Seconde partie : théorie des modèles

Introduction à la Logique Mathématique
Seconde partie : Théorie des modèles
Itaï Ben Yaacov, Thomas Blossier, Julien Melleray

ii

Table des matières
6 Structures et théories 1
6.1 Structures, langage associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.2 Sous-structures, plongements, isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.3 Langagedu1erordre............................ 6
6.4 Satisfaction des formules du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.5 Ensembles définissables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.6 Théories et leurs modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.7 Extensions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Compacité, Théorème de Löwenheim-Skolem 17
7.1 Enoncés du théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Ultraproduits - Une démonstration du théorème de compacité . . . . . 19
7.3 Théorème de l’extension élémentaire commune . . . . . . . . . . . . . . 21
7.4 Théorème de Löwenheim-Skolem - Théories κ-catégoriques . . . . . . . 21
7.5 Une application du théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8 Types et élimination des quanteurs 25
8.1 Types .................................... 25
8.2 Elimination des quanteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.3 Les corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9 Espaces de types, Saturation, Théorème d’omission 31
9.1 Espacesdetypes .............................. 31
9.2 Types sur des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.3 Saturation.................................. 34
9.4 Théorème d’omission des types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.5 Théories ℵ0-catégoriques.......................... 37
10 Limtes de Fraïssé 39
iii

iv TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 6
Structures et théories
Les théoriciens des modèles s’intéressent aux structures et à leurs ensembles définis-
sables. Ils étudient plus précisément des classes de structures suivant des propriétés
partagées par celles-ci, qui peuvent être par exemple combinatoires ou géométriques.
Dans ce chapitre on présente des notions de base de la théorie des modèles. Les aspects
syntaxiques des langages considérés sont introduits sans être complètement détaillés,
l’essentiel pour les théoriciens des modèles étant le point de vue sémantique.
6.1 Structures, langage associé
Les structures, structures de groupes, de corps ..., sont des objets usuels pour les
mathématiciens contemporains. Dans la première partie du cours, la structure sous-
jacente était réduite à un univers muni d’une unique relation binaire, ∈(et de l’égalité
=). Pour ce cours, nous définissons la notion de structures de la façon suivante :
Définition 6.1.
1. Une structure Mest la donnée d’un ensemble de base ou univers Mnon vide
muni :
– d’une famille (cM
i)i∈Ide constantes, où cM i∈M,
– d’une famille (fM
j)j∈Jde fonctions, où pour tout j∈J,fM jest une fonction
totale de Mnjdans Mpour un entier nj>0,
– d’une famille (RM
k)k∈Kde relations, où pour tout k∈K,RM kest un sous-
ensemble de Mnkpour un entier nk>0.
On supposera de plus qu’une structure est toujours munie de l’égalité, c’est-à-dire
que la diagonale de M2est l’une des relations RM
k. L’ensemble de base Msera
appelé domaine de Met sera souvent noté de la même façon que M.
2. Le langage Lassocié à une structure Mconsiste en :
– un symbole de constante cipour chaque constante cM
i,
– un symbole de fonction fjd’arité njpour chaque fonction fM
j,
– un symbole de relation Rkd’arité nkpour chaque relation RM
k.
1