Anneaux et corps

Agrégation interne
2011-2012
Anneaux et corps
Quelques rappels
Définition : Soit A un ensemble muni de deux lois internes + et . (appelés respectivement somme
et produit). On dit que (A, +, .) est un anneau (unitaire) si
1. (A, +) est un groupe commutatif ; on notera 0 son élément neutre.
2. Pour tous x, y et z dans A, on a (x.y).z = x.(y.z) (associativité du produit) ;
3. (unitaire) Il existe e ∈ A (élément neutre pour le produit) tel que e.x = x.e = x pour tout
x ∈ A. On notera dans la suite cet élément 1 ;
4. Pour tous x, y et z dans A, on a x.(y + z) = x.y + x.z et (x + y).z = x.z + y.z (distributivité).
Définition : Si on a de plus x.y = y.x pour tous x, y dans A, alors A est un anneau commutatif.
Exemple : L’ensemble des matrices carrées sur un anneau A (en général R ou C) est un anneau
non commutatif pour l’addition et la multiplication usuelle des matrices. On le note Mn (A) où
n × n sont les dimensions des matrices.
Exemple : Z muni des lois usuelles est un anneau commutatif
Exemple : A[X], l’ensemble des polynômes à une indéterminée sur un anneau A est également
un anneau. Le plus souvent A est égal à Z, R ou C.
Exemple : Si A est un anneau alors quel que soit l’ensemble X non vide, AX (ensemble des
fonctions de X dans A) est un anneau pour les lois usuelles.
Définition : Soit (A, +, .) un anneau et soit B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau
de A si
1. (B, +) est un sous-groupe de (A, +) ;
2. Pour tous x et y dans B, x.y ∈ B.
3. 1A ∈ B
Définition : Soient A et A0 deux anneaux. On note 1A et 1A0 leurs éléments neutres pour le
produit. On dit qu’une application f : A → A0 est un morphisme d’anneaux (unitaires) si
1. Pour tous x, y dans A, f (x + y) = f (x) + f (y) ;
2. Pour tous x, y dans A, f (x.y) = f (x).f (y) ;
3. (unitaire) f (1A ) = 1A0 .
Exemple : f : Z → Z définie par f (z) = −z pour tout z ∈ Z n’est pas un morphisme d’anneaux.
Proposition : Par un morphisme d’anneau, l’image d’un sous-anneau est un sous-anneau et
l’image réciproque d’un sous-anneau est un sous-anneau.
Définition : Soit (A, +, .) un anneau. On dit que a ∈ A est un diviseur de zéro à gauche
(respectivement diviseur de zéro à droite) dans A si a 6= 0 et il existe b ∈ A, b 6= 0 tel que
a.b = 0 (respectivement b.a = 0). On dit que a est un diviseur de zéro si a est un diviseur
de zéro à gauche et à droite. Un anneau commutatif (A, +, .) (non réduit à 0) est intègre si A
n’admet aucun diviseur de zéro.
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Exemple : Z est intègre mais Z/4Z ne l’est pas.
Exercice 1: Montrer que dans un anneau intègre, un polynôme de degré n ∈ N∗ admet au plus
n racines.
Définition : Une partie I d’un anneau commutatif A est un idéal si (I, +) est un sous-groupe
de (A, +) et pour tout a ∈ A et tout x ∈ I, a.x ∈ I.
Définition : On dit qu’un idéal I est un idéal maximal s’il n’existe pas d’idéal de A contenant
I autre que I et A.
Définition : On dit qu’un idéal I est un Idéal premier s’il est strictement inclus dans A et
vérifie :
∀(a, b) ∈ A, a.b ∈ I ⇒ a ∈ I ou b ∈ I
Exemple : Dans Z, 4Z est un idéal non maximal car 4Z ⊂ 2Z, avec 2Z qui lui est un idéal
maximal.
Exercice 2: Montrer que le noyau d’un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.
Définition : Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A, l’anneau quotient A/I est
l’ensemble des classes d’équivalences de la relation R définie par xRy ⇐⇒ y − x ∈ I, muni des
lois :
∀(x̄, ȳ) ∈ A/I, x̄ + ȳ = x + y, x̄ȳ = xy
Proposition : Si φ : A → A0 est un morphisme d’anneaux commutatifs, alors Im(φ) est isomorphe
à A/Ker(φ).
Définition : Un anneau (A, +, .) est principal si A est intégre, commutatif et tout idéal de A
est de la forme {x.a; a ∈ A} pour un certain x ∈ A.
Exemple : Les anneaux principaux les plus connus sont Z et K[X] où K est un corps. On verra
que ces deux anneaux sont euclidiens (c’est à dire disposant d’une division euclidienne), ce qui
entraîne qu’ils sont principaux. Mais il existe des anneaux principaux non euclidiens.
Définition : Soit (K, +, .) un anneau. On dit que (K, +, .) est un corps (commutatif) si (K, +, .)
est un anneau (commutatif) et si pour tout élement de K distinct de 0, il existe x0 ∈ K \ {0} tel
que x.x0 = x0 .x = 1. Cet élément x0 s’appelle l’inverse de x et se note x−1 .
Exemple : Q, R et C sont les corps les plus connus.
Exercice 3: Vérifier qu’un corps est un anneau intègre.
Exercice 4: Montrer qu’un anneau fini est un corps ssi il est intègre.
Définition : Soit L une partie d’un corps K. On dit que L est un sous-corps du corps K si L
est un sous-anneau de K et si pour tout x ∈ L \ {0}, x−1 ∈ L.
Définition : La caractéristique d’un corps K est le plus petit entier p ∈ N∗ , quand il existe,
p fois
z
}|
{
tel que p1 = 1 + 1 + ... + 1 = 0 ; sinon on dit que K est de caractéristique nulle.
Définition : Un corps est dit premier lorsqu’il ne possède pas de sous-corps strict (à ne pas
confondre avec un idéal premier). Il est facile de voir qu’un corps premier est isomorphe à Q
lorsque sa caractéristique est nulle, et à Z/pZ lorsque sa caractéristique est p.
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Définition : Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec N
Proposition : S’il existe à la fois une injection et une surjection entre deux ensembles, alors il
existe également une bijection entre ces ensembles.
Proposition : Toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Proposition : Tout produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Définition : Soit K ⊂ L deux corps. On dit que a ∈ L est algébrique sur K, s’il existe un
polynôme à coefficient dans K qui admet a comme racine.
Proposition : Q est dénombrable et les nombres algébriques sur Q ⊂ R sont dénombrables.
Exercice 5: (Anneau des entiers de Gauss)
Soit Z[i] l’ensemble des nombres complexes de la forme a + ib où a, b ∈ Z.
1) Montrer que Z[i] est un sous-anneau de C.
2) Soit z ∈ Z[i]. Montrer que z ∈ Z[i] et que |z|2 ∈ N.
3) Soit z ∈ Z[i]. Montrer que z appartient au groupe des éléments inversibles de l’anneau Z[i] si
et seulement si |z|2 = 1.
4) Expliciter le groupe des éléments inversibles de Z[i].
5) Montrer que pour tout z ∈ C, il existe z0 ∈ Z[i] tel que |z − z0 |2 < 1. En déduire que pour tout
z0 ∈ Z[i] et tout z1 ∈ Z[i] non nul, il existe a0 , a1 ∈ Z[i] tels que z0 = a0 z1 + a1 et |a1 |2 < |z1 |2 .
6) Montrer que Z[i] est un anneau principal.
√
Exercice 6: Pour tout nombre premier p, on note Q( p) l’ensemble des nombres réels de la forme
√
a + pb où a, b sont des nombres rationnels.
√
1) Soit p un nombre premier. Montrer que Q( p) est un Q-espace vectoriel de dimension 2.
√
Montrer que Q( p) est un sous-corps de R.
√
√
2) Montrer que 2 n’appartient
pas
à
Q(
3).
√
√
3) Montrer que l’on a Q( 2) ∩ Q( 3) = Q. √
4) Déterminer tous les automorphismes de Q( 2).
Exercice 7: Soit A un anneau commutatif.
1) Montrer qu’un idéal I est premier ssi A/I est intègre.
2) Montrer qu’un idéal I est maximal ssi A/I est un corps.
Exercice 8: Soit A un anneau. Un élément x ∈ A est dit nilpotent si et seulement s’il existe
n ∈ N∗ tel que xn = 0.
1) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x + y est nilpotent.
2) Montrer que si x est nilpotent et commute avec y, alors xy est nilpotent.
3) Soit x nilpotent dans A. Montre que 1 − x est inversible et calculer (1 − x)−1 .
4) Montrer que tout élément nilpotent appartient à tout idéal premier de A.
Exercice 9: Un idéal I est dit primaire si la condition xy ∈ I implique qu’il existe un entier n tel
que xn ∈ I ou y n ∈ I.
1) Quels sont les idéaux primaires de Z.
√
2) Etant donné un idéal I, on appele radical de I et on note
engendré par les éléments
p√ I l’idéal
√
n
x tels qu’il existe un entier n tel que x ∈ I. Montrer que
I = I.
3) Montrer que le radical d’un idéal primaire est premier.
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