2011TOU30137

THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par :
Université Toulouse III Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)
Discipline ou spécialité :
Mathématiques
Présentée et soutenue par
Thomas Gauthier
le : 25 novembre 2011
Titre :
Dimension de Hausdorffde lieux de bifurcations maximales en dynamique
des fractions rationnelles.
École doctorale :
Mathématiques, Informatique et Télécommunications (MITT)
Unité de recherche :
Institut de Mathématiques de Toulouse UMR 5219
Directeur de thèse :
François Berteloot, Professeur, Univsersité Toulouse III,
Rapporteurs :
Nessim Sibony, Professeur, Université d’Orsay,
Tan Lei, Professeur, Université d’Angers
Membres du jury :
François Berteloot, Professeur, Université Toulouse III,
Xavier Buff, Professeur, Université Toulouse III,
Arnaud Chéritat, Chargé de Recherche, Université Toulouse III,
Tien-Cuong Dinh, Professeur, Université Pierre et Marie Curie,
Nessim Sibony, Professeur, Université d’Orsay,
Tan Lei, Professeur, Université d’Angers.

i
RÉSUMÉ
Dans l’espace Mddes modules des fractions rationnelles de degré d,lelieudebifurcationestle
support d’un (1,1)-courant positif fermé Tbif appelé courant de bifurcation.Cecourantinduitune
mesure µbif := (Tbif)2d−2dont le support est le siège de bifurcations maximales. Notre principal
résultat est que le support de µbif est de dimension de Hausdorfftotale 2(2d−2). Il s’ensuit
que l’ensemble des fractions rationnelles de degré dpossédant 2d−2cyclesneutresdistinctsest
dense dans un ensemble de dimension de Hausdorfftotale. Remarquons que jusqu’alors, seule
l’existence de telles fractions rationnelles (Shishikura) était connue. Mentionnons que pour notre
démonstration, nous établissons au préalable que les fractions rationnelles (2d−2)-Misiurewicz
appartiennent au support de µbif.
Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thèse, traite de l’espace M2.Nousmontrons
que, dans ce cas, le courant Tbif se prolonge naturellement à P2en un (1,1)-courant positif fermé
dont nous calculons les nombres de Lelong. Nous montrons aussi que le support de la mesure
µbif est non-borné dans M2.
ABSTRACT
In the moduli space Mdof degree drational maps, the bifurcation locus is the support of a
closed (1,1) positive current Tbif called bifurcation current.Thiscurrentgivesrisetoameasure
µbif := (Tbif)2d−2whose support is the seat of strong bifurcations. Our main result says that
supp(µbif)hasmaximalHausdorffdimension2(2d−2). It follows that the set of degree drational
maps having 2d−2distinctneutralcyclesisdenseinasetoffullHausdorffdimension.Notethat
previously, only the existence of such rational maps (Shishikura) was known. Let us mention
that for our proof, we first establish that the (2d−2)-Misiurewicz rational maps belong to the
support of µbif.
The last chapter, which is independent of the rest of the thesis, deals with the space M2.We
prove that, in this case, the current Tbif naturally extends to a (1,1)-closed positive current on
P2which we calculate the Lelong numbers. We also show that the support of µbif is unbounded
in M2.

ii

Remerciements.
Mes remerciements vont en premier lieu à François Berteloot pour avoir dirigé ce travail
de Thèse. Au cours de ces trois années, il a su me transmettre sa passion pour la recherche
en mathématiques. Je lui suis reconnaissant pour le temps et l’énergie qu’il m’a consacrés sans
compter, ainsi que pour les discussions, mathématiques ou non, au cours desquelles il m’a beau-
coup apporté.
Je suis très touché de l’honneur que me font Nessim Sibony et Tan Lei en ayant accepté de
rapporter ce travail. J’exprime également toute ma gratitude à Xavier Buff, Arnaud Chéritat et
Tien-Cuong Dinh pour leur participation à mon jury.
Je souhaite également remercier d’autres personnes pour le temps qu’ils m’ont accordé durant
ces trois années. Je suis très reconnaissant envers tous les membres de l’équipe de dynamique
holomorphe de l’Institut de Mathématiques de Toulouse, à savoir Xavier Buff, Arnaud Chéritat
et Pascale Roesch, pour toutes les discussions mathématiques très enrichissantes que j’ai pu avoir
avec eux et pour leur très grande disponibilité. J’ai aussi eu la chance de pouvoir profiter des
conseils avisés de Vincent Guedj et Ahmed Zeriahi en théorie du pluripotentiel. J’ai aussi eu la
chance de croiser Romain Dujardin dont les questions m’ont aidé à aborder la démonstration des
estimées de dimension et Charles Favre dont les conseils m’ont permis notamment d’améliorer
ma façon d’exposer mon travail. Je tiens également à remercier Adam Epstein, John Hubbard
et Mitsuhiro Shishikura, sans oublier Christophe Dupont.
Je remercie Agnès Requis, sans qui la vie des doctorants de mathématiques de Toulouse
serait beaucoup plus compliquée, ainsi qu’Éric Lombardi et Jean-Michel Roquejoffre pour leur
aide "administrative" au cours de l’été 2011. Je tiens à remercier ma mère et Chantal Lejeune
pour leur relecture détaillée de ce texte qui a permis de supprimer nombre de coquilles.
Je ne peux pas écrire de remerciements sans citer James, Jean-Christophe, Christophe, Cé-
cile et Bastien avec qui j’ai partagé mon bureau au cours de ces années et qui ont supporté
mes heures de marche devant le tableau. Je pense aussi à Thomas, Arnaud, Yohann, Charlotte,
Leandro et à nos discussions surréalistes du midi et à mes collègues doctorants Jacques, Julien,
Léonard, Brice, Virginie, Amic, Sandrine, Alice, Alexandre, Guitta, Daniel, Tony, Arnaud, Ilies,
Robin, Matthieu, Dmitriy, Luna, Boubacar, Anne, Marion, Anne, Yann, Claire, Frédéric, Va-
lentina, Ismael, Matthias,... (et tous ceux que j’aurais oublié et qui se reconnaîtront) qui ont
rendu ces années passées au sein de l’Institut de Mathématiques, ainsi que divers évènements
mathématiques, agréables et intéressantes.
Je salue également Claire, Mika, Cédric, Marianne, Jean-Fé et Anne-Laure, mes copains de
Licence et Master, qui ont montré un intérêt pour mes travaux tout au long de ces années, ainsi
qu’à mes amis de 15 ans Fabien et Jeff, qui m’ont soutenu tout au long de ces années, tout en
iii