Chapitre 2: VARIABLE ALÉATOIRE ET DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ

Chapitre 2:
VARIABLE ALÉATOIRE ET
DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ
I- Variable (expérience) aléatoire :
• Sur un espace probabiliste, on peut affecter une
valeur à chaque élément de cet espace probabiliste.
On définit alors une fonction sur cet espace, et
cette fonction s’appelle variable (ou expérience)
aléatoire.
Exemple :
• Soit X une variable exprimant le nombre de pile lors
d’un jet d’une pièce de monnaie deux fois
successives.
espace
PP
PF
FP
FF
X
2
1
1
0
• Cette fonction X est alors appelée variable aléatoire
ou fonction aléatoire.
I-1- Variable aléatoire discrète :
• Une variable est dite aléatoire discrète si elle ne
peut prendre qu’une valeur finie de l’espace
probabiliste.
Exemple : le nombre de PME par Wilaya.
A- La fonction de distribution : Soit X une variable
aléatoire ; et x1,x2, .. , xn ses valeurs possibles
constituant
l’espace
probabilistes
(d’échantillonnage). On appelle fonction de
distribution des probabilités et l’on note f(xk) :
• f(xk)= P(X= xk). k=1,2,..n
• La valeur f(xk) représentant la probabilité pour que
X prenne la valeur xk.
• f(xk) s’appelle aussi loi de probabilité.
X
x1
X2
……..
Xn
P(X=xk)
f(x1)
f(x2)
………
f(xn)
• D’une manière générale : f(xk) est une fonction de
distribution (ou loi de probabilité) si :
• f(x) ≥ 0
• ∑f(xk)= 1.
• La fonction de répartition : On définit sur une
variable aléatoire une fonction de répartition
notée : F(x)= p(X ≤ xk) ;
• X étant un nombre réel quelconque compris entre
•
0
pour
• F(X)= f(x1)
x1≤ X ≤ x2
•
f(x1)+ f(x2)
x1≤ X ≤ x3
•
….
…….
•
f(x1)+….+ f(xn)=1
x1≤ X ≤ +
• Exemple : Soit la variable aléatoire X définie par le
nombre d’employés dans une PME de trois
employés, les résultats d’une enquête sont résumés
dans le tableau suivant :
X
Ni
f(X)
F(X)
0
5
0,16666667
0,16666667
1
15
0,5
0,66666667
2
9
0,3
0,96666667
3
1
0,03333333
1
• Représentation graphique des deux fonctions de
distribution et de répartition :
C- Espérance mathématique :Soit une variable
aléatoire X dont les valeurs possibles (ou espace
probabiliste) sont x1, x2,…..xn et f(xk) une fonction de
répartition (ou loi de probabilité) telle que : f(xk) =
P(X=xk).
• On appelle espérance mathématique ou valeur
espérée de la variable aléatoire X la quantité : E (X)
= ∑xkf(xk).
• Ou encore si on pose f(xk)= Pk : E(X)= ∑xkPk.
• On reprend l’exemple précédent, on trouve :
• E(X)= 0*(0,16)+1*(0,5)+2*(0,3)+3*0,03= 1,2
• Variance et Ecart type : On appelle variance d’une
variable aléatoire discrète, la grandeur : VAR (X)= E
[X- E(X)]2=E [X2]- [E(X)]2.
• Et l’Ecart-type :σx= [ ]1/2.
• On reprend l’exemple précédent, pour calculer la
variance on peut utiliser l’une des formules citées
ci-dessus.
• VAR (X)= E [X- E(X)]2 =E [X2]- [E(X)]2
• VAR (X)= E [X- E(X)]2 = ∑[X- E(X)]2 f(xk).
Exercice
• Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à
lancer deux fois un dé bien équilibré. On s’intéresse
au nombre de points apparaissant sur la face
supérieure du dé lors de chacun des 2 lancers.
• a) Identifier la distribution de la variable aléatoire
discrète X définie comme le nombre total de points
obtenus lors des 2 lancers
• b) Que valent : E(X), E(X2), Var(X) et σx.
I-2- variable aléatoire continue :
• Une variable aléatoire est dite continue si elle peut
prendre un nombre infini de valeurs dans un intervalle.
• Exemple : Le nombre d’employés dont le salaire entre
20 000 et 35 000 DA.
A- La fonction de densité :dans le cas d’une variable
aléatoire continue, la distribution continue exprime la
probabilité pour que X ne soit pas égale à une valeur
particulière, mais comprise dans un intervalle de valeur.
• La distribution d'une variable aléatoire continue X est
entièrement déterminée par sa fonction de densité f(x).
Cette fonction de densité est une fonction réelle
positive qui est telle que l'aire totale sous celle-ci est
égale à 1.
• Ces 2 propriétés s'écrivent : f(x)≥ 0, pour tout X € Ɍ
et :
• Calcul de probabilité :
•
• Aire en vert = P(X < a) = P(X < a):
• Aire en jaune= P(a < X < b)
• Aire en rouge =P(X > b)
• Comme l'illustre le graphique ci-dessus, le calcul de la
probabilité pour que X prenne sa valeur dans un
intervalle donné correspond au calcul de l'aire sous f(x)
pour l'intervalle en question. Si l'intervalle se réduit à
un seul point x, l'aire est nulle. D'où P(X=x) = 0, pour
tout x € R.
B- Fonction de répartition
• La fonction de répartition F(x) d'une variable
aléatoire continue X, de fonction de densité f(x) se
définit par :
• F(x) est une fonction continue et croissante qui est
définie pour tout x €Ɍ. Ses valeurs vont de 0 à 1. On
a toujours :
• F(x) et f(x) sont liées par la relation suivante :
• La fonction de répartition d’une variable aléatoire
continue X permet le calcul de toute probabilité sur
X. Ainsi, pour a < b :
• P(X ≤ a) = P(X < a) = F(a) ,
• P(X > b) = P(X ≥ b) = 1 - F(b) et
• P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)
= F(b) - F(a).
• Calcul de l’espérance et de l’écart-type
• Dans le modèle continu on utilise l'intégration pour
effectuer les calculs qui s'obtiennent par des
sommations dans le modèle discret. C'est ainsi
qu'on doit presque toujours recourir au calcul
intégral pour déterminer l'espérance et la variance
d'une variable aléatoire continue.
• Esperance de X
• Variance et écart-type
• EXEMPLE Soit f(x) la fonction réelle définie par :
Propriétés de f(x) :
• Comme l'illustre le graphique ci-dessous, f(x) est
bien la fonction de densité d'une variable aléatoire
continue X :f(x) est toujours supérieur ou égale à 0
et :
• Puisque l'aire sous f(x) = 1.
• Représentation graphique de f(x) et calcul des
aires :
• Fonction de répartition :
• Dans cet exemple, il est possible de déterminer
l'équation de F(x) sans recourir au calcul intégral.
Nous distinguons 5 cas (on utilisera la notion de
surface):
• si x < 0, alors F(x) = 0;
• si 0 ≤ x < 4, alors F(x) = 0,025x (x/2) = 0,0125x2 (voir
figure A);
• si 4 ≤ x < 11, alors F(x) = 0,2 + 0,1(x-4) = 0,1x - 0,2
(voir figure B);
• si 11 ≤ x< 13, alors F(x) = 1 - (0,65 - 0,05x) [(13 x)/2] = -0,025x2 + 0,65x - 3,225 (voir figure C);
• si x ≥ 13, alors F(x) = 1.
Questions :
1- Calculs de trois probabilités :
P(X ≤ 3);
P(X > 10) ;
P (3 ≤ X ≤ 10).
•
•
•
•
•
Réponse:
Pour calculer les probabilités qui précèdent, on
peut calculer les aires correspondantes dans la
représentation graphique de f(x).
Comme nous avons déjà calculé F(x), il est plus
rapide de procéder comme suit.
P(X ≤ 3) = F (3) = 0,0125 x 32 = 0,1125.
P(X > 10) = 1 - F(10)
= 1 - [(0,1 x 10) - 0,2]
= 1 - 0,8 = 0,2.
P (3 ≤ X ≤ 10) = F(10) - F(3)
= 0,8 - 0,1125= 0,6875.
2- Calculer : E(X), Var(X) et σ(X) ?
Pour obtenir les valeurs de l'espérance et de la
variance il faut recourir au calcul des intégrales.
• E(X) = 0,5333 + 5,25 +1,1667 = 6,95
• E(X2) = 1,6 + 42,2333 +13,6333 = 57,4667.
Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 = 57,4667 - (6,95)2 = 9,1642 .