CALCULS – ALGÈBRE - ARITHMÉTIQUE AU COLLÈGE EN 6

CALCULS – ALGÈBRE - ARITHMÉTIQUE AU COLLÈGE
EN 6e
NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX
Nombres entiers
Les chiffres sont les dix symboles : 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9
Les nombres entiers s’écrivent avec des chiffres ; ce sont les premiers nombres que l'on apprend et utilise!
Exemple: 568 est composé des chiffres 5, 6 et 8
Remarque : Tout chiffre est un nombre
Notre système d'écriture des nombres est dit décimal (parce que l'on effectue des regroupements par dix) et de position
( parce que chaque chiffre a une signification précise et différente selon rang dans l'écriture du nombre).
Exemple
3 293 = (3 × 1000)
+ (2 × 100)
+ (9 × 10)
↑chiffre des unités
↑chiffre des dizaines
↑chiffre des centaines
+ (3 × 1)
↑chiffre des unités de mille
Les mots servant à écrire des nombres sont invariables.
Exceptions : - Million et milliard s'accordent au pluriel ;
- Cent et vingt s'accordent au pluriel seulement s'ils ne sont pas suivis d’un autre nombre.
Exemples : Deux millions; trois milliards Cent trois (103); deux cents (200) ; deux cent quatre (204)
Vingt-quatre (24) - Quatre-vingts (80) - quatre-vingt neuf (89)
Nombres décimaux
Les fractions dont le dénominateur est 10 ; 100 ; 1000 ;… sont des fractions décimales :
;
Quand on coupe une unité en 10 parties égales, on obtient des dixièmes. Un dixième se note :
Dans l’unité, il y a 10 dixièmes donc : 1 =10 ×
.
ou 0,1
=
Quand on coupe une unité en 100 parties égales, on obtient des centièmes. Un centième se note :
Dans l’unité, il y a 100 centièmes donc : 1 =100 ×
ou 0,01
=
Quand on coupe une unité en 1000 parties égales, on obtient des millièmes. Un centième se note :
Dans l’unité, il y a 1000 millièmes donc : 1 =1000 ×
= 10 ×
=
= 10 ×
=
ou 0,001
=
= 100 ×
=
Un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule.
L'écriture décimale (ou à virgule) est composée d’une partie entière (le nombre formé de tous les chiffres avant la
virgule) et d’une partie décimale (le nombre formé de tous les chiffres après la virgule).
Exemple :
1345
 ,
partie
entière
 (11000) + (3100) + (410) + (51) + (7  0,1) + (8 0,01) +(9 0,001)
789

partie
décimale
7 est le chiffre des dixièmes 8 est le chiffre des centièmes
9 est le chiffre des millièmes
On peut l'écrire également sous forme d'une somme de la partie entière et d'une ou plusieurs fractions décimales
1 345, 789 = 1345 +
+
+
= 1345 +
Remarques
-Ajouter des 0 avant la partie entière ou après la partie décimale ne change pas un nombre décimal. Ex.: 6,2 = 06,200
- Un nombre entier est un nombre décimal qui peut s'écrire sans partie décimale - Ex : 27 = 27,0
Comparer 2 nombres décimaux, c'est dire s'ils sont égaux ou si l'un est plus petit (ou grand) que l'autre.
Pour comparer deux nombres en écriture décimale :
-Si les parties entières sont différentes alors on compare celles-ci. Exemple : 38,5 < 39,2 car 38 < 39.
-Si les parties entières sont égales alors on compare les parties décimales.
- Méthode 1 : on compare les chiffres des dixièmes, puis les chiffres des centièmes…. etc...
- Méthode 2 : on « s’arrange » pour avoir le même nombre de décimales en rajoutant des 0, puis
on compare les parties décimales.
Ex : 5,29 > 5,281 car 5,29 = 5,290 et 290 > 281.
Droite graduée :
Pour graduer une droite, il faut choisir un point d’origine qui correspond au nombre 0 et une unité que l’on reporte
régulièrement. Sur une droite graduée, un point peut être repéré par un nombre appelé son abscisse.
Ex : Le point O a pour abscisse 0, le point N a pour abscisse 1, le point M a pour abscisse 2,5.
Valeurs approchées décimales - Encadrements
Exemple : encadrer 5,8 par les entiers les plus proches (deux entiers consécutifs) : 5 < 5,8 < 6
On dit que 5 est la valeur approchée décimale de 5,8 par défaut à l'unité. 5 est la troncature de 5,8 à l'unité
On dit que 6 est la valeur approchée décimale de 5,8 par excès à l'unité.
Celle des 2 valeurs approchées qui est le plus proche de la valeur exacte est appelée arrondi à l'unité. (Ici, c’est 6)
OPERATIONS
ADDITION ET SOUSTRACTION
L'addition est l'opération qui permet de calculer la somme de deux termes.
La soustraction est l'opération qui permet de calculer la différence de deux termes.
Exemple de calculs posés :
7
+
8
8
5
3
5, 4
2, 6
8, 0
3
3
6
2
4
5
1
3
2, 4
4, 9
7, 5
8
8
Pour poser une addition ou une soustraction, les chiffres de même rang sont disposés les uns en dessous des autres :
les chiffres des unités sont placés en colonne. Il faut faire attention de ne pas oublier les retenues !
Propriété : Pour additionner, on peut changer l'ordre des termes et regrouper certains termes, pour faciliter les calculs.
 Exemples : 13+5 = 5+13 = 18
13+7+25+5 = (13 + 7) + (25 + 5) = 20 + 30 = 50
ATTENTION : Dans une soustraction, l'ordre des termes a de l'importance et on ne peut pas regrouper des termes :

Exemples : 100-40-15 = 60-15 = 45 mais 100-(40-15) = 100-25 = 75
Lien entre soustraction et addition
A une addition on peut faire correspondre deux soustractions
 Ex. : de 8 + 3 = 11 on obtient 11-8 = 3 et 11 – 3 = 8
A une soustraction, on peut faire correspondre une addition et une autre soustraction.
 Ex. : de 8 - 3 = 5 on obtient 5 + 3 = 8 et 8 – 5 = 3
OPERATIONS AVEC DES DURÉES
Il y a proportionnalité entre les heures et les minutes ; entre les minutes et les secondes ; entre les heures et les
secondes :
1 h = 60 min
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 60 × 60 s = 3600 s
1 j = 24 h
 Exemple : Un bus part à 9 h 48 min d'Ambérieu et arrive à 11 h 39 à Nantua. Quelle est la durée du voyage ?
On calcule séparément les minutes et les heures.
10
99
11 h 39 min. ←Ici on ne peut calculer 39 min. – 48 min. directement
- 9 h 48 min.
Justification : 11 h 39 min. =10 h + 1h + 39 min = 10 h +60 min + 39 min= 10 h 99 min.
1 h 51 min.
Le voyage a duré 1 h 51 min
Autre façon : De 9 h 48 min à 10 h, il s'écoule 12 min. De 10 h à 11 h 39 min, il s'écoule 1h 39 min.
Et : 12 min. + 1 h 39 min. = 1 h 51 min.
MULTIPLICATION
La multiplication est l'opération qui permet de calculer le produit de deux facteurs
Exemple de calcul posé :
1

4
4
2
2
6
5
8
7
1
4
2,
3
7 0
5 1
6 8
8, 9
5
2,
2
2
0
4
6
4
4
0
0
4
← 2 chiffres dans la partie décimale
← 1 chiffre dans la partie décimale
On ajoute
← 3 chiffres dans la partie décimale
Méthode : On effectue d'abord la multiplication sans tenir comptes des virgules et ensuite on place la virgule
Calcul mental et propriétés
On peut regrouper différemment les facteurs. Ex. : 12,5 × 2 × 5 = 12,5 × (2 × 5) = (12,5 × 2) × 5
On peut changer l'ordre des facteurs. Ex. : 2 × 12, 8 × 5 = 12,8 × 2 × 5
On peut remplacer un facteur par le produit de deux ou plusieurs autres facteurs. Ex. : 14×35 =7×2×5 ×7
MULTIPLIER PAR 10 -100 -1000: Multiplier un nombre par 10, 100, 1000 revient à déplacer sa virgule respectivement
de 1, 2, 3rangs vers la droite en rajoutant 1,2 ou 3 zéros si nécessaire. Ex. : 14,2100 =1420 0,008 × 10 = 0,8
MULTIPLIER PAR 0,1 - 0,01- 0,001: Multiplier un nombre par 0,1;0,01;0,001 revient à déplacer sa virgule respectivement
de 1, 2, 3rangs vers la droite en rajoutant 1,2 ou 3 zéros si nécessaire. Ex. : 530,1 = 5,3
1420,01 = 1,42
Remarque : Multiplier n'agrandit pas toujours. Par exemple :
Produits remarquables :
2 × 0,5 = 1
0,5 × 0,2 = 0,1
4 × 0,25 = 1
5 × 0,2 = 1
On a : 0,1 <0,5 et 0,1<0,2
8 × 0,125 = 1
DIVISION EUCLIDIENNE
D'après cette division, on a : 4589 = (87  52) + 65 et 65 < 87
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier (le dividende ou D) par un nombre entier différent de 0 (le
diviseur ou d), c’est trouver le quotient entier (q) ET le reste entier (r) tels que l'on ait l'égalité :
Dividende = (diviseur  quotient) + reste
et
reste  diviseur
ou
Le reste de la division est toujours inférieur au diviseur. Il peut être égal à 0.
D= d
x
q + r
et
rd
Diviseurs et multiples
Si le reste de la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b est égal à 0, on dit que :
b est un diviseur de a ou
a est divisible par b ou
a est un multiple de b.
Exemple : 84 : 7 = 12 équivalent à 84 = 7 × 12. Le reste de la division euclidienne de 84 par 7 est égal à 0.
Donc, on peut dire que : 7 est donc un diviseur de 84 ou 84 est divisible par 7 ou 84 est un multiple de 7.
84 est aussi divisible par 12 car 84 :12 = 7.
Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
DIVISION DÉCIMALE
Effectuer la division décimale d’un nombre (le dividende) par un nombre (le diviseur) c’est déterminer le nombre
appelé quotient tel que : Dividende = diviseur × quotient. On note : quotient = dividende : diviseur
Exemples :
Le reste est égal à zéro centièmes
2,35 est la valeur exacte du
quotient de 126,9 par 54.
On écrit :
126,9 : 54 = 2,35
Le reste ne sera jamais égal à zéro.
La division ne peut se terminer.
8,63 est une valeur approchée au centième du
quotient par défaut de 380 par 44. Le quotient exact
n'est pas un décimal. On écrit : 380 : 44 ≈ 8,63
La division décimale permet d’obtenir soit la valeur décimale exacte du quotient, soit une valeur approchée du quotient.
Lien entre multiplication et division décimale
A une multiplication, on peut faire correspondre deux divisions. Ex. : de 7  3 = 21, on obtient : 21 : 3 = 7 et 21 : 7 =3
Diviser par 10, 100, 1 000 : Diviser par 10 ; 100 ; 1 000, c’est multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
 Exemples : 35,7 : 10 = 3,57
4 853 : 100 = 48,53
9 764 : 1 000 = 9,764
Ordre de grandeur
Dans une opération, quand on remplace des termes ou des facteurs par des nombres proches mais plus simples à
utiliser, le résultat obtenu est un ordre de grandeur de la somme, de la différence, du produit ou quotient à calculer.
Un ordre de grandeur peut servir à prévoir ou à vérifier un résultat.
 293,45+94,73 = 388,18
293,45 ≈ 300 et 94,73 ≈90
300 + 90 = 390
On dit que 390 est un ordre de grandeur de la somme à calculer.
 793,45 × 4,9 = 3 887,905
793,45 ≈ 800 et 4,9 ≈ 5
800 × 5 = 4000
On dit que 4000 est un ordre de grandeur du produit à calculer.
On a bien 388,18 ≈ 390
On a bien 3887,905 ≈ 4000
CONTRÔLE D’UN RÉSULTAT
Pour contrôler une différence, une somme, un produit ou un quotient, on peut :
- Vérifier le nombre de décimales (dans le cas d'un produit)
- Contrôler le dernier chiffre
- Déterminer un ordre de grandeur et donc s'assurer de la cohérence de la réponse trouvée avec le contexte et
donc s'assurer de sa vraisemblance.
MÉTHODE POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME
1 – Lire attentivement l'énoncé et comprendre le sens de chaque mot ; attention aux mots "pièges" et données inutiles ;
2 – Faire éventuellement un schéma même à main levée ;
3 – Déterminer la ou les opérations à effectuer ;
4 – Faire attention aux unités ; Convertir si nécessaire ;
5 – Poser les opérations au brouillon ou sur la fiche de contrôle si c'est demandé ;
6 – Écrire en ligne la ou les opérations à effectuer ; on peut utiliser des parenthèses pour écrire une seule expression ;
Si plusieurs opération, écrire une phrase réponse correspondant au résultat intermédiaire obtenu.
7 – Encadrer le résultat final ;
8 – S'il s'agit d'une division euclidienne, interpréter le résultat en fonction de la question posée ;
9 – Vérifier que le résultat est vraisemblable en calculant un ordre de grandeur ou …
10 – Écrire une phrase de conclusion sans oublier les unités.
FRACTIONS
DÉFINITION
Une fraction traduit un partage. Ex. : Manger le d’un gâteau c’est le partager en 4 parties égales et en prendre une.
a
a
Mais c’est aussi le résultat d’une division : Le quotient exact de a par b se note a : b ou
. On a donc : a = b ×
b
b
a
a
est une écriture fractionnaire du quotient de a par b. Si a et b sont des nombres entiers,
est une fraction.
b
b
a est le numérateur et b est le dénominateur.
8
= 1,6.
5
2
2
D’autres n’admettent qu’une valeur décimale approchée. Ex. : 2 : 3 =
et
 0,66 (valeur tronquée au centième)
3
3
Certaines écritures fractionnaires ont une écriture décimale exacte. Ex. :
EGALITE DE 2 QUOTIENTS
a
Le quotient de deux nombres ne change pas si on multiplie (ou on divise) le numérateur ET le dénominateur par un
b
MÊME nombre DIFFÉRENT DE 0. On obtient alors deux écritures fractionnaires ou deux fractions égales
Exemples :
0,2
3

0,2  10
3  10

2
132
3
110

66  2
55  2

66
55

6  11
5  11

6
(Fraction irréductible)
5
Simplifier ou réduire une fraction c’est la remplacer par une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un
dénominateur plus petits. Quand on ne peut simplifier (ou réduire) la fraction on dit qu'elle irréductible.
PRENDRE UNE FRACTION D’UN NOMBRE
a
a
Prendre la fraction (ou calculer les) d’un nombre c, c’est multiplier le nombre c par la fraction
b
b
2
 Exemple : Une personne dispose de 915 €. Elle dépense les de cette somme. Combien a-t-elle dépensé?
5
Méthode M1
Méthode M2
Méthode M3
2
2
2
915  =(915×2) :5 =1830 :2 = 366 915  = (915 :5)  2 = 183  2 = 366 915  = 915  0,4 = 366
5
5
5
Cette personne a dépensé 366 €.
PROPORTIONNALITE
→ Voir Partie 4e
GESTION DE DONNEES - STATISTIQUES
→ Voir Partie 3e
EN 5e
RÈGLES DE CALCULS – DISTRIBUTIVITÉ – CALCUL LITTERAL
DÉFINITIONS
Les priorités opératoires sont l’ensemble des règles qui permettent de faire un calcul comportant plusieurs opérations.
Une expression mathématique est constituée par des nombres reliés entre eux par des signes opératoires (x ; + ; - ; :;..)
Une expression littérale est une expression mathématique qui utilise des lettres (ou variables) remplaçant des nombres.
Elle sert à établir une formule, mathématiser un problème et à démontrer qu'une conjecture est vraie en algèbre.
LE SIGNE =
Le signe "=" est la traduction mathématique de "est égal à ". Donc commencer un calcul par = n'a aucun sens.
"= 3 × x + 2 " se traduit par " est égal à la somme de 2 et du produit de 3 et x ". Il nous manque le début de la phrase .
Mais il existe des différentes nuances :
- Le signe = juste avant le résultat d'une opération. Exemple : 3×2 + 3 : 5 = …
- Le signe = pour signifier que deux nombres ou deux expressions sont égales. Exemple :
- Égalité conditionnelle : équation. Exemple : Trouver x pour que l'on ait : 3x -5 = 8x +3
5×3=7+8
RÈGLES DE CALCULS
Convention 1 : Dans une expression sans parenthèses comportant uniquement des additions et des soustractions, on
effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Convention 2 : Dans une expression sans parenthèses comportant uniquement des divisions et des multiplications, on
effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Convention 3 : Dans une expression sans parenthèses, on effectue d’abord les divisions et les multiplications avant les
additions et les soustractions. On dit que la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.
Convention 4 : Dans une expression avec parenthèses, on commence par effectuer les calculs à l'intérieur des
parenthèses en commençant par les parenthèses les plus intérieures.
Remarque : Les crochets [...] et les accolades {…} sont des grandes parenthèses.
TRADUIRE UN ÉNONCÉ MATHÉMATIQUE EN UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE
Une somme est le résultat d'une addition de termes. Une différence est le résultat d'une soustraction de termes.
Un produit est le résultat d'une multiplication de facteurs. Un quotient est le résultat d'une division.
Méthode : "A est " se traduit par A =
Déterminer quelle est l'opération principale, celle que l'on effectue en dernier. Ensuite écrire les termes ou les facteurs
Attention à ne pas employer le mot chiffre à la place de nombre.
VALEUR NUMÉRIQUE D'UNE EXPRESSION LITTÉRALE
Donner la valeur numérique d'une expression littérale consiste en le calcul de l'expression en remplaçant les lettres par
les nombres proposés ou que l'on choisit.
Exemple : Soit l'expression : E = 2 × a + 3 – b . Calculer E pour a = 1 et b = 3,5
Si a = 1 et b = 3,5 alors E = 2 × 1 + 3 – 3,5 = 2 + 3 – 3,5 = 5 – 3,5 = 1,5
Remarque : Si on change la valeur de a ou de b, la valeur de E changera. E dépend des variables a et b
EXPRESSION "EN FONCTION DE "
Dans l'exemple ci-dessus, on dit aussi que ou E est fonction des variables a et b.
Écrire ou exprimer une grandeur G en fonction d'une variable x signifie écrire une expression littérale comportant la
variable x et permettant de calculer la grandeur G.
Exemple : Choisir un nombre d. Le multiplier par 2 puis ajoutez 7,5. Notez R le résultat. Exprimer R en fonction de d.
→ On obtient : R = d × 2 + 7,5
CONVENTION D'ÉCRITURE
Le trait de fraction sous-entend des parenthèses autour du numérateur et autour du dénominateur.
Ex.: H =
peut s'écrire H = (2, 3 + 5,7) : 2
I = 17 –
peut s'écrire I = 17 – (13 + 5) : (4 -1)
Avec la calculatrice, les parenthèses sont nécessaires et obligatoires, sinon le résultat sera faussé !
Suppression (ou omission) du signe opératoire × de la multiplication.
On peut supprimer le signe × lorsqu'il est suivi d'une lettre ou d'une parenthèse.
Exemples :
Remarque :
- 5 × x = 5x
2 × b × 7 = 2 × 7 × b = 14b
- a × b = ab = b × a = ba
3 × (y + 1,2) = 3(y + 1,2)
On lit "3 facteur de y +1,2"
ab ≠ a + b (sauf cas particuliers) ; x × 5 ≠ x5 et 5 × 4 ≠ 54
Cas particuliers : Quel que soit le nombre a :
1 × a = 1a = a et 0 × a = 0
(Ex. : 1 × 2 = 2 et 0 × 9,54 = 0 )
DISTRIBUTIVITÉ
Propriété
Quels que soient les nombres k, a et b, on a les 2 relations :
k(a + b) = ka + kb
On dit que la multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction.
et k(a - b) = ka - kb
Application n°1: développement
Développer c'est transformer un produit de facteurs en une somme (ou différence) de termes en utilisant les formules
de distributivité de la gauche vers la droite ( k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb )
Exemples :
A = 3(x + 5,5) = 3 × x + 3 × 5,5 = 3x + 16,5
D = 7b(3 – 12c) = 7b × 3 – 7b×12c = 21b – 84bc
Calcul mental : E = 29 ×99 = 29 × (100 – 1) = 2 900 – 29 = 2 871
Application n°2: factorisation
Factoriser c'est transformer une somme (ou différence) en un produit de facteurs en utilisant les formules de
distributivité de la droite vers la gauche ( ka + kb = k(a + b) et ka - kb = k(a - b) ).
Exemples :
A = 3x + 3a = 3(x +a)
Calcul mental :
I = 15  107 - 15  7
B = 5y + 35 =5y + 5×7 = 5(y+7)
D = 7x – 4x + 5x = x(7-4+5) =8x
= 15 × ( 107 – 7) = 15 × 100 = 1 500
EGALITES
Définition : Une égalité est une affirmation mathématique constituée de deux expressions littérales et/ou numériques
séparées par le signe =. Les deux expressions sont appelées membres de l'égalité.
Attention : une égalité ne veut pas dire que c'est forcément égal !
Exemples : 9×5 – 2 = 3 +5×8 : Cette égalité est vraie car: 9 × 5 – 2 = 45 – 2 = 43 et 3 + 5 × 8 = 3 + 40 = 43
Les égalités suivantes sont fausses : 9 – 6 = 15
15:3 – 6 = 11
3 + 2 × 2 = 10
Cas d'égalité de 2 expressions littérales
Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat , quel que soit les valeurs des lettres.
Exemples : - L'égalité 25(x + 1) = 25x + 25 est vraie car le 1er membre est la forme développée du 2e .
- L'égalité 25(1 - x) = 25 + 25x est fausse car si pour x = 1 on a : 25(1 - x)= 0 et 25+25x = 50 ; 0 ≠50
Tester une égalité
Pour tester si une égalité est vraie ou fausse pour un (des) nombre(s) donné(s), on calcule séparément la valeur
numérique de chaque membre de l'égalité en remplaçant les lettres (les variables) par les nombres proposés.
Puis on compare les deux valeurs obtenues.
Exemple : L'égalité 2x + 4 = 5x – 2 est-elle vraie pour x = 2 ? Et pour x= 3 ?
Pour x = 2 : 2x+4= 2×2+4= 4+4=8 et 5x-2= 5×2 -2=10 –2=8. On a :8 = 8. Donc l'égalité est vraie pour x = 2
Pour x = 3 : 2x+4= 2×3+4= 6+4=10 et 5x-2= 5×3 -2=15–2=13. On a :10≠13. Donc l'égalité est fausse pour x = 3
NOMBRES RELATIFS – ADDITION ET SOUSTRACTION - REPÉRAGE
NOTIONS DE NOMBRES RELATIFS ET DÉFINITION
Un nombre positif est un nombre plus grand que 0. Son signe est + mais on peut l’omettre. Exemples : 3 ; +5,2
Un nombre négatif est un nombre plus petit que 0. Son signe est –. Exemples : -5 ; -2 ; -5,3
0 est à la fois positif et négatif.
Tous ces nombres sont appelés nombres relatifs. Ils permettent de donner un résultat à toutes les soustractions.
Les nombres connus jusqu'à maintenant étaient les nombres relatifs positifs
REPÉRAGE DES POINTS SUR UNE DROITE
B
O
I
-3
-2
-1
0
+1
A
+2
+3
+4
+5
Exemples : L’abscisse du point A est +5 ; on note A(+5) L’abscisse du point B est -3, on note B(-3).
DISTANCE À ZÉROS ET NOMBRES OPPOSÉS
B est à 3 unités de O: on dit que la distance à zéro de -3 est 3. A est à 3 unités de O: la distance à zéro de +3 est 3.
Un nombre relatif (ou relatif) est déterminé par son signe (- ou +) et sa distance à zéro.
+3 et -3 ont la même distance à zéro: on dit qu'ils sont opposés. +3 est l'opposé de -3 et –3 est l'opposé de +3.
RÈGLES DE COMPARAISON DE NOMBRES RELATIFS
Comparaison de 2 nombres
R1 : Tout nombre positif est toujours plus grand que tout nombre négatif.
→ Exemple : -3 < +5
R2 : De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à 0. → Exemple : -16,3 < -15,8
R3 : De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui la plus petite distance à 0. → Exemple : 8,25 > 7,8
Comparaison de plusieurs nombres : 3 méthodes pour les classer dans l’ordre croissant par exemple
- On peut appliquer les règles précédentes en comparant les nombres deux à deux. Mais c'est souvent long.
- Méthode visuelle : On place les nombres sur une droite graduée et on les relève de la droite vers la gauche.
- Méthode réfléchie : On trie les nombres positifs et les nombres positifs ; on compare les 2 groupes séparément.
REPÉRAGE D’UN POINT DANS LE PLAN
Repère : Un repère d’origine O du plan est formé de droites graduées (appelées les axes) de même origine O.
En général, on choisit ces axes perpendiculaires en O. On dit alors que le repère est orthogonal.
On peut également choisir la même unité.
Coordonnées d’un point dans un repère
(O, x , y ) est un repère du plan.
Chaque point peut être repéré par deux nombres appelés les coordonnées
du point :
- Le 1er nombre, lu sur l’axe des abscisses (Ox), s’appelle l’abscisse ;
- Le 2e nombre, lu sur l’axe des ordonnées (Oy), s’appelle l’ordonnée.
Exemples :
le point D a pour abscisse -3 et pour ordonnée 2 et on note D(-3 ; 2).
le point B a pour abscisse +2 et pour ordonnée 2 et on note B(+2 ; -2).
le point C a pour abscisse +3 et pour ordonnée +3 et on note C(+3 ; +3).
ADDITION DE 2 NOMBRES RELATIFS
Pour additionner deux nombres de même signe :
On garde le signe commun aux deux nombres et on écrit la somme des distances à zéro.
Exemples :
(+3,6) + (+6,4)  + (3,6 + 6,4) = 10
(-3,6) + (-6,4)  - (3,6 + 6,4) = - 10
Pour additionner deux nombres de signes contraires :
On garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on écrit la différence des distances à zéro.
Exemples :
(+2,6) + (-3,9)  - (3,9 – 2,6) = - 1,3
(+7,7) + (-6,6)  + (7,7 – 6,6) = + 1,1 = 1,1
Addition de deux nombres opposés
Quand on ajoute deux nombres opposés, on obtient 0.
Exemple : (+7) + (-7)  0
ADDITION DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS : IL Y A 2 MÉTHODES
Méthode 1 : On peut calculer les nombres par deux en partant de la gauche comme ci-dessous.
→ Exemple : A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9) = (-2) + (-4) + (+9) = (-6) + (+9) = (+3)
Méthode2 : On peut regrouper tous les positifs d’abord puis tous les négatifs
→ Exemple : A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9) = (+3) + (+9) + (-5) + (-4) = (+12) + (-9) = (+3)
SOUSTRACTION DE DEUX NOMBRES RELATIFS
Méthode : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
→ Exemples : (+3) - (+9)  (+3) + (-9)  -6
(-9) - (-12)  (-9) + (+12)  +3
ADDITION ET SOUSTRACTION DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS
On transforme les soustractions en additions et on regroupe les termes pour faciliter les calculs.
→ Ex.: E=(+2) + (+6) + (-5) + (+9) + (-7) + (-8) = (+2) + (+6) + (+9) + (-5) + (-7) + (-8)= (+17)+(-20) = (-3)
DISTANCE DE 2 POINTS SUR UNE DROITE GRADUÉE
Définition :
Soit 2 points A et B d’abscisses respectives xA et xB. Si xA > xB alors AB = xA – xB. Si xA < xB alors AB = xB – xA.
La distance est la différence entre l’abscisse la plus grande est l’abscisse la plus petite. Elle tance est toujours positive.
PROPORTIONNALITÉ
→ Voir Partie 4e
GESTION DE DONNÉES - STATISTIQUES
→ Voir Partie 3e
EN 4e
NOMBRES RELATIFS – MULTIPLICATION ET DIVISION
Multiplication de 2 nombres relatifs
Le produit de deux nombres positifs est positif. Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Le produit d’un nombre négatif et d’un nombre positif est négatif.
→ Exemples : 7 × 8 = 56
-7 × (-8) = 56
-7 × 8 = -56 et
7 × (-8) = -56
Produits de plusieurs nombres relatifs
- Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.
- Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.
→ Exemples : (-4) × 2 × (-6) > 0
et
(-2) × 3 × 2 × (-4) × (-1) × (-2) ×(-1) < 0
Quotient de deux nombres relatifs
Le diviseur doit être différent de 0. La règle des signes est la même que celle de la multiplication.
→ Exemples : (-8) : (-4) = +2
(-8) : 4 = -2
8 : (-4) = -2.
NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE
Produit en croix
a, b, c et d sont 4 nombres relatifs avec b et d différents de 0. Si
a c
 alors a  d  c  b .
b d
Multiplier des nombres en écriture fractionnaire.
Pour multiplier 2 nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre
eux.
35  8 
35  8
5 7 8
5
3 5 3
3  (5)  3
3 3
1
1
→ Exemples :
    


 




64  7 
64  7
88 7
8
5 9 4 5  9  (4) 3  3  (4) 4
4
Inverse
Définition : Soit a ≠0. On dit que d est l’inverse de a si a ×d = 1.
→ Exemples : 0,2 ×5 = 1 donc 0,2 est l’inverse de 5 et 5 est l’inverse de 0,2. L’inverse de (-8) est (-0,125).
a
a
b
est une écriture fractionnaire non nulle ( a  0 , b  0 ). L’inverse de
est .
b
b
a
6
7
13
5
→ Exemples : L’inverse de
est
. L’inverse de 
est  .
7
6
5
13
Propriété : Soit
Diviser deux nombres en écriture fractionnaire.
Propriété :
Diviser par un nombre non nul c’est multiplier par son inverse. → Exemples : 5  2  5 
1
1
5
et 6   6   6  5 .
2
5
1
Conséquence :
a c a d
Soit a, b, c, d 4 nombres tels que b  0 , c  0 et d  0 . Alors :
:  
b d b c
2 3 2 4 8
→ Exemples : A  :   
3 4 3 3 9
3
3 4
3
B 4  

7 4 7
7
4
ou
a
b  ad
c b c
d
→ Voir Partie 3e
PUISSANCES D'UN NOMBRE
EQUATIONS
→ Voir Partie 3e
PROPORTIONNALITÉ
TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ
Un tableau est un tableau de proportionnalité si on passe d’une ligne à l’autre en multipliant ou en divisant par un
nombre, toujours le même. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.
→ Exemple : périmètre d’un carré.
Côté d’un carré (en cm)
1
2
3
3,5
Périmètre du carré (en cm)
4
8
12
14
La longueur du côté d’un carré et son périmètre sont
deux grandeurs proportionnelles.
4 est le coefficient de proportionnalité.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite passant par l’origine.
→ Exemples :
En abscisse (x) : longueur du côté du carré
En ordonnée (y) : périmètre du carré
→ Contre-exemples :
Les points sont alignés mais
pas avec l’origine. Il ne s’agit
pas
d’une
situation
de
proportionnalité
Les points ne sont pas
alignés donc il ne s’agit pas
d’une
situation
de
proportionnalité.
TROUVER LE NOMBRE MANQUANT DANS UN TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ
Masse de pêches (kg)
Prix (€)
4
6,4
5
8
7
11,2
8
12,8
A l’aide du coefficient de proportionnalité
6,4  4 = 1,6. Le coefficient de proportionnalité est 1,6.
15
x
15 kg de pêches coutent 24 €.
x = 15  1,6 = 24
En additionnant (ou soustrayant) 2 colonnes du tableau
15 kg = 7 kg + 8 kg donc x = 11,2 € + 12 ,8 €= 24 €
En multipliant (ou divisant) une colonne par un nombre (non nul) entier ou décimal ou sous forme fractionnaire
15 kg = 3 × 5 kg donc x = 3 × 8 € = 24 €
ou 15 kg = × 8 kg donc x = 12,8 ×
€ = 192 € : 8 = 24 €
Avec le produit en croix
6, 4 x
3  6, 4 19, 2
 . On a donc 4  x  6, 4  3 . D'où : x 

 4,8
On a
4
3
4
4
Attention: les coefficients multiplicateurs ou de proportionnalité sont toujours écrits en valeur exacte ‼!
VITESSE MOYENNE.
Quand on parle de vitesse moyenne, on considère qu’il y a proportionnalité entre la distance parcourue et la durée du
trajet. La vitesse moyenne est alors le coefficient de proportionnalité. On dit dans ce cas que le mouvement est
uniforme. La vitesse moyenne d’un mobile sur un parcours est donc le quotient de la distance parcourue par la durée
du parcours.
d
d
On a donc d  v  t
et
Unités possibles : km/h ou km.h 1 ; m/s ou ….
v
t
t
v
→ Exemples :
Un avion vole à une vitesse de 800 km/h pendant 7 h.
d  v  t  800  7  5600 . L’avion a parcouru 5600 km.
d 9600
Un autre avion vole aussi à 800 km/h pour un trajet de 9600 km. t  
 12 L’avion a mis 12 heures .
v 800
CONVERSIONS
→ Exemple 1 : Convertir 72 km/h en m/s
72 km = 72000 m et 1 h = 3600 s. Je parcours 72000 m en 3600s. v =
= 20 m/s . Donc : 72 km/h = 20 m/s
→ Exemple 2 :Convertir 13 m/s en km/h.
13 m = 0,013 km . Je parcours 0,013 km en 1s. v = 0,013 km/s× 3600s = 46,8 km/h. Donc: 13 m/s = 46,8 km/h.
POURCENTAGES
→ Exemple 1 : Une classe a 25 élèves. 20  de ces élèves sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?
Le nombre de filles de la classe est donné par: 25  20% = 25 ×
=5
Il y a donc 5 filles dans la classe.
→ Exemple 2: Il y a 18 garçons dans une classe de 30 élèves. Quel est le pourcentage de garçons dans cette classe ?
18  100
nombre de garçons
18 x
30  x = 18  100 d'où : x=
= 60 Cette classe a 60  de garçons.
30
nombre total d'élèves 30 100
EN 3e
PUISSANCES
NOTATION an : Soit a est un nombre. Soit n un nombre entier positif.
an est la puissance de a, d’exposant n et on " a puissance n ".
- Si n  2 alors an = a × a ×………...× a (produit de n facteurs tous égaux à a)
- a1 = a ; Si a≠0 alors a0 = 1
- Si n ≠ 0 alors a-n =
(c'est l’inverse de an)
→
Exemples : 23 = 2 × 2 × 2 = 8
51 = 5
9630 = 1
PIÈGES À ÉVITER :
-26 ≠ (-2)6
3 × 74 ≠ (3 × 7)4
5 + 3² ≠ (5 + 3)²
La puissance s’adresse au nombre placé devant ou entre parenthèses. Elle est prioritaire sur les autres opérations.
RÈGLES DE CALCUL Soit a et b, 2 nombres relatifs différents de 0 et m et n, 2 nombres entiers relatifs. On a :
am × an = am + n
= am – n
PUISSANCES DE 10
Écriture décimale des puissances de 10
10-4
10-3
10-2
10-1
0,0001
0,001
0,01
0,1
Soit n un nombre entier positif :
(am) n = amn
100
1
101
10
(ab)n = anbn
102
100
103
1000
n
=
106
1000000
109
1000000000
10n = 1 0.....0 ( 1 suivi de n zéros )
10-n = 0,0...01 ( n zéros suivi d'un 1, les 2 premiers 0 étant séparé par une virgule)
Écriture scientifique : On utilise les puissances pour écrire des nombres décimaux et pour les comparer facilement.
L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme a × 10n où a est un décimal ayant 1 seul chiffre différent de 0 avant
la virgule. → Exemple : 21375 = 2,1375 × 104 et
0,0032 = 3,2 × 10-3
DÉVELOPPEMENTS-FACTORISATIONS
DÉVELOPPEMENTS
En utilisant la distributivité simple et la distributivité double
Pour tous les nombres a, b, c et d on a :
et (a + b)(c + d) = ab + ad + bc + bd
Identités remarquables
Pour tous les nombres a, b et c on a : (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a-b) = a² - b²
SUPPRESSION DES PARENTHÈSES
- Dans une suite d'additions et de soustractions, on peut supprimer des parenthèses précédées d'un signe + en
conservant les signes des termes intérieurs aux parenthèses.
- Dans une suite d'additions et de soustractions, on peut supprimer des parenthèses précédées d'un signe – en changeant
les signes des termes intérieurs aux parenthèses.
FACTORISATION
Le facteur commun est apparent : On recherche le facteur commun à tous les termes de la somme et on utilise les
formules de distributivité dans le sens FACTORISATION :
ac + ad = a(c+d)
Le facteur commun n'est apparent : On peut utiliser les identités remarquables dans le sens FACTORISATION
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a + b)²
a² - b² = (a +b)(a-b)
ENSEMBLES DE NOMBRES
Ensemble des nombres entiers naturels (ou naturels) →
Ensemble des nombres entiers relatifs (ou relatifs) →
Exemples : 0 ; 1 ; 2 ; 5 897 ; …
Exemples : -3 ; -15 ; 0 ; 2982 ; …
Tout entier est un entier relatif : c'est un entier positif. (Ex : 4 = + 4)
Ensemble des nombres décimaux (ou décimaux) →
Exemples : 2,4 ; 0,0256 ; -6,1 ; …
Tout nombre entier relatif est un nombre décimal (ex: 295 = 295,0)
Ensemble des nombres rationnels (ou rationnels)
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme avec a et b deux entiers relatifs, b≠0.
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels. →
Exemple: 0,5 =
Il existe des nombres rationnels non décimaux :
(la division ne se termine jamais)
;
-
=
- 0,75 =
Ensemble des nombres irrationnels (ou irrationnels)
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel. Il ne peut pas s'agir du résultat d'une division.
→ Exemples :
 ; 2 ; On ne peut qu'obtenir des valeurs décimales approchées de ces nombres.
ARITHMÉTIQUE
DIVISEURS ( → Voir partie 6e)
DIVISEURS COMMUNS : Si 2 entiers naturels a et b sont divisibles par un même entier naturel k, on dit que k est un
diviseur commun de a et b. 1 est un diviseur commun à tous les nombres.
→Exemples :
36=12×3 et 24=122, donc 12 est un diviseur commun à 36 et 24.
PGCD
Si a et b désignent deux nombres entiers relatifs, le PGCD de a et de b est le plus grand des diviseurs communs à a et b.
On le note PGCD (a ; b) . PGCD (a; a) = a . Si d est un diviseur de N, PGCD(N;d) = d
→ Exemple : 24 et 36 ont 6 diviseurs communs : 1; 2; 3; 4;6;12. 12 est le plus grand. PGCD(24 ; 36) = 12.
ALGORITHMES DE RECHERCHE DU PGCD
Algorithme des soustractions successives : Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la
succession des différences de l’algorithme.
→ Exemple :295 – 177 = 118 → 177 – 118 = 59 → 118 – 59 = 59 → 59 – 59 = 0 → PGCD(295 ; 177)= 59
Algorithme d’Euclide ( ou des divisions successives) : Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans
la succession des divisions euclidiennes de l’algorithme d’Euclide.
→ Exemple : 360 = 2521 + 108 → 252 = 1082 + 36 → 108 = 363 + 0 → PGCD(360 ;252)= 36
NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX. FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES
Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.
→ Exemples : 221 et 69 sont premiers entre eux. En effet, PGCD(221 ; 13) = 1.
Fraction irréductible
On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
10
→ Exemples : PGCD(10 ; 7) = 1 donc
est une fraction est irréductible.
7
Lorsque l’on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue
360 360:36 10
est irréductible. → Exemples :
PGCD (252 ; 360) = 36 donc :
=
=
252 252:36 7
RACINES CARRES
DÉFINITION
La racine carrée de a est le nombre (toujours) positif dont le carré est a. On la note √ . (On lit " racine carrée de a)
On a : (√ ² = a
→ Exemples :
32 = 9 donc 9 = 3
RACINES CARRÉES DU CARRÉ D'UN NOMBRE
Pour un nombre positif a, a2 = a . Si a<0,
a2 = -a → Exemples :
32 = 9 = 3
√
=√
= 5 = - (-5)
APPLICATION À LA RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DE LA FORME x² = a
Si a >0 , l ’équation x² = a possède deux solutions opposées : – a et a
Si a =0 , l ’équation x² = a possède une solution unique : 0
Si a <0 , l ’équation x² = a possède aucune solution unique .
OPÉRATION SUR LES RACINES CARRÉES
√
√
=√
√ =
√
√
si b ≠ 0
Attention : √
√
≠ √
√
√
≠ √
ÉLIMINER LES RADICAUX AU DÉNOMINATEUR
Si le dénominateur est √
multiplier le numérateur ET le dénominateur par √ . → Ex. : E=
√
√
=
√
√
√
√
RÉDUCTION DE SOMMES ET DIFFÉRENCES DE RACINES CARRÉES
sous la forme √ avec a et b entiers et b étant le plus petit possible
C = a²b alors √ =√
=√ √ = √
On dit que l'on a réduit au maximum l'écriture de √
Écrire √
Si
=
√
→ Exemples:
A=√
=√
=√
=√
√
=
√
B=√
=√
=√
=
√
Somme et différences de racines carrées déjà réduites
→ Exemples:
A = 4 3 – 2 3 + 6 3 = (4-2+6) 3 = 8 3
B = 7 2 – 3 5 + 8 2 – 5 = 15 2 - 4 5
Somme et différences de racines carrées à réduire
Écrire les expressions suivantes sous la forme a b, où a et b sont des entiers et b le plus petit possible :
→ Exemple:
A = 12 + 7 3 – 27 = √
+7 3- √
= 2 3+7 3-3 3 =6 3
NOTIONS DE FONCTION
DÉFINITIONS
Une fonction est un processus numérique qui fait correspondre (ou qui associe) à un nombre x appelé variable, un
unique nombre y.
x →fonction f → y
y l'image de x par la fonction f. x est un antécédent de x par la fonction f . y dépend de x ; y est fonction de x
NOTATION ET 1ERE FAÇON DE DÉFINIR UNE FONCTION
Une fonction f est un processus numérique qui fait correspondre (ou qui associe) à un nombre x appelé variable, un
unique nombre que l'on note g(x). g(x) se lit " g de x". g(x) est l'image du nombre x par la fonction g
Cette fonction peut se noter: g : x
g(x) .Ce qui se lit :" g est la fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre g(x)"
Il ne faut pas confondre g avec g(x) :
g est une fonction et g(x) est l'image de x par cette fonction
→Exemple : Soit f la fonction qui a tout x associe le nombre x². On peut noter la fonction f: x
f(x) = x²
Si x = 2, on a f(2) = 2² = 4 L'image de 2 par la fonction f est f(2) = 4
Si x = -2, on a f(-2) = (-2)² = 4 L'image de -2 par la fonction f est f(-2) = 4
Par conséquent, 4 a deux antécédents par la fonction f : -2 et 2.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
La représentation graphique (ou graphe ou courbe) d’une fonction numérique h est l’ensemble formé de tous points M
de coordonnées (x ; h(x)).
AUTRES FAÇONS DE DÉFINIR UNE FONCTION
Avec un graphique
Avec un tableau
Ce graphique définit une
fonction qui à chaque x
x
-5 -4 -2 0 1 3 5 8 13
compris entre -2 et 4 (lu sur m(x) 56 42 20 6 2 0 6 30 110
l'axe des abscisses) associe un
nombre h(x) lu sur l'axe des
Ce tableau définit une fonction m qui associe à
ordonnées.
ère
Remarque : Les valeurs lues chaque nombre x de la 1 ligne un nombre m(x)
de la seconde ligne
sont souvent approchées
FONCTION LINÉAIRE
DÉFINITION
Soit a un nombre relatif non nul ; on définit une fonction linéaire f par : f : x
f(x) = ax
a s’appelle le coefficient linéaire de la fonction f .Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité dont a
est coefficient de proportionnalité. Quelle que soit la fonction linéaire f, f(0) = 0
→ Exemple : la fonction
f:x
3x est une fonction linéaire de coefficient 3
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE OU GRAPHE
Dans un repère, le graphe d’une fonction linéaire f : x
ax est l'ensemble de tous points de coordonnées (x;ax).
C'est une droite (df) passant par l’origine O du repère et par le point A(1,a). a est le coefficient directeur de la droite.
Dans un repère, (d) est le graphe de la fonction linéaire f : x
ax. Soit M(x;y) un point dans ce repère.
Si y= ax alors M(x;y) ∈ (d). Réciproquement, si M(x;y) ∈ (d) alors y = ax
Pour construire la droite représentant la fonction linéaire, il suffit de connaitre les coordonnées d'un point M(x;ax). On
choisira des points faciles à placer. En particulier, le point A de coordonnées (1;a) appartient à la droite. Mais ce n'est
pas toujours plus facile à placer.
DÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE
→ Exemple : Soit g la fonction linéaire qui vérifie g(-4) = 8. Déterminer l'expression de f.
g est une fonction linéaire donc g(x) peut s'écrire g(x) = ax avec le nombre a à déterminer.
On doit avoir : -4a = 8 c'est-à-dire a = 8 : (-4) = -2. Ainsi g est la fonction linéaire définie par g(x) = -2x
POURCENTAGES ET FONCTIONS LINÉAIRES
Prendre a %, c’est multiplier par
: fonction linéaire associée : x
Augmenter de a %, c’est multiplier par ( 1 +
Diminuer de a %, c’est multiplier par ( 1 -
x
) : fonction linéaire associée : x
) : fonction linéaire associée : x
(1+
(1+
)x
)x
→ Exemples : Augmenter de 8%, c’est multiplier par 1,08 ; multiplier par 0,77 c’est appliquer une baisse de 23%.
FONCTION AFFINE
DÉFINITION
Etant donnés deux nombres a et b, on définit une fonction affine f par : f : x
f(x) = ax + b
a s’appelle le coefficient linéaire de la fonction f.
b s’appelle l’ordonnée à l’origine.
Une fonction affine ne traduit pas une situation de proportionnalité
Si a = 0 alors f(x) = 0x + b = b. Dans ce cas, f(x) ne varie pas : on dit que f: x
b est une fonction constante.
Si b = 0 alors f(x) = ax + 0 = ax. f est donc une fonction linéaire. Toute fonction linéaire est une fonction affine.
→ Exemple : g : x
3x – 2 est une fonction affine où a = 3 et b = -2
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE OU GRAPHE
Dans un repère, le graphe d’une fonction affine f : x
ax+ b est l'ensemble de tous points de coordonnées (x;ax+b).
C'est une droite (d) passant par le point B(0;b) et parallèle à la droite (d') graphe de la fonction linéaire x
ax.
a est également le coefficient directeur de la droite (df). (df) et (d') ont même direction.
b est l'ordonnée à l'origine de (d)
Dans un repère, (d) est le graphe de la fonction affine f : x
ax+b. Soit M(x;y) un point dans ce repère.
Si y = ax+b alors le point M(x;y) appartient à la droite (d)
Réciproquement, si le point M(x;y) appartient à la droite (d) alors y = ax+b
Pour construire la droite représentant la fonction linéaire, il suffit de connaitre les coordonnées de 2 points A et B.
On choisira des points d'abscisses le plus éloignées possibles. En particulier, le point B(0,b) appartient à la droite.
DÉTERMINER UNE FONCTION
Proportionnalité des accroissements
Pour toute fonction affine f:
ax+b, les accroissements (variations) de x et de f(x) sont proportionnels.
Le coefficient de proportionnalité est a. Ainsi, quels que soient x1 et x2 on a la relation :
f(x2) – f(x1) = a (x2 – x1)
→ Exemple : on veut déterminer la fonction affine h telle que h(1)= 3 et h(5) = -13. Donc on cherche h: x
Calcul du coefficient directeur a : On va utiliser la proportionnalité des accroissements.
On a : h(5) – h(1) = a (5-1) → -13-3 = 4 a → -16 = 4a → a = -4
Calcul de l’ordonnée à l’origine b : On remplace a par -4. Ainsi : h(x) = -4x + b .
Or h(1) = 3 →
3 = -4 × 1 + b
→
3 = -4 + b → b = 3 + 4 = 7
Finalement : la fonction affine h cherchée est définie par h(x) = -4x + 7
EQUATIONS DU 1
ER
ax + b
DEGRÉ A UNE INCONNUE
DÉFINITIONS
Une égalité dans laquelle figure un seul nombre inconnu noté par une lettre et dont l'exposant est égal à 1 s’appelle une
équation du 1er degré à une inconnue. Elle peut s'écrire après simplification sous la forme: ax + b = cx + d ( a ≠ c).
Un nombre est solution d'une équation s'il rend l'égalité vraie.
→Exemple: Soit l’équation 2x + 5 = 9.
Si x = 2 alors
2x + 5 = 22 + 5 = 9 et 9 = 9. Donc 2 est solution.
Si x = 1 alors 2x + 5 = 21 + 5 = 7 et 7  9. Donc 1 n’est pas solution.
Résoudre l’équation, c’est déterminer tous les nombres qui rendent cette égalité vraie lorsqu’ils sont mis à la place de
l’inconnue. Ces valeurs de l’inconnue sont appelées les solutions de l’équation.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION
Pour résoudre une équation du 1er degré à une inconnue, on utilise les deux propriétés relatives aux égalités suivantes:
Si a = b alors a + c = b + c
et
Si a = b alors a  c = b  c (si c  0)
En pratique, on commence par simplifier (si nécessaire) séparément les membres. A l'aide des 2 propriétés ci-dessus,
on transforme successivement l'équation en d'autres équations ayant toutes les mêmes solutions jusqu'à obtenir une
équation de la forme : x=A avec A à déterminer : la seule solution est A
→ Exemple : 3x + 5 = -2 → 3x + 5 – 5 = -2 – 5 → × 3x = -7×
→
→
est l’unique solution.
EQUATIONS "PRODUIT NUL"
PROPRIÉTÉS
Dans un produit, si un facteur est nul alors le produit est nul. Autrement dit : Si A= 0 ou B=O alors AB = 0
Si un produit de facteurs est nul alors au moins un des facteurs est nul. Autrement dit: si AB=O alors A = 0 ou B = 0
DÉFINITION
Une équation "produit nul" est une équation de la forme (ax+b)(cx+d) = 0 où x l'inconnue à déterminer.
→ Exemple: (2x + 7)(x + 3) = 0 est une équation "produit-nul"
MÉTHODE DE RÉSOLUTION
On va utiliser la propriété "Si AB=O alors A = 0 ou B = 0". Et on va résoudre séparément les équations A = 0 et B = 0
→ Exemple : Résoudre (2x+ 7)(x+3) = 0 . C'est une équation "produit-nul". Les solutions de l'équation sont les
nombres x tels que : 2x + 7 = 0 ou x + 3 =0 → 2x = -7 ou x = -3 →
x = - ou x = -3
Les seules solutions de l'équation sont alors - et = - 3
→ Exemple : (E): x² = 2x - 1 L'équation (E) est équivalente à: x² - 2x +1 = 0 soit à (E’) : (x +1)(x-1)=0
(E') est une équation "produit-nul". Les solutions de l'équation sont les nombres x tels que :
x +1=0 ou x-1=0 → x = -1 ou x = +1 → Les seules solutions de l'équation (E) ou (E') sont alors -1 et +1
INÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ A UNE INCONNUE
ORDRE ET OPÉRATIONS
On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on ajoute un même nombre aux 2 membres de cette inégalité.
On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie par un même nombre strictement positif les 2 membres
de cette inégalité. On doit changer le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie par un même nombre strictement
négatif les 2 membres de cette inégalité.
DÉFINITION
Une inégalité dans laquelle figure un seul nombre inconnu noté par une lettre et dont l'exposant est égal à 1 s’appelle
une inéquation du 1er degré à une inconnue. Elle peut s'écrire après simplification sous la forme:
ax + b < cx + d ou ax + b > cx + d ou ax + b ≤ cx + d ou ax + b ≥ cx + d
(a ≠ c)
Un nombre est solution d'une inéquation s'il rend l'inégalité vraie.
→ Exemple: Soit l’inéquation 2x + 5 < 9 : Si x = 1 alors 2x + 5 = 21 + 5 = 7 et 7 < 9. Donc 1 est solution
de l’inéquation. Si x = 3 alors 2x + 5 = 23 + 5 = 11 et 11 > 9. Donc 2 n'est pas solution de l'inéquation.
Résoudre l’inéquation, c’est déterminer tous les nombres qui rendent cette inégalité vraie lorsqu’ils sont mis à la place
de l’inconnue. Ces valeurs de l’inconnue sont appelées les solutions de l’inéquation.
RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION
Pour trouver ces valeurs, on procède comme pour la résolution d’une équation, c’est à dire en isolant l’inconnue, grâce
aux propriétés du paragraphe « Ordre et Opérations »
→ Exemple : –3x + 4  -2 → -3x + 4 – 4  -2 – 4 → -3x  -6 → -3x : (-3)  -6 : (-3) → x  2
Les solutions de l’inéquation –3x + 4  -2 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 2.
SYSTÈMES DE 2 EQUATIONS A 2 INCONNUES
DÉFINITIONS : Un système est composé de 2 équations qui contiennent chacune les deux même inconnues.
{
où a, a' ,b ,b' ,c ,c' sont des nombres donnés
et x et y sont les inconnues.
Résoudre le système, c’est trouver toutes les solutions communes aux deux équations, c’est à dire trouver tous les
couples (x ; y) pour lesquels les 2 égalités sont vraies simultanément. Le principe de résolution consiste à "éliminer"
une inconnue pour se « ramener » à la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue.
MÉTHODES DE RÉSOLUTION
MÉTHODE D’ÉLIMINATION PAR SUBSTITUTION
Exprimer, dans l’une des deux équations, une inconnue en fonction de l’autre. Réécrire le système en remplaçant dans
l’autre équation l’inconnue choisie, par l’expression obtenue à l’étape précédente. On obtient ainsi un système dont
l’une des deux équations est une équation du premier degré à une inconnue. Il a les mêmes solutions que le système de
départ. Résoudre l’équation du premier degré à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue. Remplacer cette
inconnue par sa valeur trouvée à l’étape 3, dans l’équation à deux inconnues et calculer la valeur de l’autre inconnue.
La solution du système est le couple de nombres trouvés
 x  3 y  10
Exemple : On veut résoudre le système : (S) 
3x  5 y  18
 x  3 y  10
→ 3(3 y  10)  5 y  18

 x  3 y  10
→  4 y  30  18 →

 x  3 y  10
 x  3  3  10
x  1


→
→ y  3
y  3
y  3

La seule solution du système (S) est le couple (1 ; 3).
MÉTHODE D’ÉLIMINATION PAR COMBINAISON
Choisir l’inconnue que l’on veut éliminer. Multiplier les deux membres des deux équations par des nombres choisis de
façon à obtenir des coefficients de cette inconnue opposés dans chacune des deux équations. Écrire le système dont les
deux équations ont des coefficients opposés pour l’inconnue à éliminer et additionner membre à membre les deux
équations de ce système. Écrire un nouveau système, avec cette équation et l’une des deux équations de départ. On
obtient ainsi un système dont l’une des équations est une équation du premier degré à une inconnue. Il a les mêmes
solutions que le système de départ. Résoudre l’équation du premier degré à une inconnue pour trouver la valeur de
cette inconnue. Remplacer cette inconnue par sa valeur trouvée à l’étape 3, dans l’équation à deux inconnues et
calculer la valeur de l’autre inconnue. la solution du système est le couple de nombres trouvés.
On veut toujours résoudre le même système : (S)
 x  3 y  10

3x  5 y  18
4 y  12
y  3
y  3
y  3
3x  9 y  30
→ 3x  5 y  18
→ 3x  5 y  18
→ 3x  5 y  18 → 3x  5  3  18 →  x  1





La seule solution du système (S) est le couple (1 ; 3).
Résolution graphique : On veut toujours résoudre le même système : (S) {
L’équation
peut s’écrire
peut s’écrire
et l’équation
ère
e
Si on remplace y par f(x) dans la 1 expression et y par g(x) dans la 2 expression,
on obtient les expressions de deux fonctions affines f : x
6
5
et g : x
dont les graphes sont 2 droites.
Donc résoudre le système (S) revient à déterminer les coordonnées des points
d’intersection des deux droites. On lit les coordonnées du point E d'intersection.
4
3
2
1
Graphiquement, la solution du système est le couple (1;3) coordonnées du point E.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
PROBABILITÉS
VOCABULAIRE
Une expérience est une expérience aléatoire si on ne connait pas à l'avance le résultat de façon certaine et si on peut
obtenir plusieurs résultats différents : les évènements élémentaires ou issues de cette expérience aléatoire.
On peut définir un évènement M constitué de plusieurs évènements élémentaires.
Si A et B sont deux évènements, l'évènement (A et B) est l'évènement qui se produit lorsque les évènements A et B se
réalise simultanément.
Si A et B sont deux évènements, l'évènement (A ou B) est l'évènement qui se produit lorsque l'un des évènements A et
B, ou les deux à la fois, se réalise simultanément.
Deux évènements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps sont appelés évènements incompatibles.
‾
L’évènement contraire de M est l’évènement qui se réalise lorsque M ne réalise pas. Il se note non M ou M
NOTION DE PROBABILITÉ
Quand une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois, la fréquence d’un événement se rapproche d’une
valeur: c’est la probabilité de cet événement. La probabilité d’un événement M se note p(M) (ça se lit « p de M »).
Exemple : En jetant plusieurs fois un dé, on aura parfois un « 6 ». Plus on jette le dé, plus la fréquence de " SIX " va
s’approcher de 0,16. La probabilité d’avoir " 6" en jetant un dé est donc environ 0,16.
1
On remarque qu’en jetant un dé, on a 1 chance sur 6 d’avoir " 6". On retrouve alors la probabilité  0,1666…
6
CALCUL D'UNE PROBABILITÉ
Avec l'arbre des possibles : Un exemple , une roue colorée.
Lorsqu’on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles
Il permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire.
2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Il y a donc 2 chances sur 8 d’obtenir la couleur bleue.
2
1
, soit .
8
4
On inscrit sur l’arbre des possibles les probabilités des différentes issues.
On dit que l'on réalise l'arbre pondéré par les probabilités.
On dit que la probabilité d’obtenir un secteur bleu est égale à
Soit RJ l'évènement " obtenir le bleu ou le jaune"
Soient B l'évènement " obtenir le bleu " et J "obtenir le jaune". Ces évènements sont incompatibles.
On a: P(RJ) = p(B) + p(J) = + = + =
La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités écrites sur les branches conduisant aux issues qui réalisent
l'évènement.
Si A et B sont deux évènements incompatibles, la probabilité de l'évènement (A ou B) est égale à la somme des
probabilités de A et de B : p(A ou B) = p(A) + p(B)
Non RJ est l'évènement " ne pas d'obtenir ni le bleu ni le jaune" c'est-à-dire l'évènement "obtenir le rouge ou vert".
On a donc : p(non RJ) = + = + = et P(RJ) + p(non RJ) = + = 1
La somme des probabilités d'un événement E et de son contraire non E est égale 1 : p(E) + p(non E) = 1
De façon générale
Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la même probabilité, alors la probabilité d'un événement est
donnée par le quotient :
Reprenons l'expérience de la roue et l'événement RJ " obtenir le bleu ou le jaune".
Les issues de cette expérience ont la même probabilité. Il y a 8 résultats possibles.
Les issues favorables à l'événement RJ sont au nombre de 5: 2 bleu et 3 jaunes. Donc: p(RJ) =
Propriétés
La probabilité d’un événement certain (c'est-à-dire sûr de se produire) est 1.
La probabilité d’un événement impossible (qui ne peut pas se produire) est 0.
Donc la probabilité d’un événement A est comprise entre 0 et 1: 0 ≤ p(A) ≤ 1
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE À DEUX ÉPREUVES
Dans une urne, il y a 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. On tire successivement
et sans remise deux boules de l’urne. On voudrait déterminer la probabilité de tirer deux boules
de la même couleur. On note R l’événement « tirer une boule rouge »,
B l’événement « tirer une boule bleue » et V l’événement « tirer une boule verte ».
Ici, toutes les probabilités ne sont pas inscrites.
Sur l'arbre des possibles d'une expérience à 2
épreuves, une succession de 2 branches est
appelée un chemin.
Avec un arbre, la probabilité de l'issue auquel
conduit un chemin est égale au produit des
probabilités rencontrées le long du chemin.
Avec cet arbre, on peut facilement répondre aux
questions du style "Quelle est la probabilité
d'obtenir 2 boules de même couleur ?"
→ Il faudrait faire la somme de toutes les
probabilités des chemins qui réalise cet
évènement.
STATISTIQUES