CHAMP DE PESANTEUR

CHAMP DE PESANTEUR (MOUVEMENT)
En mécanique, on nomme
projectile tout objet lancé
avec une vitesse initiale v0 . L'étude du mouvement
des projectiles est la balistique.
Étude qualitative du mouvement
v0
Étude mathématique du mouvement
z(m)
v0z = v0sin 
G(t)


v0
plan vertical

P
k
O

g

On étudie, dans le référentiel terrestre considéré
galiléen, le mouvement d'un projectile lancé vers le
haut dans le champ de pesanteur terrestre uniforme.
• Vitesse initiale du centre
d'inertie

Le vecteur vitesse initiale v0 du projectile est défini
par sa valeur
v0 et par l'angle de tir , angle du

vecteur v0 avec l'horizontale.
Dans la mesure où les forces exercées par l'air sont
négligeables devant son poids, le mouvement du
projectile est un mouvement de chute libre avec
vitesse initiale.
Dans le référentiel terrestre
considéré galiléen, le

vecteur accélération aG du centre d'inertie G du
projectile est alors égal
à chaque instant au vecteur

champ de pesanteur 
g : 
aG = g
• Trajectoire du centre d'inertie
La trajectoire du centre d'inertie G d'un projectile est
un arc de parabole dans le plan vertical contenant
le point de lancement
G0 du projectile et le vecteur

vitesse initiale v0 .

Si le vecteur vitesse initiale v0 est vertical, l'arc de
parabole se réduit à un segment de droite, parcouru
en montée, puis en descente (seulement en descente si
le projectile est lancé vers le bas).
CLASSEUR Terminale S

g


i
v0x = v0cos 
x(m)
• Choix d'un repère d'espace et d'un repère
de temps
Le repère le mieux adapté à la mise en équations
du



mouvement est le repère orthonormé (O ; i , k ),
d'origine O le pointde lancement
du projectile et de

vecteurs unitaires i et k portés respectivement par
l'axe horizontal Ox et l'axe vertical Oz du plan de la
trajectoire.
On choisit pour origine des dates l'instant de
lancement du projectile.
Les coordonnées du vecteur

vitesse initiale v0 dans ce repère sont :
• Accélération du centre d'inertie
Le
projectile, une fois lancé, est soumis à son poids

P et aux forces exercées par l'air. Dans la plupart
des cas (solide plein dont la vitesse n'atteint pas des
valeurs trop élevées), la poussée d'Archimède et les
forces de frottement fluide sont négligeables devant
le poids.

vG (t)
aG (t)

G

SYNTHESE

v0
 v = x. = v cos 
 0x 0 0

.
 v0z = z 0 = v0sin 
Si le projectile est lancé vers le bas, on a :
v0z = – v0 sin . Il faut alors modifier en conséquence
tous les calculs.
• Équations différentielles du mouvement


En projetant l'égalité vectorielle aG =
axes du repère, il vient :
d2x ..
ax = 2 = x = 0
dt


a
g sur les
d2z ..
= z =–g
dt2
Ces deux équations sont les équations différentielles
du mouvement du centre d'inertie G du projectile.
En les intégrant, et compte tenu des conditions
initiales,
on obtient les 
coordonnées des vecteurs
vitesse vG (t) et position OG (t) à la date t.
z
=

• Coordonnées du vecteur vitesse vG (t)
Une première intégration par rapport au temps donne :
dx .
vx =
= x = cte
 x. = v cos 
dt
0
soit, 
.
.
dz
 z = – gt + v0sin 
vz = = z = – gt + cte
dt
Les constantes d'intégration représentent



.
.
respectivement
les coordonnées x0 et z 0 du vecteur

vitesse vG (t) à la date t = 0.
Agence de CHARLEVILLE MEZIERES
CHAMP DE PESANTEUR (MOUVEMENT)

• Coordonnées du vecteur position OG(t)
Une seconde intégration par rapport au temps donne :
 x = v0tcos  + cte
 x = v0tcos 
 z = – 1gt2 + v tsin  + cte soit z = – 1gt2 + v tsin 
0
0
2
2


Les équations x(t) et z(t) sont les équations horaires
paramétriques.
Les
constantes
d'intégration
représentent
respectivement
les
coordonnées
x
et
z
du vecteur
0
0

position OG (t) à la date t = 0.
• Équation de la trajectoire du centre
d'inertie
L'équation de la trajectoire z(x) s'obtient en
éliminant le temps t entre les équations
x
paramétriques : t =
,
v0cos 
2
x
x
1
d’où z = – g v cos  + v0 v cos  sin 

 0

2  0
On en déduit l'équation de la parabole, du second
g
degré en x : z = –
x2 + x tan 
2v02cos2 
La portée d'un projectile lancé vers le haut est la
distance horizontale d que parcourt le projectile
entre son point O de lancer et son point P d'impact.
La portée d augmente avec la valeur v0 de la vitesse
initiale ; elle est maximale pour un angle de tir de
45°.
Deux projectiles lancés avec des vitesses initiales de
même valeur v0 et des angles de tir 1 et 2
complémentaires (1 + 2 = 90°) ont même portée d.
L'influence de v0 s'applique aisément : plus un
projectile est lancé « fort » (v0 grand), plus il s'élève
(h grand) et plus il retombe loin (d grand).
METHODE
Déterminer la flèche et la portée d’un projectile
z(m)

S vS

v0
• Décomposition du mouvement parabolique
Le mouvement parabolique du centre d'inertie G d'un
projectile résulte de la composition :
– d'un mouvement rectiligne uniforme horizontal
de vitesse v0
cos  (valeur de la composante
horizontale de v0 ) ;
– d'un mouvement de chute libre verticale de
vitesse initiale de valeur
v0sin  (valeur de la

composante verticale de v0 ).

Si la vitesse initiale v0 est verticale, il n'y pas de
mouvement selon l'axe des x : le mouvement se réduit
à un mouvement de chute libre verticale avec vitesse
initiale.
• Flèche et portée d'un projectile
z(m)
 = 45°
3 = 90° – 1
2 = 45°
1 < 45°
O
P1
P2 x(m)
La flèche d'un projectile lancé vers le haut est la
hauteur maximale h que le projectile atteint par
rapport à son point O de lancer.
La flèche h augmente avec la valeur v0 de la vitesse
initiale ; elle est maximale pour un lancer vertical
( = 90°).
CLASSEUR Terminale S
flèche h

O
Importance des conditions initiales
SYNTHESE
P
d/2
d/2
x(m)
portée d
On étudie le mouvement du centre d'inertie G d'un
projectile, lancé vers le haut
depuis le sol horizontal
avec une vitesse initiale v0 . On se propose de
déterminer la flèche h et la portée d = OP de la
parabole à partir des équations horaires paramétriques
du mouvement dans le repère (xOz) :
1
x = v0tcos  et z = – gt2 + v0tsin 
2
• On détermine les coordonnées du
sommet S de la
parabole. En S, le vecteur vitesse vS , tangent à la
trajectoire, est horizontal ; on écrit donc que sa
.
composante verticale est nulle : z S = 0.
• On déduit de l'égalité précédente le temps de
montée tS du projectile en S :
.
v sin 
z S = – gtS + v0sin  = 0, d’où tS = 0
g
• Pour déterminer la flèche h = zS, on reporte tS dans
l'équation horaire de l'ordonnée z :
v0sin 
1 v0sin  2
zS = – g g  + v0 g sin 




2
2
2
2
2
2
v sin  v0 sin  v0 sin2 
zS = – 0
+
=
2g
g
2g
• La parabole est symétrique par rapport à la
verticale passant par son sommet S. Les points O et
P étant à la même altitude, on a : OP = xP = 2xS. Pour
déterminer la portée d = 2xS, on reporte tS dans
l'équation horaire de l'abscisse :
v0sin 
2v 2sin cos 
d = 2xS = 2v0 g cos  = 0


g
v02sin (2)
d=
g
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