UNIVERSITE PEDAGOGIQUE NATIONALE FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE DECONTRACTION GRAVITATIONNELLE ET TROU NOIR Par PATRICK KONGBO NGOSSE Directeur : CIFARHA NYANTANGA 1 PLAN 0. INTRODUCTION 1. GRAVITE : FORMALISMES 1.1. Les champs gravitationnels 1.2. La covariance d’Einstein 1.3. L’invariance de Jauge 1.4. L’Hamiltonien de la Relativité Générale 1.4.1. Einstein-Hamilton-Jacobi 1.4.2. Dérivation du formalisme de Hamilton-Jacobi 1.5. L’Espace-temps quantique : Spinfoam 1.5.1. Concept de la théorie 1.5.2. Formalisme de Spinfoam 2. APPROCHE DU FLOT DE RICCI DANSLA GRAVITE QUANTIQUE 2.1. La Formule d’Entropie pour le Flot de Ricci et La Dérivée d’Entropie de BekensteinHawking 2.2. L'application du Flot de Ricci dans l'équation de Wheeler-DeWitt 3. DECONTRACTION GRAVITATIONNELLE :CHEMIN CONCEPTUEL DE LA THEORIE 3.1. La Relation entre le Spinfoam et le formalisme d’Hamiltonien 3.2. Les Divergences des Ultraviolets 3.3. Les Singularités de l’espace-temps 4. CONCLUSIONS 4.1. L’hypothèse Décontractionnelle 4.2. Les spéculations 2 AVANT-PROPOS Les études théoriques se diffèrent aux études expérimentales rien que par leurs outils utilisés, mais c’est la réalité observée qui les écrasent tous. Et c’est là le problème, parce que si d’autres théories furent rejetées par certains théoriciens, pour la simple raison qu’à l’époque on ne supposait que « la philosophie naturelle » (actuellement la Physique) se fondait d’abord sur les réalités visibles. Et puis, dire que toutes réalités ne sont pas toujours vraies et que certaines théories reflètent la vérité, suppose que, la recherche de la réalité n’est plus primordiale dans la physique théorique et que l’expérience reflète ce qu’on veut voir et non ce qui est vraiment. Il ne faut pas cependant oublier que la validité d’un modèle ne dépend pas du réalisme de ses hypothèses mais bien de la conformité de ses implications avec la réalité. Quoique cela, la physique a rendu des très nombreux services à la recherche de la vérité, jusqu’à avoir certains martyrs. La science a toujours raison, pense-je et la réalité existe vraiment. Alors, que dire du Trou Noir ? Entant que jeune chercheur en physique théorique, je crois que le Trou Noir existe dans l’Univers et pour la plus simple raison qu’il y a eu certaines vérifications qui ont suivi la logique théorique et expérimentale en Physique. Je crois aussi qu’il y a encore beaucoup des choses que nous ne savons pas sur la nature et le rôle du Trou Noir dans l’Univers. Malheureusement, le Trou Noir n’est pas observable à l’œil nu et il ne le sera jamais. Cependant, les meilleurs outils que nous pouvons, au fur du temps, utilisé pour l’étude de cet étrange objet (entité) semble être : La Physique ensemble avec la Mathématique : Plus loin, les deux domaines ont servies comme des outils théoriques pour comprendre la nature du Trou Noir et ses extensions spatiales. Notre imagination et notre rêve : Sans les rêves, les humains ne pouvaient pas voler ou voyager dans l’espace (les grands travaux de grands physiciens ont toujours été inspirés par leurs imaginations et rêves). Ceci peut être le facteur clé pour étudiés sérieusement le Trou Noir. L’Astronomie moderne et les Technologies de l’espace : Avec l’Agence Spatiale Internationale et les autres télescopes déployés dans l’orbite, nous avons l’espoir qu’ils nous révélerons les meilleurs images de l’Univers, incluant quelque mesures indirectes qu’on croit être le Trou Noir. Ceci n’était pas possible il y a 20 ans, d’où l’importance de l’avancement de l’Astronomie moderne et les Technologies de l’espace. Ainsi, ce travail concerne la « Décontraction Gravitationnelle et Trou Noir » comme il est intitulé (le Trou Noir est associé au phénomène inverse de la contraction gravitationnelle par le moyen de l’évolution négative du Flot de Ricci basé sur la Topologie de Grigori Perelman). Il contient quatre chapitres, deux appendices et un index. Le premier chapitre introduit une connaissance de base spécialement pour ceux qui ne sont pas familiarisé avec le sujet du champ gravitationnel. . Le deuxième chapitre introduit la caractérisation de l’espace-temps quantique relativement au flot de Ricci : le cas d’entropie du trou noir et l’espace-temps 3 globalement hyperbolique. Le troisième chapitre est basé sur la recherche des lois qui construisent la théorie proprement dite de ce travail. Les résultats seront donnés dans le chapitre quatre qui est suivit d’une conclusion et une spéculation de ces résultats. Certains renseignements purement mathématiques ont été reportés en appendice sous forme des annexes, pour découper le moins possible l’exposé par des calculs. Ces annexes poursuivent aussi un but documentaire. Le concept de la théorie se focalise sur les problèmes soulevés dans l’univers : Le problème concluant la dimension de l’univers; les bases d’appui des particules dans l’univers (c’est la détermination de l’état du milieu que possède une galaxie) ; le chemin décrivant le parcours de la lumière dans l’univers partant de sa source (c’est la détermination du milieu que les neutrons rebondissent) ; le chemin de la bifurcation de la lumière (c’est la détermination du collisionnaire des particules dans l’univers). En fait, je sais que la rédaction d’un mémoire n’est pas une tâche facile qu’on accomplit dans quelque mois, mais avec la limite de temps repartie en six mois, je suis heureux, en fin, de vous présenté ce travail dans vos mains. Je suis ouvert à tous les commentaires ou suggestions pertinents dans tous les aspects que le lecteur peut avoir dans ce travail. Je peux être facilement contacté via email au : [email protected] et finalement, bonne lecture! Patrick K. Ngosse Kinshasa (RDC), Août 2012 4 REMERCIEMENTS Je remercie mon Dieu d'avoir permis la réalisation de ce projet. Je remercie également mes professeurs pour la pertinence de leurs divers commentaires. Je remercie également tout les membres du département de physique d'avoir accepté de faire partie de ce jury. Je voudrais aussi exprimer ma gratitude à M. CIFARHA, pour avoir accepté d'être mon directeur de mémoire de graduat. J'ai, au cours d’une année de travail, apprécié sa disponibilité, ses conseils, la pertinence de ses questions et ses qualités humaines. Je remercie également M. Jean Tshimanga, avec qui j'ai travaillé en étroite collaboration sur divers problèmes abordés dans ce mémoire. Ses conseils sur la manière de mener à bien l'analyse des données ont été précieux. Mes remerciements vont aussi à tous mes camarades de la promotion pour leur accueil et leur aide. Je remercie en particulier Shekinah, Yannick, Merveil et Gandhi pour m'avoir intégré dans la promotion. Je remercie au passage le personnel administratif et en particulier M. Mata et pour son travail et sa sympathie. Je voudrais aussi remercier les membres de la collaboration du département de physique et en particulier ceux de l'équipe Labo Physique, avec qui j'ai eu des échanges très intéressants et productifs. J'adresse également un remerciement tout particulier à M. Kintenge et M.Katuka pour toutes les discussions fructueuses que nous avons eues. Ma gratitude va également à mes parents et à ma famille pour leur soutien et leurs encouragements. Pour terminer, je voudrais exprimer ici ma gratitude à ma meilleure amie, Blandine Ndeke, pour son soutien, ses encouragements, ses prières et sa patience à supporter les contraintes qui découlaient de ce travail. 5 INTRODUCTION GENERALE L’étude que nous entreprenons se situe au point de convergence de deux théories, celle de la Relativité Générale et celle des Champs Quantiques. Avec le développement des sondes spatiales destinées à la photographie de l’univers à très longue distance de la terre et en particulier la cartographie de toutes les singularités de l’espace-temps, le besoin s’est fait sentir de tenir compte des effets anti-trou noir (la Décontraction Gravitationnelle) sur la métrique d’espace-temps. Pour illustrer deux façons d’en tenir compte, considérons un corps céleste soumis à des perturbations des courbures d’espace-temps. Son équation du mouvement est de la forme : 1 8ߨܩ ܴఓఔ − ܴ݃ఓఔ + Λ݃ఓఔ = ସ ܶఓఔ 2 ܿ (0.1) Où ܴ est une courbure scalaire de Ricci, Λ est la constante cosmologique, ܩest la constante de la gravité et ܿ la célérité. Ces champs ont à l’échelle microscopique une structure granulée, tels qu’ils obéissent à l’équation de Wheeler-DeWitt de la forme : Hம ℏଶ ∂ ∂ ቆ + 2kaቇψ(a, ϕ) + 16πGHம ψ(a, ϕ) = 0 8a ∂a ∂a (0.2) Où est un Hamiltonien de l’oscillation, a et k des contraintes de la métrique. On peut les représenter comme des suites très denses de la courbure scalaire distribuée aléatoirement dans l’espace-temps. La métrique ݃ఓఔ étant une métrique du trou noir, on ne peut traiter cette équation par les procédés ordinaires de l’analyse.1 Cette métrique est de la forme : ଶ ଶ ds = −dt + a ଶ(t) dr ଶ ൭ + r ଶ(dθଶ + sinθ dϕଶ)൱ 1 − kr ଶ (0.3) Deux points de vue sont possibles. Le premier, que nous qualifions quantique, résous la difficulté par une description microscopique convenable des effets anti-trou noir et une étude relativiste de l’effet particulier des interactions qui les composent2. Le second évite toute approche relativiste. On y établit, en accord avec la théorie quantique des champs pour des ensembles de système3. Dans cette optique essentiellement géométrique, une équation du champ, telle que la relation (0.2), a un caractère formel. Elle sert à relier le comportement 1 2 3 6 gravitationnel moyen du système au comportement quantique moyen de l’excitation, ces comportements étant tous deux mesurables. C’est dernier point de vue que nous adoptons pour analyser la relation (0.1), qui représentera ici l’évolution du flot de Ricci sur une métrique dite d’Einstein. C’est une évolution de la courbure scalaire par homothétie, qui se présente comme une singularité de l’espace-temps dans lequel toute variété géométrique subit des variations homothétique suivant l’évolution du flot. Cette propriété permet d’utiliser le flot de Ricci comme l’outil de transformation des singularités. Le passage d’une singularité à une autre est cependant malaisé, l’évolution de la métrique étant très stable. Pour assoupir les conditions de l’évolution du flot de Ricci, on est obligé d’introduire une grande courbure dans la métrique et de réaliser une extinction périodique du flot, par transition de l’amplitude fournie par le réseau des spins au moyen d’un propagateur. L’extinction du flot permet au faible propagateur de prendre effectivement le contrôle de la singularité. Le gain du système n’est alors limité que pour l’amplitude minimum du propagateur nécessaire pour assurer une évolution satisfaisante, compte tenu des perturbations du champ gravitationnel. L’étude ci-après répond aux questions suivantes : a) Quelle est l’influence du flot de Ricci dans la Boucle de la Gravité Quantique ? b) Quelle est l’influence du flot de Ricci dans un espace-temps quantique et espace-temps relativiste ? L’analyse du comportement quantique du flot comprend deux parties. Dans la première nous apportons, une solution simple à l’entropie du trou noir dérivée par Bekenstein-Hawking. On se souviendra que cette entropie avait été introduite de façon tout à fait arbitraire par Bekenstein. C’est l’étude de cette solution qui forme l’essentiel du deuxième chapitre. Dans cette étude, nous tenons compte de la dérivation de l’entropie du trou noir suivant le Boucle de la Gravité Quantique. Nous montrons que l’entropie du trou noir est conservative de la même manière qu’une énergie mécanique d’un système isolé. En particulier, nous montrons, dans le cas où l’espace-temps est globalement hyperbolique, que l’équation de Wheeler-DeWitt possède une contrainte dans le flot de Ricci. Un de ces cas se révélera des plus favorables pour le formalisme de Spinfoam. L’étude proprement dite de notre travail, s’applique sur les diagrammes de Feynman pour une fonction de Green au flot de Ricci et la formation des Singularités. Cette restriction nous permet, à l’instar de beaucoup de chercheurs dans ce domaine, de considérer le comportement des particules exotique sans avoir besoin à résoudre nécessairement les équations qui les caractérisent. 7 Nous complétons ces hypothèses par un ensemble des théorèmes qui nous permettent de détailler les singularités de la Décontraction Gravitationnelle. L’entreprise, si elle se révèle quelque peu ardue, nous permet de combler une lacune révélée dans la littérature et qui concerne l’étude de la relation qui existe entre la gravitation et la théorie des champs quantique. C’est des acquis principaux de ce travail. Nous montrons que les phénomènes gravitationnels sont les grossissements des phénomènes quantiques, et que les phénomènes quantiques sont des réductions des phénomènes gravitationnels. Si nous avons voulu combler quelques lacunes, il reste cependant que, le but principal du travail n’est pas à proprement parler du flot de Ricci. On a surtout voulu montrer la possibilité et les caractères propres d’une étude du comportement géométrique sur une courbure scalaire. 8 CHAPITRE I GRAVITE : FORMALISME « Seules deux choses sont infinies : l'Univers et la bêtise humaine. Mais je ne suis pas sûr pour l'Univers ». A. Einstein 9 Chapitre Premier : Gravitation : Formalisme Le but de ce chapitre est de présenter l’idée générale, sur quoi est basé ce travail et de présenter une image de l’espace-temps quantique qui découle de la loi de la gravitation introduit par A. Einstein, d’une manière heuristique et intuitive. Le style de ce chapitre est donc conversationnel, avec un regard précis et complet. Ainsi, nous permettons au lecteur non familiarisé au sujet de la Relativité Générale et la Mécanique Quantique de comprendre notre démarche de recherche sur la vérification de l’hypothèse Décontractionnelle. 1.1. LES CHAMPS GRAVITATIONNELS Pour comprendre les champs gravitationnels, considérons ceci : soit ܯun espace-temps manifold de quatre dimensions. Les coordonnées en ܯs’écrivent en ݔ, ݔᇱ, …. Où ݔ( = ݔఓ ) = (ݔ, ݔଵ, ݔଶ, ݔଷ) . Les indices ߤ, ߥ = 0, 1, 2, 3 sont des indices de l’espace tangent. Nous dénotons alors, le champ gravitationnel ݁ de la forme unique : ݁ூ(݁ = )ݔఓூ(ݔ݀)ݔఓ (1.1) Avec des valeurs appartenant à l’espace de Minkowski. Les indices ܫ, ܬ, … . = 0, 1, 2, 3 affichent les composants d’un vecteur de Minkowski. Ils augmentent et diminuent avec la métrique de Minkowski ߟூ. Pour décrire le champ gravitationnel, Albert Einstein avait stipulé que le champ gravitationnel devrait être observé comme un champ qui détermine en chaque point d’espace-temps, une portion d’influence dont tous les mouvements sont inertiels4. Pour cela, utilisons des formalismes mathématiques pour comprendre cette intuition. ఓ Considérons une coordonnée arbitraire ݔ( = ݔఓ ). Alors, soit ݔ la coordonnée d’un événement ܣ. Une fois que nos coordonnées arbitraires sont choisies, le mouvement décrit dans ݔఓ n’est pas inertiel, d’une manière générale. Mais au moins, nous pouvons retrouver un mouvement inertiel autour de ܣ. Dénotons la coordonnée à cet endroit ܺ ூ, et ܣcomme son origine, c’est-à-dire ܺ ூ( = )ܣ0, telle que la fonction au coordonné arbitraire ݔassociée au coordonnée s’écrit : ܺ ூ = ܺ ூ()ݔ 4 (1.2) 10 Alors, on définit la Gravité dans ܣcomme étant l’information du changement de coordonné qui nous mène aux coordonnés inertiels5. Cette information est contenue dans la fonction ܺ ூ = ܺ ூ()ݔ. Par le développement de Taylor, l’expansion de la fonction (1.2), devient tout simplement: ܺ ூ(݁ = )ݔఓூ(ݔ )ݔఓ (1.3) Où on définit à cet effet, pour le champ gravitationnel: ݁ఓூ(ݔ ) = డ (௫) డ௫ഋ (1.4) Tel que, la quantité ݁ఓூ(ݔ ) nous donne toutes les informations que nous avons besoin pour savoir où se trouve la zone inertielle locale de ܣ. Cette construction peut se répéter à chaque point de ݔ, alors : ݁ఓூ(= )ݔ డ (௫) డ௫ഋ (1.5) Où ܺ ூ sont maintenant des coordonnés inertiels au point ݔ, qui est le champ gravitationnel en ce point. Le champ gravitationnel ݁ఓூ( )ݔest en effet, une matrice Jacobienne6 du changement des coordonnés de ݔaux coordonnéesܺ ூ, qui est localement inertiel au point ݔ. Le champ ݁ఓூ()ݔ est aussi appelé «tétrade »7, provenant du mot Grec, ce qui signifie « quatre ». 1.2. LA COVARIANCE D’EINSTEIN Si le système de coordonné ܺ ூdéfinit un système inertiel local en un point donné, alors toutes les autres coordonnées agissent de la sorte ; c’est-à-dire ܻ = Λூܺூ, sa forme générale, où Λ est la transformation de Lorentz. Donc, l’index ܫde ݁ఓூ( )ݔse transforme comme l’index de Lorentz sous sa transformation locale d’où les deux champs : ݁ఓூ()ݔ et ݁'ఓூ( = )ݔΛூ(݁)ݔఓூ()ݔ (1.6) La relation (1.6) représente un même champ gravitationnel. Donc, cette description locale de la gravité a une Jauge invariante de Lorentz ou tout simplement une covariance. 5 6 7 11 Ainsi, suivant les autres utres coordonnés ݕ, et ݖon a : ݁'ூఔ(= )ݔ ݁'ூఔ(= )ݔ (௬ డ௫ഋ (௬) డ௬ഌ ݁ఓூ൫)ݕ(ݔ൯ (௭ ூ డ௫ഋ (௭) ݁ఓ ൫)ݖ(ݔ൯ డ௭ഌ Les équations (1.6), (1.7) et (1.8), représentent les propriétés des transformations coordonnés sous lesquelles, tout action action de la Relativité Générale demeure invariante. 1.3. (1.7) (1.8) des L’INVARIANCE DE JAUGE Pour la meilleure compréhension du sens d’un système avec une Jauge invariante, nous évaluerons une définition, celle qui fut formulée par Paul Dirac8. En effet, considérons un système d’une équation d’évolution suivant une évolution de paramètre ݐ. Le système est une « Jauge » invariante, si l’évolution est sous sous-déterminée. C’est-à-dire, dire, s’il y a deux solutions distinctes qui sont égaux pour ݐmoins moins que un certain certain ̂ݐ. Voir la figure en-dessous, dessous, ces solutions sont dites des Jauges équivalentes. Figure 1.1. : La définition de Jauge selon Dirac : deux solutions différentes des équations du mouvement doit être considéré comme des Jauges équivalentes si, elles sont égaux pour ̂ݐ <ݐ. Pour deux solutions dites des Jauges équivalents si elles sont des Jauges équivalentes (comme au-dessus) dessus) à une troisième autre solution. Le groupe de Jauge ࣡ est un groupe qui agit sur un champ physique et décrit des Jauges équivalentes à une une autre. Alors, toute quantité invariante sous la transformation de Jauge qui sont des éléments de la théorie d’une prédiction physique portent le nom de : Jauge Invariantes observable9. 8 9 12 Nous allons illustrer notre définition par cet exemple : Soit le fameux « Lagrangien du monde 10», c’est-à-dire le Modèle Standard. Comme stipule cette théorie, le monde peut être décrit comme un ensemble des champs ݁, ߱, ܣ, ߰, ߮ où (ܷܵ = ܩ3) × ܷܵ(2) × ܷ(1), et ߰ et ߮ sont des multiplets gouvernés par l’action : ܵ[݁, ߱, ܣ, ߰, ߮] = ܵோீ [݁, ߱] + ܵெ [݁, ]ܣ+ ܵ[݁, ߱, ܣ, ߰] + ܵௌ [݁, ܣ, ߰, ߮] = ܵோீ [݁, ߱] + ܵ ௧è[݁, ߱, ܣ, ߰, ߮] (1.9) Toutes les équations du mouvement décrite par l’action (1.9) son invariantes sous trois groupe de transformations de Jauge : a) La transformation de Jauge locale de Yang-Mills b) La transformation de Jauge locale de Lorentz c) La transformation difféomorphisme a) Transformation localeܩ Soit ܩun groupe de Yang-Mills11. Une transformation local ܩs’affiche par l’application ߣ: ܩ → ܯqui agit sur ߰, ߮ et la connection ܣdans la forme connue, lorsque ݁ et ߱ deviennent des invariants : ߣ: ߮ (ܴ ↦ )ݔఝ ൫ߣ()ݔ൯߮()ݔ ߰ (ܴ ↦ )ݔట ൫ߣ()ݔ൯߰()ݔ ܣఓ (ܴ ↦ )ݔ൫ߣ()ݔ൯ܣఓ ( )ݔ+ ܴ൫ߣ()ݔ൯߲ఓ ܴିଵ൫ߣ()ݔ൯ ݁ఓூ(݁ ↦ )ݔఓூ()ݔ ூ ()ݔ ூ ()ݔ ߱ ఓ ↦ ߱ ఓ (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) Où ܴఝ et ܴట sont de représentation de ܩdont ߰ et ߮ lui appartient et ܴ est une représentation adjointe. b) Transformation locale de Lorentz Une transformation locale de Lorentz12s’affiche par l’application ߣ: (ܷܵ → ܯ3,1) qui agit sur ߰, ߮ et la connexion ߱ se comporte comme la transformation locale de YangMills avec le même groupe (ܷܵ = ܩ3,0). Le scalaire ߮ appartient à la représentation triviale ; le fermion ߰ appartient à la représentation de spineur ܵ. Le champ gravitationnel ݁ est transformé suivant la représentation fondamentale. 10 11 12 13 En écrivant explicitement un élément de ܷܵ(3,1) comme ߣூ, nous avons : ߣ: ߮ ()ݔ(߮ ↦ )ݔ ߰ (ܵ ↦ )ݔ൫ߣ()ݔ൯߰()ݔ ܣఓ (ܣ ↦ )ݔఓ ()ݔ ݁ఓூ(ߣ ↦ )ݔூ݁ఓூ()ݔ ூ ()ݔ (ߣ)ݔ( )ݔ+ ߣூ (߲)ݔఓ ߣ ()ݔ ߱ ఓ ↦ ߣூ (߱)ݔఓఋ (1.15) (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) c) Difféomorphismes La troisième et la plus importante de tous les transformations, est l’invariance sous difféomorphismes13. Un difféomorphisme de la transformation de Jauge s’affiche par une application inversible ߶ : ܯ → ܯ, qui n’agit pas localement sur tous les champs par attraction, mais suivant la forme de leur caractère : ߰ et ߮qui ont une forme nulle, ݁, ߱ et ܣont une forme unique : ߶ : ߮ (߮ ↦ )ݔ൫߶()ݔ൯ ߰ (߰ ↦ )ݔ൫߶()ݔ൯ ܣఓ (↦ )ݔ డథ ഌ(௫) డ௫ഋ ݁ఓூ(↦ )ݔ ூ ()ݔ ߱ ఓ ↦ ܣఔ൫߶()ݔ൯ డథ ഌ(௫) డ௫ഋ డథ ഌ(௫) డ௫ഋ ݁ఔூ൫߶()ݔ൯ ߱ ఔ ൫߶()ݔ൯ (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) Ces trois groupes d’équations envoient des solutions à des équations du mouvement vers les solutions des équations du mouvement14. Ils sont appelés des transformations de Jauge, tout simplement parce que nous pouvons prendre ces transformations pour qu’elles soient des identités avant une coordonnée de temps ̂ݐdonné et différent de l’identité après15. Donc, ils sont responsables de la sous-détermination d’une équation de l’évolution. 13 14 15 14 1.4. L’HAMILTONIEN DE LA RELATIVITE GENERALE 1.4.1. Einstein-Hamilton-Jacobi La Relativité Générale peut être exprimée en terme d’un champ complexe ܣ (߬ ⃗)16 et du troisième réel du champ d’un moment ܧ(߬ ⃗)17, définit dans un espace à trois dimension ߪ sans limite, satisfaisant aux conditions de réalité : ప ത ܣ + ത ܣതത = Γ []ܧ (1.25) ܲூ݁ூ ∧ ൫ܨ + ߣܲ ݁ ∧ ݁൯= 0 (1.26) Ainsi, en termes de ܣ (߬ ⃗), l’équation d’Einstein s’écrit : Où ܨ = ݀ܣ + ߳ ܣ ܣest la courbure de ܣ. Alors, on retrouve l’équation de l’action de ܣ, par la formulation de Euler-Lagrange : ܵ[݁, = ]ܣ 1 න ൫݅ܲூ݁ூ ∧ ݁ ∧ ܨ + ߣ߳ூ݁ூ ∧ ݁ ∧ ݁ ∧ ݁ ൯ 16ߨܩ (1.27) La théorie est définie par l’Hamiltonien du système : ܦ ܧ = 0 ܧ ܨ =0 (1.28) (1.29) ܨܧ ܧ = 0 (1.30) ܦ ݒ = ߲ ݒ − ߳ܣ ݒ (1.31) Où ܦ et ܨ sont des dérivées covariantes et leur courbure au champ ܣ est définie par : ܨ = ߲ ܣ − ߲ܣ + ߳ܣ ܣ (1.32) Les équations (1.28), (1.29) et (1.30) peuvent être obtenues directement à partir l’analyse d’Hamiltonien de l’action (1.27)18. Le système d’Hamilton-Jacobi en terme fonctionnel de ܵ[ ]ܣpar l’expression dans un système d’Hamiltonien: ఋௌ[] ܧ(߬ ⃗) = ఋ (ఛሬ⃗) ೌ 16 17 18 (1.32) 15 De la première de deux équations, nous obtenons : ఋௌ[] ఋௌ[] ܦ ఋ (ఛሬ⃗) = 0, ܨ(߬ ⃗) ఋ (ఛሬ⃗) = 0 ೌ (1.33) ೌ Ce qui exige que ܵ[ ]ܣsoit invariant sous la transformation difféomorphisme locale ܱܵ(3). Alors, la dernière lecture devient: ܨ(߬ ⃗) ߜܵ[]ܣ[ܵߜ ]ܣ =0 ߜܣ (߬ ⃗) ߜܣ(߬ ⃗) (1.34) Voici l’équation d’Hamilton-Jacobi de la Relativité Générale, qui définit sa dynamique19. 1.4.1.1. Les champs à 3 dimensions La question qu’on peut se poser est de savoir quelle est la relation entre un champ à 4 dimensions et un champ de 3 dimensions ? *Cette question est très importante dans le concept de la généralisation des champs à trois dimensions vers un champ à quatre dimensions. (Voir le chapitre trois). En effet, pour répondre à cette question, nous considérons une solution d’équation d’Einstein (1.26), de la forme ቀ݁ఓூ()ݔ, ܣఓ ()ݔቁ. Choisissons une surface à 3 dimensions ߪ: ߬ ⃗ = (߬ ) ↦ ݔఓ (߬ ⃗) sans ses limites aux coordonnés de l’espace, un champܣ à 4 dimensions, une surface de deux forme à 4 dimensions Σ de Plebanski20, et enfin un champ gravitationnel ݁ூ induisant une forme à 3 dimensions sur ߪ: ܣ(߬ ⃗) = ܣ (߬ ⃗)݀߬ (߬ Σ (߬ ⃗) = Σ ⃗)݀߬ ∧ ݀߬ ݁ூ(߬ ⃗) = ݁(߬ ⃗)݀߬ (1.35) (1.36) (1.37) (߬ ܧ(߬ ⃗) = ߳Σ ⃗) (1.38) Les champs à 3 dimensions ܧest défini un vecteur-densité associé au Σ , qui s’écrit : Ecrivons l’expression du champ gravitationnel ݁ூ(߬ ⃗) = ቀ݁(߬ ⃗), ݁(߬ ⃗)ቁ. Choisissons une Jauge avec : ݁(߬ ⃗) = 0 19 20 (1.39) 16 Il est facile de voir que dans cette Jauge ܧ(߬ ⃗) est réel et ܧ(߬ ⃗) = భమ߳߳݁(߬ ⃗)݁(߬ ⃗) (1.40) ݀݁ + Γ[݁ ∧ ]ܧ = 0 (1.41) Ainsi, la connexion Γ [߬(]ܧ ⃗) = ߳Γ[߬(]ܧ ⃗) utilisé dans (1.25) et qui est défini par : Qui se résout par : Γ = భమ ݁൫߲ ݁ − ߲ ݁ + ߲݁݁ ݁൯ (1.42) Ceci représente une connexion du spin21de la triade ݁ et dans ce Jauge les deux quantités ܣ (߬ ⃗) et ܧ (߬ ⃗) définies par (1.35) et (1.36) satisfont aux conditions (1.25). 1.4.2. Dérivation du formalisme d’Hamilton-Jacobi 1.4.2.1. Connexion complexe ࡿࡻ() Considérons l’espace Σ avec les coordonnés൫ݔఓ , ܣఓ , ݁ఓூ൯, où ܣఓ est un complexe, et ݁ఓூ est un réel. Définissons maintenant une différentielle de la Jauge covariante agissant sur tous les quantités avec un indice interne de façon : ݒܦ = ݀ݒ + ߳ ܣఓ ݔ݀ ݒఓ (1.43) Et ܣܦఓ = ݀ܣఓ + ߳ ܣఔܣఓ݀ݔఔ (1.44) La Relativité Générale s’est définie, alors par la forme : ߠ = ܲூ ݁ூ ∧ ݁ ∧ ܣܦ (1.45) En effet, les orbites ቀݔఓ , ܣఓ (ݔఓ ), ݁ఓூ(ݔఓ )ቁ de ߱ = ݀ߠ satisfont à l’équation d’Einstein de la forme : ݁ூ ∧ ൫݀݁ + ܲூܣ ∧ ݁൯= 0 21 (1.46) 17 ܲூ݁ூ ∧ ݁ ∧ ܨ = 0 (1.47) Où ܨఓఔ est la courbure de ܣఓ. Cette formulation d’équation d’Einstein représente une formulation canonique de la Relativité Générale sur une configuration d’espace fin au long d’une ligne. 1.4.2.2. Connexion réel ࡿࡻ(, ) Soit ܶ un espace sur lequel les champs ݁ et ߱ prennent des valeurs. Ceci est un espace de dimension (16 + 24) avec les coordonnées ൫݁ఓூ, ߱ఓூ൯. Soit Σ = ܶ × ܯun espace de dimension(4 + 16 + 24) avec les coordonnées ൫ݔఓ , ݁ఓூ, ߱ఓூ൯. Considérons la forme définie sur cet espace: ߠ = ߳ூ݁ఓூ݁ఔ ߱ܦఘ ∧ ݀ݔఓ ∧ ݀ݔఔ ∧ ݀ݔఘ (1.48) ூ ߱ܦఘ = ݀߱ఘ + ߱ ఙூ ߱ఘ ݀ݔఙ (1.49) ݀ߠ(ܺ) = 0 (1.50) ߛ = ቀݔఓ , ݁ఓூ()ݔ, ߱ఓூ()ݔቁ (1.51) Alors, la covariante différentielle ܦest définie par : Cette structure définie la Relativité Générale comme suite : Si on considère une surface à quatre dimensions ߛ dans Σ, et que si ߛ est une orbite de ߱ alors la quadri tangent ܺ à l’orbite a la forme ߱ = ݀ߠ, tel que: Les orbites de ߱ sont les solutions d’équation d’Einstein22. Et si nous utilisons ݔcomme cordonné de ߛ , alors nous avons une représentation de la forme : 1.4.2.3. Dérivation Soit ߙ une surface à 3 dimensions dans ܥሚ. Ainsi, ߙ = ൣݔఓ (߬ ⃗), ܣఓ(߬ ⃗)൧, où ߬ ⃗ = (߬ଵ, ߬ଶ, ߬ଷ) = (߬ ). On définit la fonction ܵ[ߙ] = ∫ఊ ߠ 22 (1.52) 18 Où ߛ est une surface à 4 dimensions dans Σ qui est une orbite ݀ߠ, et donc une solution de l’équation du champ, et telle que la projection de ses frontières à ܥሚest tout simplement ߙ. De la définition (1.45), on a : ߜܵ[ߙ] = ܲூ߳ఓఔఘఙ ݁ఘ(߬ ⃗)݁ఙூ(߬ ⃗)ߟఔ(߬ ⃗) ߜܣఓ(߬ ⃗) Qui nous donne : ఋௌ[ఈ] (1.53) ߟఔ(߬ ⃗) ఋ (ఛሬ⃗) = 0 (1.54) ܣ (߬ ⃗) = ߲ ݔఓ (߬ ⃗)ܣఓ(߬ ⃗) (1.55) ഋ C’est suivant que la dépendance de ܵ[ߙ] sur ܣఓ(߬ ⃗) soit à travers la restriction de ܣ(߬ ⃗) à la 23 surface tridimensionnelle ߙெ . C’est-à-dire à travers les composants : Ainsi, nous avons l’action : ܵ[ߙ] = ܵൣݔఓ (߬ ⃗), ܣఓ (߬ ⃗)൧≡ ܧ(߬ ⃗) Et ߜܵ[ߙ] = ܲூ߳ఔ߲ݔఘ (߬ ⃗)߲ݔఙ (߬ ⃗)݁ఘ(߬ ⃗)݁ఙ (߬ ⃗)ߟఔ(߬ ⃗) ≡ ܧ(߬ ⃗) ߜܣఓ (߬ ⃗) Donc ܧ est le moment conjugué de la connexion ܣ . (1.56) Pour ߟఓ = (1,0,0,0) et ܧ = ߳Σ (1.57) (1.58) En suivant la connexion réelle ܱܵ(3,1), la partie réelle de cette équation s’écrit : ℜܧ = ߳߳݁݁ = ݀݁݁)݁(ݐ Ce qui forme une triade inverse de densité. En suivant la connexion imaginaire ܱܵ(3,0), la partie imaginaire de cette équation s’écrit : ॅܧ = ߳݁݁ 23 (1.59) 19 Donc, en utilisant (1.56) dans la dérivation, nous obtenons les trois équations de HamiltonJacobi de la Relativité Générale : ఋௌ[ఈ] ܦ ఋ (ఛሬ⃗) = 0 (1.60) =0 (1.61) ഋ ఋௌ[ఈ] ܨ ሬ ⃗) ఋ ഋ (ఛ 1.5. ܨ(߬ ⃗) ߜܵ[ߙ] ߜܵ[ߙ] =0 ߜܣ (߬ ⃗) ߜܣ(߬ ⃗) (1.62) L’ESPACE-TEMPS QUANTIQUE : SPINFOAM La mécanique classique admet deux différentes sortes de formulation : Hamiltonienne et Lagrangienne (nous n’avons jamais compris le pourquoi)24. Ces formulations ont des différentes virtus, tels que les calculs faciles dans l’un est difficile dans l’autre. En générale, le formalisme de Lagrangien est simple, intuitive et garde les symétries et aussi les covariances. Mais, le formalisme d’Hamiltonien est plus général, plus puissant et très rigoureux. Donc, la situation idéale, serait de maitriser une théorie dans les deux formalismes, comme disait R. Feynman25. Dans cette partie, nous voulons introduire une discussion de la somme partielle des Lagrangien dans la Boucle de la Gravité Quantique26 (Loop Quantum Gravity-LQG). Cette formulation évolue aujourd’hui sous le nom de « Formalisme de Spinfoam »27. Le but du formalisme de Spinfoam est de fournir un outil de calcul de transition d’amplitude dans la Gravité Quantique. Le Spinfoam peut être compris comme une surface créée par un réseau de spin28. Il représente en soit un espace-temps, dans le même sens qu’un réseau de spin qui représente un espace. 1.5.1. Concept de la théorie Considérons un propagateur de Feynman ܹ (ݔ, ݐ, ݔᇱ, )'ݐ29, (c’est-à-dire un propagateur qui contient toute les informations dynamiques sur un système quantique) qui peut s’obtenir |ݔ, ݐ ⟩, tels comme un élément de la matrice d’un opérateur de la projection ܲ entre les états que le propagateur s’écrit : 24 25 26 27 28 29 20 ܹ (ݔ, ݐ, ݔᇱ, ݔ⟨ = )'ݐ, 'ݔ|ܲ|ݐ, ࣥ⟩'ݐ (1.63) ܹ (ݔ, ݐ, ݔᇱ, ݁])ݐ(ݔ[ܦ ∫ ≈ )'ݐௌ[௫] (1.64) Où l’indiceࣥ = ܮ²[ܴ², ݀ ]ݐ݀ݔest la forme cinétique de l’énergie dans l’espace d’Hilbert. Ceci, peut être aussi exprimé comme un intégral chemin : ௧ Où l’exposant ܵ[∫ = ]ݔ௧ᇱℒ൫)ݐ(ݔ, )ݐ( ̇ݔ൯݀ݐ désigne une action suivant le chemin (ݔᇱ, )'ݐà (ݔ, )ݐ. (1.65) ∫ ܦൣ݃ఓఔ()ݐ൧݁ௌಸೃ[] (1.66) Alors, le fait d’introduire un intégral chemin dans la Gravité Quantique consiste à appliquer l’intégrale dans les métriques ݃ఓఔ à 4 dimensions : Tel que le propagateur prend la forme ܹ (݃, ݃') et l’action ௧ ܵீோ[] = ∫௧ᇱℒ ቀ݃ఓఔ()ݐ, ݃̇ ఓఔ()ݐቁ݀ݐ. (1.67) D’où, la formulation de l’intégral chemin dans la Gravité Quantique devient : (௧),̇ ഋഌ(௧)ቁௗ௧. ܹ (݃, ݃ᇱ) ≈ න ܦൣ݃ఓఔ()ݐ൧݁∫ᇲℒቀഋഌ 1.5.1.1. (1.68) Transition des amplitudes entre un réseau des spins Considérons un oscillateur harmonique assujetti à une force extérieure ou à une petite perturbation non-linéaire. Au lieu de rechercher son amplitude ܹ (ݔ, ݔ ;ݐᇱ, )'ݐde mesure ݔ donnée ݔᇱ, nous recherchons la probabilité de son amplitude ܹ (ܧ, ݐ, 'ܧ, )'ݐde mesure de ses énergies non-perturbatrices ܧ. Alors, nous avons l’expression : ᇲ ܹ (ܧ, ݐ, 'ܧ, = )'ݐൻܧห݁ିுబ൫௧ି௧ ൯ห'ܧൿ (1.69) |ܧ ⟩ est l’énergie du système non-perturbatrice, avec la valeur de ܧ, et ܪ est un Où Hamiltonien non-relativiste30. Mais l’énergie elle-même est quantifiée de manière : ܧ = ܧ tel |݊ ⟩ = |ܧ ⟩ . Ainsi (1.69) devient: que ᇲ ܹ (݊, ݐ, ݊', ܧ( ܹ ≡ )'ݐ, ݐ, 'ܧ, = )'ݐൻ݊ห݁ିுబ൫௧ି௧ ൯ห݊'ൿ 30 (1.70) 21 Si maintenant, nous considérons (1.68) comme le propagateur du système, alors ce dernier nous définira les transitions des amplitudes entre les états de ces trois géométries : là où on trouve une structure discrète qui se représente par le réseau des spins. Donc, nous disons que le propagateur dans la Gravité Quantique doit être une fonction de réseaux des spins. 1.5.1.2. L’Histoire du réseau des spins Le concept de l’histoire du réseau des spins peut se comprendre par cette illustration : Considérons un propagateur ܹ (ݏ, )'ݏ, qu’on peut exprimer de manière ܹ (ݏ, ࣥ⟩'ݏ|ܲ|ݏ⟨ = )'ݏ (1.71) Où l’opérateur de projection ܲ = lim ݁ିு௧ ௧⟶ஶ (1.72) Figure 1.5.1. : la surface de l’action de H sur un réseau des spins |݊ ⟩ est une base sur laquelle les diagonaux ܪet ܧ correspondent aux valeurs d’état, Or, si alors : |݊ ⟩݁ିா ௧⟨ |݊ ⟩⟨ ܲ = lim ݊|= ߜ, ܧ ݊| ௧⟶ஶ (1.73) Lorsque H est une fonction d’un espace de coordonnéeݔ ⃗, alors on écrira formellement : ܲ = lim ෑ ௧⟶ஶ D’où le propagateur devient : ݁ିு (௫)௧ = lim ݁ି ∫ ௗ ௧⟶ஶ ܹ (ݏ, ݏᇱ) = lim ൻݏห݁ି ∫ ௗ ௧⟶ஶ య௫ య௫ ு (௫)௧ ு (௫)௧ หݏᇱൿࣥ (1.74) (1.78) 22 Mais, si nous définissons le propagateur quadridimensionnel généré par l’Hamiltonien ܪ d’une différentielle-invariant, alors nous obtiendrons : భ ܹ (ݏ, = )'ݏർݏቚ݁ି ∫బ ௗ௧∫ ௗ య௫ ு (௫)௧ ቚ'ݏ (1.78) ࣥ |ݏ ⟩⟨ En insérant l’identité 1 = ∑௦ |ݏdans la forme étendue de (1.78), nous obtenons l’expression : ܹ (ݏ, = )'ݏlim ௧⟶ஶ ൻݏห݁ି ∫ ௗ య௫ ு (௫)௧ หݏேᇱ ൿࣥ ൻݏห݁ି ∫ ௗ ௦భ….௦ಿ ି ∫ ௗయ௫ ு (௫)௧ … ൻݏห݁ ห'ݏൿࣥ య௫ ு (௫)௧ หݏேᇱିଵൿࣥ (1.79) Donc, on peut bien voir cette somme comme une somme de séquences des longueurs arbitraires du réseau des spins31 et le résultat est que la transition d’amplitude n’est pas exprimée comme un intégral d’un champ de 4 dimensions mais un peu comme une somme à des séquences ou des histoires ߪ = (ݏ, ݏே , … , ݏଵ, )'ݏdu réseau des spins : ܹ (ݏ, ݏᇱ) = )ߪ(ܣ ఙ (1.80) Alors, l’amplitude associée à une histoire ߪ = (ݏ, ݏே , … , ݏଵ, )'ݏest un produit des termes : = )ߪ(ܣෑ ఔ ܣఔ(ߪ) (1.81) Où ߥ représente les étapes de l’histoire, et ܣఔ(ߪ) est déterminé par les éléments des matrices : ൻݏାଵห݁ି ∫ ௗ య௫ ு (௫)௧ หݏ ൿࣥ (1.82) En résumé : nous pouvons écrire ܹ (ݏ, )'ݏcomme une somme de chaque chemin du réseau des spins ; les chemins sont générés par les étapes individuelles ; l’amplitude de chaque étape est déterminée par les éléments de la matrice correspondante de ܪ: l’amplitude d’une histoire est le produit des amplitudes individuelles des étapes. 1.5.1.3. Les Spinfoams En dépit de notre discussion précédente, nous formulons donc que : une histoire ߪ = (ݏ, ݏே , … , ݏଵ, )'ݏd’un réseau des spins s’appelle un Spinfoam. 31 23 Pour comprendre cela, considérons ceci : Imaginez un espace à 4 dimensions dans lequel le graphe d’un réseau des spins ݏest imbibé. Maintenant, imaginez que ce graphe se déplace au long du coordonnée « temps » d’un quadridimensionnel tout en décrivant une nappe, qui change à chaque étape généré par ܪ. Appelons les « faces » les surfaces des liens des graphes et dénotons-les dénotons les par ݂. Appelons les « coins » les points de rencontre des lignes de d graphe, et dénotons-les par ݁ ݁. Figure 1.5.2.: la forme thêta du réseau des spins Si l’Hamiltonien agit sur les pôles, les étapes individuelles dans une histoire peuvent être représentées comme un débranchement des « coins », qui changent localement lement le nombre des pôles. Nous appelons « vertiges » les points de branchement des « coins », et dénotons-les par ݒ.Alors, .Alors, les actions d’Hamiltonien peuvent se représenter par ces trois dessins ci ci-dessous: Figure1.5.3 : Un vertex d’un Spinfoam Figure 1.5.4: Un réseau des spins avec un seul vertex Figure 1.5.5: Un réseau des spins avec deux vertex. C’est ça, un double-complexe complexe avec une représentation j associé à chaque face et un pôle iୣ, associé à chaque coine. 24 A travers ces dessins, nous pouvons dire qu’un réseau des spins n’est pas défini seulement par ses graphes, mais aussi par la coloration de ses liens (représentations) et ses pôles. En conséquence, le double-complexes Γ32 déterminé par une séquence du réseau des spins est coloré par des représentations irréductibles ݆, associés aux faces, et aux pôles ݅ associés aux coins. La définition exacte d’un Spinfoam, ߪ = ൫߁, ݆, ݅൯ est le double-complexe ߁, avec les faces colorées et les coins. 1.5.2. Le formalisme des Spinfoam A présent, nous sommes prêts à donner une définition générale de la théorie de Spinfoam. Les précédentes discussions ont montré que la formulation de la somme de chemin dans la Gravité Quantique peut être comprise comme la somme de Spinfoam des amplitudes donné par les produits des amplitudes des vertex33. Considérons une somme défini comme suit : ܼ = इ (Γ) ෑ ܣఔ൫݆, ݅൯ , ఔ (1.83) La fonction ܣఔ൫݆, ݅൯est appelé amplitude de vertex qui est une amplitude associé à chaque vertex ߥ. C’est une fonction d’adjacent de couleur du vertex. Le facteur इ (Γ) désigne un facteur de poids qui dépend seulement au double-complexeΓ. Mais, il est très conviviale d’écrire l’expression (1.83) de la forme étendue : ܼ = इ ൫Γ(ߪ)൯ ෑ , ܣ൫݆൯ෑ ܣ൫݆, ݅൯ෑ ఔ ܣఔ൫݆, ݅൯ (1.84) Avec les amplitudes ܣ et ܣ associé aux faces et coins, quoique cela fut inclus dans la définition de ܣఔ. Plus souvent, le modèle la plus considérée de ܣ൫݆൯ est sa dimension ݀݅݉ ൫݆൯ pour la représentation ݆. D’où nous avons (en utilisant la notation de ߪ = ൫Γ, ݆, ݅൯), ܼ = इ ൫Γ(ߪ)൯ ෑ 32 33 , ݀݅݉ ൫݆൯ෑ ܣ൫݆, ݅൯ෑ ఔ ܣఔ൫݆, ݅൯ (1.85) 25 Voici l’expression générale que nous allons prendre comme la définition du formalisme de Spinfoam. Voici le choix des éléments qui définissent un « modèle de Spinfoam » : a) Un ensemble des double-complexes Γ, et associé au poids इ (Γ), b) Un ensemble des représentations et des pôles ݆et ݅, c) Une amplitude de vertex ܣఔ൫݆, ݅൯et une amplitude des coins ܣ൫݆, ݅൯ Plus loin, nous allons étudier les relations entre ces modèles et la gravité. Généralement, le choix c) de l’amplitude de vertex correspond au choix de la forme spécifique de l’opérateur d’Hamiltonien dans la théorie de canonique. Ainsi, nous proposons une table de terminologie utilisée pour dénoter les éléments du réseau des Spins, Spinfoam et Triangulation (qui jouera un rôle plus tard au chapitre quatre) : Table 1.5.1: Terminologie Réseau des Spins Spinfoams Triangulation 0d pôle vertex point 1d lien coin segment 2d 3d 4d face triangle tétrahedron 4-simplexe Note : Notion bordure pour les Spinfoams La bordure d’un Spinfoamߪ est un réseau des spins ݏ. Si ߪ est bondé par le réseau des spins ݏ, alors nous écrivons :߲ߪ = ݏ. Ainsi, la relation entre (1.85) et la transition d’amplitude est obtenue par la sommation des Spinfoams avec la bordure donnée : ܹ ( = )ݏ డఙୀ௦ इ ൫Γ(ߪ)൯ෑ ݀݅݉ ൫݆൯ෑ ܣ൫݆, ݅൯ෑ ఔ ܣఔ൫݆, ݅൯ (1.86) En particulier, si le réseau des spins ݏest connecté, cela sera interprété comme l’Etat du Champ Gravitationnel sur une bordure connectée d’une région de l’espace-temps. Si la bordure du réseau des spins est composé de deux éléments connectés ݏet ’ݏ,cela sera interprété comme la transition d’amplitude entre deux états quantiques d’un champ gravitationnel alors nous écrirons : ܹ (ݏ, = )'ݏ इ ൫Γ(ߪ)൯ෑ డఙୀ௦∪௦ᇱ ݀݅݉ ൫݆൯ෑ ܣ൫݆, ݅൯ෑ ఔ ܣఔ൫݆, ݅൯ (1.87) A la dernière de partie de notre travail, il s’agira d’élucider la transition d’amplitude suivant le formalisme. 26 CHAPITRE II L'APPROCHE DUFLOT DE RICCI DANS LA GRAVITE QUANTIQUE « La science n'est rien de plus qu'un raffinement de la pensée ordinaire. » A. Einstein 27 Chapitre Deuxième : Approche du Flot de Ricci dans la Gravité Quantique Dans ce chapitre, nous voudrons indiquer ce que pourrait être une théorie des caractérisations d’espace-temps quantique relativement aux flots de Ricci34. Après avoir défini un cadre général d’étude, nous donnons dans chaque cas, à titre d’apport, un certain nombre de résultats et leurs interprétations concrètes, relevant de l’application du flot de Ricci dans la Gravité Quantique. Le style de ce chapitre est donc démonstratif avec un regard précis. 2.1. LA FORMULE D’ENTROPIE POUR LE FLOT DE RICCI ET LA DERIVE D’ENTROPIE DE BEKENSTEIN-HAWKING 2.1.1. Approche de la dérivation de Bekenstein-Hawking Le fait qu’un Trou Noir peut avoir des propriétés thermiques provient de la Relativité Générale classique35. En 1972, Stephen Hawking prouva par un théorème établissant que l’équation d’Einstein implique qu’une zone d’horizon des événements du trou noir ne peut pas décroitre36. Peu de temps après, Bardeen, Carter et Hawking lui-même37, montra que le trou noir de la Relativité Générale obéissait à un ensemble des lois ressemblant fortement aux principes de la thermodynamique. Impressionné par cette analogie, Bekenstein suggéra que nous pouvons associer une entropie38 : ܵு = ܽ ℏீಳ ܣ (2.1) au trou noir de Schwarzschild de la surface de ܣ. Ici ܽ est une constante d’ordre unité,݇ la constante de Boltzmann, et la vitesse de la lumière est égale à unité (unité géométrisée). La présence de ℏ est essentiel pour l’équivalence dans l’équation dimension. La suggestion de Bekenstein était que, pour la seconde loi de la thermodynamique on devrait l’étendre aussi sur la physique du trou noir : « l’Entropie totale qui ne décroit pas par rapport au temps est simplement la somme des Entropies Ordinaires avec l’entropie du trou noir ࡿࡴ ». En effet, on sait que l’énergie ܯde la zone ܣautour d’un trou noir de Schwarzschild est donné par : 34 35 36 37 38 28 = ܯට ଵగீమ (2.2) Or, la relation standard en thermodynamique entre l’énergie et l’entropie est : ௗௌ ܶିଵ = ௗா (2.3) En remplaçant la relation (2.1) dans (2.3) et (2.2) dans (2.3), on a la relation de la température du trou noir dérivée par Bekenstein: ܶିଵ = ℏ ܽ32ߨ݇ܯܩ (2.4) Mais peu après, Hawking dériva précisément l’émission thermique39 du trou noir, en utilisant la méthode de la Théorie Quantique du Champ sur un espace-temps courbe, et a trouvé la ଵ température de l’émission en prenant la constante ܽ = ସ: ℏ Et l’équation (2.1) devient : ܶିଵ = ଼గீெ ܵு = ସℏீ (2.5) (2.6) Nota: indices BH signifie Bekenstein-Hawking Parallèlement, la thermodynamique du trou noir a été développée en utilisant la Boucle de la Gravité Quantique (LQG : Loop Quantum Gravity)40 parce que la LQG est (soit disant) la seule théorie quantique de la gravité où ces résultats peuvent être trouvés. En effet, l’entropie du trou noir est donnée par : ܵு = ݇ ln ܰ ()ܣ (2.7) Où ܰ ( )ܣest le nombre des états que la géométrie de la surface dans la zone ܣpeut assumer. Soient ݆ଵ, … , ݆ les couleurs des liens intersectant la surface et ݅= 1, … , ݊ le nombre d’intersection à l’horizon ܵ. La zone d’horizon est donnée par : 39 40 29 = ܣ8ߨߛℏ ܩ ඥ݆(݆ + 1) (2.8) ଵ Dans le cas où le nombre possible des états est dominé par ݆ = ଶ, alors la zone avec un seul lien est donnée par : D’où nous avons l’intersection: ܣ = 4ߨߛℏ√ܩ3 (2.9) ݊ = = ସగఊℏீ√ଷ బ (2.10) Sachant que l’horizon est une surface bidimensionnel, le nombre des états du trou noir est de : ಲ ܰ = 2 = 2రഏംℏಸ √య (2.11) Ceci nous amène à l’expression de l’entropie de Bekenstein-Hawking : ܵு = ݇ ln ܰ (= )ܣ 1 ln 2 ࣥ ܣ ߛ 4ߨ√3 ℏܩ (2.12) L’équation (2.12) serai en accord avec l’équation (2.6) si et seulement si : ln 2 ିଵ ߛ= ൨ ߨ√3 (2.13) 2.1.2. Approche de la dérivation par le flot de Ricci La formule de l’entropie de Bekenstein-Hawking découle de l’émission thermique du trou noir qui est le point de départ de la Thermodynamique du Trou Noir, qui fut développée durant les 30 dernières années41 et qui a grandement enrichit la connaissance dans la Cosmologie, l’Astronomie et l’Astrophysique. Depuis ses publications aux années 70, beaucoup des méthodes pour dériver cette loi ont été proposées. A cet effet, il est reconnu que l’assomption de base de la Mécanique Quantique est irréconciliable avec les lois de la Relativité Générale. 41 30 Toute la dérivation jusqu’à ce jour utilise la relation (2.12), qui est la relation entre la densité de radiation et l’entropie, et elle fait des assomptions à propos propos de la zone de bordure des horizons des événements, qui apparaissent dans la formule. Cela nous semble que cette dérivation n’est suffisamment pas justifiée de certain point de vue logique. Comme opposé à celle-ci, celle ci, l’hypothèse du flot de Ricci comme qquantité monotone combiné avec la mécanique statistique utilisant les Spinfoam nous apparait suffisant pour la dérivation de la loi d’entropie du trou noir. Dans la section suivante, nous allons expliquer brièvement la méthode utilisée. Considérons un champ réel ߶((݃ଵ, ݃ଶ, ݃ଷ, ݃ସ) à un produit scalaire de quatre copies du groupe (ܱܵ = ܩ4), qui exige que ܱܵ((4) soit invariant dans ce sens : ߶(݃ଵ, ݃ଶ, ݃ଷ, ݃ସ) = ߶(݃ଵ݃, ݃ଶ݃, ݃ଷ݃, ݃ସ݃) ൫∀ ݃ ∈ ܱܵ(4)൯ ൯ (2.14) Considérons la Théorie de Champ Quantique (TCQ) définie par l’action : ସ 1 ܵ[߶] = න ෑ 2 ୀଵ ( ଵ, ݃ଶ, ݃ଷ, ݃ସ) ݀݃߶ ଶ(݃ ଵ ߣ + නෑ 5! ୀଵ (݃, ݃ଷ, ଼݃, ݃ଽ) ݀݃߶(݃ଵ, ݃ଶ, ݃ଷ, ݃ସ)߶(݃ସ, ݃ହ, ݃, ݃)߶(݃ ߶(݃ଽ, ݃, ݃ଶ, ݃ଵ)߶(݃ଵ, ଼݃, ݃ହ, ݃ଵ) (2.15) Les termes de potentiels (de cinq ordres) ont une structure d’un 4-Simplex 4 : Figure 2.1.2.: la structure de la cinétique et le terme de potentiel dans une action L’expansion de Feynman d’une fonction de la partition42 pour un ensemble canonique à la température ߚିଵ est donnée par : ܼ = ∫ ࣞ߶ ݁ିఉௌ[థ ] Alors, nous pouvons calculer son entropie par : 42 (2.16) 31 ܵ = ߚ〈ܵ[߶]〉 + ݇ ln ܼ (2.17) En utilisant la régulation dimensionnelle43, l’équation de la Boucle du Groupe de Rénormalisation dépendant de la température s’écrit : ௗ ௗఉ ݃ = ܴ(݃) (2.18) Dans le but de voir la nature du flot (2.18), considérons un manifold ܥ² et une métrique ݃ sur ܵ². Par le théorème de Riemann44, nous pouvons choisir des coordonnées isothermes45 telles que : ݃ = ݁ଶథ ݃ (2.19) Avec ݃ étant la métrique standard de ܵ². Alors, (2.19) devient : ௗ ଵ ݁ଶథ = ଶ (ܴ(݃) − ∇ଶ߶) ௗఉ (2.20) Ceci est une équation non-linéaire de la chaleur rétrograde46suivant un temps donné, et qui a une solution triviale selon le théorème de Peter-Weyl47 de la forme : ସ ߶(݃) = ߶ ܴ(݃) (2.21) En linéarisant (2.19) autour de (2.21), nous avons ߜ߶ qui satisfait à : ݀ ଶథ 1 ൫݁ ߜ߶൯= − ∇ଶߜ߶ ݀ߚ 4 (2.22) Alors, nous définissons pour le flot de Ricci une quantité monotone, appelée Entropie de la forme : 1 ܵ = − න ࣞ߶ ൬− ∇ଶߜ߶ + ݇ ܵ[߶] − ݊൰ߚ 4 (2.23) Où ݊ = est une intersection entre ܣet ܣ les zones d’horizon formé par la bordure des బ Spinfoams. En décomposant (2.23), nous avons : 43 44 45 46 47 32 1 ܵ = න ࣞ߶ ൬ ∇ଶߜ߶൰ߚ − න ࣞ߶(݇ ܵ[߶])ߚ + න ࣞ߶݊ߚ 4 (2.24) Nous retrouvons ici : Une expression cinétique d’entropie : ଵ ܵ = ∫ ࣞ߶ ቀସ ∇ଶߜ߶ቁߚ (2.25) ܵ = ∫ ࣞ߶(݇ ܵ[߶])ߚ (2.26) ܵூ = ∫ ࣞ߶݊ߚ (2.27) Une expression potentielle d’entropie : Une expression interne d’entropie : Interprétation Le calcul d’entropie pour un ensemble canonique d’un trou noir, reviens à calculer la probabilité de l’amplitude de transition au point initial vers le point final à la température ߚ, en considérant tout le chemin continus, et en vérifiant les conditions aux limites. Chaque ଵ chemin se voit attribuer un « poids » ݇ ܵ[߶], pour l’action potentielle,ସ ∇ଶߜ߶ pour l’action cinétique et ݊ pour l’action interne ; où ܵ[߶] est l’action quantique calculée sur ce chemin ; ଵ ici, le flot de Ricci est un gradient de la forme − ସ ∇ଶߜ߶. On « somme » alors cette infinité non dénombrable de poids, et on obtient in fine l’amplitude de transition entre les états de ces géométries : là où on trouve une structure discrète qui se représente par le réseau des spins. Dans cette formulation, ߚ correspond au paramètre de mesure de température. Donc, géométriquement parlant, lorsque ߚ est grand, nous mesurons la distance des émissions thermiques et lorsqu’il est petit, nous mesurons la quantité d’énergie. La mesure d’une grande énergie sera la moyenne de la contribution de degré de liberté. En d’autres mots, la diminution de ߚ devrait correspondre à regarder dans notre espace-temps à travers un microscope de grande résolution, où cet espace-temps n’est pas décrit par quelque métrique (riemannienne ou autres), mais par la hiérarchie des métriques riemanniennes, ௗ connectées par l’équation du flot de Ricci ௗఉ ݃ = ܴ(݃). On note que, nous avons un paradoxe : les régions qui apparaissaient si éloignées aux autres à une grande distance du trou noir, peuvent devenir si proche à une faible distance ; de plus, si nous utilisons le flot de Ricci à travers une singularité du trou noir, les régions qui ont des composants différemment connectés à une grande distance, peuvent devenir des voisins 33 lorsque nous les regardons à travers un microscope. Donc, ceci est un élément fort pour notre hypothèse de la décontraction gravitationnelle que s’introduit dans la gravité quantique. 2.2. APPLICATION DU FLOT DE RICCI DANS L’EQUATION DE WHEELERDeWITT Pour obtenir une description de l'Hamiltonien concernant une action d'Einstein-Hilbert48, nous avons appliqué l'approche du flot de Ricci dans l'équation de Wheeler-DeWitt hyperbolique49. 2.2.1. L’équation de Wheeler-DeWitt Un résultat majeur de l'article de Claus Gerhardt50 est le théorème de la quantification de la Gravité dans un espace-temps globalement hyperbolique, qui décrit la métrique ݃̅ divisant les coordonnées de la fibre d'une hypersurface de Cauchy. En utilisant la métrique de DeWitt dans la métrique de Lorentz, on obtient l'expression: ߙேିଵ 1 ߙ =ܬேିଵ න න ൜ ܩ,݃̇ ݃̇ ߱ ିଵ + ܴ − 2Λൠ ݓඥ ݃ 4 ஐ où est une constante positive, ܩ et Λ la constante de cosmologie. , (2.24) est un tenseur de DeWitt , ܴ est une courbe scalaire 51 Dénotons la fonction Lagrangienne dans (2.24) par ܮ, nous définissons ߲ܮ 1 ିଵ ߨ = = ߮ܩ ߦ̇ ݓ 2ߙே ߲ߦ̇ (2.25) et on obtient pour la fonction Hamiltonienne ܪ, ߲ܮ ܪ = ߦ̇ − ܮ ߲ߦ̇ 1 ିଵ 1 ିଵ = ߮ܩ ൬ ߦ̇ ݓ൰൬ ߦ̇ ݓ൰ߙ ݓே − ߙேିଵ(ܴ − 2Λ)߮ݓ 2ߙே 2ߙே = ߮ ିଵ ܩߨ ߨߙ ݓே − ߙேିଵ(ܴ − 2Λ)߮ݓ ≡ ܪݓ (2.26) Où ܩest une métrique inverse. Lorsque ݓest une fonction arbitraire, nous obtenons une contrainte d'Hamiltonien: ܪ = ߙே ߮ ିଵ ܩߨ ߨߙ ݓே − ߙேିଵ(ܴ − 2Λ)߮ = 0 48 49 50 51 (2.27) 34 En appliquant la quantification canonique et en posant ℏ = 1, alors: 1 ߲ ߨ = ߨ (⟶ )ݔ ߲݅ߦ̇ ()ݔ ̇ ()ݔ où ߦ డ డక̇ ೌ (௫) (2.28) sont des points dans la fibre au ܵ ∈ ݔ, avec ܵ une hypersurface de Cauchy et qui dénote une différentiation partielle de la fibre au point ݔ. Chaque fibre peut être perçue comme un manifold Lorentzien équipé de la métrique: ߙேିଵ߮ ܩ (2.29) Après la quantification, la fonction Hamiltonienne se transforme en un opérateur hyperbolique différentiel: = ܪ−Δ − ߙேିଵ(ܴ − 2Λ)߮ ≡ ⊡ −ߙேିଵ(ܴ − 2Λ)߮ (2.30) Où ⊡ est un opérateur d'Alembertien pour cette métrique. Nous insistons que ܪest défini sur un espace ܧagissant sur les fibres. D'où, soit ݑune fonction définie dans ܧ ݑ = ݑ൫ݔ, ߦ()ݔ൯= ݑቀݔ, ݃()ݔቁ (2.31) Alors la condition d'Hamiltonien (2.27) prend la forme: ⊡ ݑ− ߙேିଵ(ܴ − 2Λ)߮ = ݑ0 lorsque chaque fibre est équipée avec la métrique de Lorentz un élément du volume, alors on obtient l'équation: et pour ݑ, ∈ ݒ ܥஶ ට|݀݁ߙ(ݐேିଵ߮ ܩ)|݀ߦ (ߙேିଵ߮ ܩ), (ܧ, ॶ )où ॶ = ℂ ⋁ ॶ = ℝ, tel que le produit scalaire: 〈ݑ, 〉ݒா = ∫ௌ ∫ி(௫) ̅ݒݑ, బ (2.32) tel qu'il détermine (2.33) (2.34) où l'élément du volume de la fibre )ݔ(ܨest donné par l'expression (2.33) et que l'hypersurface ܵ définie par la métrique ߯. ඥ ߯݀ݔ L'expression (2.33) est appelé l'équation Wheeler-DeWitt. (2.35) 35 Il est immédiatement claire que l'opérateur de différentiel hyperbolique est adjoint, et lorsque chaque fibre est globalement hyperbolique, le problème de Cauchy pour l'équation de Wheeler-DeWitt: = ݑܪ0 (2.36) peut être uniquement traité dans ܧpour des valeurs initiales données sur une hypersurface de Cauchy, et les techniques de la Théorie Quantique du Champs peuvent être utilisé pour quantifier le champ ݑdans (2.36) qui représentent la gravitation. 2.2.2. L'équation de Wheeler-DeWitt par le Flot de Ricci Pour quantifier un champ (dans notre cas, il s’agirait d’un champ des dilatons52) selon l'approche du flot de Ricci, tel que le choix approprié du difféomorphisme peut former une équation d’une hyperbole faible en une hyperbole forte. C’est ainsi, nous établissons un théorème qui résume une action des dilatons supposée être une action globale d’EinsteinHilbert, lorsqu’on considère un mouvement relativiste des particules sur une courbe scalaire par la recherche de l'Hamiltonien du système53. Théorème: Soit ( ܯ, ݃̅ ) un espace-temps globalement hyperbolique, ݂ une fonction du temps qui divise ݃̅ avec une hypersurface de Cauchy ܵ. Soit Ω ⋐ M un ouvert et pré compact, et qui assume que la première variation de la fonction ℱ = ∫ஐ (ܴത + |∇݂|ଶ) ݁ିne disparait pas en ݃̅ pour toute variation de compact݃̅ dont il peut s'exprimer comme ݀ ̅ݏଶ = − ݓଶ(݀ݔ)ଶ + ݃̅݀ݔ݀ݔ, alors, la première variation de ℱdans ݃̅ ne disparait pas aussi pour une variation compact arbitraire. Preuve: Considérons une fonction ℱ = න (ܴത + |∇݂|ଶ) ݁ି ஐ (2.37) pour une métrique Riemannienne ݃̅ et une fonction du temps ݂ = ߣ sur un support compact dans Ω, avec l'hypersurface de Cauchy ܵ = ݂ିଵ(0). Soit ߱ = ߱ ఈఉ un tenseur symétrique et la métrique ݃̅(߳) = ݃̅ + ߳߱, |݁| < ߳. Sa première variation peut être exprimée sous la forme: ߜℱ൫݃̅; ߱൯≠ 0 52 53 36 ߜℱ൫݃̅; ߱൯= න ݁ି −∆݃̅ + ߘߘ݃̅ − ܴ݃̅ − ߘ݂ߘ݂ ఆ ݃̅ + 2 〈 ߘ݂, ߘ߱〉 + (ܴ + |ߘ݂|ଶ) ൭ ൗ2 − ߱൱ ൩ ݃̅ = ݁ି න −݃̅ (ܴ + |∇݂|ଶ) + ൭ ൗ2 − ߱൱ (2Δ݂ − |∇݂|ଶ + ܴത)൩ ஐ (2.38) ݃̅ si ݃̅(߳) = ߳߱, alors:൭ ൗ2 − ߱൱ ⟶ 0, on reste avec: ߜℱ(݃̅ ; ߱) = ݁ି න −݃̅ [(ܴ + |∇݂|ଶ)] ஐ (2.39) La fonctionnelle ℱ et sa formule de la première variation peut être retrouvé dans la littérature de la théorie des cordes54, où elle décrit une action effective en faible énergie ; La fonctionnelle ℱ est appelée : champs d’un Dilaton55. Pour les courbes scalaires, on peut déduire l'équation de GauB56 sur ܴ sous la forme: ܴത = ܪଶ + ||ܣଶ + ܴത − 2ܴߥߥ où nous avons ܪla moyenne de la courbure: ݃ = ܪℎ = ݇ et ݇ sont les principales courbures, ||ܣଶ ||ܣଶ ୀଵ = ℎℎ = ݇ଶ ୀଵ où 55 56 (2.41) est défini par : et où la seconde forme fondamentale ℎ de ܴ peut être exprimé comme: 1 ℎ = − ݃̇ ߱ ିଵ 2 54 (2.40) ݃̇ = ߲݃ = −2ܴ݅ܿೕ ߲ݐ (2.42) (2.43) 37 (2.44) Ainsi, (2.40) peut s'écrire: −2ܴߥߥ = −2( ܪଶ − ||ܣଶ) + ܦܽ (2.45) Lorsque les termes de divergence sont négligés, alors la fonction devient: ℱ = ݁ି න { ܪଶ − ||ܣଶ + ܴ + |∇݂|ଶ} ߱ ඥ ݃ (2.46) ℱ = ݁ି න ቄ ܩ,ܴ݅ܿೕ,ೖ߱ ିଶ + ܴ + |∇݂|ଶቅ߱ ඥ ݃ (2.47) ஐ En utilisant les relations de (2.38) à (2.42), nous concluons finalement: où la métrique de DeWitt est: ஐ 1 ܩ, = ൛݃݃ + ݃݃ ൟ− ݃݃ 2 ିଵ ݃ = ൫݃൯ (2.48) Maintenant nous pouvons chercher l'Hamiltonien correspondant, mais avant tout, nous avons besoin d'un ajustement: Ajustement : ݃ = ݀݁ݐ൫݃൯ par: ݀݁ݐ൫݃൯ ݃= ݀݁ݐ൫߯൯≡ ߮ ଶ݀݁ݐ൫߯൯ ݀݁ݐ൫߯൯ (2.49) où ߯ = ߯ est une métrique arbitraire mais fixée sur la métrique Riemannienne dans ܵ et ߮ est simplement une fonction: ඥ݃ 0 < ߮ = ߮൫ݔ, ݃൯= √߯ (2.49) Alors, nous avons: ℱ = ݁ି න ቄ ܩ,ܴ݅ܿೕ,ೖ߱ ିଵ + ܴ + |∇݂|ଶ߱߮ቅ ஐ Dénotons la fonction Lagrangienne dans (2.49) par ܮ, nous définissons : ℵ = − 1 ߲ܮ = ߮ ܩ,݁ିܴ݅ܿೖ߱ ିଵ 2 ߲ܴ݅ܿೕ (2.50) 38 (2.51) et nous obtenons pour la fonction Hamiltonienne ܪ : 1 ߲ܮ ܪ = − ܴ݅ܿೕ −ܮ 2 ߲ܴ݅ܿೕ = ߮ ܩ,ቀ݁ିܴ݅ܿೕ߱ ିଵቁ൫݁ିܴ݅ܿೖ߱ ିଵ൯߱ ݁ − ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߱߮ = ߮ܩ,ℵℵ߱ ݁ − ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߱߮ ≡ ߱ܪ où ܩ, = ൫ܩ (2.52) , ିଵ ൯ . Lorsque ߱ est une fonction arbitraire, telle que nous obtenons la contrainte Hamiltonienne: ܩ߮ = ܪ,ℵℵ݁ − ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߮ = 0 (2.53) En appliquant la quantification canonique, et en posant ℏ = 1 , nous remplaçons: ℵ = ℵ(ߣ) ⟶ 1 ߲ܮ ߲ܴ݅݅ܿೕ(ߣ) (2.54) où ܴ݅ܿೕ(ߣ) sont des points sur l'hypersurface de Cauchy, on a ߣ ∈ ܵ. Après la quantification, la fonction Hamiltonienne se transforme en un opérateur hyperbolique: En posant alors, on écrit: ⊡ = ߮ܩ,ℵℵ݁ (2.55) ⊡ ≡ ܪ− ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߮ (2.56) Où ⊡ est un opérateur d'Alembertien . Si nous définissons une fonction ߶ = ߶ ቀߣ, ݃(ߣ)ቁ agissant sur l'hypersurface de Cauchy57, alors: ⊡ ߶ − ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߮߶ = 0 57 (2.57) 39 avec la métrique de Lorentz (݁ି߮ ܩ), tel qu'il détermine un élément du volume, alors on obtient l'équation: d'où ඥ|݀݁ି݁(ݐ߮ ܩ)|݀ߦ ߶ܪቀߣ, ݃(ߣ)ቁ = 0 (2.58) (2.59) Ainsi, l'expression (2.57) et (2.58) représentent l'équation de Wheeler-DeWitt en flot de Ricci.∎ 40 CHAPITRE III DECONTRACTION GRAVITATIONNELLE: CHEMIN CONCEPTUEL DE LA THEORIE « C'est la théorie qui décide de ce que nous pouvons observer. » A. Einstein 41 Chapitre Troisième : Décontraction Gravitationnelle : Chemin Conceptuel de la Théorie Dans ce chapitre, nous voulons rechercher de nouveaux cadres et des nouveaux principes, pour pouvoir expliquer les particules élémentaires exotiques régissant dans notre univers : Soit par les espaces des spins, ou soit les espaces des spins isotopiques, … Pour espérer approcher, la structure particulaire de la gravitation (un artéfact pour les physiciens). Ainsi, le style de ce chapitre est donc conversationnel et démonstratif, avec un regard précis. 3.2. RELATION ENTRE SPINFOAM ET L’HAMILTONIEN L’importance des transitions quantiques (et des amplitudes qui les caractérisent) vient de ce qu’elles décrivent les interactions des systèmes quantiques,58 en particulier avec des systèmes macroscopique. Une mesure physique tout spécialement, est un tel processus d’interaction qui amène le système à effectuer une transition de son état initial (quelconque) vers un état spécifié par l’appareil de mesure59, ou état propre de la grandeur physique mesurée, la théorie quantique fournit ainsi la probabilité d’obtenir tel ou tel résultat lors de la mesure60. Dans l’univers, des transitions quantiques importantes sont celles qui, s’effectuent entre les états stationnaires d’énergies différentes, et s’accompagnent de l’émission ou de l’absorption des particules61. Ces transitions correspondent à des raies des spectres d’émission ou d’absorption du système. C’est ainsi, en élucidant la transition des amplitudes par le formalisme d’Hamiltonien, nous aborderons en suite sa correspondance à des raies d’ultraviolet divergent à la section suivante. Dans cette partie, nous voulons discuter la relation qui existe entre la somme partielle des Lagrangien abordé au chapitre premier par le formalisme d’Hamiltonien abordé au chapitre deuxième, en partant de l’équation de Wheeler-DeWitt 1. Discrétisation de l’Intégrale Chemin Commençons d’abord à considérer la Relativité Générale riemannienne en 3 dimensions : suivant notre définition au chapitre premier, le champ gravitationnel a la forme simple de ݁(݁ = )ݔ(ݔ݀)ݔ , sa connexion des spins a la forme de߱ ( ߱ = )ݔ(ݔ݀)ݔ et son action suivant une courbure donnéeܴ prend la forme de ܵ[݁, ߱] = ∫ ݁ ∧ ܴ[߱]. 58 59 60 61 42 Tout ceci obéit à l’action d’Einstein-Hilbert de la forme : ܵ[݃] = ∫ ݀ଷ ݔඥ ܴ݃, avec ݃ la métrique d’espace-temps etඥ ݃ sa densité, avecܴ le scalaire de Ricci. En effet, fixons d’abord une triangulation d’un manifold de l’espace-temps ℸ (Lettre juif : daleth équivalent de delta grec). Soit ݃l’holonomie de ߱ au long du coin ݁ de ℸ, où : ݃ = ࣪ ݁ݔቊන ߱ ߬ቋ ∈ ܱܵ(3) Avec ܱܵ(3), un groupe de Lie. (3.1) Soit ݈ la ligne de l’intégrale de ݁ au long du segment ݂ de ℸ. Par conséquent, on peut discrétisé l’action : ܵൣ݈, ݃൧= ݈ ܶݎൣ݃߬൧ (3.2) (3.3) ݃ = ݃భ … ݃ Où Ainsi, l’intégral chemin peut s’écrire : Z = න d݈ ݀݃݁ௌൣ,൧ L’intégrale vers ݈ devient : Z = න d݈ ෑ (3.4) ߜቀ݃భ … ݃ቁ (3.5) L’expansion de la fonction delta vers le groupe de manifold vaut : ߜ(݃) = ݀݅݉ (݆) ܴܶݎ(݃) En introduisant (3.6) dans (3.4), on a : Z= భ…ಿ ෑ ݀݅݉ ൫݆൯න d݈ ෑ (3.6) ܴܶݎ ቀ݃ … ݃ ቁ భ En généralisant l’action ܵ[݁, ߱] = ∫ ݁ ∧ ܴ[߱] dans un groupe de Lieܱܵ(4), qui a des valeurs pour un champ bidimensionnel ܤூ avec une connexion ߱ ூ de la forme : (3.7) 43 ܵ[ܤ, ߱] = න ܤூ ∧ ܨூ[߱] (3.7) 62 Où ܨest la forme généralisée de ܴ. (D’où l’origine de la théorie BF ) Nous voyons très bien l’expression de l’intégrale vers chaque coin de ℸ.. D’où, nous écrivons l’intégrale de manière de (3.7) : ୧ න dU R୨భ ((U))ୟୟᇱ R୨మ (U)ୠୠᇱ R୨య (U)ୡୡᇱ R୨ర (U)ୢୢᇱ = v୧ୟୠୡୢvୟᇱ ୠᇱୡᇱୢᇱ v୧ୟୠୡୢ ୧ (3.8) est l’unique espace entrelacé normalisé entre les représentations des spins jଵ, jଶ, jଷ, Où et jସ. A chaque vertex, nous avons maintenant dix représentations (tout simplement, parce que un vertex a dix faces) et cinq espaces entrelacés. Ceci se définit de la façon : {15j} ≡ ࣛ (jଵ, … , jଵ, iଵ, … , iହ) ࣛ (jଵ, … , jଵ, iଵ, … , iହ) = ୟభ…ୟభబ (3.9) ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ ୟ v୧భభ ల వ ఱ v୧మమ ళ భబ భ v୧యయ ళ ఴ మv୧రర వ ళ య v୧ఱఱ భబ ఴ ర (3.10) {15 {15j} Où les indices a୬ sont dans la représentation de j୬, tel que, la fonction dénote la relation (3.10). Ainsi, nous avonsune figure de 4-simplex 4 de la forme : {15j} = (3.11) Et, la fonction de la partition devient en 4 dimensions de la Relativité Générale : Zେଢ଼ = ෑ , ݀݅݉ ൫݆൯ෑ {15j}୴ ௩ (3.12) Que nous pouvons écrire ire encore : Zେଢ଼ = ෑ , ݀݅݉ ൫݆൯ෑ ௩ (3.13) 62 44 Les expressions (3.12) et (3.13) sont appelées dans la théorie de Spinfoam : le modèle TOCY63(TOCY provient des noms : Turaev, Ooguri, Crane et Yetter). 2. L’équation de Wheeler-DeWitt Wheeler a. L’équation de Wheeler-DeWitt Wheeler dans la projection entre les spins entrelacés Lorsqu’une théorie a une jauge symétrique (comme nous avons démontré au chapitre premier, section 1.3.), l’étude suivante restera d’analyser les contraintes de son Hamiltonien (ceci avait été aussi ssi discuté au chapitre deuxième, section 2.2). En Relativité Générale ou en Théorie BF, l’Hamiltonien en soit est une contrainte64, tel que, en agissant dans un réseau des spins entrelacés, il assure une invariance de jauge65. Ainsi, nous avons donc, notree fonction de répartition de la forme: Zେଢ଼ = ෑ ൻݏାଵห݁ି ∫ ௗ ୟభ…ୟభబ ାଵ, య௫ ு (௫)௧ หݏ ൿࣥ ෑ ି ∫ ௗయ௫ Le moment de sa projection ݁ projection) avec : ௩ ு (௫)௧ ൛E ୧, ݁ି ∫ ௗ ୧ య௫ ୟ ୟలୟవୟఱ ୟమୟళୟభబୟభ ୟయୟళୟఴୟమ ୟరୟవୟళୟయ ୟఱୟభబୟఴୟర v୧మ v୧య v୧ర v୧ఱ ቅ ୴ ቄv୧భభ (3.14) est un vecteur de 3 dimensions de deE (un champ de ு (௫)௧ } = τ୧݁ି ∫ ௗ య௫ ு (௫)௧ (3.15) 66 Où ൫τ ൯୧ୀଵ,ଶ,ଷ est un générateur anti-hermitien anti de l’algèbre de Lie. Fig.3.1.2.a. : Régions et surfaces définies par le moment de projection E ୧ La fonction de cette jauge invariante du groupe de spins agit par multiplication, lorsque E ୧agitcomme une dérivation gauche : 63 64 65 66 45 ୧ൻݏାଵห݁ି ∫ ௗయ௫ ு (௫)௧หݏ ൿ= ݅ൻݏାଵหτ୧݁ି ∫ ௗయ௫ ு (௫)௧หݏ ൿ E (3.16) Ainsi, l’équation (2.58) prend la forme : ߶ܪቀߣ, ݁ି ∫ ௗ య௫ ு (௫)௧(ߣ)ቁ =0 (3.17) Qui est une relation de récurrence sur 15j, tel que la contrainte d’Hamiltonien est : ⊡ ቀߣ, ݁ି ∫ ௗ య௫ ⊡ ߶ − ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߮߶ = 0 ு (௫)௧(ߣ)ቁ− ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߮ ቀߣ, ݁ି ∫ ௗ య௫ ு (௫)௧(ߣ)ቁ= 0 (3.18) Tel que, nous avons un système : ୧ ⊡ߣ ≡E ቊ୧ య ୧ τ (ܴ + |∇݂|ଶ)߮݁ି ∫ ௗ ௫ ு (௫)௧ି(ߣ) ≡ E (3.19) Donc, nous disons que la quantification de la contrainte d’Hamiltonien forme un opérateur ୧de moment de la projection sur une courbure scalaire du flot de Ricci. La triangulation du E 4-simplexe possède alors, une courbure du flot de Ricci, dépendant de la projectionܲ entre les spins entrelacés: ܲ = lim ෑ ௧⟶ஶ ݁ିு (௫)௧ = lim ݁ି ∫ ௗ ௧⟶ஶ య௫ ு (௫)௧ (3.20) b. L’équation de Wheeler-DeWitt dans la rotation entre les spins entrelacés ሬ⃑൯ 〉des spins entrelacés Ainsi, si nous formons un espace usuel ܷܵ(2) des états cohérents ห݆, ݊൫ܰ ሬ⃑ ൯ en décrivant un axe de référence ̂ݖsur les trois provenant d’une rotation ܷܵ(2) vers ݊൫ܰ ሬ⃑ . vecteur unitaire de ܰ ሬ⃑൯ ሬ⃑ ൯ 〉 = ݊൫ܰ |݆, ݆ 〉 ห݆, ݊൫ܰ (3.21) Par conséquent, l’état des spins entrelacés sur le tétrahedron sera exprimé par quatre rotations, ሬ⃑ : correspondantes aux vecteurs unitaires de ܰ 〉 න ݀ℎ ⊗ ℎ |݆, ݊ ௌ(ଶ) (3.22) 46 Alors, en tenant compte d’holonomie de݃ de pour des spins entrelacés en rotation, la fonct fonction de partition devient : Zେଢ଼ = ହ න ෑ (ଶ ఱ ୀଵ ௌ (ଶ) ݀ℎ ෑ ାଵ, ൽݏାଵቤ࣪ exp ቊන ߱ ߬ቋቤ ቤݏ ඁ ࣥ (3.23) Par analogie au (3.17), l’équation (2.58) prend la forme : ߶ܪቆߣ, ࣪ (ߣ)exp ቊන ߱ ߬ቋቇ = 0 (3.24) ⊡ ቆߣ, ࣪ (ߣ)exp ቊන ߱ ߬ቋቇ − ݁ି(ܴ + |∇݂|ଶ)߮ ቆߣ, ࣪ (ߣ)exp ቊන ߱ ߬ቋቇ = 0 (3.25) Nous formons enfin, un système : ሬ⃑ ൯ |݆, ݆ 〉 ≡ ݊൫ܰ ൞ ሬ⃑൯ )( + |∇݂|ଶ)߮exp ቊන ߱ ߬ − ݂ቋ ≡ ݊൫ܰ |݆, ݆ 〉 ࣪ (ߣ)(ܴ ⊡ߣ (3.26) Donc, nous disons que la quantification de la contrainte d’Hamiltonien nous donne des états ሬ⃑൯ ሬ⃑൯ sur une courbure 〉 provenant des rotations de ܷܵ(2)autour de ݊൫ cohérents ห݆, ݊൫ܰ ൫ܰ scalaire du flot de Ricci. La triangulation du 4-simplexe 4 simplexe possède alors, une courbure du flot ሬ⃑ ൯ |݆, ݆ 〉 entre les spins entrelacés. de Ricci, dépendant des états cohérents ݊൫ܰ Fig.3.1.2.b. : Le graph d’un Spinfoam et son ensemble des états cohérents définis par la rotation Finalement, la relation entre l’approche de Lagrangien et l’approche d’Hamiltonien est obtenue simultanément par : ୧ de la quantification de la contrainte d’Hamiltonien d’Hamiltonien qui génère un opérateur E moment de la projection du propagateur dans les spins entrelacés ; 47 et encore, par la quantification de la même contrainte d’Hamiltonien définissant des ሬ⃑ ൯ ሬ⃑ ൯ entre les 〉qui proviennent d’une rotation ܷܵ(2) vers ݊൫ܰ états cohérents ห݆, ݊൫ܰ spins entrelacés. Nota : Aux points des grandes courbures scalaires du flot de Ricci, la géométrie est canonique ou presque isométrique à un nombre fini des spins entrelacés, dont leurs flots existent pour des spins valant 0 ou 1 et obéissant à la statistique de Bose-Einstein67. Ceci se résume par la relation ci-après: ୧− ݊൫ܰ ሬ⃑ ൯ |݆, ݆ 〉=0 E (3.27) Ce qui veut dire que, dans un réseau des spins entrelacés le moment de la projection du propagateur générée par un Hamiltonien, n’est autre qu’un ensemble des états cohérents définis lors de la transition des amplitudes. ሬ⃑ , Il est important de noter qu’un état n’est pas complètement déterminé par la direction ܰ ሬ⃑ , mais plutôt, mais aussi par le choix de la phase68. En effet, le changement de ݊ n’affect pas ܰ il multiplie l’état par une phase. 3.2. LES DIVERGENCES DES ULTRAVIOLETS En général, les divergences sont des phénomènes associées à la boucle (c’est-à-dire les courbes fermées) des Diagrammes de Feynman.69 A l’absence de ces courbes fermées, les divergences n’apparaissent plus, parce que la conservation de moment aux vertiges contraint le moment du propagateur interne à s’annuler, comme nous venons de le démontré dans la relation (3.27) pour un réseau des spins (Spinfoam) donné. Cependant qu’il a été démontré que, les divergences ne sont plus associées à la boucle des digrammes ordinaire de Feynman, mais plutôt aux « bulles »70. En effet, une « bulle » est une collection des faces f de ℸ qui forme une surface fermée. Ainsi, la relation Z = ∫ d݈ ∏ ߜቀ݃భ … ݃ቁ nous donne une configuration qui s’obtient en décomposant un seul tétrahedron en quatre tétrahedra, tel que : Aୠ୳୪୪ୣ = න dgଵ … dgଵ δ(gଵg ଶg ିଵ) δ(g ଶg ଷg ିଵ) δ(g ଷg ସg ଼ିଵ) δ(g ସg ହg ଽିଵ) δ(g ହgଵgଵିଵ) δ(gଵg g ଼) δ(g ଶg ଼g ଽ) δ(g ଷg ଽgଵ) δ(g ସgଵg ) δ(g ହg g ଼) Or une intégration immédiate nous donne, une expression de divergence de : 67 68 69 70 (3.28) 48 Aୠ୳୪୪ୣ = δ(0) (3.29) Dans ce sens, nous pouvons remarquer la dualité qui existe entre le model de Ponzano-Regge et de TOCY en un seul groupe, qu’on appelle dans la théorie quantique des champs : Théorie du Groupe de Champ71. Comme nous l’avons vu au chapitre premier, la fonction de partition d’une expansion de Feynman dans GFT (Group Fields Theory :Théorie du Groupe de Champ) est donnée par : ܼ = න ܦൣ݃ఓఔ()ݐ൧݁ିௌಸೃ[] (3.30) Qui se donne comme une somme des graphs de Feynman du genre : ܼ= Où l’amplitude du graph vaut : Tel que, nous remarquons: Zେଢ଼ = ෑ Avec Γ un diagramme de Feynman. , ߣజ[Γ] ܼ[Γ] [ ݉ݕݏΓ] (3.31) ݀݅݉ ൫݆൯ෑ {15j}୴ ܼ[Γ] = Zେଢ଼ ௩ (3.32) La preuve de la relation72 (3.32) est une application dans les méthodes d’expansion perturbative rencontré dans la TQC. Nota : Les diagrammes de Feynman sont fréquemment confondus avec les diagrammes d'espace-temps et les images des chambres à fils à cause de leur ressemblance, mais ils n'ont que peu de rapport entre eux. Les diagrammes de Feynman sont simplement des graphes ; il n'y a pas de notion de position dans ces diagrammes, et il n'y a pas de notion de temps à part la distinction entre les lignes entrantes et sortantes. Enfin, seuls quelques diagrammes de Feynman peuvent être considérés comme représentant l'interaction d'une particule donnée ; les particules ne choisissent pas un diagramme particulier chaque fois qu'elles interagissent. Or, en étudiant l’interaction des particules exotiques73, la plus part des représentations de leurs interactions, nous parait comme des courbes scalaires au voisinage canonique, tel que la notion d’espace-temps entre en jeu pour décrire leurs courbures fermées : les divergences. Dans la suite de ce travail, nous discuterons son implication à notre hypothèse. 71 72 73 49 3.2.1. Les Diagrammes de Feynman a. le concept général Les diagrammes de Feynman sont une représentation graphique d'un terme, de la décomposition perturbative d'une amplitude de diffusion, pour l'expérience définie par les lignes entrantes et sortantes74. Dans certaines théories quantique des champs, notamment l'électrodynamique quantique,, on peut obtenir une excellente approximation de l'amplitude de diffusion à partir de quelques termes de la décomposition en perturbations, correspondant à quelques diagrammes de Feynman simples avec les mêmes lignes entrantes et sortantes connectées par différents fférents sommet et lignes internes. b. les règles de Feynman Les diagrammes sont tirés d'après les règles de Feynman qui comptent sur l'interaction Lagrangienne. Pour une interaction d'électrodynamique quantique, le Lagrangienܮ Lagrangien జ = −݃߰തߛఓ ߰ܣఓ décrit l'interaction d'un champ du fermionique ߰ avec un champ de la jauge du bosonique bosoniqueܣఓ , les règles Feynman peuvent être formulées dans l'espace comme suit: 1) Chaque ݔ de la coordonnée de l'intégration est représenté par un point (quelquefois appelé un sommet); 2) Un propagateur bosonique est représenté par une ligne du courbe qui relie deux points; 3) Un propagateur fermionique est représenté par une ligne solide qui relie deux points; 4) Un champ du bosoniqueܣ bosonique ఓ (ݔ)est est représenté par une ligne courbe aattachée au point ݔ; 5) Un champ du fermionique߰(ݔ fermionique est représenté par une ligne solide attachée au point )est avec une flèche vers le pointݔ point ; 6) Un champ du fermionique߰ fermionique ത(ݔ)est est représenté par une ligne solide attachée au point ݔ avec une flèche du point; Exemple : Pour une action (3.33) En appliquant les règles ci-haut, ci haut, nous avons le diagramme du terme de l’action. 74 50 Interprétation : Ce diagramme donne des contributions aux processus suivants: 1) ݁ି ݁ି diffusé (état initial à la droite, état définitif à la gauche du diagramme); 2) ݁ା ݁ା diffusé (état initial à la gauche, état définitif à la droite du diagramme); 3) ݁ି ݁ା diffusé (état initial en bas/en haut, état définitif en haut/en haut du diagramme). Nota :Quand Quand nous étudions la théorie de champ quantique, à ce point dans le livre, nous étions devenus inexplicablement très inquiet au sujet de diagrammes Feynman. Par la présente, nous voudrons assurer au lecteur que l'affaire entière est vraiment tout à fait simple. Les diagrammes de Feynman peuvent être pensés simplement comme des images des cabrioles de particules dans un espace-temps, espace temps, qui viennent ensemble, pour entrer en collision, tout en produisant d'autres particules, et ainsi de suite. Nous étions aussi perplexes de lire que les particules n'installent pas de lignes droites. Souvenez-vous vous qu'une particule quantique se propage comme une onde; tel que ݔ(ܦ− )ݕ nous donne l'amplitude pour la particule qui doit se propager de ݔà ݕ.. Évidemmen Évidemment, c'est plus commode de penser aux particules dans l'espace avec une vitesse comme Fourier75 nous l’avait dit dans son formalisme. Un autre point de perplexité était de savoir comment évaluer les intégrales qui génèrent la courbe particulaire. Les bonnes nouvelles nouvelles sont réellement cela dans la recherche contemporaine, mais seulement, il existe peu de physiciens théoriques qui sont à mesure de calculer les diagrammes de Feynman pour obtenir tous les facteurs qui décrivent les interactions. Dans la plupart des cas, comprendre le comportement général de l'intégrale est suffisant. Mais bien sûr, nous devrions amener toujours la fierté en obtenant tous les facteurs pour être capable de les comparer avec les expériences. 3.2.2. Formulation des Diagrammes de Feynman par le Flot de Ricci Commençons l’étude d’une particule libre pour ensuite généralisé son comportement dans le diagramme. a) 75 la formulation de la Fonction de Green pour une particule libre 51 La fonction de Green est définie comme suite : ෩ஜ(x)ψ ෩ା (x')ቁ〉 Gஜ(x, x') = −i 〈T ቀψ (3.34) Nous comprenons par x ou x' les coordonnées d’espace-temps ; μ et ν sont les indices des spins. Alors, le fait d’introduire une fonction de Green dans la Gravité Quantique consiste à appliquer la fonction dans les métriques ݃ఓఔà 4 dimensions : ෩ஜ(g)ψ ෩ା (g')ቁ〉 Gஜ(݃, ݃') = −i 〈T ቀψ (3.35) Nous connaissons l’équation de continuité d’un Flot de Ricci de la forme : ∂݃ఓఔ()ݐ + 2Ricഋഌ = 0 ∂t Ainsi, nous avons : ᇱ தᇱ න ݀݃ఓఔ = −2Ricഋഌ න dt D’où la relation (3.35) devient : Tel que : த ᇱ ݃ − ݃ = 2Ricഋഌ (τ − τ') ෩ஜ(τ)ψ ෩ା (τ')ቁ〉 Gஜ(݃, ݃') ≡ 2RicಔಕGஜ(τ, τ') = 2iRicഋഌ 〈T ቀψ 76 (3.36) ෩ஜ(τ)ψ ෩ା (τ')ቁ〉 Gஜ(τ, τ') = 〈T ቀψ (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) Suivant le théorème de Wick , l’équation (3.39) prend la forme : Gஜ(τ, τ') = Où ෩ஜ(τ)ψ ෩ା (τ')Sୋୖ[] (∞)〉 〈Tψ 〈Sୋୖ[] (∞)〉 ܵீோ[] (∞) = ܶ ቈ݁ݔቆ−݅න ାஶ ିஶ En développant l’expression (3.41) en série : 76 ܪ௧݀ݐቇ (3.40) (3.41) 52 ܵீோ[] (∞) = 1 − ݅න ାஶ ିஶ ܪ௧݀ݐ ାஶ (−i)ଶ + ඵ H୧୬୲(tଵ)H୧୬୲(t ଶ)dtଵdt ଶ 2! + ିஶ ାஶ (−i)ଷ ම 3! ିஶ H୧୬୲(tଵ)H୧୬୲(t ଶ)H୧୬୲(t ଷ)dtଵdt ଶdt ଷ + ⋯ (3.42) Ainsi, la fonction de Green de la forme temporelle générale est de : ஶ ାஶ (−i)୬ ାஶ Gஜ(τ, τ') = න … න dtଵ … dt ୬ 〈ܵீோ[] (∞)〉 n! ିஶ ିஶ 1 ୬ୀ ෩ஜ(τ)ψ ෩ା (τ')H୧୬୲(tଵ) … H୧୬୲(t ୬)൧〉 × 〈Tൣψ (3.43) ෩ஜ(τ) comme la seule fonction temporelle qui constitue L’expression (3.43) nous décrit ψ l’interaction dans la Gravité Quantique. L’expression spatiale disparait là où la métrique décrit une grande courbure scalaire. Au voisinage canonique, la fonction de Green obéit à la relation (3.43). Nous insistons que, τ ≠ τ' et qu’ils représentent les temps propres des particules dans un réseau des spins. b) Partie Vertex. Cas du réseau des spins La fonction de Green de la relation (3.35) peut s’écrire comme, une équation de mouvement pour l’Hamiltonien de Heisenberg. ∂ ∂ ෩ஜ(τ)ψ ෩ା (τ')ቁ〉 Gஜ(τ, τ') = 〈T ቀψ ∂t ∂t (3.44) ∂ ∇ଶ ෩ஜ(τ), H୧୬୲൧ , ψ ෩ା (τ')൰〉 + + ϵቇGஜ(τ, τ') = δ(τ − τ')δஜ − i 〈T ൬ൣψ ି ∂t 2m (3.45) i Alors le vertex s’écrira : ቆi ෩ஜ(τ), H୧୬୲൧ , ψ ෩ା (τ')൰ = 0, ce qui signifie que la fonction delta dérive Où les termes en T ൬ൣψ ି du temps. ப ∇మ ቀi ப୲ + ଶ୫ + ϵቁGஜ(τ, τ') = −iδ(τ − τ')δஜ − 0 (3.46) 53 Alors, l’expression (3.46) peut prendre la forme de l’équation de Schwinger-Dyson77: Ou tout simplement : 〈ψ(τ) ஔୗ ஔந (தᇱ) … 〉 = i〈δ(τ − τ')δஜ … 〉 ஔୗ c) ψ(τ) ஔந (தᇱ) = iδ(τ − τ')δஜ (3.47) (3.48) Forme Temporels des Diagrammes de Feynman : Soit considérons la relation de vertex comme étant le réseau des particules (ici, l’interaction dépende de spins): ஔୗ ψ(τ) ஔந (தᇱ) = iδ(τ − τ')δஜ (3.49) Nous pouvons donc appliquer les célèbres règles Feynman pour notre théorie de champ scalaire: 1. Tirons un diagramme Feynman du processus temporel ; 2. Étiquetons chaque fin avec un temps τ et τ', puis associons les avec un propagateur ; 3. Associons les aussi avec chaque sommet de l'interaction d'accouplement, en forçant la somme des temps τ et τ'qui entre dans le sommet pour être égal à la somme de temps qui sort au sommet ; 4. Les temps τ et τ' associées avec les amendes internes seront intégrées partout avec la mesure du δ(τ − τ'). Incidemment, cela correspond à l'addition partout qui serve de médiateur des états dans la théorie de la perturbation ordinaire. 5. Il y a une règle au sujet de quelques facteurs de la symétrie vraiment ennuyeux. En conséquence, quelques diagrammes sont peut être multipliés par un facteur de la symétrie tel que, ceux-ci proviennent de plusieurs comptes des facteurs des chemins combinatoires différents. 6. N'associons pas de propagateur avec les lignes externes. 7. Finalement, une fonction delta pour la conservation de la vitesse totale est comprise. Ainsi donc, nous obtiendrons des diagrammes de la forme de la double hélice. Cependant, la production simplement de la double hélice se fait, par la provocation d’une l’interaction d'un boson spécifique qui est, d'une source des particules exotiques telles que, la double hélice doit diriger ses boucles des bosons en un certain ordre spécifique dans une interaction qui se fait au-dessus de centaines de milliers d'unités pour former une matière. 77 54 Pour chaque place il doit choisir le « bosonino » correct de parmi quelques milliers « bosoninos » différents créent après chaque collision du boucle des bosons, tel que nous les ( G regroupons de seulement quatre types de modes bosoniques différents (A, G, C, T). Fig.3.2.2.i Forme structurale de la double hélice Les « bosoninos », dans plusieurs combinaisons, peuvent être utilisés comme ce que nous appelons maintenant en biologie le code génétique (de même que le point et tiret du Morse peuvent être combinés de plusieurs façons pour présenter des lettres de l'alphabet, chiffres, et ainsi de suite) Fig.3.2.2.ii Forme conceptuelle de la double hélice 55 3.2.3. Divergences d’Ultra-violet : Un Artéfact de la double hélice L’interaction mutuelle de chaque hélice est construite dans les champs située à l’intérieur de la double spirale. Les lignes des champs perpendiculaires sont à l’axe vertical de la structure, et qui pointent vers son centre. Dans ce diagramme, les doubles hélices sont des segments vertigineux, l’une est étirement entre les bords externes du diagramme du double hélice, et l’autre est étirement entre un bord externe et la fente. Souvenez-vous, la fente est un composant de la limite, et les bords externes du diagramme de la double hélice qui est séparé par les piqûres comprennent l'autre composant de la limite. Toutes les doubles hélices ouvertes sont des courbes ouvertes, et qui sont des non triviaux dans le sens suivant: ils ne peuvent pas être contractés si loin des points finals qui restent sur les bordures et ne sont pas autorisés à glisser devant les interactions (les états externes). Donc la double hélice est une courbe qui commence sur le côté gauche du bord du sommet, et va sous la fente, et termine à droite côté du bord du sommet. Comme la naine suggère, une double hélice ouverte est une courbe qui pourrait être prise pour être une corde ouverte avec quelque paramétrage convenable du drap de la théorie des cordes78. Le concept d'une corde ouverte possible sur une surface de Riemann est bien défini: le caractère non trivial d'une corde ouverte possible n'est pas changé. De la même façon, une corde fermée possible est une courbe fermée qui ne peut pas être rapetissée. Une interaction de courte distance qui suggère des divergences ultraviolettes est l'apparence des cordes fermées possibles courtes sur un diagramme de la double hélice. 3.3. LES SINGULARITES DE L’ESPACE-TEMPS 3.3.1. Formation des Singularités a) Evolution de Friedmann Considérons un univers homogène et isotropique. Ces champs sont donnés par la métrique : ୢ୰మ ds ଶ = −dt ଶ + aଶ(t) ቆଵି୩୰మ + r ଶ(dθଶ + sinθ dϕଶ)ቇ (3.50) Où a(t) et k sont des paramètres. L’équation d’Einstein (0.1) se réduit en une équation de Friedmann de la forme : ȧ ଶ 8πG k ൬൰ = ρ− ଶ a 3 a 78 (3.51) 56 Où ρ est une densité de la matière-énergie dépendant du temps. Soit représentons la matière contenue dans l’univers au moyen d’un champ unique ϕ, tel que ϕ(t) a son Hamiltonien de la forme : 1 Hம = ൫pଶம + ωଶϕଶ൯ 2 (3.52) Où pம son moment conjugué au champ ϕ. Donc : ϕ(t) = A sin(ωt + ϕ) (3.53) La densité d’énergie est conservative par l’Hamiltonien de la matière-énergie : ρ = aିଷHம = aିଷρ = 1 ିଷ ଶ ଶ a ω A 2 (3.54) On voit que ρ est une densité pour a = 1. Ainsi, la relation (3.51) peut être facilement dérivé par l’Hamiltonien de (3.52) par : pଶம H = ቆ + 2kaቇ + 16πGHம 8a (3.55) Nota : En introduisant la fonction d’onde ψ(a, ϕ), la relation (3.55) prend la forme de l’équation de Wheeler-DeWitt : ℏଶ ∂ ∂ ቆ + 2kaቇψ(a, ϕ) + 16πGHம ψ(a, ϕ) 8a ∂a ∂a (3.56) Où Hம l’Hamiltonien d’un oscillateur harmonique. ୢୌ Posons ȧ = ୢ୮ et égalisons H = 0 et k = 0, on obtient alors : ȧ ଶ 8πG ρ ൬൰ = a 3 aଷ La dérivation de la relation (3.56) nous donne : (3.57) 57 4 1 ä = − πGρ ଶ 3 a (3.58) Cette équation est résolue par l’évolution de Friedmann : ଶ a(t) = a(t − t )ଷ (3.59) b) Evolution de Friedmann en Flot de Ricci Considérons maintenant le flot de Ricci sur la métrique d’Einstein : d g(t) = −2Ric(୲) dt (3.60) Supposons que la métrique d’Einstein admet une métrique g , tel que : Ricబ = k(n − 1)g (3.61) Où k est une constante et n la dimension de la métrique. On cherche la solution de (3.60) sous la forme : g(t) = a(t)g En utilisant l’invariance de Ric par dilatation de g on trouve : ୢ g(t) = ȧ (t)g ୢ୲ (3.62) (3.63) = −2Ricୟ(୲)బ (3.64) = −2k(n − 1)g (3.66) a(t) = [1 − 2k(n − 1)](t − t ) (3.67) a = [1 − 2k(n − 1)]η (3.68) = −2Ricబ (3.65) D’où la contrainte du flot de Ricci est donnée par : Ainsi, comme nous venons de voir, le résultat de calcul nous donne la relation (3.59) avec : 58 Où η est un paramètre. La relation (3.67) serai en accord avec l’évolution de Friedmann, lorsque la valeur du paramètre serai de : η = (t − t )ି Ainsi donc, l’évolution de Friedmann devient : c. Etude des Singularités : ଵൗ ଷ (3.69) a(t) = [1 − 2k(n − 1)](t − t )η (3.70) ଵ Si k > 0 : a(t) est défini pour t ∈ ቃ−∞, ଶ୩(୬ିଵ)ቂ et est de la forme a(t) = ଵ [1 − 2k(n − 1)](−t ( + t )η avec t = qui est un soliton contractant. La ଶ୩(୬ିଵ) courbure tend vers 0 en −∞ et explose vers +∞ en t . Une solution du flot définie sur un intervalle ]−∞, t [ est dite SOLUTION ANTIQUE. Si k = 0 : a(t) = ((t − t )η est défini pour t ∈ ]−∞, +∞[.. C’est un soliton Stable. Une solution du flott définie sur un intervalle ]−∞, +∞[ est dite SOLUTION ETERNEL. Si k < 0 : a(t) est défini pour t ∈ ]t , +∞[ et est de la forme a(t) = [1 − ଵ 2k(n − 1)](t − t ))η avec t = ଶ୩(୬ିଵ) C’est un soliton dilatant. La courbure tend vers 0 en +∞ et explose vers −∞ en t . Une solution du flot définie nie sur un intervalle ]t , +∞[ est dite SOLUTION FUTURE. a(t) k<0 k=0 k>0 ଵ t = ଶ୩(୬ିଵ ( ଵ) +∞ Figure 3.3.1.i : Le comportement de la courbe a(t) pour les trois valeurs de k. L’hypothèse de la Décontraction Gravitationnelle se base sur le cas k < 0 , lorsque la singularité est anti-trou trou noir. Ici rien n’est capturé et rien ne s’approchee à son horizon. d. Conséquences : Le temps de Hubble 59 Supposons que notre espace-temps n’est pas au centre de l’univers, alors en considérant la relation (3.70) comme la distance qui sépare deux espace-temps, on définit la vitesse d’éloignement de deux continuums spatio-temporels par: ȧ (t) = H × a(t) ୟ(୲) ୟ̇ (୲) = H ିଵ (3.71) (3.72) La relation (3.72) détermine la réciproque de la constante de Hubble qui est le temps d’éloignement entre deux galaxies. Selon notre hypothèse de la Décontraction Gravitationnelle, la courbe d’accélération ä (t) est fortement influencée par la valeur de k, tel que : 3.3.2. Théorèmes des Singularités ä (t) = ଶ୩(୬ିଵ) (3.72) Nous allons simplement énoncer trois théorèmes qui établissent l’existence des singularités sous l’hypothèse Décontractionnelle. Dans ces théorème, nous voulons montrer que si l’univers est globalement hyperbolique et qu’à un instant t il s’épand dans toute les directions, alors pour deux masses données, l’expansion peut les rapprocher ou les éloigner suivant le sens de l’évolution de leurs courbures de l’espace-temps, pour qu’aucun point de l’univers ne constituerai l’origine de l’expansion. Théorème I : Inexistence de l’origine d’expansion Soit ൫M, g ஜ൯ un espace-temps non-hyperbolique avec R ஜξஜξ ≤ 0 pour tout instant ξஜ, qui pourrait être le cas si l’équation d’Einstein satisfaisait à la condition de la très faible énergie de la matière. Supposons qu’il existe une petite surface (ou, au moins Cଶ) de Cauchy Σ pour la quelle, la trace de la courbure intrinsèque (pour la congruence normale de la géodésique est dirigée vers le futur) satisfaisait partout aux conditions K ≥ C > 0 , où C est une constante et K une courbure. Alors, aucune évolution positive du flot de Ricci de Σ décrit une distance plus grand que 3/|C|. En particulier, toute l’évolution positive du flot de Ricci n’est pas homothétique. La théorie est basée sur une séparation des concepts du champ gravitationnel et matière. Cependant une approximation peut être valide pour les champs faibles, ce peut être vraisemblablement assez inadéquat pour des très hautes densités de matière. On ne peut pas assumer par conséquent la validité des équations pour les très hautes densités et c'est justement possible que dans une théorie unifiée il n'y ait aucune telle singularité. 60 Théorème II : Cas d’éloignement Soit ൫M, g ஜ൯ un espace-temps non-hyperbolique avec R ஜξஜξ ≤ 0 pour tout instant ξஜ, qui pourrait être le cas si l’équation d’Einstein satisfait à la condition de la très faible énergie de la matière. Supposons qu’il existe un cône compacte Ω, tel que pour la congruence normale de la géodésique de Ω, nous avons partout K > 0 sur Ω. SoitP la valeur minimale de K, alors K ≥ C > 0 partout sur Ω (où C est une constante). Alors, au moins une évolution positive du flot de Ricci décrit une distance plus grande que 3/|C|. Théorème III : Cas de rapprochement Soit ൫M, g ஜ൯ un espace-temps connecté et non-hyperbolique avec R ஜξஜξ ≤ 0 pour tout instant ξஜ, qui pourrait être le cas si l’équation d’Einstein satisfait à la condition de la très faible énergie et très forte énergie de la matière. Supposons que M contient une surface trappé T. Soit θ > 0 dénote la valeur minimum de θpour les deux ensemble des géodésiques orthogonaux sur T. Alors, au moins une évolution positive du flot de Ricci ne décrit une distance plus petite que 2/|θ|. 61 CHAPITRE IV CONCLUSION GENERALE « L'imagination est plus importante que la connaissance » A. Einstein 62 63 TABLE DES MATIERES AVANT-PROPOS....................................................................................................................................... 2 REMERCIEMENTS .................................................................................................................................... 4 INTRODUCTION GENERALE ..................................................................................................................... 5 Chapitre Premier : Gravitation : Formalisme ........................................................................................ 9 1.1. LES CHAMPS GRAVITATIONNELS............................................................................... 9 1.2. LA COVARIANCE D’EINSTEIN..................................................................................... 10 1.3. L’INVARIANCE DE JAUGE ............................................................................................ 11 a) Transformation locale ܩ...................................................................................................... 12 b) Transformation locale de Lorentz ..................................................................................... 12 c) Difféomorphismes................................................................................................................ 13 1.4. L’HAMILTONIEN DE LA RELATIVITE GENERALE............................................... 14 1.4.1. 1.4.1.1. 1.4.2. Einstein-Hamilton-Jacobi ........................................................................................... 14 Les champs à 3 dimensions..................................................................................... 15 Dérivation du formalisme d’Hamilton-Jacobi .......................................................... 16 1.4.2.2. Connexion complexe ࡿࡻ....................................................................................... 16 1.4.2.3. Dérivation................................................................................................................. 17 1.4.2.1. 1.5. Connexion réel ࡿࡻ, ............................................................................................. 17 L’ESPACE-TEMPS QUANTIQUE : SPINFOAM .......................................................... 19 1.5.1. Concept de la théorie................................................................................................... 19 1.5.1.1. Transition des amplitudes entre un réseau des spins ........................................... 20 1.5.1.2. L’Histoire du réseau des spins................................................................................ 21 1.5.1.3. Les Spinfoams .......................................................................................................... 22 1.5.2. Le formalisme des Spinfoam ...................................................................................... 24 Chapitre Deuxième : Approche du Flot de Ricci dans la Gravité Quantique.................................... 27 2.1. LA FORMULE D’ENTROPIE POUR LE FLOT DE RICCI ET LA DERIVE D’ENTROPIE DE BEKENSTEIN-HAWKING............................................................................... 27 2.1.1. Approche de la dérivation de Bekenstein-Hawking ................................................. 27 2.1.2. Approche de la dérivation par le flot de Ricci .......................................................... 29 Interprétation............................................................................................................................... 32 2.2. APPLICATION DU FLOT DE RICCI DANS L’EQUATION DE WHEELER-DeWITT.. 33 2.2.1. L’équation de Wheeler-DeWitt .................................................................................. 33 2.2.2. L'équation de Wheeler-DeWitt par le Flot de Ricci ................................................. 35 Chapitre Troisième : Décontraction Gravitationnelle : Chemin Conceptuel de la Théorie ................. 41 64 3.2. RELATION ENTRE SPINFOAM ET L’HAMILTONIEN ................................................. 41 1. Discrétisation de l’Intégrale Chemin ................................................................................. 41 2. L’équation de Wheeler-DeWitt .......................................................................................... 44 3.2. LES DIVERGENCES DES ULTRAVIOLETS.................................................................... 47 3.2.1. Les Diagrammes de Feynman .................................................................................... 49 3.2.2. Formulation des Diagrammes de Feynman par le Flot de Ricci ................................... 50 3.2.3. Divergences d’Ultra-violet : Un Artéfactde la double hélice ........................................ 55 3.3. LES SINGULARITES DE L’ESPACE-TEMPS .................................................................. 55 3.3.1. Formation des Singularités ............................................................................................ 55 a) Evolution de Friedmann ........................................................................................................ 55 b) Evolutionde Friedmann en Flot de Ricci............................................................................... 57 c. Etude des Singularités :........................................................................................................ 58 d. Conséquences : Le temps de Hubble ................................................................................... 58 3.3.2. Théorèmes des Singularités........................................................................................... 59 Théorème I : Inexistence de l’origine d’expansion ....................................................................... 59 Théorème II : Cas d’éloignement .................................................................................................. 60 Théorème III : Cas de rapprochement ........................................................................................... 60