − α′2
91
(6.3)
,
(6.4)
n'appartienne pas à
ave
u = 99999/100000.
Or,
βrn 2/u
αrn 2 β 1 + α2 1
=
.
1 − β 2 1 − α2
1 + α2 u α 1 − β 2 1 − α2
On vérie alors que
2 β 1+α2 1
u α 1−α2 1−β 2
< 1.
Ainsi
Dn+1 ⊂ Dn ,
e qui donne le résultat attendu.
λn ∈ Dn , la suite (λn )n onverge vers un paramètre λ∗ ∈ M
2
orrespondant z + λ∗ est inniment renormalisable.
Par onséquent, omme
le polynme
dont
6.2.4 Non loale onnexité de l'ensemble de Julia du paramètre
limite
Lemme 6.2.13 Soit R > 0. Alors il existe un nombre réel R∗ > 0, ne dépendant que du
nombre réel R, tel que pour tout nombre omplexe λ ∈ D(0, R), les yles périodiques du
polynme quadratique fλ (z) = z 2 + λ sont tous inlus dans le disque fermé D(0, R∗ ).
√
Dém. Soit ε > 0 et soit R∗ := max (1 + ε) R, 1−
omplexes
(λ, z)
vériant
λ≤R
et
|z| > R∗ ,
1
1
(1+ε)2
on a
, alors, pour tout ouple de nombres
λ
|fλ (z)| ≥ |z|2 1 − 2 z
1
≥
1−
|z|2 ,
(1 + ε)2
e qui entraîne que la suite
(|fλ◦n (z)|)n
tend vers
Théorème 6.2.14 ([19℄) Soit
pn
qn
n
∞
lorsque
n→∞
ar
1−
1
(1+ε)2
|z| > 1.
une suite de nombres rationnels ave (pn , qn ) = 1 et
qn → ∞.
Soit (λn )n la suite des raines de bifurations satellites orrespondant
à la suite (pn /qn )n .
pn
Supposons que la suite (qn )n tende vers ∞ et que la suite qn
vérie :
n
pn+1 1/qn
lim sup < 1.
q
n→∞
n+1
(6.5)
Alors la suite (λn )n onverge vers un paramètre λ∗ orrespondant à un polynme quadratique z 2 +λ∗ inniment renormalisable dont l'ensemble de Julia n'est pas loalement onnexe.
92
Pour la démonstration de e théorème, on a besoin du orollaire des lemmes suivants.
Lemme 6.2.15 Il existe une fontion ontinue H : [0, 1[→ [0, +∞[ satisfaisant la propriété
suivante.
Soit r > 0 et soit X , C et C̃ des fontions holomorphes dénies sur le disque D(0, r).
On suppose que
1. pour tout s ∈ D(0, r)\{0}, C̃(s) 6= X(s) ;
2. ∀s ∈ D(0, r), X(s) = C(s) ⇔ s = 0 ;
3. ∀s ∈ D(0, r), C̃(s) = C(s) ⇒ s = 0 ;
4. l'ordre d'annulation de C̃ − C en 0 est au plus égal à l'ordre d'annulation de X − C
moins 1.
Alors, pour tout s ∈ D(0, r),
|s|
|X(s) − C(s)| ≤ |C̃(s) − C(s)|H
.
r
Dém.
Soit
ϕ
la fontion dénie par
ϕ(s) =
X(s) − C(s)
.
C̃(s) − C(s)
ϕ est dénie holomorphe sur D(0, r).
∀s ∈ D (0, r) , ϕ(s) 6= 1,
∀s ∈ D (0, r) , ϕ(s) = 0 ⇔ s = 0,
le point 0 est un zéro simple de ϕ.
La fontion
De plus elle a les propriétés suivantes :
Ces propriétés entrainent alors la majoration :
|ϕ(s)| ≤ H
où
H : [0, 1[→ [0, ∞[
|s|
r
,
est la fontion
H(u) = sup {|g(z)| : |z| ≤ u, g : D(0, 1) → C\{1}
holomorphe,
fontion
H est loalement bornée ontinue
{g : D(0, 1) → C\{1} holomorphe, g(z) = 0 ⇔ z = 0} est
pae des fontions holomorphes dénies sur D(0, 1).
La
ar
g(z) = 0 ⇔ z = 0} .
l'ensemble
de
fontions
relativement ompat dans l'es-
Remarque 6.2.16 On peut montrer que la fontion H vérie (f. [27℄ ainsi que [19℄, setion
4.3) ,
∞
Y
(1 + u2k )8
H(u) = 16u
(1 − u2k−1 )8
k=1
≤
1 −π2 / log u
e
16
pour tout u ∈ [0, 1[.
93
Lemme 6.2.17 Soit R > 0, ρ > 0, q ∈ N∗ . Soit Y une fontion holomorphe dénie sur le
disque D(0, ρ) et à valeurs dans le disque D(0, R).
Alors, pour tout t ∈ D(0, ρ),
√
|Y (te2
Dém.
−1π/q
) − Y (t)| ≤
|t|/ρ
2πR
.
q 1 − (|t|/ρ)2
Par ontration hyperbolique on a :
Y (s) Y (se2√−1π/q ) −
≤ dD
R
R
√
Y (s) Y (se2 −1π/q )
,
R
R
√
!
≤ dD(0,ρ) (s, se2 −1π/q )
|s|/ρ
2π
.
≤
q 1 − (|s|/ρ)2
Corollaire 6.2.18 Soit r, R, ρ, q , X , C , C̃ et Y omme dans les lemmes 6.2.15 et 6.2.17
i-dessus.
Soit s ∈√ D(0, r). On suppose qu'il existe t ∈ D(0, ρ) tel que C(s) = Y (t) et
C̃(s) = Y (te2 −1π/q ).
Alors
2πR
|s|
|t|/ρ
|X(s) − C(s)| ≤
.
2H
q 1 − (|t|/ρ)
r
Dém.
Il s'agit juste d'une juxtaposition des deux lemmes préédents.
Dém.
(du théorème 6.2.14) Le but prinipal de ette démonstration est de pouvoir utiliser
le ritère de Douady-Sullivan en ontrlant les explosions des yles.
On voit failement que la ondition 6.5 entraîne la ondition 6.2 du théorème 6.2.12 de
sorte que la suite de paramètres (λn )n onverge vers un paramètre
z 2 + λ∗ est inniment renormalisable.
quadratique
Par hypothèse il existe une onstante
vériant
n ≥ n0 ,
α ∈]0, 1[
et un entier
pn+1 qn
qn+1 ≤ α .
Quitte à ne onsidérer que la queue de la suite
(pn /qn )n ,
n0
λ∗ pour lequel le polynme
tel que pour tout entier
n
(6.6)
on renormalise de sorte que
n0 = 0.
Par onséquent, si l'ensemble de Julia orrespondant au paramètre limite de ette nouvelle
suite de renormalisations satellites n'est pas loalement onnexe, il en est de même pour
l'ensemble de Julia de la limite de la suite originale ('est une onséquene du prinipe de
onnexité, voir, par exemple, [21℄ theorem 6.13).
94
Supposons dorénavant que l'inégalité
pn+1 qn+1 ≤ αqn
est vraie pour tout entier
n
(les
nombres de rotations ayant étés modiés en onséquene de la renormalisation).
On reprend les notations de la preuve du théorème préédent. On onsidère notamment
la suite de domaines emboités
Dn
onvergeant vers
Dn =
ψn−1
λ∗
dénie par :
√
pn
D 2 −1π , dn
,
qn
pn+1 qn+1 .
On note Cyclen = (Cyclen,0 , . . . , Cyclen,mn −1 ) l'appliation holomorphe dénie sur le
sillage Wn qui à un paramètre λ de e sillage assoie le yle de fλ qui est attratif sur la
omposante hyperbolique Hn (et indiérent ou répulsif en les autres points du sillages), en
partiulier on suppose que, pour tout λ ∈ Wn et tout i ∈ {0, . . . , mn − 2},
ave
dn = O
1
2
qn
fλ (Cyclen,i (λ)) = Cyclen,i+1 (λ)
et
fλ (Cyclen,mn −1 (λ)) = Cyclen,0 (λ).
Ces fontions s'étendent ontinuement sur l'adhérene du sillage. On hoisit en outre, lorsque
n ≥ 1,
l'élement du yle représenté par la fontion
Cyclen,0
de sorte que la limite de ette
λn−1 du sillage est égale à Cyclen−1,0 en e
i ∈ {0, . . . , mn −1}, si i mod qn−1 ≡ j ∈ {0, . . . , mn−1 −1},
alors Cyclen,i (λn−1 ) = Cyclen−1,j (λn−1 ).
On sait,
la proposition
6.1.3, que la fontion multn est un isomorphisme entre Dn
d'après
√ pn
, dn . De plus, grâe à la proposition 6.2.6, on sait qu'on peut suivre
et exp D 2π −1
qn
l'explosion du yle Cyclen+1 sur un voisinage de la raine de la omposante hyperbolique
Hn+1 . Préisément,
il existe mn+1 = qn mn fontions holmorphes Cycleexp n,i dénies sur le
fontion lorsque le paramètre tend vers la raine
paramètre. Ainsi, pour tout entier
1/qn
{Cycleexp n,i(s), i = 0, . . . , mn+1 } est l'ensemble des
points d'un yle mn+1 -périodique du polynme quadratique fλ , où le paramètre λ vérie
√
pn
multn (λ) = e2π −1 qn +sqn et e yle est attratif lorsque λ ∈ Hn+1 . Les fontions Cycleexpn,i
disque
D 1, Rn
telles l'ensemble
sont dénies par :
√
n
2 −1π kp
q
Cycleexp n+1,i (s) = Cyclen,j (λn ) + xpn,j se
où
i = j + kqn
et la fontion
xpn,j
n
,
est la fontion d'explosion dont il est question dans la
proposition 6.2.6.
Soit
i ∈ {0, . . . , mn − 1}, j ∈ {0, . . . mn+1 − 1}
à appliquer le orollaire 6.2.18.
tels que
j ≡ i mod qn−1 .
On va herher
Les paramètres que l'on onsidère se trouvent dans un voisinage relativement ompat de
l'ensemble de Mandelbrot. Les points
Cyclen,i (λ)
95
des yles orrespondant à des paramètres
Rc indépendant de la
λ et de n (lemme 6.2.13). En
onséquene de quoi les fontions holomorphes
√
1/qn−1
2π −1/qn−1
Y (t) = Cycleexpn−1,i (t) et Cycleexp n−1,i te
dénies sur le disque D 0, Rn−1
,
′
sont àvaleurs dans
le disque de rayon√ Rc entré en 0. En outre il existe i tel que pour tout
1/qn−1
−1
2 −1πpn−1 /qn−1
t ∈ D 0, Rn−1
tel que multn−1 (e
+ tqn−1 ) ∈ Wn ,
√
√
2 −1πpn−1 /qn−1
qn−1
Cycleexp n−1,i te2π −1/qn−1
(e
+
t
)
.
= Cyclen,i′ mult−1
n−1
1/qn−1
En partiulier, il existe t ∈ D 0, dn−1
tel que Cyclen,i (λ∗ ) = Cycleexp n−1,i (t) et
√
Cyclen,i′ (λ∗ ) = Cycleexpn−1,i te2π −1/qn−1 .
de e voisinage sont don tous inlus dans un disque de rayon ni
valeur de
La distane entre les points
Y (s)
et
√
Y (se2
−1π/qn−1
)
peut être vue omme la distane
minimale entre deux points du yle explosant (elui qui est attratif sur la omposante
Hn ).
D'autre part les fontions
X(s) = Cycleexpn+1,j (s),
√
qn
2 −1πpn /qn
+
s
et
C(s) = Cyclen,i mult−1
e
n
√
C̃(s) = Cyclen,i′ mult−1
e2 −1πpn /qn + sqn
n
1/qn
sont holomorphes sur le disque D 0, Rn
vérient les propriétés suivantes.
1/qn
Pour tout s ∈ D 0, Rn
\{0}, C(s) 6= X(s), C̃(s) 6= X(s) et C̃(s) 6= C(s).
C̃(0) 6= C(0) mais C(0) = X(0).
√
1/qn
Il existe s ∈ D(0, dn
) tel que λ∗ = e2 −1πpn /qn + sqn .
(et la monotonie du majorant en terme de |s| et |t|), on a
où
Ainsi, d'après le orollaire 6.2.18
1/qn−1
Cyclen+1,j (λ∗ ) − Cyclen,i(λ∗ ) ≤ 2πRc (dn−1 /Rn−1 )
H
qn−1 1 − (dn−1 /Rn−1 )2/qn−1
H : [0, 1[→ R+
Le polynme
En outre
dn
Rn
1/qn !
est une fontion universelle bornée sur tout intervalle ompat de
fλ
possède deux point xes dépendant holomorphiquement de
domaine
D0 .
Cycle0,0 .
La fontion dérivant le seond point xe sera appelée
λ
,
[0, 1[.
sur le
En outre ils sont distints sur e domaine. Le premier est dérit par la fontion
ζ.
Ainsi on montre de la
même façon que préédemment l'inégalité suivante :
Cycle1,j (λ∗ ) − Cycle0,0 (λ∗ ) ≤ Cycle0,0 (λ∗ ) − ζ(λ∗ ) H
d0
R0
1/q0 !
.
Lemme 6.2.19 Soit λ 6= 0 et α et β les deux points xes distints du polynme quadratique
fλ (z) = z 2 + λ, alors
α − β = 2α − 1.
96
Dém. Comme les nombres omplexes α et β sont des points xes du polynme quadratique
fλ , on a α − β = (α + β)(α − β) e qui entraîne α + β = 1. Ainsi, de l'identité (α + β)2 = 1
on déduit que 1 = 2α(α + β) − α + β .
Ce lemme permet de majorer Cycle0,0 (λ∗ ) − ζ(λ∗ ) :
Cycle0,0 (λ∗ ) − ζ(λ∗ ) = |1 − mult0 (λ∗ )|
√ p0
√
p
2 −1π q0
2 −1π q0 0
≤ 1 − e
− mult0 (λ∗ )
+ e
p0 ≤ 2π + d0 .
q0
On a alors montré l'inégalité suivante, vraie pour tout entier
j ∈ {0, . . . , n},
Cyclen,j (λ∗ ) − Cycle0,0 (λ∗ ) ≤
p0 2π + d0 H
q0
+
n−1
X
2πRc
k=1
Pour tout paramètre
λ∗
d0
R0
1/q0 !
n ≥ 0
et tout entier
+
(dk−1/Rk−1 )1/qk−1
qk−1 1 − (dk−1/Rk−1 )2/qk−1
H
dk
Rk
1/qk !
.
fλ∗ est inniment renormalisable, on a
il existe une onstante Kpf > 0 telle que pour tout tel paramètre
tel que le polynme
|λ∗ | > 1/4. Par onséquent,
λ∗ , les points xes du polynme orrespondant à e paramètre sont à une distane d'au moins
Kpf du point ritique 0.
Ainsi lorsque la ondition
q1 ! X
∞
p0
2πRc
d0 0
+
2π + d0 H
q0
R0
qk−1
k=1
1−
dk−1
Rk−1
q 1
k−1
dk−1
Rk−1
est vériée, l'ensemble de tous les yles de l'appliation
q 2 H
k−1
fλ∗
dk
Rk
q1 !
k
< Kpf
(6.7)
reste à une distane stritement
positive du point ritique de l'appliation.
On peut alors appliquer le ritère de Douady-Sullivan (proposition 4.4.2), en eet la
fermeture
C
(Cyclen,i (λ∗ ))n,i est un sous-ensemble fermé
fλ∗ (z) = z 2 + λ∗ , ne ontenant pas le point
fλ∗ est injetive sur l'ensemble C (voir [33℄,
de l'ensemble des valeurs des yles
de l'ensemble de Julia du polynme quadratique
fλ∗ et l'appliation
l'appliation fλ∗ agit omme un odomètre
ritique de e polynme
lemme 5.9,
sur l'ensemble des points limite).
Montrons que l'inégalité 6.7 est vériée dès lors que l'entier
n1
est assez grand.
Lemme 6.2.20 Soit β > 1 et (qn )n une suite de nombres entiers tendant vers ∞ vériant :
qn+1 ≥ β qn
97
et soit (mn )n la suite d'entiers dénie par :
n−1
Y
mn =
qk ,
k=0
alors
X mn
n≥n1
lorsque n1 → ∞.
1
qn
En partiulier, on déduit de e lemme que
→0
X1
k
Dém.
La suite
entiers
n
et
k,
(qn )n
qk
est roissante. Montrons que
on a
onverge et que
mn /qn → 0
mk
qk
quand
→ 0.
n → ∞.
Pour tout
(log β)k k
qn .
k!
n−n0
En partiulier, ave k = 2, on voit que qn ≥ qn0 γ
, pour n0 assez grand, où la onstante
γ > 1 vaut
qn0
γ=
> 1.
2 (log β)2
n−1
n log qn−1
Cette onstante tend vers ∞ lorsque n0 → ∞. Grâe à elà on voit que
tend
qn−1
vers 0 lorsque n → ∞. Or
n−1
mn
log qn−1
qn−1
≤
qn
log β
qn
n−1
log qn−1
≤ n! log β
qn−1
n−1
n log qn−1
≤ log β
,
qn−1
qn+1 ≥ (β)qn ≥
mn
→
qn
Ainsi
don
0
quand
n → ∞.
X mn
1
q
n
n≥n
1
≤
mn1 X −n
γ → 0.
qn1 n≥0
Ce lemme entraîne que la somme
∞
X
2πRc
k=1
(dk−1 /Rk−1 )1/qk−1
qk−1 1 − (dk−1 /Rk−1 )2/qk−1
98
H
dk
Rk
1/qk !
(dk /Rk )1/qk
est aussi petite qu'on veut pour peu que la suite
la valeur
1.
Il reste don à montrer qu'il existe
1/qk
dk
≤ β.
Rk
β ∈ [0, 1[
et
k0 ∈ N
k
reste à une distane xée de
tels que pour tout
k ≥ k0 ,
on a
D'une part on sait, d'après la setion 6.2.2 (plus préisément de la proposition 6.2.6 et
du lemme 6.2.11), que
Rk ≥ R̃k = min
√ pk
1
, dist 2π −1 , ∂Ωk
.
2mk qk3
qk
D'autre part,d'après le lemme
numérique
n
6.1.4, il existe une onstante
o
√ pk
p2k
|pk |
distane dist 2π −1 , ∂Ωk
est minorée par k min
,
.
qk
qk 2mk /2 qk2 mk
Ainsi, il existe une onstante
dk
Rk
1/qk
Comme
C>0
1/qk m /2
2 k
1/qk pk+1 1/qk
≤ C
min (qk mk )
,
qk+1 pk qk
Remarque 6.2.21
quand
k → ∞,
telle que la
telle que
(
mk /qk → 0
k >0
on a, pour
1/qk )
2 pk+1 1/qk
m
q
p
k k k+1 ,
.
qk+1 p2k qk+1 k → ∞,
dk
Rk
1/qk
≤ (1 + o(1))α.
1/qk
pk+1 1/qk
dk
L'hypothèse qk+1 < α permet de majorer le terme H
Rk
par une onstante.
Une ondition plus ne sur la suite des nombres de rotation peut être extraite de l'inégalité
6.7. Une telle ondition est expliitée dans [19℄.
99
100
Chapitre 7
Modèle hypothétique d'explosion de
yles
7.1 Introdution
Le but de e hapitre est d'établir une ondition similaire à elle du théorème 6.2.14 par le
biais d'un modèle. C'est-à-dire un théorème donnant une ondition sur la suite des nombres
de rotation des bifurations satellites suessives orrespondant à un polynme quadratique
inniment renormalisable pour que elui-i ait un ensemble de Julia non loalement onnexe.
On veut aussi, à l'image de e qui a été fait pour les hérissons (voir par exemple [30℄,
[29℄, [31℄), une desription topologique et dynamique d'un ompat invariant orrespondant
à la situation non loalement onnexe.
Dans e but, Xavier Bu a réé un modèle ontenant une desription des bifurations au
moyen de pseudo appliations de renormalisation orrespondant aux renormalisations d'un
polynme quadratique inniment satellite renormalisable ('est-à-dire inniment renormalisable, limite de bifurations satellites adjaentes les unes aux autres). Je vais le dérire
et l'étudier ave pour objetif de montrer que e modèle est orret et d'obtenir quelques
informations sur la struture d'un ompat invariant généré par e modèle.
7.2 Dénition et expliation du modèle
une suite de nombres rationnels de ]0, 1[, où pn et qn sont sans diviseur
∗ N
ommun. On suppose que la suite (pn /qn )n ∈ (Q ) onverge vers 0. Soit c > 1 xée et soit
Soit
(pn /qn )n
tn = c|pn |/qn .
Remarque 7.2.1 Voir le lemme 7.2.5 à propos de la onstante c.
On note
Mn
0 en ∞, tn
ϕn (z) := (Mn (z))qn .
par le fait qu'elle envoie
(ϕn )n
par
n /z
Mn (z) = 1−t
. Cette appliation est aratérisée
1−tn
0 et 1 sur lui-même. On dénit la suite d'appliations
l'appliation de Möbius
en
101
Remarque 7.2.2 On supposera toujours que le point tn appartient au disque unité. Etant
donné que l'on suppose aussi que pn /qn → 0 lorsque n → ∞, ela revient à ne négliger que
les premiers termes de la suite (pn /qn )n .
Dans le as où pn = 1, on peut se ontenter de prendre qn tn /|pn | < 2 si l'on ne veut pas
supposer pn /qn → 0 mais alors le lemme 7.3.13 onernant l'épaisseur de Kn,0 ne peut etre
appliqué tel quel (voir setion 7.3.3).
zq
M
0
t
1
0
1
Fig. 7.1 Illustration shématique de l'appliation
0
ϕ(z) =
1−t/z
1−t
q
1
sur le disque unité, vue
en tant que omposition de l'appliation de Möbius et de la fontion puissane
q.
La partie
bleue à gauhe est envoyée sur la partie bleue à droite, de même pour les parties vertes
(Le disque vert de droite étant prohe de
0,
ses préimages par la fontion puissane sont
allongées).
Etant donné z ∈ D, on
Φn = ϕn ◦ · · · ◦ ϕ0 , de sorte
z0 = ϕ0 (z) et,
zn = Φn (z). On
zn−1 ∈ D,
pose
si
que
onsidère l'ensemble
zn = ϕn (zn−1 ). Soit
K∞ des points qui ne
on pose
s'éhappent pas 'est-à-dire l'ensemble
K∞ = {z ∈ D : ∀n, Φn (z) ∈ D}.
L'ensemble
pat
K∞ .
K∞
est ompat. Un des objetifs est d'étudier les propriétés de e om-
En partiulier on aimerait savoir sous quelles onditions le ompat
K∞
possède
des ontinua non dégénérés en tant que omposantes onnexes ainsi qu'une aratérisation
topologique de e ompat.
Il sera utile de onsidérer la suite de ompats
La suite
(Kn )n
Kn
suivante :
Kn := z ∈ D : ∀k = 0, . . . , n, ϕk ◦ · · · ◦ ϕ0 (z) ∈ D .
est une suite déroissante de ompats non vides (1
l'intersetion est le ompat
K∞ .
Dénition 7.2.3 L'ensemble K∞ est le ompat K∞ :=
Les appliations
\
∈ Kn
pour tout
n)
dont
Kn .
n∈N
ϕn sont dénies de façon à modéliser les renormalisations suessive d'un
polynme quadratique inniment satellite renormalisable. À de tels polynmes orrespond
une suite de nombres de rotation (voir setion 4.1)
102
(pn /qn )n .
On rappelle qu'une bifuration satellite orrespont à une ollision de yle. Par exemple
une petite perturbation d'un polynme ayant un point xe parabolique possède un yle
entièrement inlus dans un voisinage du point xe perturbé.
Si le multipliateur du point xe du polynme de départ est
rotation du yle du nouveau polynme est
perturbation sera de l'ordre de
(pn+1 /qn+1 )1/qn .
pn+1 /qn+1
pn+1 /qn+1
√
e2
−1πpn /qn
et le nombre de
alors le déplaement du point xe par
alors que l'explosion a lieu à une vitesse de l'ordre
de
111111111111111111
000000000000000000
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
expl.(perturb.)
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
nouv. yle
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
pt. rit.
pt. rit.
pt. xe
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
pt. xe
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
Fig. 7.2 Une explosion d'un point xe parabolique suite à une perturbation
Un tel polynme sera renormalisable. La renormalisation remplae alors une appliation
fn
fn+1 = Rfn .
perturbation du polynme ayant un point xe, par une appliation
Le
renormalisé de e polynme possède à nouveau un point xe, image du yle explosant par
l'appliation de renormalisation.
Il y a alors une appliation
ϕ˜n ,
dénie sur le domaine de renormalisation, telle que le
diagramme suivant est ommutatif :
fn◦qn
/
ϕ˜n
ϕ˜n
Rfn
/
fn+1
d'appliations renormalisées (fn )n .
Dans le as d'un polynme quadratique inniment renormalisable
fn ,
l'appliation
est enore renormalisable et on peut onstruire une suite
qn
1−tn /zn
Les appliations ϕn (z) =
sont des modèles pour les appliations
1−tn
le disque unité
D
ϕ˜n
:
est pris en tant que voisinage des yles explosants,
le point ritique est plaé en
1
en tant que point de référene xe,
1−tn /zn
,
1−tn
on transforme le nouveau yle en un nouveau point xe ave l'appliation de mise à
on reentre l'anien point xe ave l'appliation de Mobius
la puissane
Mn (z) =
qn .
Grae au ritère de Douady-Sullivan (voir setion 4.4), on sait que si la suite des yles explosants ne s'aumule pas sur le point ritique alors l'ensemble de Julia n'est pas loalement
onnexe.
L'ensemble
K∞
ontient l'ensemble des points d'aumulation de es yles. Il possède
un nombre inni de omposantes onnexes, haune ontenant un point de l'ensemble des
103
zq
M
0
t
1
1
1
0
Fig. 7.3 Le point xe est d'abord reentré puis le yle est transformé en point xe.
points d'aumulation des yles. Si les omposantes onnexes du ompat
points, 'est un ensemble de Cantor et
Sinon le ompat
K∞
{1}
est une omposante onnexe.
ontient un segment
[x0 , 1]
attahé au point
points d'aumulation des yles ne ontient pas le point
1.
1
K∞
sont des
et l'ensemble des
Il est légitime de supposer alors
que l'ensemble de Julia d'un polynme quadratique inniment renormalisable ave suite de
nombres de rotation
(pn /qn )n
n'est pas loalement onnexe.
Fig. 7.4 Un exemple d'ensemble résiduel
du disque unité). Le ompat
Kn
Kn
ave
n=3
(on a zoomé sur la partie droite
est symétrique par rapport l'axe réel et son intersetion
ave l'axe réel ontient un segment issu de
1
(sur la droite).
Dénition 7.2.4 Pour c > 1 on dénit Cc omme étant l'ensemble des paramètres λ tels
que le polynme quadratique z 2 + λ est inniment satellite renormalisable ave une suite de
nombres de rotation (pn /qn )n vériant les assertions suivantes :
1. la suite de nombres positifs (tn )n dénie par tn = c|pn |/qn est telle que ∀n ∈ N∗ ,
tn ∈]0, 1[ ;
104
2. soit ϕn (z) =
1−tn /z
1−tn
qn
et soit Φn = ϕn ◦ · · · ◦ ϕ0 dénies sur l'ensemble D. Alors
∃x0 ∈]0, 1[ tel que ∀n, Φn (x0 ) ≥ tn+1 .
Lemme 7.2.5 Soit c ≥ c′ > 1. Alors Cc ⊂ Cc′ .
Dém. Soit λ ∈ Cc et soit γ = c′ /c ≤ 1. Par hypothèse la suite (tn )n telle que tn = c|pn |/qn ,
où (pn /qn )n est la suite des nombres de rotation assoiée au paramètre λ, est telle que
tn ∈]0, 1[. On pose t′n = γtn . La suite (t′n )n vérie ∀n, t′n ∈]0, 1[. Soit x0 ∈ [0, 1] tel que
∀n, Φn (x0 ) ≥ tn+1 . ′
qn
′
′
′
n /z
ϕ′n (z) = 1−t
et Φn = ϕn ◦ · · · ◦ ϕ0 . On dénit la suite de nombres réels
1−t′n
(xn )n par xn+1 = ϕn (xn ). Montrons que l'on peut dénir une suite (x′n )n par x′0 = x0 et
x′n+1 = ϕ′n (x′n ) et qu'elle vérie ∀n, x′n ≥ xn .
′
′
Supposons xn dénie et vériant l'inégalité. Comme tn ≤ tn , on a, pour tout x ≤ 1,
On pose
1 − tn /x
1 − t′n /x
≥
.
′
1 − tn
1 − tn
Ainsi, on a
x′n+1 ≥ ϕn (x′n ) ≥ ϕn (xn ) = xn+1 .
Enn, on voit que
xn ≥ tn+1 = γ1 t′n+1 ≥ t′n+1 .
Il y a d'abord un résultat sur la loale onnexité en lien ave le théorème 6.2.14.
Théorème 7.2.6 Soit λ un paramètre tel que le polynme quadratique fλ (z) = z2 + λ est
inniment satellite renormalisable dont la suite des nombres de rotation (pn /qn )n vérie
la suite (pn )n est bornée,
pn+1 1/qn
lim sup < 1.
qn+1 n→∞
Alors pour toute onstante c > 1 il existe renormalisée fλ∗ du polynme fλ telle que λ∗ ∈ Cc .
Dém.
Quitte à onsidérer une renormalisée
fλ∗
fλ , on
α ∈ [0, 1[ tel
d'itéré assez grand de
peut supposer,
omme dans la démonstration du théorème 6.2.14, qu'il existe
que la suite de
qn
nombres de rotation assoiée à fλ∗ vérie |pn+1 /qn+1 | ≤ α .
1
Soit β ∈]1, 1/α[ et η =
. Si néessaire on onsidère un niveau de renormalisation
1−βα
qn
β
enore plus grand de sorte que l'on ait, pour tout n,
≥ cη .
1−tn
105
On montre que la suite
tout
n ∈ N, xn ≥ ηtn .
(xn )n
dénie par
x0 = ηt0
et
xn+1 =
En eet, par réurrene, on a
xn+1
1 − 1/η
≥
1 − tn
≥ ηtn+1 .
qn
=
β
1 − tn
qn
1−tn /xn
1−tn
qn
vérie, pour
α qn
Ce théorème ajoute du rédit à la onjeture suivante qui se fonde sur l'idée que e modèle
dérit bien la situation des bifurations satellites suessives.
Conjeture 7.2.7 Soit λ ∈ C tel que le polynme quadratique fλ (z) = z2 + λ est inniment
satellite renormalisable ave suite de nombres de rotation (1/qn )n .
Alors l'ensemble de Julia de la fontion holomorphe fλ n'est pas loalement onnexe si et
seulement si il existe c > 1 et une renormalisée fλ∗ de fλ telles que λ∗ ∈ Cc .
Conernant la struture de
K∞ ,
à l'image de e qu'on sait faire pour les bouquets de
Cantor, on herhe a en donner une aratérisation topologique.
7.3 Quelques propriétés du ompat K∞
Dans ette setion on pose
ϕn (z) = Mn (z)qn .
tn = c pqnn ave
c > 1.
On rappelle que
Mn (z) =
1−tn /z
et
1−tn
7.3.1 Adresse d'un point dans le ompat limite
Lemme 7.3.1 Soit t ∈]0, 1[ et M(z) :=
1−t/z
.
1−t
Alors
M(z) ∈ D ⇔ z ∈ D,
t
où D est le disque fermé dont le segment [ 2−t
, 1] est un diamètre.
Dém. L'appliation de Möbius M préserve le signe
t
1 sur lui-même et le point 2−t
sur le point −1.
de la partie imaginaire et envoie le point
Lemme 7.3.2 Soit n ∈ N et soit En : C → C l'appliation z 7→ zqn . Pour haque √ompok
2π
−1
sante onnexe de En−1
Mn−1 D , il existe un unique k ∈ {0, . . . , qn−1 −1} tel que e
appartient à ette omposante.
106
−1 q
n−1
Dém.
D'après le lemme 7.3.1 i-dessus,
droite de
Mn−1 D
est un disque se trouvant stritement à
0, don les omposantes onnexes de sa préimage par En−1
seteurs d'amplitude
En outre
1∈
ième de l'unité.
π
sont ontenues dans des
et séparés les uns des autres par des seteurs de même amplitude.
qn−1 −1
Mn D , don haque omposante ontient une et une seule raine
Corollaire 7.3.3 Le nombre de omposantes onnexes de Kn est Nn =
qn−1 n−1
Y
qk .
k=0
Dém. L'appliation Mn−1
ϕ0 (Kn )
est un homéomorphisme entre
−1
En−1
Mn−1 D
Le lemme préédent permet de numéroter les omposantes de
ϕ−1
ϕ−1
n
n+1 (D)
Zqn de la
qn si k est tel
ave
−1
= ϕ−1
Mn+1
(D)
n
et
ϕn−2 ◦ · · · ◦
façon suivante : à une omposante on assoie le représentant de k modulo
√
2π −1k pqn
n appartient à l'image de ette omposante par M . Grâe à
que e
n
ette numérotation, on peut dénir l'adresse d'un point
z ∈ Kn
omme étant la suite nie
(k0 , . . . , kn−1) ∈ Zq0 ×· · ·×Zqn−1 telle que ϕj−2 ◦· · ·◦ϕ0 (z) appartient à la omposante numéro
kj−1 de ϕ−1
j−1 D . De même on dénit l'adresse d'un point z ∈ K∞ omme étant la suite
innie (k0 , . . . , kn , . . . ) des numéros respetifs des omposantes auxquelles appartiennent la
suite des ϕn−2 ◦ · · · ◦ ϕ0 (z). Ainsi, sur haque omposante de Kn les n premiers numéros des
adresses des points z ∈ K∞ sont onstants.
Dénition 7.3.4 Soit z ∈ Kn , alors le n-uplet α ∈ Zq0 × · · · × Zqn−1 est l'adresse de z dans
Kn si pour tout k ≤√ n − 1, Mk+1 ◦ ϕk ◦ · · · ◦ ϕ0 (z) appartient à la même omposante onnexe
p
2π −1αk qk
k .
D que e
de ϕ−1
k
Y
Soit z ∈ K∞ , α ∈
Zqn est l'adresse de z dans K∞ si pour tout n ∈ N, le point
n∈N
√
2π −1αn pqn
n.
Mn+1 ◦ ϕn ◦ · · · ◦ ϕ0 (z) appartient à la même omposante onnexe de ϕ−1
D
que
e
n
Etant donnée une suite
sn+1 ,
(sn )n∈N
de nombres entiers stritement positifs tels que
on appelle odomètre d'ehelle
(sn )n∈N
l'ensemble
Zqn et d'une
∀j = (jn ) ∈ O ,
topologie produit des topologies disrètes de
O→O
ontinue dénie par (voir [8℄) :
(σ(j))n =
O = Zs0 ×
Y
Zsn+1 /sn
sn
divise
muni de la
n∈N
appliation d'inrémentation
σ:
jn + 1 si ∀k ≤ n − 1, jk = qk − 1,
jn sinon.
Dans tout e qui suit, l'ensemble des adresses
Y
Zqn
n∈N
107
(7.1)
n
Y
est identié à l'odomètre d'ehelle
qm
m=0
de Cantor.
!
qui est alors muni d'une topologie d'ensemble
n∈N
L'inrémentation ne sera pas utile pour l'étude de
K∞ .
Proposition 7.3.5 Soit π : K∞ → P(K∞ ) l'appliation qui onsiste à assoier à un point
de K∞ la omposante onnexe à laquelle il appartient.
Alors, l'ensemble des omposantes onnexes de K∞ muni de la topologie nale de π est
homéomorphe à l'odomètre des adresses (7.1).
Dém.
Kn
Soit
k∈
Y
Zqn .
Alors l'ensemble des points qui ont
(k0 , . . . , kn−1 )
pour adresse dans
n∈N
est un ompat onnexe (homéomorphe à
D). On en déduit que l'ensemble des points qui
k pour adresse dans K∞ est non vide et que et ensemble est une omposante onnexe
de K∞ . Il y a don bijetion entre l'ensemble des omposantes onnexes de K∞ et l'ensemble
des adresses. Il sut alors de montrer que l'appliation qui à un point de K∞ assoie son
ont
adresse est ontinue.
′
Soit z ∈ K∞ , z ∈
n
tel que
K∞ et
′
∀m ≥ n, km = km
.
k
soit
Alors
Kn . Cette omposante onnexe est ontenue dans un voisinage
omposantes de Kn
même omposante onnexe de
disjoint des autres
k ′ leurs adresses respetives. Supposons qu'il existe
ϕn ◦ · · · ◦ ϕ0 (z) et ϕn ◦ · · · ◦ ϕ0 (z ′ ) se trouvent dans la
et
Remarque 7.3.6 On pourrait montrer diretement que l'espae des omposantes onnexes
de K∞ est un ensemble de Cantor. L'information importante est ontenue dans la ontinuité
de l'appliation adresse.
Dénition 7.3.7 Identiant l'espae des adresses et l'espae des omposantes onnexes de
K∞ , on le note Kbase .
7.3.2 Lemmes de aluls
Lemme 7.3.8 Soit c ≥ 1, q ∈ N , t = c/q et ϕ : D → P défnie par ϕ(z) =
∗
1
1−t/z
1−t
q
.
c/2
Soit ε ≥ 0 et γ = c+log
. Alors il existe q0 ∈ N tel que si q ≥ q0 et si z ∈ D est tel que
c−ε
′
|z − γ| ≥ γ alors |ϕ (z)| > 1 + ε.
Dém.
x la partie
r 2 ≥ 2γx.
Notant
à la relation
réelle de
z
et
r
son module, la propriété
108
|z − γ| ≥ γ
est équivalente
Sous l'hypothèse que ette relation est vériée, on a
c
|ϕ′ (z)| = (1−t)r
2
1− t q
2γ
∼ eε > 1 + ε,
1−t
En outre
c
t
1− 2γ
z)
Comme d'autre part
2γ
on aura
|ϕ′ (z)| > 1 + ε
pour
q
assez grand (indépendamment de
] − π, π].
q
Soit c ≥ 1, q ∈ N∗ , t = c/q et ϕ : D → P1 défnie par ϕ(z) = 1−t/z
.
1−t
Dans la suite on note
Lemme 7.3.9
2
z − t 2
= 1 + t − 2tx
z r2
r2
t2 x2 2tx
≥ 1+ 2 2 − 2
r r
r
2
tx
≥
1− 2
r
2
t
.
≥
1−
2γ
1− t q
1−t/z q−1
2γ
.
1−t , ainsi |ϕ′(z)| ≥ 1−c t
1−t
arg
la détermination de l'argument à valeurs dans l'intervalle
Alors, pour tout z ∈ D tel que | arg(z − t)| ≤ π2 , on a | arg ϕ(z)| ≥
cIm z
.
2|z|2
√
z = x + −1y tel que x ≥ t
Sous es hypothèses on a arg(z) = arcsin(y/|z|) et arg(z − t) = arcsin(y/|z − t|).
Par ailleurs, arg ϕ(z) = q(arg(z − t) − arg(z)) ≥ 0. Ainsi,
y
y
arg ϕ(z) = q arcsin
− arcsin
.
|z − t|
|z|
Dém.
Par symétrie, il sut de le prouver pour tout
[0, 1],
y
y
y
y
y
′
arcsin
≥ arcsin
+ arcsin
−
.
|z − t|
|z|
|z|
|z − t| |z|
y
′
En outre arcsin
.
= |z|
|z|
x
y
y
Nous allons estimer la diérene
− |z|
. Posons r := |z|. Nous avons
|z−t|
t2
tx
2
2
|z − t| = r 1 + 2 − 2 2
r
r
Or étant donné que
arcsin
est onvexe sur
don
1
|z − t| ≤ 2
r
1 t2
tx
1+
−2 2
.
2 r2
r
109
et
y > 0.
Il est faile de vérier que
1
2
t2
tx
−2 2
2
r
r
≤ 0.
Ainsi :
1
1
1
≥
|z − t|
r 1 + 12 rt22 − 2 rtx2
1 t2
1
tx
1−
,
≥
−2 2
r
2 r2
r
2
1
1
− |z|
≥ rxt3 − 12 rt 3 .
|z−t|
De es estimations, il vient
et don
qty
1t
arg ϕ(z) ≥
1−
r2
2x
cy
1t
≥ 2 1−
.
r
2x
Puisque
x ≥ t,
on a
arg ϕ(z) ≥
cy
.
2r 2
Corollaire 7.3.10 Dans le même ontexte que elui du lemme préédent, on a :
| arg(z)| ≤
Dém.
π
| arg ϕ(z)| · |z|.
c
y|
|Im y|
| arg ϕ(z)| ≥ 2c |Im
, or
= | sin(arg z)|.
|z|2
|z|
π
c
t ∈ [0, 2 ], on obtient | arg ϕ(z)| ≥ π|z|
| arg z|, i.e.
D'après le lemme préédent, nous avons
Comme en outre
| arg z| ≤
| sin t| ≥
π|z|
| arg ϕ(z)|.
c
2
|t| pour tout
π
7.3.3 Résultats
Soit
Kn,0
la omposante de
dont l'adresse ommene par
n
Kn
ontenant le point
1.
Il s'agit de l'ensemble des points
zéros.
Lemme 7.3.11 L'appliation Mn+1 ◦ ϕn ◦ · · · ◦ ϕ0 : Kn,0 → D est la restrition d'un biholomorphisme déni au voisinage de Kn,0 .
Dém.
Les préimages d'un même point se trouvent sur des omposantes de
Kn
diérentes.
Lemme 7.3.12 L'intersetion de Kn,0 ave la droite réelle est un intervalle ontenant 1.
110
Dém. L'homéomorphisme (Mn ◦ ϕn−1 ◦ · · · ◦ ϕ0 ) |Kn,0
de Kn,0 et eux de D.
\
Soit I0 :=
Kn,0 .
est une bijetion entre les points réels
n∈N
Lemme 7.3.13 Supposons c > π . Alors, pour tout n ∈ N, on a Kn,0 ⊂ z ∈ D : | arg z| ≤
π
2
Remarque 7.3.14 Voir remarque 7.2.2 pour les restritions sur la portée de e lemme.
Dém.
zk = ϕk ◦ · · · ◦ ϕ0 (z) ∈ D, pour tout k = 0, . . . , n. Ainsi,
| arg(zk − tk+1 )| ≤ π2 , k = 0, . . . , n − 1. Alors, du lemme 7.3.10, il
∀k ≤ n − 1, | arg zk | ≤ πc | arg zk+1 |.
Soit
z ∈ Kn .
Par hypothèse
d'après le lemme 7.3.1,
vient
Corollaire 7.3.15 Si c > π , la omposante limite I0 :=
réelle (éventuellement réduit au point 1).
En partiulier sa dimension de Hausdor est 0 ou 1.
\
Kn,0 est un segment de la droite
n∈N
Conjeture 7.3.16 C'est vrai aussi pour c > 1.
Remarque 7.3.17 Il est faile de voir que toutes les omposantes onnexes de K∞ qui sont
envoyées en un nombre ni d'étapes sur la omposante ontenant le point 1 est homéomorphe
à I0 .
7.4 Lien entre le modèle et son origine
On espère établir un isomorphisme entre le modèle supposé et e qu'il est ensé modéliser en utilisant la théorie de renormalisation des fontions presques paraboliques (voir
notamment [36℄, [13℄).
111
π n
.
c
112
Bibliographie
[1℄ Lars V. Ahlfors.
Series.
Letures on quasionformal mappings, volume 38 of University Leture
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Arnold Tongue for the double standard map family
Ininite satellite renormalizables quadrati polynomials
Abstrat :
The onnetedness of the tongues of the double standard map family is shown by quasionformal
deformation.
I determine the growth rate of the oeient of the Laurent series of inverse of the Bötther
map for quadrati polynomials with esaping ritial point.
An inequality that yields a domain on whih there is no ritial value of the multiplier map is
derived from the theory of quadrati dierentials.
I give an alternate proof of Levin riterium for non loal onnetedness of innite satellite
renormalizable quadrati Julia sets. A geometri model of this situation is also investigated.
Alexandre DEZOTTI
Les langues de Arnold de la famille standard double
Explosion des yles dans la famille
z2 + λ
Direteur de thèse : Xavier Bu
Soutenue à l'université Paul Sabatier (Toulouse 3) le mardi 7 juin 2011
Résumé :
La onnexité des langues de Arnold de la famille standard double est démontrée par déformation
quasionforme.
Je donne un équivalent pour les oeients du développement en série de Laurent de l'inverse
des oordonnées de Bötther pour les polynmes quadratiques dont le point ritique s'éhappe.
Une généralisation d'une inégalité qui sert à déterminer un domaine à l'intérieur duquel il n'y
a pas de valeur ritique de la fontion multipliateur est obtenue en utilisant les diérentielles
quadratiques.
Les travaux de Lévine sur une ondition de non loale onnexité de Julia inniment satellite renormalisables sont repris, suivis de l'étude d'un modèle géométrique des renormalisations satellites
générant un modèle topologique hypothétique d'un ompat invariant dans l'ensemble de Julia de
es polynmes.
dynamique holomorphe, appliation de Bötther, di¯entielles quadratiques, fontion
mutlipliateur, inniment renormalisable, renormalisation satellite, non loale onnexité, langues
de Arnold, famille standard double.
Mots lé :
Disipline : mathématiques
Institut de mathématiques de Toulouse, Équipe Émile Piard
Université Paul Sabatier
Institut de Mathématiques de Toulouse
118 route de Narbonne
F-31062 Toulouse Cedex 9