Platitude et privilège

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
A DRIEN D OUADY
Platitude et privilège
Séminaire N. Bourbaki, 1964-1966, exp. no 303, p. 385-390
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Séminaire BOURBAKI
18e année, 1965/66, n~3~3
Février 1 966
PLATITUDE ET PRIVILÈGE
Adrien DOUADY
par
1.
L’espace B (K; F) .
où pour tout
K
Si
i,
est
est
Ki
un
compact
convexe
polycylindre d’intérieur
un
B(K;F) l’espace
on notera
Banach,
tout ensemble 1C c
appellerons polycylindre
Noua
de
non
Cn
de La forme
K1
X
X.. , .
K
C.
vide et si F
est
espace de
un
de Banach des fonctions continues
o
analytiques
B(K) l’algèbre
On notera
Si
et
F
KC U ,
est
on
valeurs dans
K , à
sur
un
F.
de Banach
fibre vectoriel banaahique analytique
B(K;F) l’espace
notera
sur un
ouvert
C’
de
U
F
de Banach des sections continues de
0
sur
de
K, analytiques
type fini
sur
U. ,y
sur
on
K. Si
L
est
posera
un
faisceau
=
analytique localement
où L
libre
est le fibre vectoriel
correspondant a
2. Polycylindres
Soient
K c: U
un
U
un
privilégies.
ouvert de
polycylindre,
H. Cartan, il existe
de ~
au
une
F
D’après
un
faisceau analytique cohérent
le théorème des
U,
sur
syzygies et le théorème
A
de
résolution finie
voisinage de K> où
les L1
sont des faisceaux localement
libres.
385
libres,
voire
A cette résolution
DÉFINITION 1.est
un
correspond
Nous dirons pue
est
Dire que
B(K;,L~) -~ B(K;~ 1 )
noyau et
est
l’image admettent
degré
un
> 0.
signifie que, pour tout i,
strict
(i.e. d’image fermée)
supplémentaire topologique.
propriété
de Banach ;
polycylindre !-privilégié si
direct
homomorphisme
par le fait que cette
justifiée
en
un
complexe
un
un
est
K
complexe direct acyclique
complexe d’espaces
un
ne
dépend
dont le
La définition 1 est
pas du choix de la résolution
k.
K
Si
est
B(K.)-module
est un
dépend
polycylindre F-privilégié,
un
un
poserons
isomorphisme canonique près,
ne
pas du choix de la résolution
DÉFINITION
2.- Soit
F-privilégié de
(i)
K
est
un
voisinage de
(ii)
K
est
un
polycylindre
(iii)
l.’application naturelle
THEOREME
U .
d’ .indiquer
~.- Soient
Tout point
F-privilégiés.
U. Nous
un point de
x
dirons
que
K
est
un
voisinage
si :
x
Nous nous proposons
sur
qui, à
de Banach
nous
U
un
x
de
x,
B(K;~) ~ F
la démonstration du théorème d’existence :
ouvert de
U
e.st invective.
admet
C9
un
et F
un
faisceau analytique cohérent
système fondamental de voisinages
démonstration,
Au cours de la
qui présente
un
intérêt propre,
utilise
on
car
il
un
résultat
permet d’exploiter
(Théorème
les
2
ci-dessous)
hypothèses
de
pla-
titude.
3. Propriétés élémentaires des polycylindres et voisin es privilégiés.
0 ~ F’
PROPQSITION 1.- Soit
cohérents
privilégié
est
une
de
sur
x)
~ F
U.
Si
K
pour
JF’
et
~
F" ~
est
un
0
une
suite exacte de faisceaux analyti-
(resp.
polycylindre privilégié
il l’est aussi
pour F
m
voisinage
et
suite exacte directe.
U’
PROPOSITION 2.- Soient
et
U"
Z* ~1 ~" des faisceaux analytiques
analytiQue cohérent ~
Si
K’
et
K"
de
x’
et
x")
(resp. est
un
=
~’
sur
sont des polycylindres
pour
Cn’
des ouverts de
sur
U
=
U’
e~
par
privilégiés res . des voisinages privilégiés
F’ et F", le polycylindre
voisinage privilégié
de
respectivement.
Définissons le faisceau
U".
U’ X U"
Cn"
et
x
=
(x’,x"))
K = K’ X K"
privilégie
et
F,
pour
est
4. Platitude et privilège.
Si
lytique
f : X’ -~ X
sur
réciproque
X,
on
est
note
un
morphisme d’espaces anàlytiques,y
f~’F
le faisceau
et extension des scalaires.
analytique
sur
X’
et
F
un
faisceau
obtenu par
image
ana-
Soit
on
F
F(s)
note
faisceau
un
le faisceau
d’injection défini
On dit que
Cela
analytique
est
X, où
sur
On
s .
par
F
i*sF
S X X.
sur
i:
Pour tout
point
X ~ S X X
est le
S,
morphisme
a :
si
S-plat
est
F
un 0S,s -module plat
pour tout
de la
( P)
(s,x).
équivaut à
Remarque.
L’égalité (1)
l’équivalence
et
platitude
avec
culières à la dimension finie et n’auraient plus lieu si l’on
espace
analytique banachique.
ce cas
les
THÉORÈME
propriétés
2.- Soient
C’est
des points
et les espaces
(localement
s
S
un
S
de
de Banach
trivial et
LEMME.- Soient
S
aux
faisceaux vérifiant
fondmnentales des faisceaux
espace analytique,
analytique cohérent S-plat sur
S’
de
s
S X
U ,y
tels que K
B(K;F(s))
et
soit
U
prenait
(P)
sont
S
pour
un
que s’étendent dans
plats.
un
K c U
ouvert de
un
Cn, F
polycylindre. L’
F(s)-privilégié
un. faisceau
ensemble
est ouvert dans
sont les fibres d’un fibre vectoriel
analytique) B(K;F)
parti-
S
banachique
sur S’.
un espace analytique et
un
complexe de fibrés
s
de
S
et
vectoriels banachiques sur S . L’ ensemble S’ des oints
S tels que L.~( s) soit direct et acyclique en de~ré > 0 est ouvert dans,
Coker
les espaces de Banach Ho(L*(s))
(L1(s) ~ Lo ( s) ) sont les fibres
=
d’un fibre
vectoriel
Principe
sur
S’ .
de la démonstration du Théorème 2 . Ce
théorème est trivial dans le
est
cas
faisceau libre
un
F(s)
résolution de
une
résolution
forme
T
où
X V,
On
pectivement.
ce
de
L
complexe
F
T
A
et
de
B(K;F(s’))
en
T
a sur
dans
s
ment
se
recollent
PROPOSITION 3.
où
n’
n =
point de
+
U’
en un
Soient
U’
K"
et
tel Que.
un voisinage de
soit
un
et
c
U"
pour
x’
voisinage
est
>
de
point
montre,
S’
que l.on
K,
X
de
et
s
peut
pla-
provient d’une
supposer de la
dans
K
et prenons
utilisant la
en
0
point
au
S
et
U
res-
S
un
voi-
sur un
pour fibre
a
S’est
T’,
de
voisinage
dans
s
et les fibres construits locale-
S’ .
U"
Cnt
des ouverts de
polycylindre. Si.
,pour
de
donc
s,
le fibre
contient
sur
V’),
privilégié
On suppose que F
T’
K"
et
est
F(x’), il existe
tout polycylindre
dans
On
un
faisceau analytique cohérent
un
x")
degré
est ouvert dans
et
un
(s)
de
voisinages
en
sur
S’
fibre
voisinage privilégié de
dans
acyclique
S’
n", et F
K .
s
complexe de fibrés vectoriels :
un
U’
Soit
H. Cartan que cette résolution
sont des
Comme
On montre ainsi que
de
voisinage
T,
S .
r
V
est direct et
sinage T’
et B
sur un
de
voisinage
sur un
titude et les théorèmes
S x X .
sur
K’
pour
K
F
et
=
U’XU"
Soient
C~,
c
x’
privilégié
(resp,
voisinage
V’
K’XK"
=
U.
sur
contenu dans
le polycylindre
(XI,xrt»
un
U
de
un
est
un
x’
V’
res .
soit
privilégié (resp.
B(K;F)
=
ui soit
B(K’;B(K";F)) .
U’-plat.
5. Principe de la démonstration du Théorème 1.
La
on
démonstration
peut supposer
U
se
fait par récurrence
de la forme
U’ X
U",
sur
n :
et poser
identifions
x =
(y’~z"~,
Cn
à
C
X
Cn ;g
On se ramène
par
dévissage grâce à
la
Proposition 1
aux
deux
particuliers
cas
suivants :
(a) m , F 0 , où m , est l’idéal maximal de 0,~, ~ ~ ;
(b) F est un ,0"~~ ,-module sans torsion, donc plat, car
=
anneau
=
est
est
un
principal.
Le
F
,
cas
(a)
Cg~ ~ F(g’),
C.
Le
traite
se
où
(b)
cas
C~~
se
au
moyen de la
proposition
est le faisceau cohérent
traite par la
2
en
sur
remarquant
U’
que
dont la fibre
en
x’
proposition 3.
BIBLIOGRAPHIE
A. DOUADY - Le
problème
d’un espace
l’Institut
des modules pour les sous-espaces
analytiques compacts
analytique donné, Thèse (en cours de soutenance),
Fourier, en cours de parution, §§ 7 et 8.
H. CARTAN - Idéaux de fonctions
scientifiques
de l’Ecole
H. GRAUERT - Ein Theorem der
analytiques
Normale Sup.,
complexes, Annales
t. 61, 1944, 149-197.
de
n
variables
analytischen Garbentheorie
und die Modulräume
komplexer Strukturen, Publ. I.H.E.S., 5, 1960, Bures
édit. Paris.
390
Annales de
s/ Yvette,
P.U.F.