Anneaux et corps

Agrégation interne 2011-2012
Anneaux et corps
Quelques rappels
Définition : Soit Aun ensemble muni de deux lois internes +et .(appelés respectivement somme
et produit). On dit que (A, +, .)est un anneau (unitaire) si
1. (A, +) est un groupe commutatif ; on notera 0 son élément neutre.
2. Pour tous x,yet zdans A, on a (x.y).z =x.(y.z)(associativité du produit) ;
3. (unitaire) Il existe e∈A(élément neutre pour le produit) tel que e.x =x.e =xpour tout
x∈A. On notera dans la suite cet élément 1;
4. Pour tous x,yet zdans A, on a x.(y+z) = x.y +x.z et (x+y).z =x.z +y.z (distributivité).
Définition : Si on a de plus x.y =y.x pour tous x,ydans A, alors Aest un anneau commutatif.
Exemple : L’ensemble des matrices carrées sur un anneau A(en général Rou C) est un anneau
non commutatif pour l’addition et la multiplication usuelle des matrices. On le note Mn(A)où
n×nsont les dimensions des matrices.
Exemple : Zmuni des lois usuelles est un anneau commutatif
Exemple : A[X], l’ensemble des polynômes à une indéterminée sur un anneau Aest également
un anneau. Le plus souvent Aest égal à Z,Rou C.
Exemple : Si Aest un anneau alors quel que soit l’ensemble Xnon vide, AX(ensemble des
fonctions de Xdans A) est un anneau pour les lois usuelles.
Définition : Soit (A, +, .)un anneau et soit Bune partie de A. On dit que Best un sous-anneau
de Asi
1. (B, +) est un sous-groupe de (A, +) ;
2. Pour tous xet ydans B,x.y ∈B.
3. 1A∈B
Définition : Soient Aet A0deux anneaux. On note 1Aet 1A0leurs éléments neutres pour le
produit. On dit qu’une application f:A→A0est un morphisme d’anneaux (unitaires) si
1. Pour tous x,ydans A,f(x+y) = f(x) + f(y);
2. Pour tous x,ydans A,f(x.y) = f(x).f(y);
3. (unitaire) f(1A) = 1A0.
Exemple : f:Z→Zdéfinie par f(z) = −zpour tout z∈Zn’est pas un morphisme d’anneaux.
Proposition : Par un morphisme d’anneau, l’image d’un sous-anneau est un sous-anneau et
l’image réciproque d’un sous-anneau est un sous-anneau.
Définition : Soit (A, +, .)un anneau. On dit que a∈Aest un diviseur de zéro à gauche
(respectivement diviseur de zéro à droite) dans Asi a6= 0 et il existe b∈A,b6= 0 tel que
a.b = 0 (respectivement b.a = 0). On dit que aest un diviseur de zéro si aest un diviseur
de zéro à gauche et à droite. Un anneau commutatif (A, +, .)(non réduit à 0) est intègre si A
n’admet aucun diviseur de zéro.
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Exemple : Zest intègre mais Z/4Zne l’est pas.
Exercice 1: Montrer que dans un anneau intègre, un polynôme de degré n∈N∗admet au plus
nracines.
Définition : Une partie Id’un anneau commutatif Aest un idéal si (I, +) est un sous-groupe
de (A, +) et pour tout a∈Aet tout x∈I,a.x ∈I.
Définition : On dit qu’un idéal Iest un idéal maximal s’il n’existe pas d’idéal de Acontenant
Iautre que Iet A.
Définition : On dit qu’un idéal Iest un Idéal premier s’il est strictement inclus dans Aet
vérifie :
∀(a, b)∈A, a.b ∈I⇒a∈Iou b∈I
Exemple : Dans Z,4Zest un idéal non maximal car 4Z⊂2Z, avec 2Zqui lui est un idéal
maximal.
Exercice 2: Montrer que le noyau d’un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.
Définition : Soit Aun anneau commutatif et Iun idéal de A,l’anneau quotient A/I est
l’ensemble des classes d’équivalences de la relation Rdéfinie par xRy ⇐⇒ y−x∈I, muni des
lois :
∀(¯x, ¯y)∈A/I, ¯x+ ¯y=x+y, ¯x¯y=xy
Proposition : Si φ:A→A0est un morphisme d’anneaux commutatifs, alors Im(φ)est isomorphe
àA/Ker(φ).
Définition : Un anneau (A, +, .)est principal si Aest intégre, commutatif et tout idéal de A
est de la forme {x.a;a∈A}pour un certain x∈A.
Exemple : Les anneaux principaux les plus connus sont Zet K[X]où Kest un corps. On verra
que ces deux anneaux sont euclidiens (c’est à dire disposant d’une division euclidienne), ce qui
entraîne qu’ils sont principaux. Mais il existe des anneaux principaux non euclidiens.
Définition : Soit (K, +, .)un anneau. On dit que (K, +, .)est un corps (commutatif) si (K, +, .)
est un anneau (commutatif) et si pour tout élement de Kdistinct de 0, il existe x0∈K\ {0}tel
que x.x0=x0.x = 1. Cet élément x0s’appelle l’inverse de xet se note x−1.
Exemple : Q,Ret Csont les corps les plus connus.
Exercice 3: Vérifier qu’un corps est un anneau intègre.
Exercice 4: Montrer qu’un anneau fini est un corps ssi il est intègre.
Définition : Soit Lune partie d’un corps K. On dit que Lest un sous-corps du corps Ksi L
est un sous-anneau de Ket si pour tout x∈L\ {0},x−1∈L.
Définition : La caractéristique d’un corps Kest le plus petit entier p∈N∗, quand il existe,
tel que p1 =
pfois
z }| {
1 + 1 + ... + 1 = 0 ; sinon on dit que Kest de caractéristique nulle.
Définition : Un corps est dit premier lorsqu’il ne possède pas de sous-corps strict (à ne pas
confondre avec un idéal premier). Il est facile de voir qu’un corps premier est isomorphe à Q
lorsque sa caractéristique est nulle, et à Z/pZlorsque sa caractéristique est p.
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Définition : Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec N
Proposition : S’il existe à la fois une injection et une surjection entre deux ensembles, alors il
existe également une bijection entre ces ensembles.
Proposition : Toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Proposition : Tout produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Définition : Soit K⊂Ldeux corps. On dit que a∈Lest algébrique sur K, s’il existe un
polynôme à coefficient dans Kqui admet acomme racine.
Proposition : Qest dénombrable et les nombres algébriques sur Q⊂Rsont dénombrables.
Exercice 5: (Anneau des entiers de Gauss)
Soit Z[i]l’ensemble des nombres complexes de la forme a+ib où a,b∈Z.
1) Montrer que Z[i]est un sous-anneau de C.
2) Soit z∈Z[i]. Montrer que z∈Z[i]et que |z|2∈N.
3) Soit z∈Z[i]. Montrer que zappartient au groupe des éléments inversibles de l’anneau Z[i]si
et seulement si |z|2= 1.
4) Expliciter le groupe des éléments inversibles de Z[i].
5) Montrer que pour tout z∈C, il existe z0∈Z[i]tel que |z−z0|2<1. En déduire que pour tout
z0∈Z[i]et tout z1∈Z[i]non nul, il existe a0,a1∈Z[i]tels que z0=a0z1+a1et |a1|2<|z1|2.
6) Montrer que Z[i]est un anneau principal.
Exercice 6: Pour tout nombre premier p, on note Q(√p)l’ensemble des nombres réels de la forme
a+√pb où a,bsont des nombres rationnels.
1) Soit pun nombre premier. Montrer que Q(√p)est un Q-espace vectoriel de dimension 2.
Montrer que Q(√p)est un sous-corps de R.
2) Montrer que √2n’appartient pas à Q(√3).
3) Montrer que l’on a Q(√2) ∩Q(√3) = Q.
4) Déterminer tous les automorphismes de Q(√2).
Exercice 7: Soit Aun anneau commutatif.
1) Montrer qu’un idéal Iest premier ssi A/I est intègre.
2) Montrer qu’un idéal Iest maximal ssi A/I est un corps.
Exercice 8: Soit Aun anneau. Un élément x∈Aest dit nilpotent si et seulement s’il existe
n∈N∗tel que xn= 0.
1) Montrer que si xet ysont nilpotents et commutent, alors x+yest nilpotent.
2) Montrer que si xest nilpotent et commute avec y, alors xy est nilpotent.
3) Soit xnilpotent dans A. Montre que 1−xest inversible et calculer (1 −x)−1.
4) Montrer que tout élément nilpotent appartient à tout idéal premier de A.
Exercice 9: Un idéal Iest dit primaire si la condition xy ∈Iimplique qu’il existe un entier ntel
que xn∈Iou yn∈I.
1) Quels sont les idéaux primaires de Z.
2) Etant donné un idéal I, on appele radical de Iet on note √Il’idéal engendré par les éléments
xtels qu’il existe un entier ntel que xn∈I. Montrer que p√I=√I.
3) Montrer que le radical d’un idéal primaire est premier.
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