Chapitre 3 - Collège Sismondi

Mathématiques 2 Niv.1 et 2 GEOMETRIE Exercices chapitre 3
Collège Sismondi 2008 - 2009 p.1
1. Soit le carré dont les sommets sont les points :
O = <0; 0>, A = <4; 0>, B = <4; 4> et C = <0; 4>
a) Déterminer l'équation de la droite passant par les points B et C.
b) Déterminer l'équation de la première diagonale (passant par O et B)
c) Déterminer l'équation de l'autre diagonale (passant par A et C)
d) Déterminer l'équation de la droite passant par les points A et B.
e) Donner les coordonnées de deux autres points appartenant à la droite passant par A et C.
2. Déterminer l'équation de la droite :
a) de pente 4 et d'ordonnée à l'origine 2;
b) de pente -
!
3
4
et d'ordonnée à l'origine -
!
5
4
;
c) passant par <5; 4> et <-3; 3>;
d) passant par <5; -3> et <5; 2>:
e) passant par <5; 4> et parallèle à d : 2x + 3y - 12 = 0;
f) passant par <-2; 1> et parallèle à la droite passant par <6; 4> et <3; 1>.
3. Déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine des droites suivantes :
a) d : 4x - 5y + 20 = 0
b) d : 3x + 4y - 12 = 0
c) d : 4y - 8 = 0
d) d : x + y + 4 = 0
4. Indiquer si les paries de droites suivantes sont sécantes, parallèles (strictement) on confondues
(égales)
a) d1 : 4x – 2y – 1 = 0 d2 : -2x + y - 5 = 0
b) d1 : 3x + y – 8 = 0 d2 : 6x – 2y – 3 = 0
c) d1 : 8x – 4y – 2 = 0 d2 : -4x + 2y + 1 = 0
d) d1 :
!
x"2
3=y+3 4
d2 : 3x + 4y - 5 = 0
5. Déterminer l'équation de la droite
a) perpendiculaire à d : 3x - 2y + 6 = 0 et passant par <-2; 5>;
b) passant par <-1; -5> et perpendiculaire à la droite passant par <2; 7> et <4; 10>;
c) médiatrice du segment dont les extrêmités sont les points <-3; 6> et <1; 4>.
6. Soit les points A = <-7; 4>; B = <-1; 8> et C = <13; -6>.
a) Déterminer l'équation de la médiane issue de B.
b) Déterminer l'équation de la hauteur issue de C
c) Déterminer le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC,
puis le rayon du cercle circonscrit.

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7. Soit les points A = <7; 9> , B = <-5; -7> et C = <12; -3> et le triangle ABC. Déterminer
a) l'équation du côté AB
b) l'équation de la médiatrice de AB
c) l'équation de la hauteur issue de C
d) l'équation de la médiane issue de C
8. Déterminer l'équation générale des droites
a) parallèles à Ox b) parallèles à Oy
c) passant par O d) passant par A = <1;2>
e) parallèles à la droite d'équation 2x - 3y = 5
f) perpendiculaires à la droite d'équation : 3x - 5y = -1
9*. Soit un triangle de sommet A = <1; 2>, B = <4; 4> et C = <4; 3>. Déterminer
a) les équations du côté du triangle;
b) les coordonnées des milieux des côtés;
c) les équations des médianes.
10*. Dans chaque cas, donner l'équation de la famille de droites
satisfaisant la première condition (i),
puis l'équation de la droite de cette famille satisfaisant la deuxième condition (ii).
a) (i) Etre parallèle à la droite d : 3x - 5y + 12 = 0
(ii) Passant par le point P = <1; -2>
b) (i) Etre perpendiculaire à la droite d ci-dessus;
(ii) Passant par le point P.
11. Déterminer une équation de la famille de droites satisfaisant à la condition donnée :
a) être parallèle à l'axe des x;
b) être perpendiculaire à 5x + 3y - 8 = 0
c) passer par le point P = <-3; 2>.
12. Trouver le point dʼintersection des paires de droites suivantes :
a) d1 : 4x – 3y – 6 = 0 d2 : 6x + y - 20 = 0
b) d1 : 3x – 7y – 57 = 0 d2 : 2x + 3y + 8 = 0
c) d1 :
!
x+3
3=y"6 "4
d2 : 3x + 2y - 4 = 0
d) d1 : 4x – 6y – 3 = 0 d2 : -2x + 3y - 5 = 0
13. Soit les points A = <-5; 6>, B = <3; 2> et C = <-1; -4>
Déterminer les équations des médianes du triangle ABC, puis déterminer leur point d'intersection.

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14. Déterminer algébriquement l'intersection des droites d1 et d2 dans chacun des cas suivants :
a) d1 est la bissectrice du premier quadrant; d2 est parallèle à Oy et passe par le point <0; 3>;
b) d1 a pour pente 0,5 et pour ordonnée à l'origine 2; d2 passe par les points <0; 5> et <5; 0>;
c) d1 passe par les points <0;5> et <5; 0>; d2 passe par les points <3; 1> et <1; 5>;
d) d1 est parallèle à Ox et passe par le point <5; 2> ; d2 est parallèle à Oy et passe par le point <3; 3>.
e) d1 a pour pente -1 et passe par le point <-2;- 4>; d2 passe par le point <3; 4> et coupe Ox au point
d'abscisse -3.
f) d1 passe par les points <-3; 0> et <1; 2>; d2 passe par les points <1; -1> et <7; 2>.
15. Soit les points A = <-7; 4>; B = <-1; 8> et C = <13; -6>. Déterminer le point d'intersection des
médiatrices du triangle ABC, puis le rayon du cercle circonscrit.
16. Soit les droites
d1: x + 2y - 8 = 0 d2: 4x + 3y- 7 = 0
d3: 3x + y - 9=0
Déterminer l'aire du triangle délimité par ces trois droites.
d3
d1
d2
17. Les côtés dʼun triangle ABC se trouvent respectivement sur les droites :
d1 : 4x + 3y – 5 = 0, d2 : -x + 3y – 10 = 0 et d3 : x = 2
Déterminer les coordonnées des sommets du triangle.
18. Soit A = <1 ; 2>, B = <6 ; 0> et C = <9 ; 2> les trois sommets consécutifs dʼun parallélogramme.
Déterminer les équations des côtés (droites) et des diagonales ainsi que les coordonnées du quatrième
sommet D.
19. Déterminer l'aire du triangle ABC
a) A = < -3 ; 3 >, B = < 5 ; 5 > et C = < 2 ; -4 >
b) A = < 0 ; 4 >, B = < 5 ; 1 > et C = < 1 ; -3 >.
20*. Déterminer la projection B du point A = <2 ; 6> sur la droite dʼéquation -2x + 3y – 1 = 0
21*. Déterminer les équations des deux droites parallèles à la droite
d : 8x – 15y + 34 = 0 et situées à la distance 3 du point < -2 ; 3 >.
22*. Trouver les équations et le point d'intersection des bissectrices intérieures du triangle formé par les
droites
d1 : 4x - 3y - 65 = 0 d2 : 7x - 24y + 55 = 0 d3: 3x + 4y - 5 = 0

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23* Le point M = <4; 2> est fixe. On appelle m la pente de la droite AB
qui passe par M (m < 0)
a) Déterminer en fonction de m :
i) l'équation de la droite AB;
ii) les coordonnées des points A et B.
b) Exprimer la surface du triangle OAB comme une fonction de m
c) Calculer cette surface pour m = -1 et m = -0,5
M
OB
A
x
y
Révision
24. Déterminer une équation de la droite qui passe par le point d'intersection des droites d1 : x - 2y - 4 = 0
et d2 : 4x - y - 4 = 0 et satisfaisant en plus la propriété suivante :
a) elle passe par l'origine;
b) elle passe par le point A = <4; -6>;
c) elle est parallèle à la droite 16x - 11y + 3 = 0;
d) elle est perpendiculaire à la droite 9x + 22y - 8 = 0:
e) son ordonnée à l'origine est (-
!
20
11
) fois sa pente.
25. Soit le triangle de côtés 2y + x - 11 = 0, y - x - 7 = 0 et 5y + x - 23 = 0
a) Déterminer les coordonnées du sommet du triangle.
b) Déterminer les équations des hauteurs et calculer ces hauteurs.
c) Déterminer les équations des médiatrices.
26. Donner l'équation des droites définies par les conditions suivantes :
a) d passe par O et par A = < 5; -1>
b) d passe par O et a pour pente -
!
1
3
c) d passe par A = < 2; 3> et a pour pente 0,5
d) d passe par A = < -1; 4,5> et a pour pente 0,5
e) d passe par A = < 1;1> et est parallèle à la droite d'équation y = 2x;
f) d passe par O et est parallèle à la droite d'équation 3x - 2y = 12
g) d passe par A = < -4; 3> et est parallèle à la droite d'équation y = x;
h) d passe par A = < 1; 1> et par B = < 2; 2>;
i) d passe par A = < 1; 2> et par B = < 3; 3>;
j) d passe par A = < -2; 3> et par B = < -4; -1>;
k) d passe par O et est parallèle à la droite passant par A = < -1; -2> et B = < -3; 3 >;
l) d passe par A =< -1;2 > et est parallèle à la droite passant par B = <1; 3 > et < -1;1 >
m) d passe par A = <1; 3 > et par B = <1; 4 >;
n) d passe par A = < 3;4 > et est parallèle à la droite passant par B = <-1; 3 > et C = < 1; -3 >;
o) d passe par A = < 2; -3 > et par B = < -2; -3 >:
p) d passe par le point A = <0 ; 3> et est une droite horizontale.
q) d passe par le point A = <2 ; 1> est une droite verticale.