Le théorème des voisinages privilégiés

Séminaire Jean Leray.
Sur les équations aux
dérivées partielles
A. D OUADY
Le théorème des voisinages privilégiés
Séminaire Jean Leray, no 4 (1964-1965), p. 33-47
<http://www.numdam.org/item?id=SJL_1964-1965___4_33_0>
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33
LE
THÉORÈME
DES VOISINAGES
PRIVILÉGIÉS
par
A. DOUADY
Dans tout cet
exposé,
Kn , Ki. C C.
L1 x. .x
1. Rappel
sur
désigne
K
un
Cn
de
compact
de la forme
0
les faisceaux analytiques cohérents.
Notons 8 le faisceau des fonctions holomorphes à valeurs dans
sur
Cn.
Nous supposerons
PROPOSITION 1 . On a
9
le résultat suivant :
connu
~9)
0
==
Nous reviendrons d’ailleurs
COROLUJRE 1.
Si fi
est
résolution finie sur K
Hq(K, 7°)
on a
=
un
sur ce
une
0
0
-pour
faisceau
(i.e.
C
q > 0.
résultat
au
prochain exposé,
analytique cohérent
admettant
une
suite exacte
et la suite
est exacte.
Démonstration.
F,i
=
Im d. ,
faisceaux
donne
pour
1
D’après
la
proposition,
La suite exacte de
0
i
pour q > 0.
cohomologie associée à
Posons
la suite exacte de
34
d’où
La deuxième assertion
~’’t
Soient
COROLLAIRE 2.
découle.
en
admettant des résolutions
(a)
deux faisceaux analytiques cohérents
et
Pour tout homomorphisme
phisme de dans L"*
et
finies ~ #
au
f
~~
p~’
de
sur
dans
~ .
~1t ,
f ,y unique à
dessus de
il exi ste
un
homomor-
homotopie (alg-ébriaue)
près.
(b)
Pour toute suite
résolution finie
~~.
de
exacte 0
F
telle gue
-F’
F -
il existe
0,
une
et que
~. = ~ ! ~ ~ i
soit de la forme
.
,
Compte
tenu du corollaire
1,y
faisceaux, Ch.1, Théorèmes ~.1.1
Si
F
F ,
et
et
des
5.1.z~ .
est
un
espace de
analytiques
au
Banach,
on
l’espace
notera
voisinage de
K
à valeurs dans
de Banach des fonctions continues définies
B(K,F)
l’adhérence de l’image de
On notera
B(K) l’algèbre
Si
convexe
K
de
B(K,F).
des fonctions
l’espace
analogue à celle
classiques d’algèbre homologique ~Godement, Théorie
deux théorèmes
2. Espaces
la démonstration est
est
fonctions continues
sur
dans
~~K,F~
à valeurs dans
~(K,F).
de Banach
d’intérieur
K,
K
sur
F ,y
vectoriel
non
analytiques
vide,
sur
B(K,F)
R, à
est
l’espace
valeurs dans
F.
des
35
B(K,F)
PROPOSITION 2.
On
Démonstration.
Rappelons que
a
d’espaces de Banach
F*
=
On
peut identifier
au
fonctions
f
B(K)
que
~~ F
B(K) o
moyen de
B(K) E
La
F
norme
induite
par des
représentant
sommes
PROPOSITION 3
B(K)
on a
de
Mais
(9(K)
d’après
la
une
par celle de
F
B(K,F).
de
Cauchy
et
en
F
de
est
Reste à montrer
prenant
de dimension finie.
intégrale
où
formé des
B(K,F)
f E
soit que toute fonction
Ceci démontre la
K = K’t
B(K,F)
©(K,F)
leurs valeurs
Ceci
peut
approchant
se
celle-c
proposition.
K’~ C
C
n’
+
n"
=
n ,
=
norme
B(K) ,
par
de Riemann.
Si
Démonstration.
et la
f
F
par des fonctions
K
sur
F -~ ~ ~F~,E~ .
E 181
sous-espace fermé de
B(K,F) ,
est dense dans
où
sous-espace vectoriel de
B(K) o
sur
dans des sous-espaces vectoriels de
en
de Kronecker
un
E M F
produit tensoriel
espace vectoriel de
au sous
un
sur un
induite par celle de
l’injection
peut s’approcher uniformément
faire
F .
la norme E
norme
s’identifie à
F
~~
leurs valeurs dans
prenant
dimension finie.
et
est la
B(K)
=
On
induite
et
a
des
(9(K)
sur
B(K)
applications
par celle de
s’identifie à
contient
proposition
naturelles
un
sous-espace fermé de
3(K’) E C9(K"), qui
2.
coïncide
Ceci démontre la
est dense dans
proposition.
avec
B(K’,B(K")).
B~K’ ,B~K" ~ ~
cell~
36
3, Voisinages privilégiés.
Si e
est
B(K,àÎ)
le
B(K,~)
en
sur K ,y
l’identifiant à
en
en
est
fait
analytique
libre de
type fini
faisceau
posera
f)
obtenue
identifiant
B(K~r
au
on
notera
topologie obtenue
La
°
K ,y
sur
moyen d’une base
dépend
ne
sur
pas du choix
espace de Banach.
un
un
séparée)
rement
et
on
faisceau
libre
de la base et
Si 1
un
sur
B(K, 1’)
analytique cohérent
admettant
B(K~ ~ , T ~,~~ (K~ .
.~
E(K,1)
à
Coker
en en
La
prenant
résolution finie
topologie (non nécessai-
une
résolution
(B(K,,f 1) --> B(K, £0))
Cela résulte du corollaire
choix de la résolution.
une
~a~,
2,y
ne
dépend
de la
pas du
proposi-
tion 1.
DEFINITION. Soit
un
K
s’ il existe
est
de 1
soit
sur
une
K
analytique cohérent
une
sur
On dira aue
K .
résolution
telle que
suite exacte directe.
PROPOSITION 4.
soit
faisceau
J’1
Soit
y -privilégié.
t!
un faisceau analytique cohérent sur
K
tel ue
Pour toute résolution
(*) Le théorème d’existence des voisinages
théorème des syzygies.
privilégiés
contient donc le
K
37
de F
0 -
K ,
sur
Démonstration. La
B(K, L’)
propriété "
exacte directe " est
opérateur d’homotopie
un
de la
proposition 1, que
finie
de F,
un
K
On dira que
(a)
K
(b)
K
,est
un
-
à la suivante :
propriété
est
°
B(K, 1)
est
une
séparé
est vraie pour
une
suite
et
~a~,
résolution
qui démontre la propriété.
ce
et jl
point de K
B(K,L’o
Il résulte du corollaire 2,
continu",
toutes,
Il
suite exacte directe.
un
faisceau anâlyti ue cohérent
de
est un voisinage
x
si :
$
PROPOSITION ~.
Soit
K
B~K,
naturelle
0 -~
est injective.
,~’ -~ ~ -~ ~’4
faisceaux analytiques cohérents
Si
une
voisinage
(c) l’application
(a)
est
p
si cette
elle l’est pour
DEFINITION. Soit x
K.
O -B(K, L’)
équivalente
admet
sur
p - ...- B(K, L’o)
sur
0
une
suite exacte de
K .
K
est
est
et
est
une
suite exacte
(b) Si
K
est
un
K
est
directe ;
un
voisinage
F’-privilégie
voisinage F -privilégie
de
x .
de
x ,
38
(a) soient Mj et gi
Démonstration.
,
F’ et y
"
1
aux
conditions du corollaire 2,
exacte de
soit ~£ *
et
respectivement,
(b),
de la
plémentaires
de
taire de
di+1 ’
(b)
si
£f
de 1
résolution
On
proposition 1.
en
degré > 0 ,y
Im
Im
y
i
en
Les deux
1+i i,alors
.
montre que les
respectivement à
di
B(K,
est de même de celui du milieu.
que si
1
sur
suite
S.1 =
S!
et
i
i
SE’
1
est
sont des sup-
supplémen-
un
1
sont directs.
F), B(K,1’)
Enfin
S., 86
et
diagramme
PROPOSITION 6. Soit
Soient F’
qui
ce
sont
et C"
Im
i
s’identifient
Dans le
et
d’.’ 1
il
de
n
satisfaisant
a une
,
On vérifie par récurrence descendante
SI
une
longueur
complexes
extrêmes étant acycliques
et
des résolutions de
et
respectivement 0
injectives,
K
=
il
en
est de même de
K’ c
K’ X
C .
K" c
F" des faisceais analytiques cohérents sur
Considérons
sur
K
,
n’
K’
+
n"
n.
=
K"
et
le faisceau analytique cohérent
~= Ç M(91
t
1
où (9 ,
cnti
et
~"
sont les faisceaux de fonctions holomorphes
sur
fi
et
res-pectivement.
(a) Si
F-privilégié et
(b) Si
pectivement.
K’1
et
est F’t -privilégie
et si
K"
est F -privilégie,
K
est
E(K,1) = B ( K ’ , J’ ’ )
KI
et
K
est
K"
un
sont des
voisinages privilégiés de
voisinage privilégié de
x = (x’,x") .
x’
et
x"
res-
39
(a) Soient L’*
Démonstration.
y
de
et
L"* des résolutions de longueur
et
respectivement ; L*
longueur
de ~
n
de vérifier que si
Banach,
L* = Li
B(K,
et
et
Là
â~ Li
est
B(K’ , £¡)
=
sont des
L~
un
L’*oO,OoO" L"*
=
complexe
Or ceci résulte :u fait que tout
est
une
~ B~K", ~~~ ,
n’
résolution
Il suffit donc
complexes directs d’espaces
H~L,~~
direct et
de
de
H(L~).
~-
complexe direct
est somme directe de
que dans le
trivial où
complexes
de la forme
ou
Nous n’utiliserons la
mi
désignant l’idéal
tion : notons
mension finie
sur C ;
et
Si
k ,
et
F ,e
et
fe kQ
une
On
a
fx
en
soient
=
0,
x’
FI
on a
on a
(p(f) ),,
donc ici :
plongeant
B’
=
0 ,
B’ -
B"
F ,
dans
on
=
la démonstra-
espace vectoriel de di-
l’application canonique
donc
des espaces de Banach
application linéaire pl :
en
y’/m’ ~ ~’ ~
de
’11
Indiquons cependant
x’.
point
cas
t:
pk . Quand
Ker
le voit
corne en
maximal du
la fibre
FI
(b)
partie
a,
en
=
0
BI, B",
posant
et
pour tout
B = B’
40
Ker
(Q
or
0
pj =
Krull-Artin-Rees qui
Il
COROLLAIRE.
m’t
assure
résulte que f
en
=
Soient
K"
au
K"
est
(b)
Si
K"
est
Démonstration. On
où
C ~f
que
KI
qui démontre
la
i,
xl .
en
de
K"
un
C,,-privilégié
qu’on
suite exacte directe
où (
est la fonction définie
a une
fait
quand
n’f
sur
==
~~
de
1.
par
4. Platitude et -privilège.
i.,
un
faisceau
dans
K .
un
voisinage
a
voisinage
n’t
notons
le faisceau induit
est
montre
n =
Soit 5
voisinage Fo-privilégié de x",K
ce
Soit
KI
Fo-privlégi,KestF-privlégi;
suffit de vérifier
note
proposition.
Le corollaire résulte donc de la
un
injective.
x=(x’, x").
=
est
est
F’
k
m’ 9 = 0 ; notons Fo
tel ue
K
lim
-
un oint intérieur à
x’
et
moyen de
Si
de
ce
fi x’ -
l’application
K"
sur
(a)
F -privilégié
0 ,y
et du Théorème de
K’
sur
formé des fonctions nulles
analytique cohérent
par
que
K =
CI1
l’idéal de
l’hypothèse
vertu de
en
+
n" .
On identifie
l’injection y H
les faisceaux de fonctions
(x’,y)
de
holomorphes
sur
x’.
Dans
ce
proposition
et du fait
Grâce à la proposition, il
cas, le
~~~~ ~ y
principe
- x’ .
du maximum
41
Soient
PROPOSITION 7.
cohérent
Notons
défini par
x"
de
U"
dans
xl
faisceau
un
U .
analytique
On suppose
est
-que 5x
analytique cohérent
le faisceau
(9
Alors il existe
un
sur
voisinage
Ug’
tel pue :
et
est
U1 de
Cn
un point de
module
un
ouvert de
un
et
U ,
sur
U
C nt
dans
tel
pour tout
gu8,
x" e
K",e il existe
K = K’ * K"
KI C U1 ’
voisinage
un
soit
’
F-privilégié ;
K"
-
est
voisinage Fo-privilégié
un
de
x"
KI
est l’adhérence d’un
dans
U" , il
existe
,
un
voisinage
ouvert
de
Ul
c,,nnexe
de
1 -privilégié de
Ul
xl
dans
tel Que. si
contenant
x’ ,
soit
y
x .
Démonstration. Posons
une
de
Soit
résolution O"x"-libre
x
F
de
Il existe
Fo .
une
résolution
peut
effet supposer
en
i
montrer que
L?
1
=
C9 x
On va, par récurrence
K°i = Ker d9.
i
O -libre
x
L#
telle que
r.
r.
fln
voisinage
un
K.i
=
Ker
dii
est
Supposons qu’on ait construit
x’
di
et poser
sur
i ,
L.
1
= ~ ~’
;
x
construire
posons
d. : L. i
i
L. 1 ’
i-1
et que
et montré
ces
propriétés
pour
Ki ;
on
42
construire
peut
est
Comme
montre
où
noethérien,
que Im
et
K.-L
Le
B(K",à9.)
i
de fibrés
> 0
au
dans
ut
B(K", Li)
3..
1c2
F
de
I~#
et pour
de
se
Nakayma,
et que
x
fait de
façon analogue.
voisinage
un
d:
sur
Ul.
D’après
U’.
yte
la
Ce
chaque
i
S.
i
sur
i-1
On obtient ainsi
proposition 4
on
peut
T.i-1 i1
B(K", 1:.)
=
i
et soit nul
un
est direct et
du
trouver
T.
i.
i
sur
U.
dans
Le
morphisme
de fibrés
vec-
par
complexe
E(K" ,£*)
acyclique
en
degrés
premier exposé cette propriété
voisinage
Ul
S. i
et
Ti
de
et que
d.
induise
un
i des sous-fibrés triviaux
tels que
U1’
B(K", Li) -B(K"i Li-1)
en une
x
i
morphisme analytique
complexe
et
de
U’ x U;’
de fibre
IT
sur
définit
encore
pour
peut s’étendre
ainsi construite
sur un
points voisins,
aux
et le lemme de
’
de la récurrence
i
analytiques
isomorphisme
départ
noterons
nous
sur
type fini
i+1 x’
di : Li -Li-1i
lieu
diagramme
La suite exacte
faisceau fi
point x’.
a encore
est de
K. C L.
le fibré trivial
di3- o01
O’y’ ,
=
que le
.
du
toriels, que
façon
x
La résolution
de faisceaux
d.(y’)
IL
°
L’+1
i+1
résolution
Notons
Ki.
-.
aclit1Ki
.
x
(a)
de
d :
T..
On
de
x’
un
i.
a
alors, si
K’ C
U1’
t
43
et
induit
Le
complexe
démontre la
B(K’,Si)
l
de
isomorphisme
un
B(K’,Ti-1)
i-1
sur
est donc direct et
acyclique
et est nul
en
degrés
B(K’,T.) .
sur
)
>
0,
ce
qui
partie (a).
Remarques
1)
c’est
Posons
fibré
un
B(K, 5Q
2)
posons
Fx
cas
n’ = n--~
où %
et
O’x’-plat
zéro de
et tout
de
vectoriel des
préparation
admet
B (K",Fo)
de fibre
U1
sur
et
à
K"
résolution
une
Si
n"=1 .
est
ho
multiplicité)
l~espace
trivial
B(K’ , B(K" , % ) ) .
Dans le
est
aucun
leur
=
analytique
ho :
tel que la frontière de
U"
c
Fo-privilégié.
ho
intérieurs à
polynômes
de
n’est pas nul
C~ " -~
Si
degré
ne
est le nombre de zéros
p
K",
K"
en
on
p.
x" ,
contienne
(avec
peut prendre pour So
On retrouve le théorème de
la forme
sous
B(K)=h(B)(K) B(K’,)
(b)
Nous utiliserons le lemme suivant :
Soit
deux
est
A
un anneau
A-modules plats,
injectif ,
f
est
artinien local,
f : E - F
injectif.
un
m
son
idéal maximal,
homomorphisme.
Si
E
et
F
44
Ce lemme est
conséquence
une
[B0URBAKI,
de
Posons
en
xr
Le
de sections du
donc libre.
A.-module Jk
est
~. vertu du lemme et de
Ch.2, § 3, Prop. 5].
Alg. Comm.
jets à l’ordre k
des
isomorphe à
l’hypothèse
K" , l’application
sur
cano-
nique
~est
injective.
Dans le diagramme commutatif
^
p
est
l’hypothèse
sur
projective, et 6
par passage à la limite
injective
K’ .
Il
en
résulte
que pest injective,
aussi à
ce
de
cause
qui achève
de
démontrer la proposition.
Remarques
1)
avec
~n utilisant les théorèmes
un = U"
à condition que
n’est là que pour
assurer
et
A
B -
on
peut démontrer la proposition
~’ y soit
l’existence de
L’hypothèse
L~ ,
y
x" c K"
peut être supprimée à
elle
condition d’utiliser le théorèmes des syzygies.
2)
Dans les conditions de la
pour tout
tique cohérent
sur
y’ E U1 ’
i y-1(U)
de la
partie
défini
(b),
(a)
partie
proposition,
K"
est
le faisceau
en
comme
Fo.
Cependant,y
analy-
dans les conditions
il n’existe pas nécessairement pour tout
y’
suffisamment voisin de
K"
soit
un
de la
voisinage
x’
un
point y"é
F (y’)-privilègié
de
K"
y" .
tel que
45
5. Le théorème d’existence.
THÉORÈME 1.
Soient
U
analytiques cohérents
soit
U .
sur
Pour tout
voisinage
un
Démonstration par récurrence
sur
=
=
y’ - xl .
F"i
Posons
iex
,
-"
x1
=
est
n-1
Posons F.
=
ii
Ker
j.
un
ljyx
tel que
=
est
comme
F’. I,Xi,x
de
Posons
sur
Comme
est
U
(P
injectif,
torsion, donc plat
sans
0 .
=
par
est
x
pour j # io
ij,x ijo,x
ii ijo l’endomorphisme (EI
ijo
principal.
1
F.
- ùÔi ,
i
1joe
n
Cn à
et identifions
ij
QujL
KCU
un
étant fixé, définissons la fonction
U
considéré
il existe
xE U
Le théorème est trivial pour
x
il existe
des faisceaux
n.
Le
noethérien,
Fk,
x
le théorème démontré pour
(yl,yll)
,...,
de
Supposons
point
Cn t
cuvert de
un
pour j jo
car
et
l’anneau
et
~
Fi!i° 0
1
O
soit
qui
un
un
x’
i
voisinages privilégiés
£ j $ jo ,
de
hypothèse
Par
=
dans
et pour
C
qui
les 2.0
i. .
par
d’après
de
Si
x"
K’
pour les
est
x ,
de
x
d’après
le corollaire de la
applications répétées
Fi-privilégié
de
il existe
un
,
ce
de la
la
qui démontre
x
1 $ >; ,
voisinage suffisamment petit
K = K’ x K" est
et
proposition 7
proposition
proposition 5
un
1
soit l’adhérence d’un ouvert connexe,
voisinage -privilégié
y !.-privilégié
récurrence,
de
K
que
Ceci entraîne
6.
est
un
voisinage
le théorème.
Remarque
La démonstration donne le résultat suivant : soient
Cn , pt 11-i’
u~n
faisceau
analytique cohérent
sur
U
U , alors
un
ouvert de
46
est un voisinage
signifie ici que
Ui
vert
est l’adhérence dtun
K.
de
ou-
xi).
contenant
connexe
et que
Ki C U.
F-privilégié
Espaces analytiques de dimension
Les notations sont celles de
PROPOSITION 8.
f : U - h’
de
F
x
Cp
dans
Démonstration.
u 6
L (F,C).
dans
Soit
=
II (U’ ,F ,f)
est
x
x
V1 o ~ ,
e
phisme
g :
posons
T.
et soit K
r2
=
Cp.
g(B(K)p) .
un
engendré
noethérien,
Soit
v 1 Q f ,...,
fi.
J
est
v 0
par les
engendré
u 0
g.
donne
un
un
voisi-
continue
f ,
engendré
x .
homomorphisme
par les
L’homomordirect
Montrons que
l’hypothèse
faite sur
K .
uc
v
par une famille
de
voisinage
défini par les
et
f~.
le faisceau d’idéaux
Il suffit pour cela de voir que pour tout
ceci découle de
x EU, il existe
application linéaire
=
l’idéal de
J
(9
Comme
=
finie
Pour tout
et une
U , Jm. p e N
tels ue
’}l’ un espace de Banach
ouvert de
un
une application analytique.
de
Ut
U
Soient
l’exposé précédent.
o6(F~) ~
u
o
f E.
To ,
mais
x
47
Il
On
est
a
en
résulte
donc
un
mettre
f
F)
notant
U’
,
sous-espace
évidente,
qu’on peut
la
en
analytique
proposition
est démontrée.
sous
la forme
l’intérieur de
À.g,
K ,
avec
et
Comme l’inclusion
opposée
est