LE DIPOLE RL

LE DIPOLE RL SYNTHESE
CLASSEUR Terminale S Agence de CHARLEVILLE MEZIERES
i
L
r
uL,r
i
L,r
uL,r
La bobine
Une bobine est un dipôle constitué par l'enroulement
cylindrique d'un fil métallique conducteur.
Un solénoïde, utilisé pour l'étude des champs
magnétiques, est une bobine dont la longueur est
grande par rapport au rayon.
Une bobine est caractérisée par son inductance L,
exprimée en henry (H).
Exemples :
– bobines du laboratoire : de 1 mH à 1 H ;
– électroaimants : de 10 H à 1 kH.
On peut augmenter notablement l'inductance d'une
bobine à l'aide d'un noyau de fer doux (cylindre de
fer doux introduit dans le bobinage).
Dans une bobine réelle, l'enroulement possède une
résistance électrique r non nulle (de quelques ohms à
quelques centaines d'ohms). On symbolise donc la
bobine comme suit, en convention récepteur :
ou
Si r = 0, la bobine est dite « parfaite »
La tension uL,r aux bornes d'une bobine réelle étudiée
en convention récepteur vérifie la relation :
uL,r = L di
dt + ri 
UL,r tension en volt (V)
L inductance en henry (H)
i intensité en ampère (A)
r résistance en ohm (Ω)
Cette relation est valable uniquement pour les
bobines sans noyau de fer doux.
– Si l'intensité du courant garde une valeur constante
I 
di
dt = 0 , la bobine se comporte comme un
conducteur ohmique de résistance r.
– Si l'intensité du courant subit une variation rapide
di
dt grand , UL devient très important : c'est le
phénomène de surtension.
Étude expérimentale d'un circuit RL
Un dipôle RL est constitué par l'association en série
d'une bobine réelle (L, r) et d'un conducteur ohmique
de résistance r'. La résistance équivalente de
l'association est : R = r + r'.
• Réponse à un échelon de tension
On considère le circuit schématisé ci-dessous.
À t = 0, on ferme l'interrupteur K : la bobine est
soumise à un échelon de tension. Au bout d'un temps
suffisamment long, on ouvre à nouveau l'interrupteur.
Les variations de l'intensité i du courant fournissent
les graphes :
établissement du courant rupture du courant
– A la fermeture de l'interrupteur, l'établissement du
courant n'est pas immédiat : l'intensité i reste nulle
juste après la fermeture de l'interrupteur, puis croît
ensuite progressivement jusqu'à la valeur limite I0.
– A l'ouverture de l'interrupteur, la rupture du courant
n'est pas immédiate : l'intensité i décroît
progressivement de la valeur I0 à la valeur 0. La
bobine joue alors le rôle d'un générateur.
Dans les deux cas, la tension aux bornes de la bobine
change brusquement de valeur.
L'intensité du courant dans un circuit comportant une
bobine ne subit pas de discontinuité.
Une bobine s'oppose aux variations du courant
électrique dans un circuit.
L'établissement et la rupture du courant
correspondent à un régime transitoire (i varie) ; le
régime permanent est atteint respectivement lorsque
i = I0 et i = 0
• Constante de temps
Le rapport τ = L
R, exprimé en seconde (s), est appelé
constante de temps du dipôle RL. La constante de
temps τ donne un ordre de grandeur de la durée de
l'établissement (ou de la rupture) du courant dans
le circuit.
I0
0
τ
0,37I0
t (s)
i(A)
5τ
I0 = E
R
0
τ
t (s)
i(A)
5τ
0,63 I0
u
uC
r’
K
E
–
+
i
uL,r
L,r

LE DIPOLE RL SYNTHESE
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La constante de temps τ ne dépend pas de l'amplitude
E de l'échelon de tension appliqué.
– Après une durée égale à τ, l'intensité atteint environ
63 % de la valeur maximale I0.
– Après une durée égale à 5τ, on considère que le
régime permanent est atteint.
La constante de temps d'un dipôle RL se détermine
graphiquement de la même manière que la constante
de temps d'un dipôle RC (voir I RC)
La constante de temps τ correspond à l'abscisse du
point d'intersection de la tangente à l'origine à la
courbe i(t) et de l'asymptote horizontale caractérisant
le régime permanent.
• Étude théorique
Etablissement du courant
sous une tension E
Rupture du
courant
équation
différentielle
régissant
l’évolution
de i
τ di
dt + i = E R
τ di
dt + i = 0
expression
de i(t)
i(t) = E
R
t
1e
i(t) = E
R
t
e
expression
de
uL,r (t)
uL,r(t) = E 
1 – r
R
t
e
+ r E
R
uL,r (t) = – r’
R E
t
e
On obtient l'expression de la tension uL,r aux bornes
de la bobine en dérivant i par rapport au temps et en
utilisant la relation : uL,r = L di
dt + ri
Ces résultats sont bien en accord avec les
phénomènes observés expérimentalement
Énergie emmagasinée dans une bobine
Une bobine parcourue par un courant emmagasine
de l'énergie magnétique qu'elle restitue à l'ouverture
du circuit.
Cette restitution peut parfois causer des dégâts,
notamment aux bornes des interrupteurs.
L'énergie magnétique Ebob emmagasinée par une
bobine d'inductance L parcourue par un courant
d'intensité i a pour expression :
Ebob = 1
2 Li² 
Ebob énergie en joule (J)
L inductance en henry (H)
i intensité en ampère (A)
Le stockage et le déstockage de l'énergie ne peuvent
jamais s'effectuer instantanément ; par conséquent,
l'énergie Ebob ne subit pas de variation brutale.
METHODE
Etablir l'équation différentielle de
l'établissement du courant
On considère le circuit électrique schématisé sur
I RC 0. Lors de l'établissement du courant dans la
bobine, l'interrupteur K est fermé à t = 0. La bobine et
le conducteur ohmique sont étudiés en convention
récepteur.
• On applique la loi des mailles au circuit :
u = ur’ + uL,r , soit E = r’i + L di
dt + ri
La loi d'Ohm aux bornes du conducteur ohmique
s'écrit : ur’ = r’i.
• On introduit la résistance équivalente R = r + r' :
E = Ri + L di
dt, d’où E R = i + L R di dt = i + τ di dt
A RETENIR
• la dérivée de x(t) = Ae–at est : dx
dt = (– a)Ae–at.
• Pour effectuer la résolution analytique d'un circuit
R, L soumis à un échelon de tension, il faut :
– faire un schéma et orienter le circuit ;
– établir l'équation différentielle pour i(t) en
appliquant la loi d'additivité des tensions et la
relation : uL = L.di
dt + r.i ;
– pour les solutions des équations différentielles
(fonctions exponentielles souvent précisées dans
l'énoncé), définir les conditions initiales ou finales
permettant de déterminer les constantes ;
– se rappeler que, dans l'expression de la constante de
temps, c'est la résistance totale du circuit qui
intervient : τ = L
Rtotale.
• Lors de l'établissement du courant à l'instant t = 0,
l'intensité est nulle, mais la tension ne l'est pas
( u = L di
dt, avec di dt
0 )
• L'inductance d'une bobine n'intervient qu'en régime
transitoire. En régime permanent, la bobine se
comporte comme une résistance.