Chapitre 5 Le ressort - physique

Chapitre 5
Le ressort
Le ressort est un élément fondamental de plusieurs mécanismes. Il existe plusieurs
types de ressorts (à boudin, à lame, spiral etc.) Que l’on comprime ou étire un ressort, tel que le ressort à boudin de la figure 5.1, celui-ci exerce une force égale et
opposée à celle qu’on lui applique. Cette force du ressort produira un travail pour absorber de l’énergie ou en donner. C’est cette capacité de travail qui est exploitée dans
l’utilisation des ressorts. Que ce soit comme amortisseur de chocs sur une automobile
ou pour faire fonctionner une montre mécanique.
L’étude du ressort nous permettra donc d’étayer davantage les notions de travail et d’énergie, le point central de cette étude étant le principe de conservation de
l’énergie mécanique.
Fressort
Fext
m
Figure 5.1 – Compression d’un ressort.
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44
Physique des mécanismes
5.1
La loi de Hooke
La loi de Hooke 1 est une loi empirique stipulant que la force de rappel d’un ressort
est égale à
Fr = ≠kx,
(5.1)
où k est une constante et x est le déplacement (étirement ou compression) du ressort
par rapport à sa position naturelle. Le signe négatif indique que la force est dans le
sens contraire du déplacement et donc que la force du ressort est toujours dirigée en
direction de la position naturelle du ressort (figure 5.2).
5.2
L’énergie potentielle d’un ressort
Lorsqu’on comprime ou étire un ressort, on effectue un travail sur lui. En effectuant
ce travail on donne au ressort une énergie potentielle élastique. Puisque que le travail
est W = F d, on pourrait penser que le travail nécessaire pour comprimer ou étirer
un ressort est simplement Wext = kx2 , ce qui est faux.
La figure 5.2 présente le graphique de la force du ressort en fonction du déplacement. On voit qu’à chaque instant du déplacement la grandeur de la force varie. Le
travail de la force extérieure pour déplacer un ressort n’est donc pas la force du déplacement final multipliée par ce déplacement, mais correspond à l’aire sous la droite
d’équation de la force, soit
Wext =
kx2
.
2
(5.2)
Lorsqu’on comprime ou étire un ressort, le travail du ressort est négatif, car il
prend de l’énergie potentielle. Lorsque le ressort revient à sa position naturelle, son
travail est positif, car il cède son énergie.
L’énergie potentielle d’un ressort est égale à l’énergie qu’une force extérieure lui
a transférée en effectuant un travail positif
Ur =
kx2
.
2
(5.3)
1. Robert Hooke (1635–1703) était un scientifique anglais qui a joué un rôle important dans
la Révolution scientifique. Contemporain de Newton, il eut par ailleurs avec lui une dispute sur sa
contribution à la Loi de la gravitation universelle énoncée par Newton.
Chapitre 5. Le ressort
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Fr>0
Fr<0
m
m
-x 0 x
-x 0 x
Δx<0
Δx>0
Fr
Fr = −kx
Comprimé
x
Étiré
kx 2
Ur =
2
Figure 5.2 – Force du ressort en fonction de son étirement.
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Physique des mécanismes
5.3
L’énergie cinétique
La figure 5.3 montre une masse appuyée sur un ressort comprimé. Lorsque le ressort
revient à sa position naturelle, il pousse la masse qui acquiert de la vitesse. L’énergie
potentielle du ressort est convertie en énergie de mouvement par le travail du ressort.
Cette énergie de mouvement est appelée énergie cinétique
K=
mv 2
.
2
(5.4)
Lorsque le ressort donne son énergie, il fait un travail positif. Ce travail positif
est un transfert d’énergie potentielle en énergie cinétique. Lorsqu’une masse acquiert
de la vitesse c’est qu’une force a effectué un travail positif sur elle.
W =
5.4
mvf2 mvi2
K=
≠
.
2
2
(5.5)
Conservation de l’énergie mécanique
On observe que dans toutes les interactions, l’énergie totale d’un système isolé est
toujours conservée.
La seule possibilité de faire varier l’énergie totale d’un système est qu’une force
extérieure fasse un travail sur lui. Un travail fournit un apport en énergie (ex. une
main qui comprime un ressort) ou prélève de l’énergie (ex. la dissipation de l’énergie
thermique engendrée par le frottement).
Nous avons vu trois formes d’énergie mécanique : l’énergie potentielle gravitationnelle, l’énergie potentielle élastique et l’énergie cinétique. L’énergie mécanique étant
conservée cela implique qu’une variation d’énergie totale sera uniquement engendrée
par le travail d’une force extérieure. 2
E=
Ug +
Ur +
K = Wext .
2. On considère ici que le frottement est une force extérieure et donc que
(5.6)
Ef = Wf = Wext .
Chapitre 5. Le ressort
kx 2
Ur =
2
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K =0
mv 2
K=
2
Ur = 0
Wr
v
m
x
0
m
0
Figure 5.3 – Conversion de l’énergie potentielle élastique en énergie cinétique.
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Physique des mécanismes
5.5
Transfert d’énergies
On peut vérifier la conservation de l’énergie mécanique en laissant tomber une masse
d’une certaine hauteur sur un ressort (figure 5.4). S’il y a conservation d’énergie,
l’énergie potentielle gravitationnelle initiale doit être égale au maximum d’énergie
potentielle élastique, c’est-à-dire lorsque la masse est momentanément immobilisée
par le ressort au plus bas de sa course
En isolant les variables h0 et x on obtient
En vérifiant que le rapport (h0 + x)/x2 est constant pour différentes valeurs de
h0 , nous obtiendrons une confirmation qu’il y a eu transfert d’énergie potentielle gravitationnelle en énergie cinétique puis en énergie potentielle élastique et que l’énergie
mécanique est conservée.
Tableau 5.1 – Mesure du raport (h0 + x)/x2 .
h0 (m)
x (m)
±
±
±
±
±
±
±
±
±
moyenne
(h0 + x)/x2 (m≠1 )
‡ (m≠1 )
Chapitre 5. Le ressort
U g = mgh
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Ug = 0
Ur = 0
Wg > 0
Ur =
K
kx 2
2
Wr < 0
h0
h
x
Figure 5.4 – Conversion de l’énergie potentielle gravitationnelle en énergie potentielle
élastique.
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Physique des mécanismes
Exemple 5.1
Une sauterelle jouet est constituée d’un corps de plastique et de pattes à ressorts.
Supposons que l’on comprime la sauterelle vers le plancher et qu’on la lâche ensuite,
estimez la hauteur maximale de son saut.
Solution
Il faut tout d’abord évaluer la constante de rappel des pattes. La figure 5.5 montre
une masse M qui comprime la sauterelle jusqu’à un point d’équilibre tout juste avant
qu’elle ne touche le sol. La sauterelle étant alors immobile, l’équilibre des forces donne
M=
kg, x =
m, k =
N/m,
m=
kg.
Ensuite, connaissant la masse m de la sauterelle et le déplacement x de la compression, on utilise la conservation d’énergie pour estimer la hauteur h du saut. On
peut évaluer l’énergie mécanique totale de la sauterelle à trois instants : avant de
la lâcher, lorsque les pattes sont revenues à leur position naturelle et à sa hauteur
maximale atteinte
et donc
kx2
h=
=
2mg
m.
Chapitre 5. Le ressort
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Fext = −Mg
M
Fr = −kx
-x
Figure 5.5 – Mesure de la constante de rappel de la sauterelle.
Ur =
kx 2
2
K =0
Ug = 0
Ur = 0
K=
mv 2
2
U g = mgx
Ur = 0
K =0
h
-x
x
Figure 5.6 – Trois temps dans le saut de la sauterelle.
U g = mgh
52
5.6
Physique des mécanismes
Exercices
5.1 Lors qu’on attache une masse de 3 kg à un ressort vertical
de masse négligeable, on constate que le ressort s’allonge de
1,5 cm.
(a) Quel sera l’allongement du ressort si on remplace la
masse de 3 kg par une masse de 1 kg ?
(b) Quelle quantité de travail une force extérieure devra-telle accomplir pour allonger ce ressort de 4 cm à partir
3 kg
1,5 cm
de sa position naturelle ?
2 kg
5.2 Un bloc de 2 kg chute d’une hauteur de 40 cm avant d’être arrêté par
un ressort ayant une constante de rappel de 1 800 N/m. Déterminez
la compression maximale du ressort.
5.3 Un bloc de 2 kg est relié à un ressort de masse négligeable ayant une constante
de rappel de 500 N/m, comme à la figure 5.3. Supposons que l’on comprime le
bloc sur 5 cm vers la gauche à partir du point d’équilibre, puis qu’on le relâche.
Déterminez la vitesse du bloc
(a) si le frottement est négligeable et
(b) si le coefficient de frottement entre le bloc et la surface est de 0,35.
Chapitre 5. Le ressort
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5.4 Un ressort ayant une constante de rappel k =
170 N/m se trouve au sommet d’un plan sans frottement incliné de 40¶ . L’extrémité du ressort, qui
est à sa longueur naturelle, se trouve à 1 m du bas
1m
du plan incliné. On pousse un bloc de 2 kg contre
le ressort jusqu’à ce qu’il soit comprimé de 0,2 m
et on le laisse aller à partir du repos.
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(a) Quelle est la grandeur de la vitesse du bloc à l’instant où le ressort reprend
sa longueur naturelle (qui est l’instant où le bloc perd contact avec lui) ?
(b) Quelle est la vitesse du bloc quand il atteint le bas du plan incliné ?
5.5 On attache une masse de 3 kg à un ressort de
masse négligeable monté sur une poulie. La poulie
est exempte de frottement et la masse quitte l’état
de repos lorsque le ressort est à sa position naturelle. Si la masse tombe sur une distance de 10 cm
avant de s’immobiliser, déterminez
3 kg
(a) la constante de rappel du ressort et
10 cm
(b) la vitesse de la masse lorsqu’elle se trouve à
5 cm plus bas que sa position initiale.
5.6 On laisse tomber un bloc de 250 g sur un ressort vertical
qui se trouve dans sa position naturelle et dont la constante
de rappel est k = 250 N/m. Le bloc se fixe au ressort et le
comprime au maximum de 12 cm. Pendant que le ressort se
comprime, quel est le travail effectué sur le bloc
(a) par la force gravitationnelle qui agit sur lui et
(b) par la force du ressort ?
(c) Quelle est la vitesse du bloc juste avant qu’il touche le
ressort ?
250 g
v
§
§
§