CHAMP DE PESANTEUR

CHAMP DE PESANTEUR (MOUVEMENT) SYNTHESE
CLASSEUR Terminale S Agence de CHARLEVILLE MEZIERES
En mécanique, on nomme projectile tout objet lancé
avec une vitesse initiale  v0. L'étude du mouvement
des projectiles est la balistique.
Étude qualitative du mouvement
On étudie, dans le référentiel terrestre considéré
galiléen, le mouvement d'un projectile lancé vers le
haut dans le champ de pesanteur terrestre uniforme.
• Vitesse initiale du centre d'inertie
Le vecteur vitesse initiale  v0 du projectile est défini
par sa valeur v0 et par l'angle de tir , angle du
vecteur  v0 avec l'horizontale.
• Accélération du centre d'inertie
Le projectile, une fois lancé, est soumis à son poids
P et aux forces exercées par l'air. Dans la plupart
des cas (solide plein dont la vitesse n'atteint pas des
valeurs trop élevées), la poussée d'Archimède et les
forces de frottement fluide sont négligeables devant
le poids.
Dans la mesure où les forces exercées par l'air sont
négligeables devant son poids, le mouvement du
projectile est un mouvement de chute libre avec
vitesse initiale.
Dans le référentiel terrestre considéré galiléen, le
vecteur accélération  aG du centre d'inertie G du
projectile est alors égal à chaque instant au vecteur
champ de pesanteur  g :
aG =  g
• Trajectoire du centre d'inertie
La trajectoire du centre d'inertie G d'un projectile est
un arc de parabole dans le plan vertical contenant
le point de lancement G0 du projectile et le vecteur
vitesse initiale  v0.
Si le vecteur vitesse initiale v0 est vertical, l'arc de
parabole se réduit à un segment de droite, parcouru
en montée, puis en descente (seulement en descente si
le projectile est lancé vers le bas).
Étude mathématique du mouvement
• Choix d'un repère d'espace et d'un repère
de temps
Le repère le mieux adapté à la mise en équations du
mouvement est le repère orthonormé (O ;  i ,  k),
d'origine O le point de lancement du projectile et de
vecteurs unitaires  i et  k portés respectivement par
l'axe horizontal Ox et l'axe vertical Oz du plan de la
trajectoire.
On choisit pour origine des dates l'instant de
lancement du projectile. Les coordonnées du vecteur
vitesse initiale  v0 dans ce repère sont :
v0 
v0x = .
x0 = v0cos 
v0z = . z0 = v0sin 
Si le projectile est lancé vers le bas, on a :
v0z = – v0 sin . Il faut alors modifier en conséquence
tous les calculs.
• Équations différentielles du mouvement
En projetant l'égalité vectorielle  aG =  g sur les
axes du repère, il vient :
ax = d2x
dt2 = ..
x = 0
az = d2z
dt2 = ..
z = – g
Ces deux équations sont les équations différentielles
du mouvement du centre d'inertie G du projectile.
En les intégrant, et compte tenu des conditions
initiales, on obtient les coordonnées des vecteurs
vitesse  vG(t) et position  OG(t) à la date t.
• Coordonnées du vecteur vitesse  vG(t)
Une première intégration par rapport au temps donne :
vx = dx
dt = .
x = cte
vz = dz
dt = .
z = – gt + cte soit, 
 .
x = v0cos 
.
z = – gt + v0sin 
Les constantes d'intégration représentent
respectivement les coordonnées . x0 et . z0 du vecteur
vitesse  vG(t) à la date t = 0.
v0
P
G
g
plan vertical
v0
G(t)
g
x(m)
z(m)
v0z = v0sin 
v0x = v0cos 
i
k
O
aG(t)
vG(t)

CHAMP DE PESANTEUR (MOUVEMENT) SYNTHESE
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• Coordonnées du vecteur position  OG(t)
Une seconde intégration par rapport au temps donne :
 x = v0tcos  + cte
z = – 1
2gt2 + v0tsin  + cte soit
 x = v0tcos 
z = – 1
2gt2 + v0tsin 
Les équations x(t) et z(t) sont les équations horaires
paramétriques.
Les constantes d'intégration représentent
respectivement les coordonnées x0 et z0 du vecteur
position OG(t) à la date t = 0.
• Équation de la trajectoire du centre
d'inertie
L'équation de la trajectoire z(x) s'obtient en
éliminant le temps t entre les équations
paramétriques : t = x
v0cos ,
d’où z = – 1
2 g 
x
v0cos 
2 + v0 
x
v0cos  sin 
On en déduit l'équation de la parabole, du second
degré en x : z = – g
2v02cos2  x2 + x tan 
Importance des conditions initiales
• Décomposition du mouvement parabolique
Le mouvement parabolique du centre d'inertie G d'un
projectile résulte de la composition :
– d'un mouvement rectiligne uniforme horizontal
de vitesse v0cos  (valeur de la composante
horizontale de  v0) ;
– d'un mouvement de chute libre verticale de
vitesse initiale de valeur v0sin  (valeur de la
composante verticale de  v0).
Si la vitesse initiale v0 est verticale, il n'y pas de
mouvement selon l'axe des x : le mouvement se réduit
à un mouvement de chute libre verticale avec vitesse
initiale.
• Flèche et portée d'un projectile
La flèche d'un projectile lancé vers le haut est la
hauteur maximale h que le projectile atteint par
rapport à son point O de lancer.
La flèche h augmente avec la valeur v0 de la vitesse
initiale ; elle est maximale pour un lancer vertical
( = 90°).
La portée d'un projectile lancé vers le haut est la
distance horizontale d que parcourt le projectile
entre son point O de lancer et son point P d'impact.
La portée d augmente avec la valeur v0 de la vitesse
initiale ; elle est maximale pour un angle de tir de
45°.
Deux projectiles lancés avec des vitesses initiales de
même valeur v0 et des angles de tir 1 et 2
complémentaires (1 + 2 = 90°) ont même portée d.
L'influence de v0 s'applique aisément : plus un
projectile est lancé « fort » (v0 grand), plus il s'élève
(h grand) et plus il retombe loin (d grand).
METHODE
Déterminer la flèche et la portée d’un projectile
On étudie le mouvement du centre d'inertie G d'un
projectile, lancé vers le haut depuis le sol horizontal
avec une vitesse initiale  v0. On se propose de
déterminer la flèche h et la portée d = OP de la
parabole à partir des équations horaires paramétriques
du mouvement dans le repère (xOz) :
x = v0tcos  et z = – 1
2 gt2 + v0tsin 
• On détermine les coordonnées du sommet S de la
parabole. En S, le vecteur vitesse  vS, tangent à la
trajectoire, est horizontal ; on écrit donc que sa
composante verticale est nulle : . zS = 0.
• On déduit de l'égalité précédente le temps de
montée tS du projectile en S :
.
zS = – gtS + v0sin  = 0, d’où tS = v0sin 
g
• Pour déterminer la flèche h = zS, on reporte tS dans
l'équation horaire de l'ordonnée z :
zS = – 1
2 g
v0sin 
g
2 + v0
v0sin 
gsin 
zS = – v02sin2 
2g + v02sin2  g = v02sin2  2g
• La parabole est symétrique par rapport à la
verticale passant par son sommet S. Les points O et
P étant à la même altitude, on a : OP = xP = 2xS. Pour
déterminer la portée d = 2xS, on reporte tS dans
l'équation horaire de l'abscisse :
d = 2xS = 2v0
v0sin 
gcos  = 2v02sin cos 
g
d = v02sin (2)
g
 = 45°
O
x(m)
z(m)
2 = 45°
3 = 90° – 1
1 < 45°
P1
P2
v0
x(m)
z(m)
O
S
vS
flèche h
P
d/2
d/2
portée d