PROCEEDINGSOF THE AMERICANMATHEMATICALSOCIETY Volume 123, Number 10, October 1995 RANG RÉEL DE CERTAINESEXTENSIONS NAWFALELHAGE HASSAN (Communicated by Palle E. T. Jorgensen) Résumé. On montre pour toutes C*-algebras A et J l'égalité entre les rangs réels de A et de A/J si J est essentiel dans A et isomorphe à l'algèbre des opérateurs compacts. En particulier, le rang réel de l'algèbre de Toeplitz ¡7 est égal à 1. 0. Introduction et notation L. G. Brown et G. K. Pedersen [1] ont introduit le rang réel que l'on note (rr), comme une notion non commutative de dimension pour les C*-algèbre. En fait, ils ont montré que le rang réel d'une C*-algèbre commutative et unitaire est égal à la dimension de recouvrement de son spectre, affirmant ainsi le principe selon lequel une C*-algèbre est "un espace localement compact non commutatif'. Ils ont aussi montré que si A est une C*-algèbre et J est un idéal bilatère fermé dans A , alors rr(^) = 0 si et seulement si rr(7) = rr(A/J) = 0 et si tout projecteur dans A/J se relève par un projecteur dans A . On va traiter essentiellement dans cette note le comportement du rang réel par rapport à certaines suites exactes. On démontre en 1.4 que pour toute C*-algebra A et tout idéal bilatère fermé J dans A, on a Max{rr(7), rr(^/7)} < rr{A). On prouve en 1.7 que, si A est commutative, alors on a rr(^4) = Max{rr(7), rr(A/J)}, ceci équivaut au fait que, si X est un espace compact et U est un ouvert dans X, alors on a dim(.Y) = Max{dim(i7+), dim(X\U)}. Ensuite, on démontre en 1.12 que, si 7 est essentiel dans A et isomorphe à 3?{fi?), alors on a rr(^) = rr(A/J). En particulier, on a rr(y) = 1, où y est l'algèbre de Toeplitz. Soient A, J deux C*-algèbres, on note A+ la C*-algèbre obtenue par adjonction d'une unité à A, A = A+ si A n'est pas unitaire et A - A si A est unitaire, et Asa (resp. A+) l'ensemble des éléments hermitiens (resp. positifs ou nuls) dans A. J < A, signifie que 7 est un idéal bilatère fermé dans la C*-algèbre A . On dit que J est un idéal essentiel dans A si J < A et si tout idéal bilatère fermé non nul dans A a une intersection non nulle avec J ([6], 3.12.7). Jf{A) la C*-algèbre des multiplicateurs de A et A" l'algèbre de von Neumann enveloppante de A, alors on a Jf{A) c A" [6]. Si A est unitaire, on note GL(^) l'ensemble des éléments inversibles dans A, GL(^)+ = GL(^)n^+ Received by the editors November 1, 1993 and, in revised form, March 17, 1994. 1991Mathematics Subject Classification.Primary 46L05. ©1995 American Mathematical Society 3067 License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use 3068 NAWFALELHAGE HASSAN et Lgn(A) l'ensemble des «-uples d'éléments de A qui engendrent A en tant qu' idéal à gauche et on pose ghn{A) = Lgn(A) n (Asa)n . c.à.d.,gh„(A)= l {Xi,x2, ... , x„) £ {Asa)nl Y A e GL(A)+[ • On note Jfffi) (resp. ¿¿?(ßf)) la C*-algèbre des opérateurs compacts (resp. continus) sur l'espace hilbertien %?, et si %? est separable de diension infinie, on pose 3t{MT)= X . Définition [1]. Soit A une C*-algèbre unitaire. Le rang réel de A , noté rr{A), est le plus petit entier n > 0 (s'il existe) tel que ghn+\(A) soit dense dans (Asa)n+i ■ S'il n'existe aucun n > 0 tel que ghn+\(A) soit dense dans {Asa)n+X, on pose rr(A) —+ oc. Si A est non unitaire, on pose rr(A) = rr(A). Remarque. Pour toute C*-algèbre A , on a rr(A) = rr(A+). Définition [5]. Soit X un espace topologique non vide, la dimension de recouvrement de X, notée dim(X), est le plus petit entier n > 0 (s'il existe) tel que l'on ait la propriété suivante: (P„) : pour tout recouvrement ouvert U\, ... , Uk de X, il existe un recouvrement ouvert V\, ... ,Vk de X tel que V¡ c U¡ pour tout /' et pour tout je G X, il existe au plus (n + 1) éléments de {V\, ... ,Vk} contenant x. S'il n'existe aucun n > 0 tel que l'on ait (P„), on pose dim(X) = + oc. Si X = <f>, la dimension de X est par définition égal à -1. 1. Rang réel de certaines extensions 1.1. Lemme [4]. Soient A une C*-algèbre et n > 0. Etant donnés e > 0 et a = (1 + Oo, a\, ... , an) g ghn+\(A) avec a¡ G Asa, alors il existe b = (1 + b0, bx, ... , bn) G ghn+i(À) avec bt £ Asa tel que \\b¡ - a¡\\ < e pour i = 0, ... , n. 1.2. Lemme [4]. Soient A une C*-algèbre, n > 0 et l = lA+. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : (i) rr(^) < n ; _ (ii) (\+Asa)x(Asa)"cghn+1(A+); (iii) Ve > 0, V£ g (1 + Asa) x {Asa)n, il existe n = (l + ao, a\, ... , a„) £ ghn+i(A+) avec a¡ £ Asa (i e {0, 1,..., n}) tel que \\Ç-n\\<e. 1.3. Proposition. Soient A une C*-algèbre, J < A et n>0, rr(J) < n si et seulement si alors on a: (1 + Jsa) x (Jsa)n c ghn+\ (A). Démonstration. La démonstration est inspirée de ([7], 4.4). La condition est clairement nécessaire, montrons sa suffisance. On peut supposer 1 G A (car 7 < ,4+) et donc A = A. On peut aussi supposer J ¿ A, car sinon, c'est clair. Soient d = {l+d0,di,... ,d„) £(l + Jsa)x (Jsa)n et e > 0. D'après 1.2, il suffit de démontrer qu'il existe a £ [gh„+i(J+)] n [(1 + Jsa) x {Jsa)n] tel que \\d - a\\ < e. Par hypothèse, il existe (l +oq, ai, ... , a„) e ghn+\{A) tel que \\d¡ - a¡\\ < e/2, pour i = 0, 1, ... , n . Soit (ma)a6A>une unité approchée pour 7 ([6], 1.4), alors il existe X0 £ A tel que pour tout X > Xq, on ait \\ukd¡ - d¡\\ < e/2 et \\uxdiUx- d¡\\ < License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use 3069 RANG REEL DE CERTAINESEXTENSIONS e/2 (i = 0, ... ,n). Puisque (I + ao, ai, ... , an) £ ghn+i(A), alors il existe bo, bi, ... , b„ dans A tels que n (1 + ¿>o)(l+ <2o)+ biüi H-h è„a„ = 1, d'où on a b0 + a0 + Y°'ai = ®- 1=0 Pour tout i G {0, ... , n}, on a Uxob¡ £ J, donc il existe Ai G A tel que pour tout X > Xi, on ait \\uxobi- Uxob¡Ux\\< e/2 pour tout i £ {0, ...,«} . Désormais, on travaille avec X G A tel que X > Xo, X\. On a donc \\uxuiUxuxdiUxW < ||a,--<i,-||< e/2, d'où on a \\di-uxa¡ux\\ < e pour tous i G {0,... , n} et X> Xo, Xi. Montrons qu'alors ax = {l + Uxa0ux, uxaiux, ... , uxanUx) est dans ghn+\{J+) pour tout X > X0, Xi. On a uxoboUx+ uxoa0Ux+ J2"=ouxobi^ux = 0. D'où on a: 1- {uxobo+ 1)(1 + uxaoux) + Y uxobiUxatUx i=i n uxobo+ uxa0ux + Y UxobiUxa¡Ux 1=0 n uxobo+ uxa0ux + Y uio°iaiux ~ Y uxobia¡Ux+ Y UxobiUiüiUx i=0 (=0 /=0 uxoh + uxaoux - uxohux - UxoaoUx+ Y(uxobiUxa¡ux - uxobia¡ux) /=0 < II"ao¿>o - Uxohux + uxa0ux - uxoa0ux\\ + YiuxobiUxdiUx- uxobiüiUx) ¡=o Posons: x = \\uxobo- UxoboUx+ uxaouk - uxqOqUxW et y = Y(uxobiUxCiiUx- UxobiüiUx) i'=0 alors on a: x < \\uxoh - uxohuxW+ \\uxOqUx - ux0a0ux\\ < \\uxob0- uxoboUxW + \\ukao- d0\\ + \\d0- ux0a0\\. On a \\uxao- Uxdo\\< ||ao - ¿oil < c/2 VAG A et \\uxd0- ¿oil < e/2 VA> A0. D'où pour tout X > Xo, on a \\uxOo_ ¿oil < e. D'où on a x < 3e/2. On a: y < Y WuiobiUxciiUx - uxobiüiUxW < Y II"m*í"au/- «¿o^i 1=0 n i'=0 < Y WuaobiUx - uxobi^||a,||. 1=0 License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use 3070 NAWFALELHAGE HASSAN Soit ô = Max{\\d¡\\; i = 0, ... , n}, alors on a y < (n + l)(e/2)[ô + (e/2)]. D'où pour tout A > Aq, Ai, on a: 1- (uxobo+ 1)(1 + Uxaoux)+ Y UxobiUxaiUx <(e/2)[(n+l)(ô+(e/2))+3]. i+i Donc pour e > 0 assez petit tel que (e/2)[(« + \){ô + (e/2)) + 3] < 1, on a: ax e [ghn+i(J+)] n [(1 + Jsa) x (Jsa)"] et \\d - ax\\ < e • □ 1.4. Théorème. Soient A une C*-algèbre et J < A, alors on a: Max{rr(7), rr(A/J)} < rr(A). Démonstration. rr(7) < rr(^l) résulte immédiatement de la proposition précédente. Supposons d'abord que A est unitaire, alors pour tout n > 1 on a: {{A)sa)n -^ {(A/J)sa)n est surjectif, continu et n(gh„(A)) c ghn{A/J). Donc, si m = rr(A), on a ghm+i(A) = {{A)sa)m+Xd'où ghm+i(A/J) = ((A/J)sa)m+X, d'où rr(A/J) < rr{A). Si 1 £ A, alors on a (A/J) s (a/7)+, rr(^/7) = rr((a/7)+) = rr{A/J) < rr(A) = rr(A). D d'où on a: Rappelons le résultat suivant dû à [5]. 1.5. Proposition. Soient X un espace normal et Y un fermé dans X, si dim(F) < n et si dim(F) < n, pour tout fermé F dans X tel que F n Y = 0, alors on a dim(X) < n. 1.6. Corollaire. Soient X un espace compact et U un ouvert dans X, alors on a: dim(X) = Max{dim(i/+), dim{X\U)}. Démonstration. On a Max{dim(i/+), dim(X\[/)} < dim(X), ceci découle de 1.4, où on prend A = C{X), J = C0(?7) et A/J = C(X\U), et du fait que 7~ = C(£/+). Donc il reste à démontrer l'inégalité opposée. On peut supposer Max{dim(C/+), dim{X\U)} = n (fini). On pose Y = X\U, donc Y est fermé dans X et on a dim(7) < n. Soit F un fermé dans X tel que F n F = 0, alors on a F c U c U+ , F est un espace compact et U+ est un espace séparé, d'où F est fermé dans U+, et alors dim(F) < dim([/+) < n, par 1.4. D'où on a dim(Z) < n par 1.5. G Il faut noter qu'il existe un espace compact X et un ouvert U dans X tel que dim(i7) = 1 > 0 = dim(X) ([5], 4.3.1, p. 161). 1.7. Théorème. Soient A une C*-algèbre commutative et J < A, alors on a: rr(A) = Max{rr(J),rr(A/J)}. Démonstration. Si 1 G A, ceci découle immédiatement du corollaire précèdent. Si 1 ^ A , alors on a la suite exacte suivante: 0^7^^+^ D'où, on a rr(A) = rr{A+) = Max{rr(7), D {A/J)+ -» 0. rr((A/J)+)} = Max{rr(7), rr(^/7)} . 1.8. Remarques ([6], 3.12). (i) Soient A une C*-algèbre et x G Jf(A) tel que Ax = {0}, alors on a x = 0. Puisque Ax = {0}, on a Va G A ax = 0. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use RANG RÉEL DE CERTAINES EXTENSIONS 3071 D'où, par continuté, VZ?G A", on a bx = 0. Comme x G J((A) c ,4", d'où x*x = 0, donc x = 0. (ii) Soient ,4 une C*-algèbre et J < A , alors on a: 7 c ,4 c Jt(J) •» 7 est un idéal essentiel dans A. Démonstration. Si 7 est un idéal essentiel dans A, alors ona /le ^#(7) par ([6], 3.12.8). Démontrons l'autre sens. Soit I < A tel que 7 n 7 = {0}. Soit x G 7, alors on a 7x c (7 n 7) = {0}, d'où x = 0 car x G ,4 c ^f (7). Donc on a 7 = {0} , donc 7 est un idéal essentiel dans A . (iii) On a ^f pTOT)) = ^(^) ([6], 3.12.3). (iv) Soient A une C*-algèbre et 7 < A tel que 7 = 3£(%?), alors par (ii) et (iii) on a: 7 est essentiel dans A «• ^(¿T) c ^ C J?^). Soient A une C*-algèbre et 7 un idéal bilatère fermé dans A , de sort que l'on a la suite exacte courte suivante: (1) 0^7^,4-^,4/7^0. On dit que (1) est triviale (resp. scindée) si A = 7 © (A/J) <pG Hom(,4/7, A) tel que 7io</> = í^a/j) • (resp. s'il existe 1.9. Proposition. On suppose que, dans (l), A/J est simple et J est idéal non trivial dans A, alors on a: (i) 7 n'est pas essentiel dans A si et seulement 5/(1) est triviale. (ii) Si A est unitaire et J est non unitaire, alors J est essentiel dans A. Si de plus J est simple, alors J est Tunique idéal bilatère fermé non trivial dans A. Démonstration, (i) Si ( 1) est triviale, alors il est clair que 7 n'est pas essential dans A . Réciproquement, si 7 n'est pas essentiel dans A , alors il existe /, idéal bilatère fermé et non nul dans A tel que 7 n 7 = {0} . On a n(I) < A/J et n(l) f {0}, car I ^ {0} et 7 n 7 = {0}. Pisque A/J est simple, on a n(I) = ,4/7 . Puisue n\¡ est injectif (7 n 7 = {0}), n\¡ est un isomorphisme de C*-algèbres de 7 sur A/J, d'où 7 = A/J et A = I + J. Comme 77 = 7n7 = {0} et 7, 7 <A, on a A^I@J. D'où A SeJ@(A/J) et n s'identifie avec la projection canonique sur la deuxième composante. (ii) On suppose maitenant A unitaire et 7 non unitaire. Si 7 n'est pas essentiel, alors d'après (i), on peut supposer que A = J © (A/J). Puisque A est unitaire ceci entraîne que 7 est unitaire, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc 7 est essentiel dans A. On suppose de plus que 7 est simple, et soit 7 un idéal bilatère fermé non nul dans A tel que 7^7. On a (7 n 7) < 7, et puisque 7 est essentiel dans A, on a 7 n 7 ^ {0} . Puisque 7 est simple, on a / n 7 = 7 et alors 7 c 7. On a n(I) < A/J et n(I) ¿ {0} car 7 t¿ {0} et 7^7. D'öu n(I) = A/J, car A/J est simple, et alors ,4 = 7 + 7 = 7 (car 7c/). D 1.10. Remarque. Soit ,4 une C*-algèbre, alors on a: A est essentiel dans A+ ■&■ A est non unitaire. Ceci résulte immédiatement du (ii) de la proposition précédente. Remarquons que si A est non unitaire la suite exacte 0—>,4—>,4—>C-»0 est scindée non License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use 3072 NAWFALELHAGE HASSAN triviale, C est simple et A est essentiel dans A où C est le corps de nombres complexes. 1.11. Corollaire. Soient A une C*-algèbre unitaire et J <A, non unitaire et non nul. Si A/J est simple, alors on a J c A c Jt(J). Ceci résulte immédiatement de la proposition précédente et de 1.8 (ii). 1.12. Théorème. On suppose que, dans (1), 7 est un idéal essentiel dans A et isomorphe à Jf(<%*). Alors on a rr(A) = rr(A/J). Démonstration. Grâce à la Remarque 1.8 (iv), on peut supposer 7 = 3£(%?) < A c £f(ßf). Si dim(^) = «< + oc,ona,4 = Mn(C) et A/J = {0} . D'où on a rr(A/J) = rr(0) = rr(0+) = rr(C) = 0 = rr(M„(C)) = rr(,4) ([1], 2.10). Donc on peut supposer que dim(J^) = + oc. Supposons d'abord que A est unitaire (nécessairement \A — \& car Jif(%f) < A). On sait, par le Théorème 1.4, que l'on a rr(A/J) < rr(A), donc il reste à démontrer l'autre inégalité. On peut supposer rr(A/J) = n < + oc, parce que sinon on a rr(,4) = rr(A/J) = + oc. Soient (hi, h2, ..., h„+i) G (Asa)"+X et e > 0. Posons pour i = 1,2, ... , n + l, Bj = {x£ Asa/\\hi - x\\ < e} et U = n"=/ Bi ■ Puisque n: (Asa)n+X-► ((A/J)sa)"+X est linéaire, continue et surjective, donc n(U) est un ouvert non vide dans ((,4/7)ia)"+1 • Puisque l'on a n = rr(A/J), il existe (fi,f2,...,fn+i)£(U)nghn+l(A/J). Donc il existe jc,-G B¡ tel que fi = 7t(jc,) pour i = 1, 2,..., x = E"=i xf G A+. Puisque (f,f2, n + 1. Posons ... , f„+i) G ghn+i(A/J) et n(xt) = fi, on a n(x) = £"*/ ff £ GL(A/J)+ , donc jc est opérateur de Fredholm positif. Soit p = \-q où q est le support de x, donc on a p G 7 et [x + ((n + \)e2)p] G GL(,4)+ . Pour / = 1, ... , n + 1, on a jc > (jc,)2 > 0, ceci implique (x¡)p = 0. Comme p, x, £ Asa , ceci entrîne que px¡ = 0. Pour i = 1, ... , n + 1, posons z, = jc, + ep G Asa, alors on a Yl"=i z] = x + ((n + l)e2)p G GL(^)+ . Donc on a (zx, z2, ... , zn+x) g ghn+x(A) et l|z,-A,|| < ||z,-jc,||-I-||jc,-/j,|| < 2e. D'où on a ghn+i(A) = (Asa)n+X. Donc on a rr(,4) < n = rr(A/J), d'où rr(^) = rr(A/J) .Si 1 i A , on a (À)/J s (A/J)+ , et alors on a rr(,4) = rr(^) = rr((,4)/7) = rr((^/7)+) = rr(A/J). D 1.13. Corollaire. On a les propriétés suivantes : (i) si A est f algèbre de Toeplitz ¿F, on a rr(A) - 1, (ii) si A est tune des algebres On de Cuntz [3] (n > 2), on a rr(A) = rr(On) = 0 = rr(Ox). Démonstration, (i) On a la suite exacte bien connue. 0-+Jf^^-+C(r)^0. Avec & c Jf(5?), d'où on a rr(^) = rr(C(T)) = dim(T) = 1. (ii) On a la suite exacte suivante: O^JT -*A->On ^0([2], 3.1). On est une C*-algèbre simple, unitaire et purement infinie ([2], 1.13). D'où on a rr(0„) = 0 ([1], 3.9). De même on a rr(Ooc) = 0. Puisque On est simple et License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use RANG RÉEL DE CERTAINESEXTENSIONS 3073 3£ non unitaire, alors d'après 1.9(h), 3? est un idéal essentiel dans A, d'où par 1.12, on a rr(,4) = rr(A/3Z) = rr(On) = 0. D 1.14. Corollaire. Soient %? un espace hilbertien separable de dimension infinie et «s/u {oc}, alors il existe une sous-C*-algèbre unitaire A dans £?(%?) telle que 3t < Ac ^(SC), rr(A) = n et A/(3t) est commutative. Démonstration. Soit X un espace compact et métrqiue de dimension n (par exemple X = [0, 1]"), alors X est separable et il existe une suite (jc„)„<=>dense dans X telle que chaque xn est répété une infinité de fois. Soient X = l2(JT), n: &{#) -» 3?{Xr)IX, la surjection canonique et A: C(X) -> S?(%f)/3f, définie par: A(/) = 7t(diag(/(jc„))). Alors A est un morphisme de C*-algèbres. Soit / G C(X) tel que A(/) = 0, alors diag(/(x„)) est un opérateur compact et comme chaque jc„ est répété une infinité de fois, on a / = 0, d'où A est injective. Posons A — n~x(A(C(X))), alors A est une C*-algèbre unitaire dans Sf(%?) contenant 3? et on a la suite exacte suivante: 0^3T ^A^C(X)^0. D'où, d'après le Théorème 1.12, on a rr(,4) = rr(C(X)) = dim(X) = n . O Face à tous ces résultats, on ne sait pas répondre à la question suivante: Existe-t-il une C*-algèbre A et J un idéal bilatère fermé dans A tel que l'on ait rr(A) > Max{rr(7), rr(,4/7)}? Acknowledgment Ce travail fait partie de ma thèse [4], préparée sous la direction du Professeur Georges Zeller-Meier que je remercie vivement. References 1. L. G. Brown et G. K. Pedersen, C-algebras of real rank zero, J. Funct. Anal. 99 (1991), 131-149. 2. J. Cuntz, Simple C*-algebras generated by isometries, Comm. Math. Phys. 57 (1977), 173-185. 3. _, K-theoryfor certain C*-algebras,Ann. of Math. (2) 113 (1981), 181-197. 4. N. Elhage Hassan, Rangs stables des C*-algebres, Thèse, Université d'Aix-Marseille-II, 1993. 5. A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1975. 6. G. K. Pedersen, C-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London, 1979. 7. M. A. Rieffel, Dimension and stable rank in the K-theory of C* -algebras, Proc. London. Math. Soc. (3) 46 (1983),301-333. département de mathématiques, université d'orléans, Cedex 2, France E-mail address : Nawf alQLabomath. univ-or leans. fr License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use b.p. 6759, 45067 orléans