rang réel de certaines extensions

PROCEEDINGS OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 123, Number 10, October 1995
RANG RÉEL DE CERTAINES EXTENSIONS
NAWFAL ELHAGE HASSAN
(Communicated by Palle E. T. Jorgensen)
Résumé. On montre pour toutes C*-algebras A et J l'égalité entre les rangs
réels de A et de A/J si J est essentiel dans A et isomorphe à l'algèbre des
opérateurs compacts. En particulier, le rang réel de l'algèbre de Toeplitz ¡7 est
égal à 1.
0. Introduction et notation
L. G. Brown et G. K. Pedersen [1] ont introduit le rang réel que l'on note
(rr), comme une notion non commutative de dimension pour les C*-algèbre.
En fait, ils ont montré que le rang réel d'une C*-algèbre commutative et uni-
taire est égal à la dimension de recouvrement de son spectre, affirmant ainsi
le principe selon lequel une C*-algèbre est "un espace localement compact non
commutatif'. Ils ont aussi montré que si A est une C*-algèbre et J est un idéal
bilatère fermé dans A , alors rr(^) = 0 si et seulement si rr(7) = rr(A/J) = 0
et si tout projecteur dans A/J se relève par un projecteur dans A . On va traiter
essentiellement dans cette note le comportement du rang réel par rapport à cer-
taines suites exactes. On démontre en 1.4 que pour toute C*-algebra A et tout
idéal bilatère fermé J dans A, on a Max{rr(7), rr(^/7)} < rr{A). On prouve
en 1.7 que, si A est commutative, alors on a rr(^4) = Max{rr(7), rr(A/J)},
ceci équivaut au fait que, si X est un espace compact et U est un ouvert dans
X, alors on a dim(.Y) = Max{dim(i7+), dim(X\U)}. Ensuite, on démontre
en 1.12 que, si 7 est essentiel dans A et isomorphe à 3?{fi?), alors on a
rr(^) = rr(A/J). En particulier, on a rr(y) = 1, où y est l'algèbre de
Toeplitz.
Soient A, J deux C*-algèbres, on note A+ la C*-algèbre obtenue par ad-
jonction d'une unité à A, A = A+ si A n'est pas unitaire et A - A si A est
unitaire, et Asa (resp. A+) l'ensemble des éléments hermitiens (resp. positifs
ou nuls) dans A. J < A, signifie que 7 est un idéal bilatère fermé dans la
C*-algèbre A . On dit que J est un idéal essentiel dans A si J < A et si tout
idéal bilatère fermé non nul dans A a une intersection non nulle avec J ([6],
3.12.7). Jf{A) la C*-algèbre des multiplicateurs de A et A" l'algèbre de von
Neumann enveloppante de A, alors on a Jf{A) c A" [6]. Si A est unitaire, on
note GL(^) l'ensemble des éléments inversibles dans A, GL(^)+ = GL(^)n^+
Received by the editors November 1, 1993 and, in revised form, March 17, 1994.
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 46L05.
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3068 NAWFAL ELHAGE HASSAN
et Lgn(A) l'ensemble des «-uples d'éléments de A qui engendrent A en tant
qu' idéal à gauche et on pose ghn{A) = Lgn(A) n (Asa)n .
c.à.d., gh„(A) = l {Xi, x2, ... , x„) £ {Asa)nl Y A e GL(A)+ [ •
On note Jfffi) (resp. ¿¿?(ßf)) la C*-algèbre des opérateurs compacts (resp.
continus) sur l'espace hilbertien %?, et si %? est separable de diension infinie,
on pose 3t{MT) = X .
Définition [1]. Soit A une C*-algèbre unitaire. Le rang réel de A , noté rr{A),
est le plus petit entier n > 0 (s'il existe) tel que ghn+\(A) soit dense dans
(Asa)n+i ■ S'il n'existe aucun n > 0 tel que ghn+\(A) soit dense dans {Asa)n+X,
on pose rr(A) — + oc . Si A est non unitaire, on pose rr(A) = rr(A).
Remarque. Pour toute C*-algèbre A , on a rr(A) = rr(A+).
Définition [5]. Soit X un espace topologique non vide, la dimension de recou-
vrement de X, notée dim(X), est le plus petit entier n > 0 (s'il existe) tel que
l'on ait la propriété suivante:
(P„) : pour tout recouvrement ouvert U\, ... , Uk de X, il existe un recou-
vrement ouvert V\, ... ,Vk de X tel que V¡ c U¡ pour tout /' et pour tout
je G X, il existe au plus (n + 1) éléments de {V\, ... ,Vk} contenant x. S'il
n'existe aucun n > 0 tel que l'on ait (P„), on pose dim(X) = + oc. Si X = <f>,
la dimension de X est par définition égal à -1.
1. Rang réel de certaines extensions
1.1. Lemme [4]. Soient A une C*-algèbre et n > 0. Etant donnés e > 0
et a = (1 + Oo, a\, ... , an) g ghn+\(A) avec a¡ G Asa, alors il existe b =
(1 + b0, bx, ... , bn) G ghn+i(À) avec bt £ Asa tel que \\b¡ - a¡\\ < e pour
i = 0, ... , n.
1.2. Lemme [4]. Soient A une C*-algèbre, n > 0 et l = lA+. Alors les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) rr(^) < n ; _
(ii) (\+Asa)x(Asa)"cghn+1(A+);
(iii) Ve > 0, V£ g (1 + Asa) x {Asa)n, il existe n = (l + ao, a\, ... , a„) £
ghn+i(A+) avec a¡ £ Asa (i e {0, 1,..., n}) tel que \\Ç -n\\<e.
1.3. Proposition. Soient A une C*-algèbre, J < A et n>0, alors on a:
rr(J) < n si et seulement si (1 + Jsa) x (Jsa)n c ghn+\ (A).
Démonstration. La démonstration est inspirée de ([7], 4.4). La condition est
clairement nécessaire, montrons sa suffisance. On peut supposer 1 G A (car
7 < ,4+) et donc A = A. On peut aussi supposer J ¿ A, car sinon, c'est clair.
Soient d = {l+d0,di,... ,d„) £(l + Jsa)x (Jsa)n et e > 0. D'après 1.2,
il suffit de démontrer qu'il existe a £ [gh„+i(J+)] n [(1 + Jsa) x {Jsa)n] tel que
\\d - a\\ < e. Par hypothèse, il existe (l +oq, ai, ... , a„) e ghn+\{A) tel que
\\d¡ - a¡\\ < e/2, pour i = 0, 1, ... , n .
Soit (ma)a6A> une unité approchée pour 7 ([6], 1.4), alors il existe X0 £
A tel que pour tout X > Xq, on ait \\ukd¡ - d¡\\ < e/2 et \\uxdiUx - d¡\\ <
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e/2 (i = 0, ... ,n). Puisque (I + ao, ai, ... , an) £ ghn+i(A), alors il existe
bo, bi, ... , b„ dans A tels que
n
(1 + ¿>o)(l + <2o) + biüi H-h è„a„ = 1, d'où on a b0 + a0 + Y°'ai = ®-
1=0
Pour tout i G {0, ... , n}, on a Uxob¡ £ J, donc il existe Ai G A tel que
pour tout X > Xi, on ait \\uxobi - Uxob¡Ux\\ < e/2 pour tout i £ {0, ...,«} .
Désormais, on travaille avec X G A tel que X > Xo, X\. On a donc \\uxuiUx -
uxdiUxW < ||a,--<i,-|| < e/2, d'où on a \\di-uxa¡ux\\ < e pour tous i G {0,... , n}
et X> Xo, Xi. Montrons qu'alors
ax = {l + Uxa0ux, uxaiux, ... , uxanUx)
est dans ghn+\{J+) pour tout X > X0, Xi.
On a uxoboUx + uxoa0Ux + J2"=o uxobi^ux = 0. D'où on a:
1 - {uxobo + 1)(1 + uxaoux) + Y uxobiUxatUx
i=i
n
uxobo + uxa0ux + Y UxobiUxa¡Ux
1=0
n
uxobo + uxa0ux + Y uio°iaiux ~ Y uxobia¡Ux + Y UxobiUiüiUx
i=0 (=0 /=0
uxoh + uxaoux - uxohux - UxoaoUx + Y(uxobiUxa¡ux - uxobia¡ux)
/=0
< II"ao¿>o - Uxohux + uxa0ux - uxoa0ux\\
+
Posons:
YiuxobiUxdiUx - uxobiüiUx)
¡=o
x = \\uxobo - UxoboUx + uxaouk - uxqOqUxW
et
alors on a:
y = Y(uxobiUxCiiUx - UxobiüiUx)
i'=0
x < \\uxoh - uxohuxW + \\uxOqUx - ux0a0ux\\
< \\uxob0 - uxoboUxW + \\ukao - d0\\ + \\d0 - ux0a0\\.
On a \\uxao - Uxdo\\ < ||ao - ¿oil < c/2 VA G A et \\uxd0 - ¿oil < e/2 VA > A0.
D'où pour tout X > Xo, on a \\uxOo _ ¿oil < e. D'où on a x < 3e/2.
On a:
y < Y WuiobiUxciiUx - uxobiüiUxW < Y II"m*í"au/ - «¿o^i
1=0
n
< Y WuaobiUx - uxobi^ ||a,||.
i'=0
1=0
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3070 NAWFAL ELHAGE HASSAN
Soit ô = Max{\\d¡\\; i = 0, ... , n}, alors on a y < (n + l)(e/2)[ô + (e/2)].
D'où pour tout A > Aq , Ai, on a:
1 - <(e/2)[(n+l)(ô+(e/2))+3].
(uxobo + 1)(1 + Uxaoux) + Y UxobiUxaiUx
i+i
Donc pour e > 0 assez petit tel que (e/2)[(« + \){ô + (e/2)) + 3] < 1, on a:
ax e [ghn+i(J+)] n [(1 + Jsa) x (Jsa)"] et \\d - ax\\ < e • □
1.4. Théorème. Soient A une C*-algèbre et J < A, alors on a:
Max{rr(7), rr(A/J)} < rr(A).
Démonstration. rr(7) < rr(^l) résulte immédiatement de la proposition
précédente. Supposons d'abord que A est unitaire, alors pour tout n > 1 on a:
{{A)sa)n -^ {(A/J)sa)n est surjectif, continu et n(gh„(A)) c ghn{A/J). Donc,
si m = rr(A), on a ghm+i(A) = {{A)sa)m+X d'où ghm+i(A/J) = ((A/J)sa)m+X,
d'où rr(A/J) < rr{A). Si 1 £ A, alors on a (A/J) s (a/7)+, d'où on a:
rr(^/7) = rr((a/7)+) = rr{A/J) < rr(A) = rr(A). D
Rappelons le résultat suivant dû à [5].
1.5. Proposition. Soient X un espace normal et Y un fermé dans X, si
dim(F) < n et si dim(F) < n, pour tout fermé F dans X tel que F n Y = 0,
alors on a dim(X) < n.
1.6. Corollaire. Soient X un espace compact et U un ouvert dans X, alors
on a:
dim(X) = Max{dim(i/+), dim{X\U)}.
Démonstration. On a Max{dim(i/+), dim(X\[/)} < dim(X), ceci découle de
1.4, où on prend A = C{X), J = C0(?7) et A/J = C(X\U), et du fait que
7~ = C(£/+). Donc il reste à démontrer l'inégalité opposée. On peut supposer
Max{dim(C/+), dim{X\U)} = n (fini). On pose Y = X\U, donc Y est fermé
dans X et on a dim(7) < n. Soit F un fermé dans X tel que F n F = 0,
alors on a F c U c U+ , F est un espace compact et U+ est un espace séparé,
d'où F est fermé dans U+, et alors dim(F) < dim([/+) < n, par 1.4. D'où
on a dim(Z) < n par 1.5. G
Il faut noter qu'il existe un espace compact X et un ouvert U dans X tel
que dim(i7) = 1 > 0 = dim(X) ([5], 4.3.1, p. 161).
1.7. Théorème. Soient A une C*-algèbre commutative et J < A, alors on a:
rr(A) = Max{rr(J),rr(A/J)}.
Démonstration. Si 1 G A, ceci découle immédiatement du corollaire précèdent.
Si 1 ^ A , alors on a la suite exacte suivante:
0^7^^+^ {A/J)+ -» 0.
D'où, on a rr(A) = rr{A+) = Max{rr(7), rr((A/J)+)} = Max{rr(7), rr(^/7)} .
D
1.8. Remarques ([6], 3.12). (i) Soient A une C*-algèbre et x G Jf(A) tel que
Ax = {0}, alors on a x = 0. Puisque Ax = {0}, on a Va G A ax = 0.
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RANG RÉEL DE CERTAINES EXTENSIONS 3071
D'où, par continuté, VZ? G A", on a bx = 0. Comme x G J((A) c ,4", d'où
x*x = 0, donc x = 0.
(ii) Soient ,4 une C*-algèbre et J < A , alors on a:
7 c ,4 c Jt(J) •» 7 est un idéal essentiel dans A.
Démonstration. Si 7 est un idéal essentiel dans A, alors ona /le ^#(7)
par ([6], 3.12.8). Démontrons l'autre sens. Soit I < A tel que 7 n 7 = {0}.
Soit x G 7, alors on a 7x c (7 n 7) = {0}, d'où x = 0 car x G ,4 c ^f (7).
Donc on a 7 = {0} , donc 7 est un idéal essentiel dans A .
(iii) On a ^f pTOT)) = ^(^) ([6], 3.12.3).
(iv) Soient A une C*-algèbre et 7 < A tel que 7 = 3£(%?), alors par (ii)
et (iii) on a:
7 est essentiel dans A «• ^(¿T) c ^ C J?^).
Soient A une C*-algèbre et 7 un idéal bilatère fermé dans A , de sort que
l'on a la suite exacte courte suivante:
(1) 0^7^,4-^,4/7^0.
On dit que (1) est triviale (resp. scindée) si A = 7 © (A/J) (resp. s'il existe
<p G Hom(,4/7, A) tel que 7io</> = í^a/j) •
1.9. Proposition. On suppose que, dans (l), A/J est simple et J est idéal non
trivial dans A, alors on a:
(i) 7 n'est pas essentiel dans A si et seulement 5/(1) est triviale.
(ii) Si A est unitaire et J est non unitaire, alors J est essentiel dans A.
Si de plus J est simple, alors J est Tunique idéal bilatère fermé non trivial dans
A.
Démonstration, (i) Si ( 1 ) est triviale, alors il est clair que 7 n'est pas essential
dans A . Réciproquement, si 7 n'est pas essentiel dans A , alors il existe /,
idéal bilatère fermé et non nul dans A tel que 7 n 7 = {0} . On a n(I) < A/J
et n(l) f {0}, car I ^ {0} et 7 n 7 = {0}. Pisque A/J est simple, on a
n(I) = ,4/7 . Puisue n\¡ est injectif (7 n 7 = {0}), n\¡ est un isomorphisme
de C*-algèbres de 7 sur A/J, d'où 7 = A/J et A = I + J. Comme 77 =
7n7 = {0} et 7, 7 <A, on a A^I@J. D'où A Se J@(A/J) et n s'identifie
avec la projection canonique sur la deuxième composante.
(ii) On suppose maitenant A unitaire et 7 non unitaire. Si 7 n'est pas
essentiel, alors d'après (i), on peut supposer que A = J © (A/J).
Puisque A est unitaire ceci entraîne que 7 est unitaire, ce qui est contraire
à l'hypothèse. Donc 7 est essentiel dans A. On suppose de plus que 7 est
simple, et soit 7 un idéal bilatère fermé non nul dans A tel que 7^7. On a
(7 n 7) < 7, et puisque 7 est essentiel dans A, on a 7 n 7 ^ {0} . Puisque 7
est simple, on a / n 7 = 7 et alors 7 c 7. On a n(I) < A/J et n(I) ¿ {0}
car 7 t¿ {0} et 7^7. D'öu n(I) = A/J, car A/J est simple, et alors
,4 = 7 + 7 = 7 (car 7c/). D
1.10. Remarque. Soit ,4 une C*-algèbre, alors on a:
A est essentiel dans A+ ■&■ A est non unitaire.
Ceci résulte immédiatement du (ii) de la proposition précédente. Remarquons
que si A est non unitaire la suite exacte 0—>,4—>,4—>C-»0 est scindée non
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