operateurs unitaires et hermitiens

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OPERATEURS UNITAIRES ET HERMITIENS
I APPLICATIONS (OU OPERATEURS) LINEAIRES
Une application (ou opérateur) f de l'espace vectoriel E dans l'espace vectoriel F sur le même corps K est linéaire quand :
!"!#" $% & '%(
XY E K fX Y fX fY et f X fX,, ,()()() () ()
##
C'est un "homomorphisme d'espaces vectoriels".
L'ensemble des applications linéaires L(E, F) a une structure d'espace vectoriel sur K.
Cas particuliers :
- Si f est bijective alors f est un isomorphisme.
- Si F = E f alors f est un endomorphisme de E.
- Si f est un isomorphisme de E sur lui-même alors f est un automorphisme.
- Si F = K f est une forme linéaire sur E. Quand E est un ensemble de fonctions, f est souvent appelée une fonctionnelle
linéaire.
Exemples :
Dans l'espace usuel les rotations, les homothéties, les similitudes et les projections sont des applications linéaires.
II ALGEBRE D'OPERATEURS
Définition d'une algèbre
Un ensemble E muni de deux lois de composition interne &et ! et d'une loi de composition externe sur K est une algèbre
sur K quand :
-
)*
E, & est un espace vectoriel sur K
- () ()()
()()()
fgh fh gh
fgh fg fh
&% &
&% &
!! !
!!!
Propriétés
- L(E, E) est l' algèbre des opérateurs sur K.
- Algèbre des commutateurs
Commutateur :
+,
fg f g g f,%-!!
. Les opérateurs commutent quand
+,
fg,%0.
+, +,
fg gf,,
%-
+,+,
+,
fg h fg fh,,,
.% .
+,+,
+,
fg h fg h g fh,, ,
!!!%.
+,+,
+,
fgh f gh fh g
!! !
,,,.
%.
Exemple
)*
ASymij
%./
0
1
23
4
5
/
"" 01
10
)*
CSymi
%/
-
0
1
23
4
5
/
"10
01
AC Rot
%/
0
1
23
4
5-
0
1
23
4
5%-
0
1
23
4
5
(/)
6201
10
10
01
01
10
CA Rot
%- /-
0
1
23
4
50
1
23
4
5%-
0
1
23
4
5
(/)
6210
01
01
10
01
10
+,
AC Rot,(/)
%/
-
0
1
23
4
5--
0
1
23
4
5%-
0
1
23
4
5
22
01
10
01
10
02
20
6.
III OPERATEURS ADJOINTS OU TRANSPOSES
Définitions
- Dans un espace euclidien un opérateur ~
f de E dans E est un opérateur transposé de f quand :
!" %
XY E fX Y X fY,,() ~()
- Dans un espace hermitien un opérateur f* de E dans E est un opérateur adjoint de f quand :
!" %
XY E fX Y Xf Y,,() *()
Propriétés et règles de calcul matriciel dans des espaces de dimension finie

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Soit
+,
A a a K K R ou C
np ij ij (,) ,, .
%"%
- Matrice transposée de A
+,
t
pn ij ij ji
Abba
(,)
%%
- Matrice conjuguée de A
+,
Abba
np ij ij ij (,)
%%
- Matrice adjointe de A
+,
Abba
p n ij ij ji
*(,)
%%
- tt
AAA A() (*)*
%% %
ttt
AB B A AB AB AB B A() , ,()* **
%% %
- Si A est régulière ( /inversible) alors tAAA,, *
sont régulières et
)*
)*
tt
AA AAA A
------
%%%
111111
(), ,(*) ()*
- Tout opérateur f admet un opérateur adjoint unique f*. Si A est la matrice représentant f dans une base orthonormale, f* est
représenté dans cette même base par A*.
- Soit une base orthonormale
78
ee
n1,....., . Xxe
x
x
Yye
y
y
ii
n
i
n
ii
i
n
n
%%
0
1
2
2
3
4
5
5%%
0
1
2
2
3
4
5
5
%%
99
1
11
1
##
,.
)*
XY X Y x x
y
y
XXXXX
n
n
%% 0
1
2
2
3
4
5
5%%
**.
1
12
$#
IV OPERATEURS UNITAIRES OU ORTHOGONAUX
Définitions
Un opérateur f d'un espace vectoriel hermitien E (resp. euclidien) est unitaire (resp. orthogonal) quand :
!" %
XEfX X,() (conservation de la norme).
Si E est de dimension finie et rapporté à une base orthonormale la matrice associée est dite unitaire (resp. orthogonale).
Propriétés
- f unitaire :%
fX fY XY()() (conservation du produit scalaire)
- Les valeurs propres d'un opérateur unitaire ont pour module 1 (rappel de définition : s'il existe un vecteur X non nul tel que
fX X()
%# alors # est une valeur propre de f et X un vecteur propre associé, l'ensemble des valeurs propres s'appelle le
spectre de l'opérateur).
- Un opérateur unitaire est inversible.
- Les vecteurs propres d'un opérateur unitaire associés à 2 valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Propriétés des matrices unitaires
- A unitaire : A matrice de passage d'un changement de base orthonormée
- A unitaire :%
-
AA
1* A orthogonale :%
-
AA
t1
- A unitaire ;%
det A ei
<
A orthogonale ;%=
det A 1
Si detA=1, on dit que A est orthogonale droite, si detA= -1 A est orthogonale gauche. Si A est orthogonale droite alors chaque
élément est égal à son cofacteur. Si A, A' et P sont des matrices telles que P soit unitaire et >%%
-
APAPPAP
1* on dit
que A et A' sont unitairement semblables.
V OPERATEURS HERMITIENS OU SYMETRIQUES
Définition
Un opérateur f d'un espace vectoriel hermitien E (resp. euclidien) est hermitien (resp. symétrique) quand :
!" %
XY E fX Y XfY,,() ()
. Cette propriété est équivalente à f = f* (resp. ff
t
%).
On dit aussi hermitique ou auto-adjoint pour hermitien. Une observable est un opérateur auto-adjoint.
Propriétés
- A=A* (resp. tA) : A est la matrice complexe (resp. réelle) d'un opérateur hermitien (resp. symétrique) dans une base
orthonormale.
- f hermitien : fX X() réel !"
XE
.

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- fX X X AX() *
% est une forme hermitienne.
- F est hermitien : XAX* réel !"
XE
.
- Les valeurs propres d'un opérateur hermitien sont toutes réelles
- Un opérateur hermitien ou symétrique dans un espace de dimension n admet n valeurs propres réelles (pas nécessairement
distinctes). Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
- Dans un espace hermitien, pour tout endomorphisme hermitien u il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres
de u.
- Si deux observables f et g commutent il existe une base formée de vecteurs propres communs à f et g et réciproquement.
- Une matrice hermitienne est unitairement semblable à une matrice diagonale.
VI ESPACE DUAL : ESPACE DES "BRAS"
L'ensemble des formes linéaires (applications linéaires de E sur K) de E sur C est l'espace dual de E noté E*.
XY peut être considéré comme l'image du vecteur ket Y par la forme linéaire bra X.
Propriétés
- On passe d'une relation entre kets à une relation entre bras en prenant le complexe conjugué des coefficients.
( XeeXe
ii
i
ii
i
%%
99
#, XeXe ee
jj i
j
jji i i
j
%;% %%
99
???#
)
- On passe d'une relation entre kets (ou entre bras) à une relation entre produits scalaires en multipliant à gauche ou à droite par
un même bra (ou par un même ket).
VII PROJECTEURS ET RELATION DE FERMETURE
Projecteur sur ei
Pee PX eeX
iii i ii
%%
PX
i est la projection de X sur ei.
Relation de fermeture
XeeXPX
ii
i
i
i
%%
99
PI
id
i
%
9
VIII GROUPES MATRICIELS (MULTIPLICATIFS)
* groupe des matrices unitaires :
78
Un A M complexe A A
nn
() / *
(,)
%" %
-1
Le nombre de paramètres indépendants est n2. On a det A ei
%
<
.
* groupe des matrices spéciales unitaires :
78
SU n A U n A() ()/det
%" %
1
Le nombre de paramètres indépendants est n21
-.
* groupe des matrices orthogonales :
78
O(n A M réelle A A
nn
t
)/
(,)
%" %
-1
Un élément de O(n) est le produit d'au plus n matrices de réflexions orthogonales.
Le nombre de paramètres indépendants est nn()
-1
2. On a det .A%=
1
* groupe des matrices spéciales orthogonales ou groupe des rotations :
78
SO(n A O(n A))/det
%" %
1. Le nombre de paramètres indépendants est nn()
-1
2.
Un élément de SO(n @3) est le produit d'au plus n matrices de renversements (appelés aussi retournements, demi-tours,
symétries axiales) orthogonaux.