operateurs unitaires et hermitiens
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! Retour Université du Maine - Faculté des Sciences Opérateurs OPERATEURS UNITAIRES ET HERMITIENS I APPLICATIONS (OU OPERATEURS) LINEAIRES Une application (ou opérateur) f de l'espace vectoriel E dans l'espace vectoriel F sur le même corps K est linéaire quand : !X, Y " E, !# " K, f ( X $ Y) % f ( X) & f (Y) et f (# ' X) % # ( f ( X ) C'est un "homomorphisme d'espaces vectoriels". L'ensemble des applications linéaires L(E, F) a une structure d'espace vectoriel sur K. Cas particuliers : - Si f est bijective alors f est un isomorphisme. - Si F = E f alors f est un endomorphisme de E. - Si f est un isomorphisme de E sur lui-même alors f est un automorphisme. - Si F = K f est une forme linéaire sur E. Quand E est un ensemble de fonctions, f est souvent appelée une fonctionnelle linéaire. Exemples : Dans l'espace usuel les rotations, les homothéties, les similitudes et les projections sont des applications linéaires. II ALGEBRE D'OPERATEURS Définition d'une algèbre Un ensemble E muni de deux lois de composition interne sur K quand : - ) E, &* est un espace vectoriel sur K - & et ! et d'une loi de composition externe sur K est une algèbre ( f & g) ! h % ( f ! h ) & (g ! h ) f ! ( g & h ) % ( f ! g) & ( f ! h ) Propriétés - L(E, E) est l' algèbre des opérateurs sur K. - Algèbre des commutateurs Commutateur : f , g % f ! g - g ! f . Les opérateurs commutent quand + , + f , g, % 0 . + f , g, % -+g, f , + f , g . h , % + f , g, . + f , h , + f , g ! h , % + f , g, ! h . g ! + f , h , + f ! g, h, % f ! +g, h, . +f , h, ! g. Exemple " " 0 0 13 " 01 0 3 A % Sym / i . j / 2 5 C % Sym / i / 2 5 1 1 04 1 0 -14 0 0 13 0 1 0 3 0 0 -13 0 1 0 3 0 0 13 0 0 13 AC % Rot ( 6 / 2) / 2 52 5 %2 5 CA % Rot ( - 6 / 2 ) / 2 52 5 %2 5 1 1 04 1 0 -14 1 1 0 4 1 0 -14 1 1 04 1 -1 04 0 0 -13 0 0 13 0 0 -23 + A, C, % 2 Rot( 6 / 2) / 2 5 -2 5 %2 5. 1 1 0 4 1 -1 04 1 2 0 4 ) * )* III OPERATEURS ADJOINTS OU TRANSPOSES Définitions ~ f de E dans E est un opérateur transposé de f quand : ~ !X, Y " E, f ( X) Y % X f (Y) - Dans un espace euclidien un opérateur - Dans un espace hermitien un opérateur f* de E dans E est un opérateur adjoint de f quand : !X, Y " E, f ( X ) Y % X f * (Y) Propriétés et règles de calcul matriciel dans des espaces de dimension finie ! Retour Université du Maine - Faculté des Sciences Soit + , A( n, p ) % a ij , a ij " K, K % R ou C. - Matrice transposée de A - Matrice conjuguée de A - Matrice adjointe de A - Opérateurs + , bij % a ji A( n, p ) % + b ij , b ij % a ij A *( p, n ) % + b ij , b ij % a ji t A( p, n ) % b ij t t t ( A ) % A % ( A*)* % A - Si A est régulière ( / inversible) alors ) t A* -1 t % ( A -1 ), t ( AB)% t B t A, AB % AB, ( AB)* % B * A * A, A, A * sont régulières et ) A*-1 % A-1, ( A*) -1% ( A -1 ) * - Tout opérateur f admet un opérateur adjoint unique f*. Si A est la matrice représentant f dans une base orthonormale, f* est représenté dans cette même base par A*. n - Soit une base orthonormale i %1 0 y1 3 X Y % X * Y % x1 $ x n 2# 5 2y 5 1 n4 ) n 0 x1 3 0 y1 3 5 , Y % 9 y i e i % 2# 5 . 5 2 5 1 xn 4 1 yn 4 i %1 7e 1 , ..... , e n 8 . X % 9 xie i % 22# * X 2 % X X % X * X. IV OPERATEURS UNITAIRES OU ORTHOGONAUX Définitions Un opérateur f d'un espace vectoriel hermitien E (resp. euclidien) est unitaire (resp. orthogonal) quand : !X " E, f ( X) % X (conservation de la norme). Si E est de dimension finie et rapporté à une base orthonormale la matrice associée est dite unitaire (resp. orthogonale). Propriétés - f unitaire : f ( X ) f (Y) % X Y (conservation du produit scalaire) - Les valeurs propres d'un opérateur unitaire ont pour module 1 (rappel de définition : s'il existe un vecteur X non nul tel que f ( X ) % #X alors # est une valeur propre de f et X un vecteur propre associé, l'ensemble des valeurs propres s'appelle le spectre de l'opérateur). - Un opérateur unitaire est inversible. - Les vecteurs propres d'un opérateur unitaire associés à 2 valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Propriétés des matrices unitaires - A unitaire : A matrice de passage d'un changement de base orthonormée : A -1 % A * i< - A unitaire ; det A % e - A unitaire : A -1 % t A A orthogonale ; det A % =1 A orthogonale Si detA=1, on dit que A est orthogonale droite, si detA= -1 A est orthogonale gauche. Si A est orthogonale droite alors chaque élément est égal à son cofacteur. Si A, A' et P sont des matrices telles que P soit unitaire et que A et A' sont unitairement semblables. A > % P -1AP % P * AP on dit V OPERATEURS HERMITIENS OU SYMETRIQUES Définition Un opérateur f d'un espace vectoriel hermitien E (resp. euclidien) est hermitien (resp. symétrique) quand : !X, Y " E, f ( X) Y % X f (Y) . Cette propriété est équivalente à f = f* (resp. f % t f ). On dit aussi hermitique ou auto-adjoint pour hermitien. Une observable est un opérateur auto-adjoint. Propriétés - A=A* (resp. tA) : A est la matrice complexe (resp. réelle) d'un opérateur hermitien (resp. symétrique) dans une base orthonormale. - f hermitien : f ( X ) X réel !X " E . ! Retour Université du Maine - Faculté des Sciences Opérateurs f ( X) X % X * AX est une forme hermitienne. - F est hermitien : X * AX réel !X " E . - - Les valeurs propres d'un opérateur hermitien sont toutes réelles - Un opérateur hermitien ou symétrique dans un espace de dimension n admet n valeurs propres réelles (pas nécessairement distinctes). Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux. - Dans un espace hermitien, pour tout endomorphisme hermitien u il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de u. - Si deux observables f et g commutent il existe une base formée de vecteurs propres communs à f et g et réciproquement. - Une matrice hermitienne est unitairement semblable à une matrice diagonale. VI ESPACE DUAL : ESPACE DES "BRAS" L'ensemble des formes linéaires (applications linéaires de E sur K) de E sur C est l'espace dual de E noté E*. X Y peut être considéré comme l'image du vecteur ket Y par la forme linéaire bra X . Propriétés - On passe d'une relation entre kets à une relation entre bras en prenant le complexe conjugué des coefficients. ( X % 9 # i ei %9 ei X ei , i X % 9 ? j e j ; X ei %9 ? j e j ei % ? i % # i ) i j j - On passe d'une relation entre kets (ou entre bras) à une relation entre produits scalaires en multipliant à gauche ou à droite par un même bra (ou par un même ket). VII PROJECTEURS ET RELATION DE FERMETURE Projecteur sur Pi % e i e i ei Pi X % e i e i X Pi X est la projection de X sur e i . Relation de fermeture 9 Pi % I d X % 9 e i e i X % 9 Pi X i i i VIII GROUPES MATRICIELS (MULTIPLICATIFS) * groupe des matrices unitaires : 7 8 U( n ) % A " M ( n, n ) complexe / A -1 % A * det A % e i< . * groupe des matrices spéciales unitaires : SU( n ) % 7A " U( n ) / det A % 18 Le nombre de paramètres indépendants est n2. On a n2 - 1 . -1 t * groupe des matrices orthogonales : O(n ) % A " M ( n, n ) réelle / A % A Le nombre de paramètres indépendants est 7 8 Un élément de O(n) est le produit d'au plus n matrices de réflexions orthogonales. Le nombre de paramètres indépendants est n( n - 1) . On a det A % =1. 2 * groupe des matrices spéciales orthogonales ou groupe des rotations : SO(n ) % 7A " O(n ) / det A % 18 . Le nombre de paramètres indépendants est n( n - 1) . 2 Un élément de SO(n @ 3) est le produit d'au plus n matrices de renversements (appelés aussi retournements, demi-tours, symétries axiales) orthogonaux.
