Introduction aux surfaces de Riemann - IMJ-PRG

INTRODUCTION AUX SURFACES
DE RIEMANN
Nicolas Bergeron et Antonin Guilloux
L’objectif de ce cours est de proposer une introduction aux divers as-
pects algébriques, analytiques et géométriques d’un des objets les plus
riches et les plus importants des mathématiques, qui est la source de plu-
sieurs domaines de la recherche contemporaine.
De nombreuses passages de ces notes sont directement empruntés au
livre [Sai2011]. Deux autres importantes sources d’inspiration, dont nous
reprenons certaines figures, sont les textes de J.B. Bost [Bos1992]et É.
Reyssat [Rey1989].

Sommaire
I Introduction 3
I.1 Définitions et premières propriétés 3
I.2 Trois exemples simplement connexes 5
I.3 Structures conformes 10
I.4 Courbes elliptiques 13
II Courbes algébriques et surface de Riemann 23
II.1 Surface de Riemann d’un germe de fonction 23
II.2 Surfaces de Riemann épointées et revêtements ramifiés 26
II.3 Courbes algébriques et normalisation 29
II.4 Algébrisation des surfaces de Riemann compactes 35
III Classification topologique des surfaces 39
III.1 Surfaces orientables et triangulables 39
III.2 Classification topologique des surfaces compactes
orientables 41
III.3 Quelques conséquences 45
III.4 Un exemple : la courbe de Klein 48
IV Surfaces quotients, uniformisation 53
IV.1 Quotient de surfaces de Riemann 53
IV.2 Le théorème de Belyi 60
IV.3 Classification des surfaces de Riemann 62
V Surfaces riemanniennes 65
V.1 Rotationnel et divergence 67
V.2 Formes holomorphes et champs de vecteurs 68
V.3 Et les formes méromorphes ? 70
V.4 Périodes 73

2 Sommaire
V.5 Théorème d’existence 73
V.6 Théorie de Hodge et démonstration du théorème V.5.1 74
V.7 Démonstration du théorème V.6.2 77
VI Théorème de Riemann-Roch 83
VI.1 Existence de fonctions méromorphes 83
VI.2 Relations bilinéaires de Riemann 87
VI.3 Démonstration du théorème VI.1.6 92
VI.4 Vision faisceautique du théorème de Riemann-Roch et
dualité de Serre 94
VI.5 Existence de 1-formes méromorphes sur les courbes
algébriques 102
VII Théorème d’Abel-Jacobi 107
VII.1 Réseau des périodes 107
VII.2 Application d’Abel-Jacobi 108
VII.3 Théorème d’Abel 109
VII.4 Théorème de Jacobi 110
VIII Espace des modules grossier 115
VIII.1 Courbes elliptiques 115
VIII.2 Modules en genre supérieur 117
VIII.3 Espace des modules 119
VIII.4 Dépendance des modules 120
IX Épilogue : une « démonstration » du théorème
d’uniformisation 123
IX.1 Une démonstration « expérimentale » 123
IX.2 Plus rigoureusement... 124
Bibliographie 125

CHAPITRE I
Introduction
I.1. Définitions et premières propriétés
Une surface de Riemann est définie comme une variété complexe de
dimension 1 :
Définition I.1.1 (Surface de Riemann). — Une surface de Riemann est
un espace topologique X(connexe, séparé) muni d’un atlas {(Uλ,ϕλ)}λ∈Λ
où (Uλ)λ∈Λforme un recouvrement ouvert de Xet les ϕλ:Uλ→Vλsont
des homéomorphismes vers des ouverts de C(les cartes) tels que les
compositions
ϕλ◦ϕ−1
µ:ϕµ(Uλ∩Uµ)→ϕλ(Uλ∩Uµ)
sont des transformations biholomorphes (c’est-à-dire des bijections
holomorphes).
Avec cette définition, on peut étendre immédiatement les propriétés
et objets locaux de Cet définir les notions de fonctions et de formes
holomorphes ou méromorphes, d’applications holomorphes et de biho-
lomorphismes (ou isomorphismes) entre surfaces de Riemann :
– Une fonction complexe ψdéfinie sur un ouvert U⊂Xest holo-
morphe si pour tout P∈Uet pour toute carte (Uλ,ϕλ)telle que P∈
Uλ, la fonction ψ◦ϕ−1
λest holomorphe au voisinage de z=ϕλ(P).
De plus : la fonction ψa un zéro d’ordre n en P si et seulement si
ψ◦ϕλa un zéro d’ordre nen z.