Anneaux - Henri Lombardi

Anneaux
Licence-L3-Math´ematiques-Besan¸con
H. Lombardi(∗)
derni`ere mise `a jour le 8 d´ecembre 2009
Livres de r´ef´erence
–Georges et Marie-Nicole GRAS. Alg`ebre fondamentale. Arithm´etique. Ellipses. 2004.
–R´ emi GOBLOT. Alg`ebre Commutative. Dunod. 2001.
Table des mati`eres
C’est ici ! .............................................. i
1 Arithm´etique de base 1
1.1 On a le droit de calculer modulo n............................. 1
1.2 L’algorithme d’Euclide .................................... 1
Exercices ........................................... 3
1.3 Th´eor`eme des restes chinois ................................. 3
1.4 Les lemmes de Gauss et d’Euclide ............................. 3
1.5 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique dans N..................... 4
1.6 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique dans Zet Q.................. 5
1.7 Syst`emes d’´equations lin´eaires sur Z............................ 5
Manipulations ´el´ementaires sur une matrice `a coefficients entiers ............ 5
Le plan de travail ....................................... 6
Un exemple .......................................... 7
2 Anneaux et corps (commutatifs) 11
2.1 Groupes commutatifs ..................................... 11
Homomorphisme de groupes commutatifs, isomorphisme ................ 12
2.2 Anneaux : d´efinitions et exemples de base ......................... 13
Quelques d´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires reli´ees `a la structure d’anneau ..... 14
Premiers exemples ...................................... 14
2.3 Homomorphisme d’anneaux, isomorphisme ......................... 16
2.4 Sous-anneaux ......................................... 16
Sous-anneau engendr´e par . . . ................................ 17
Corps des fractions d’un anneau int`egre .......................... 18
2.5 Anneaux de fonctions, anneaux produits .......................... 18
Produit fini d’anneaux, syst`eme fondamental d’idempotents orthogonaux ....... 18
Anneaux de fonctions .................................... 20
∗Equipe de Math´ematiques, UMR CNRS 6623, UFR des Sciences et Techniques, Universit´e de Franche-Comt´e, 25030
Besan¸con cedex, FRANCE, email: [e-mail]
i

ii Math´ematiques. L3-Anneaux. TABLE DES MATI ` ERES
3 Anneaux de polynˆomes 21
3.1 D´efinition de A[X]...................................... 21
3.2 Propri´et´es ´el´ementaires ................................... 21
3.3 Fonction polynomiale ..................................... 22
3.4 Homomorphisme d’´evaluation ................................ 23
3.5 Anneaux de polynˆomes `a plusieurs ind´etermin´ees ..................... 24
3.6 Th´eorie des identit´es alg´ebriques .............................. 25
3.7 D´erivation et formule de Taylor ............................... 26
4 Id´eaux, anneaux quotients 27
4.1 Calculer modulo un id´eal .................................. 27
4.2 Id´eaux comme noyaux d’homomorphismes, th´eor`eme de factorisation ......... 28
Exemples ........................................... 29
Retour sur les syst`emes fondamentaux d’idempotents orthogonaux ........... 29
4.3 Op´erations sur les id´eaux .................................. 30
4.4 Th´eor`eme des restes chinois ................................. 31
4.5 Id´eaux premiers et maximaux ................................ 32
5 Th´eorie de la divisibilit´e 33
5.1 Quelques d´efinitions ..................................... 33
5.2 Anneaux euclidiens ...................................... 35
5.3 Anneaux nœth´eriens ..................................... 36
5.4 Anneaux principaux ..................................... 36
5.5 Anneaux factoriels ...................................... 40
Propri´et´es de base ...................................... 40
Une caract´erisation des anneaux factoriels ......................... 41
Anneaux `a pgcd ....................................... 42
Syst`eme exact d’irr´eductibles ................................ 43
Anneaux de polynˆomes `a coefficients dans un anneau factoriel .............. 43
Crit`eres d’irr´eductibilit´e ................................... 45

1 Arithm´etique de base
1.1 On a le droit de calculer modulo n
On se place dans Z, et on consid`ere un entier n > 1. On ´ecrit
a≡bmod n, ou encore a=nbpour signifier ∃k, a =b+kn.
Dans un tel cas on dit que aet bsont congrus modulo n.
Fait 1.1
1. Il s’agit d’une relation d’´equivalence.
2. On a les propri´et´es de stabilit´e suivantes
a=na0et b=nb0=⇒a+b=na0+b0
a=na0et b=nb0=⇒a×b=na0×b0
a=na0=⇒ −a=n−a0
Ainsi tous les calculs dans Zqui utilisent +,−,×,0,1 vont pouvoir ˆetre faits sous une forme
miniature, modulo n, en ne conservant que l’information (( amod n)) pour l’´el´ement a.
Exemple avec n= 100 : pour les nombres ´ecrits en base 10, on ne garde que les deux derniers
chiffres.
Exemple de la preuve par 9 et de la preuve par 11 pour les op´erations effectu´ees avec des nombres
´ecrits en base 10. Elles sont bas´ees sur le genre de calcul suivant, en remarquant que 10n=91n=91
et 10n=11 (−1)n:
123524 =91+2+3+5+2+4=917 =91 + 7 =98,
123524 =11 −1+2−3+5−2 + 4 =11 5.
On peut se demander ce qui se passe avec des op´erations plus compliqu´ees que +,−,×:
–Ou bien l’op´eration compliqu´ee est une combinaison des op´erations +,−,×, par exemple
(a, b, c)7→ 7ab2−3abc3+b4,
ou encore
(a, b, c, d, e, f, g, h, i)7→ 
a b c
d e f
g h i
et tout se passe bien.
–Ou bien ce n’est pas le cas et en g´en´eral rien ne va plus.
Par exemple la relation d’ordre a compl`etement disparu.
Autre exemple le quotient et le reste de la division de apar b6= 0 : ceci est caract´eris´e par
a=bq +ravec 0 6r < |b|. Si on les a effectu´es dans Z, il va rester modulo nl’´egalit´e
a=nbq +r. Mais si l’on remplace aet bpar a0et b0tels que a=na0et b=nb0et si q0et r0
sont le nouveau quotient et le nouveau reste, on n’a pas en g´en´eral q=nq0, ni non plus r=nr0.
Par exemple comparer modulo 7 le quotient et le reste de la division de 101 par 10 et celui de
la division de 31 par 17.
1.2 L’algorithme d’Euclide
Th´eor`eme 1.2 Soient a, b > 0dans Z, et gle plus grand diviseur commun `a aet b. Alors :
1. Tout diviseur commun `a aet bdivise g.
2. On peut exprimer gsous la forme ua +vb avec u, v ∈Z.
Plus pr´ecis´ement il existe une matrice M∈M2(Z)de d´eterminant ±1telle que
Ma
b=g 0.

2Math´ematiques. L3-Anneaux. 1 ARITHM ´ ETIQUE DE BASE
3. m=ab/g est le plus petit commun multiple de aet b: plus pr´ecis´ement, tout multiple commun
`a aet best multiple de m.
D´emonstration. La preuve du point 1. est bas´ee sur les deux remarques suivantes :
– Le r´esultat est trivial si bdivise a, dans ce cas g=b, et tout diviseur commun `a aet bdivise b.
– Si bne divise pas aet si par division euclidienne on obtient a=bq +ravec b > r > 0, alors les
diviseurs communs `a aet bsont exactement les diviseurs communs `a bet r.
Ainsi en d´emarrant avec a0=a,b0=b, on pose a1=bet b1=r, et on remplace le probl`eme de
d´epart pour (a0, b0) par le mˆeme probl`eme pour (a1, b1). La remarque importante est que 0 < b1< b0.
En recommen¸cant l’op´eration, on remplace ensuite (a1, b1) par (a2, b2) etc. . . Apr`es un nombre fini
d’´etapes du processus on tombe forc´ement sur la situation o`u pour un certain k,bkdivise ak. Et les
diviseurs communs `a aet bsont alors exactement les diviseurs de bk.
Tous les diviseurs communs `a aet bsont donc diviseurs d’un seul d’entre eux, bk: celui-ci n’est pas
seulement le plus grand au sens de la relation d’ordre usuelle, c’est aussi (( le plus grand )) au sens de
la relation de divisibilit´e, pour laquelle (( plus grand )) signifie (( ˆetre multiple de )).
2. La forme matricielle du calcul pr´ec´edent est
b
r=0 1 1−qa b, i.e. a1 b1=0 1 1−q1a0 b0
Donc si l’on appelle q1, q2. . . les quotient successifs, jusqu’`a qk+1 le quotient de akpar bkon aura
bk
0=0 1 1−qk+1 ···0 1 1−q20 1 1−q1a0 b0
Ainsi en posant M0=1 0
0 1 et, successivement pour i= 0, . . . , k,Mi+1 =0 1 1−qi+1 Mi,on
obtient en fin de compte g
0=Mk+1 a bavec det(Mk+1)=(−1)k+1.
3. Tout d’abord m=a(b/g) = b(a/g) est bien un multiple commun de aet b. Ensuite si l’on a un
multiple commun ad =bc, en utilisant au +bv =gon obtient
gd = (au +bv)d=adu +bvd =bcu +bvd =b(cu +vd),
d= (b/g)(cu +vd) et ad =m(cu +vd). 2
On appelle ce type d’´egalit´e (( au +bv = pgcd(a, b))) une relation de Bezout entre aet b.
Remarques. 1) L’algorithme des divisions successives pour calculer le pgcd est appel´e (( algorithme
d’Euclide )). Lorsque on (( enrichit )) l’algorithme de mani`ere `a calculer ´egalement uet v(ou mˆeme la
matrice Mk) on parle d’(( algorithme d’Euclide ´etendu )). Il s’agit de la m`ere de tous les algorithmes.
2) Au sujet de la propri´et´e caract´eristique du pgcd dde aet b:
(( xdivise gsi et seulement si xdivise aet b)).
2a) Si on la lit dans Z, cela d´etermine gseulement au signe pr`es. La convention la plus pratique est de
choisir le pgcd dans Npour r´etablir l’unicit´e. De mani`ere g´en´erale les nombres xet −xsont ´equivalents
du point de vue la divisibilit´e.
2b) Puisque tout nombre divise 0, il n’y a pas de difficult´e `a ´etendre la notion de pgcd `a un couple
(a, b) arbitraire dans Z(dans le th´eor`eme on a examin´e le cas o`u aet bsont >1). En particulier
pgcd(a, 0) = |a|et pgcd(a, ±1) = 1.
Commentaire. Le mot (( algorithme )) vient de Al Khwarizmi (790-850), un savant perse qui a ´ecrit un
livre en arabe dans le titre duquel se trouvait (( Al Djabr )), qui a donn´e (( alg`ebre )).
Deux entiers aet bsont dits ´etrangers, ou encore premiers entre eux , ou encore comaximaux ,
lorsque pgcd(a, b) = 1, (on n’a pas besoin pour cela de supposer qu’ils sont positifs, ni mˆeme que leur
valeur absolue est >1). Cette condition ´equivaut `a : ∃u, v ∈Z, au +bv = 1.

1.3 Th´eor`eme des restes chinois Besan¸con. 12/2009. 3
Corollaire 1.3 Si aest ´etranger `a bet calors il est ´etranger `a bc.
D´emonstration. On fait le produit des deux relations de Bezout. 2
Exercices
Exercice 1.1 Si g
0=u v s t a bavec ut −vs = 1, `a quoi sont ´egaux set t?
Exercice 1.2 On peut utiliser une l´eg`ere variante de la division euclidienne. On suppose seulement
a, b 6= 0 (plutˆot que a, b > 0). Alors on peut ´ecrire a=bq +ravec |r|6|b|/2. Dans ce cas donner une
majoration du nombre d’´etapes de l’algorithme d’Euclide ainsi modifi´e.
Exercice 1.3 Donner un algorithme en langage de programmation pour l’algorithme d’Euclide ´etendu
correspondant `a la d´emonstration du th´eor`eme 1.2.
1.3 Th´eor`eme des restes chinois
Th´eor`eme 1.4 On consid`ere des entiers a1, . . . , andeux `a deux ´etrangers et des entiers x1, . . . , xn
arbitraires, alors il existe un entier xtel que x≡ximod aipour chaque i. En outre deux solutions du
probl`eme sont congrues modulo le produit a=Qn
i=1 ai.
D´emonstration.
Existence. Commen¸cons par le cas n= 2. On ´ecrit a1u1+a2u2= 1, on remarque alors que
a1u1≡1 mod a2
a1u1≡0 mod a1et a2u2≡1 mod a1 a2u2≡0 mod a2
Une solution est donc x=x2(a1u1) + x1(a2u2). La diff´erence entre deux solutions ´eventuelles est un
multiple commun `a a1et a2, i.e. un multiple de a1a2(car a1et a2sont ´etrangers).
Cas g´en´eral. Montrons d’abord que l’on peut trouver e1tel que
e1≡1 mod a1et e1≡0 mod aipour i6= 1
Pour ceci on multiplie les relations de Bezout pour chacun des couples (a1, ai). On obtient une ´egalit´e
du type
c1a1+f1Qn
i=2 ai= 1.
Alors e1= 1 −c1a1convient. De la mˆeme mani`ere, on construit pour chaque j∈J1..nKun ejqui est
congru `a 1 modulo aj, et `a 0 modulo les autres ai. Finalement on pose x=Pjxjej.
Unicit´e modulo le produit des ai.Si on a deux solutions bet b0, leur diff´erence est multiple de chacun
des ai. L’unicit´e modulo Qn
i=1 air´esulte alors du th´eor`eme 1.2 point 3. (il implique que tout multiple
commun de deux ´el´ements ´etrangers est multiple de leur produit) et du corollaire 1.3 (qui permet de
passer `a n > 2). 2
Remarque. On pourrait aussi traiter d’abord le cas n= 2 en entier (existence et unicit´e), et terminer
avec un raisonnement par r´ecurrence sur n.
1.4 Les lemmes de Gauss et d’Euclide
Rappel : d´efinition des nombres premiers.
Lemme 1.5 (lemme de Gauss)
Soient a,b,c,ddes entiers >1.
1. Si pgcd(a, b) = 1 et si adivise bc alors adivise c.
2. (forme sym´etrique) Si pgcd(a, b) = 1 et si ad =bc alors il existe etel que c=ae et d=be