EX 1 :( 3 points ) Une PME fabrique des boules de billard. On note X

EX1 :( 3 points ) Une PME fabrique des boules de billard. On note Xla variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au
hasard dans la production, associe son diamètre (en millimètres).
On suppose que Xsuit la loi normale d’espérance 61,25 et d’écart-type 0,2.
1. a. Calculer, à 10−4près, la probabilité P(X 661).À la calculatrice P(X 661) '0,1056 à 10−4près
b. Dans un lot de 200 boules de billard, à combien peut-on estimer le nombre de boules de diamètre inférieur à 61
millimètres ?. D’après la question précédente environ 10,56% des boules ont un diamètre inférieur à 61 mm.
Dans un lot de 200 boules, environ 200×0,1056 =21,12 '21 boules ont un diamètre inférieur à 61 mm.
2. a. Une boule est dite « de premier choix » si son diamètre (en millimètres) appartient à l’intervalle [61 ; 61,5], sinon
elle est dite « de second choix ». Calculer, à 10−4près, la probabilité qu’une boule prélevée au hasard dans la
production soit de premier choix.
La probabilité qu’une boule soit de premier choix est P(61 6X661,5)
Avec la calculatrice, on obtient : P(61 6X661,5) '0,7887 à 10−4près
b. En déduire la probabilité qu’une boule prélevée au hasard soit de second choix.
L’événement « une boule est de second choix » est l’événement contraire de « une boule est de premier choix ».
La probabilité qu’une boule prélevée au hasard soit de second choix est :
1−P(61 6X661,5) '1−0,7887 =0,2113 à 10−4près
EX2 :( 2 points ) Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Une variable aléatoire Xsuit la loi normale d’espérance 18 et d’écart-type 0,5.
Donner un intervalle Ide centre 18 auquel appartiennent environ 95% des valeurs prises par X.
D’après le cours, I=£µ−2σ;µ+2σ¤=[18−2×0,5 ; 18+2×0,5]=[17 ; 19]
2. Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d’acier. Une rondelle est conforme lorsque son diamètre (exprimé
en millimètres) appartient à l’intervalle [89,6 ; 90,4]et on sait que la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard
dans la production soit conforme est égale à 0,95.
On note Xla variable aléatoire qui associe à chaque rondelle, prélevée au hasard dans la production, le diamètre de
cette rondelle. On suppose que Xsuit une loi normale d’espérance 90 et d’écart-type σ.
a. Calculer σ.
On doit avoir P(89,6 6X690,4) =0,95. Comme 90 (espérance de la loi normale suivie par X) est le centre de
l’intervalle contenant 95% des valeurs on doit avoir [89,6 ; 90,4]=[90−2σ; 90 +2σ]
D’où 2σ=0,4, soit σ=0,2
b. On a indiqué sur la figure ci-dessous, la courbe de la loi normale N(90 ; 0,32).
Parmi les deux autres courbes, indiquer par une flêche celle de la loi normale N(90 ; 0,22). Justifier.
L’écart-type est un paramètre qui traduit la dispersion des valeurs autour de la moyenne. La loi normale
N(90 ; 0,22) a ses valeurs moins dispersées autour de la moyenne que la loi N(90 ; 0,32).
88 89 90 91 92
N(90 ; 0,32)
N(90 ; 0,22)
Correction TSTMG. Évaluation 6 - Chapitre : Loi normale ♣

EX3 :( 5 points ) Une entreprise fabrique des jetons destinés à un établissement de jeux.
On note Dla variable aléatoire qui, à un jeton prélevé au hasard dans la production totale, associe son diamètre en milli-
mètres. On admet que la variable aléatoire Dsuit la loi normale d’espérance 29 et d’écart-type 0,2.
Partie A. Étude du diamètre des jetons
1. Calculer, à 10−4près, la probabilité P(D 629,5).
À la calculatrice, on obtient : P(D 629,5) '0,9938 à 10−4près
2. Dans un lot de 15 000 jetons, à combien peut-on évaluer le nombre de jetons ayant un diamètre inférieur à 29,5 mm ?
On peut estimer qu’il s’agit environ 99,38% des jetons. Soit 15 000×0,9938 =14 907 jetons
3. On a calculé, à 10−4près, les probabilités P(D 6k)pour différentes valeurs de k avec un tableur.
k28,8 28,9 29 29,1 29,2 29,3
P(D 6k)0,1587 0,3085 0,5000 0,6915 0,8413 0,9332
Donner une valeur approchée du réel k tel que P(D 6k)'0,69 à0,01 près, puis interpréter ce résultat.
P(D 629,1) '0,69 à 0,01 près, donc k=29,1
Environ 69% des jetons ont un diamètre inférieur à 29,1 mm.
Partie B. Amélioration de la production
Le cahier des charges de l’entreprise indique que le diamètre doit être compris entre 28,7 mm et 29,3 mm.
1. Calculer, à 10−4près, la probabilité qu’un jeton pris au hasard dans la production ait un diamètre :
a. conforme au cahier des charges ; À la calculatrice, on obtient : P(28,7 6D629,3) '0,8664 à 10−4près
b. non conforme au cahier des charges. La probabilité qu’un jeton est un diamètre non conforme est :
1−P(28,7 6D629,3) '1−0,8664 =0,1336 à 10−4près
2. L’entreprise désire améliorer la qualité des jetons en modifiant le réglage des machines de production.
On note Xla variable aléatoire qui, à un jeton prélevé dans la production future, associe son diamètre.
On suppose que la variable aléatoire Xsuit la loi normale d’espérance 29 et d’écart-type σ.
Déterminer σpour qu’environ 95% des jetons de la production future soient conformes au cahier des charges.
On doit avoir P(28,7 6X629,3) '0,95.
Comme l’intervalle [28,7 ; 29,3]a pour centre 29, cet intervalle est : [29−2σ; 29 +2σ].
On en déduit que 2σ=0,3 soit σ=0,15
3. a. Colorer sur la figure ci-dessous :
le domaine correspondant a une production non conforme au cahier des charges.
b. Déterminer la valeur de la probabilité P(X >29,3) en s’appuyant sur le graphique. Justifier.
La probabilité d’une production non conforme est donné par : 1 −P(28,7 6X629,3) =1−0,95 =0,05.
Par symétrie de la courbe « en cloche » on a donc P(X >29,3) =0,05÷2=0,025
Ce qui représente 2,5% de l’ensemble des valeurs.
28 29 30
28,7 29,3
'95% 2,5%2,5%
Correction TSTMG. Évaluation 6 - Chapitre : Loi normale