Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Author Name TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires November 16, 2016 TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Dans ce chapitre 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Quelques définitions Plan du cours 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Quelques définitions 1.1) Fonctions paires et impaires Définition Soit f une fonction dont l’ensemble de définition est symétrique par rapport au nombre 0 : si le nombre x appartient à Df alors le nombre (−x ) appartient aussi à Df • On dit que la fonction f est paire si, pour tout nombre x de Df , f (−x ) = f (x ) • On dit que la fonction f est impaire si, pour tout nombre x de Df , f (−x ) = −f (x ) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Quelques définitions Propriétés • La courbe représentative d’une fonction f paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées • La courbe représentative d’une fonction f impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère à illustrer TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Quelques définitions Exemples • La fonction carré est paire • Les fonctions cube et inverse sont impaires TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Quelques définitions 1.2) Fonctions périodiques Définition Soit f une fonction définie sur R On dit que la fonction f est périodique de période T ou que la fonction f est T - périodique si, pour tout nombre x de Df , f (x + T ) = f (x ) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Quelques définitions Propriété Pour obtenir la courbe représentative d’une fonction f périodique de période T : • on commence par tracer cette courbe sur un intervalle de taille T • puis on complète en utilisant une translation de vecteur → − T× i à illustrer TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 2) Le cercle trigonométrique : rappels Plan du cours 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 2) Le cercle trigonométrique : rappels Rappel : repérage sur le cercle trigonométrique Tout nombre x réel peut être placé sur le cercle trigonométrique (par enroulement) Soit M le point image du nombre x Par définition : cos(x ) est l’abscisse du point M et sin(x ) est l’ordonnée du point M Le point M a donc pour coordonnées (cos(x ), sin(x )) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 2) Le cercle trigonométrique : rappels Petit exercice Placer sur le cercle trigonométrique les nombres suivants : a= 5π 6 19π 2 89π g =− 4 d= TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires b=− 3π 4 77π 3 317π h=− 3 e= c= 17π 3 f =− 145π 2 Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 2) Le cercle trigonométrique : rappels Propriétés vues en 1S Quelques souvenirs ? TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 3) La fonction cosinus Plan du cours 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 3) La fonction cosinus Propriétés • cos(x ) est l’abscisse du point M(x ) où M(x ) est le point image du nombre x sur le cercle trigonométrique • La fonction cosinus est définie sur R • Pour tout x réel, cos(−x ) = cos(x ) (à illustrer) La fonction cosinus est donc paire Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. • Pour tout x réel, cos(x + 2π) = cos(x ) La fonction cosinus est donc 2π-périodique. TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 3) La fonction cosinus Sur l’intervalle [0; 2π] • Rappel des valeurs à connaître : (à compléter) • Le maximum est atteint pour x = 0 et pour x = 2π • Le minimum est atteint pour x = π • cos(x ) = 0 pour x = π2 et pour x = 3π 2 TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 3) La fonction cosinus Tableau de variations sur [0; 2π] x 0 π 1 1 cos(x ) −1 TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires 2π Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 3) La fonction cosinus Sur R On utilise la périodicité de la fonction cosinus pour tracer sa courbe représentative. TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 4) La fonction sinus Plan du cours 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 4) La fonction sinus Propriétés • sin(x ) est l’ordonnée du point M(x ) où M(x ) est le point image du nombre x sur le cercle trigonométrique • La fonction sinus est définie sur R • Pour tout x réel, sin(−x ) = −sin(x ) (à illustrer) La fonction sinus est donc impaire Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’oroigine su repère. • Pour tout x réel, sin(x + 2π) = sin(x ) La fonction sinus est donc 2π-périodique. TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 4) La fonction sinus Sur l’intervalle [0; 2π] • Rappel des valeurs à connaître : (à compléter) • Le maximum est atteint pour x = π2 • Le minimum est atteint pour x = 3π 2 • sin(x ) = 0 pour x = 0, pour x = π et pour x = 2π TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 4) La fonction sinus Tableau de variations sur [0; 2π] x 0 π 2 3π 2 1 0 sin(x ) 0 TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires 2π −1 Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 4) La fonction sinus Sur R On utilise la périodicité de la fonction sinus pour tracer sa courbe représentative. TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 5) Dérivées et limites Plan du cours 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 5) Dérivées et limites Continuité et dérivabilité Théorème Les fonctions cosinus et sinus sont continues (le prochain chapitre portera sur la continuité) et dérivables sur R Pour tout x réel : 1) cos0 (x ) = − sin(x ) 2) sin0 (x ) = cos(x ) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 5) Dérivées et limites En particulier • Pour une fonction f d’expression : f (x ) = cos(ax + b) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 5) Dérivées et limites En particulier • Pour une fonction f d’expression : f (x ) = cos(ax + b) On reconnait une fonction de la forme f (x ) = u(ax + b) avec u(x ) = cos(x ) et u 0 (x ) = −sin(x ) Donc f 0 (x ) = a × u 0 (ax + b) On obtient ici : f 0 (x ) = −a × sin(ax + b) • Pour une fonction g d’expression : g(x ) = sin(ax + b) On obtient de même : g 0 (x ) = a × u 0 (ax + b) Et finalement : g 0 (x ) = a × cos(ax + b) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 5) Dérivées et limites Limites en l’infini Théorème Les fonctions cosinus et sinus • n’ont pas de limite en +∞ • n’ont pas de limite en −∞ TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 5) Dérivées et limites Une limite à connaître Théorème lim x →0 sin(x ) x =1 à démontrer TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 6) Equations trigonométriques Plan du cours 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 6) Equations trigonométriques Deux équivalences de réference On utilise les deux équivalences suivantes : Soient a et b deux nombres réels Théorème cos(a) = cos(b) sin(a) = sin(b) ⇔ ⇔ (avec k entier relatif) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires a = b +2kπ a = b+2kπ ou ou a = −b +2kπ a = π−b+2kπ Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 6) Equations trigonométriques Première équivalence cos(a) = cos(b) ⇔ les points M(a) et M(b) ont la même abscisse ⇔ M(a) et M(b) sont confondus ou sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses ⇔ a = b + 2kπ à illustrer TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires ou a = −b + 2kπ Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 6) Equations trigonométriques Seconde équivalence sin(a) = sin(b) ⇔ les points M(a) et M(b) ont la même ordonnée ⇔ M(a) et M(b) sont confondus ou sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées ⇔ a = b + 2kπ à illustrer TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires ou a = π − b + 2kπ Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 6) Equations trigonométriques Exemples • 1) Résoudre dans [0 ; 4π] l’équation : cos(x ) = 12 • 2) Montrer que cos(x − π2 ) = sin(x ) Résoudre dans R l’équation cos(x ) = sin(x ) • 3) Résoudre dans R l’équation cos(2x ) = −sin(x ) TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Plan du cours 1) Quelques définitions 2) Le cercle trigonométrique : rappels 3) La fonction cosinus 4) La fonction sinus 5) Dérivées et limites 6) Equations trigonométriques 7) Inéquations trigonométriques TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Méthode 1 : résolution (graphique) avec le cercle trigonométrique Inéquation de la forme : cos(x ) > k • la valeur k est placée sur l’axe des abscisses (sur lequel on lit le cosinus d’un nombre) et on conserve ici l’intervalle [k; 1] • On cherche les points du cercle dont l’abscisse appartient à l’intervalle [k; 1] • L’ensemble solution correspond aux nombres associés à l’arc de cercle sélectionné TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Exemple Résoudre l’inéquation : • dans [0; 2π] • dans [−π; 4π] TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires cos(x ) ≥ −0, 5 Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Sur l’intervalle [0; 2π] • Les points sélectionnés (avec une abscisse plus grande que −0, 5) sont coloriés en bleu • On parcourt ensuite l’intervalle [0; 2π] en se déplaçant sur le cercle trigonométrique h i h i 4π • S = 0; 2π 3 ∪ 3 ; 2π TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Sur l’intervalle [−π; 4π] • Les points sélectionnés (avec une abscisse plus grande que −0, 5) restent les mêmes • On parcourt ensuite l’intervalle [−π; 4π] h i • S = − 2π ; 2π ∪ 3 3 h i h 4π 8π 3 ; 3 ∪ 10π 3 ; 4π TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires i Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Méthode 2 : résolution avec la courbe représentative de la fonction cosinus Inéquation de la forme : cos(x ) > k la valeur k est placée sur l’axe des ordonnées (l’axe des images sur lequel on lit le cosinus d’un nombre) Les nombres solution de l’inéquation cos(x ) > k sont les nombres dont l’image est plus grande que k. TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Exemple Résoudre l’inéquation : • dans [0; 2π] • dans [−π; 4π] TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires cos(x ) ≥ −0, 5 Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Sur l’intervalle [0; 2π] • La droite d’équation y = −0, 5 a été tracée en rouge • Les solutions sont en bleu sur l’axe des abscisses h i h i 4π • S = 0; 2π ∪ ; 2π 3 3 TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Sur l’intervalle [−π; 4π] • La courbe a été tracée sur l’intervalle [−π; 4π] • Les solutions sont en bleu sur l’axe des abscisses i h i h i h 2π 4π 8π 10π • S = − 2π ; ∪ ; ∪ ; 4π 3 3 3 3 3 TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 7) Inéquations trigonométriques Autres inéquations • On résout de la même manière les inéquations de la forme : • cos(x ) < k • sin(x ) > k • sin(x ) < k • Lire avec attention les pages 82 et 83 du livre TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires