Utiliser les lois de Newton pour comprendre le mouvement d`un

Thème 2 : Comprendre – Lois et modèles
Temps, Mouvement et Evolution
Utiliser les lois de Newton pour comprendre le mouvement d’un
projectile
On étudie le mouvement d’un projectile M.
Le projectile de masse m = 0,10 kg assimilé à un point matériel M est lancé à t=0 avec un vecteur vitesse V0
de valeur V0= 30 m.s-1 faisant un angle  de 60° par rapport à l’horizontale, à partir d’un point M0 de
coordonnées M0(x0 ; z0).
On cherche à déterminer la trajectoire du projectile dans le référentiel terrestre.
On néglige les frottements sur le projectile. On donne g = 10 m.s-2.
z
S
M
Aide mathématique :
Si f ' x   3 alors f x   3x  cste
3
Si f ' x   3x  2 alors f x   x 2  2 x  cste
2
V0
α
M0
z0
j
O
P
P
i
x
x0
On notera t le temps associé au mouvement du projectile.
I.
Equations horaires du mouvement :
1. Donner les coordonnées du vecteur vitesse initiale V0 en fonction de V0 et α.
2. Faire le bilan des forces sur le projectile. Exprimer les coordonnées de la force dans le repère (O, x, z).
3. En utilisant la 2ème loi de Newton, établir l’expression des coordonnées du vecteur accélération a dans le
repère (O, x, z).
4. Établir l’expression les coordonnées Vx(t) et Vz(t) du vecteur vitesse V dans le repère (O, x, z).
http://www.youtube.com/watch?v=vb2GDgTGa3g
5. Établir l’expression des coordonnées xM(t) et zM(t) du vecteur position OM dans le repère (O, x, z).
6. Que deviennent ces équations si M0 coïncide avec O
7. Dans ces conditions, établir l’équation de la trajectoire zM=f(xM) suivie par le projectile.
De quelle fonction mathématique s’agit-il ?
Dans la suite de l’étude, on se placera dans le cas étudié où M 0 coïncide avec O.
II.
Portée du Tir :
La portée correspond à la distance maximale atteinte par le projectile lorsque celui-ci touche le sol. Ce point
est noté P sur le schéma.
1. Quelle coordonnée du point P connaît-on ?
2. En déduire une équation qui permet de déterminer tP, la date à laquelle le projectile atteint ce point.
Résoudre cette équation et discuter des solutions.
3. Calculer la portée du tir.
III.
Sommet de la trajectoire :
1. Sur le graphique suivant, laquelle des courbes représente Vx(t) et laquelle représente Vz(t) ?
Justifier les signes de Vy(t). Quelle date particulière peut-on placer sur ce graphe ?
t
2. Dessiner le vecteur vitesse V S au sommet S de la trajectoire ?
3. Calculer la date tS à laquelle le projectile atteint le sommet ?
4. En déduire l’expression de y(tS), l’altitude maximale atteinte par le projectile au cours de son mouvement
(=sommet de la trajectoire).
IV.
Etudes de quelques cas particuliers :
1. Exprimer les équations horaires de la vitesse et de la position si α = 90°.
A quoi correspond ce cas particulier ?
2. Etablir les équations horaires dans le cas suivant ; on considèrera que le projectile est en O à t=0 et que la
vitesse initiale V0 est horizontal.
z
j
O i
V0
x
M
P
3. L’ordonnée du point P est -h. Exprimer les conditions mathématiques qui permettent de calculer xP
l’abscisse du point P.