CALCULS – ALGÈBRE - ARITHMÉTIQUE AU COLLÈGE EN 6

décimale
partie
entière
partie 789,1345
CALCULS – ALGÈBRE - ARITHMÉTIQUE AU COLLÈGE
EN 6e
NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX
Nombres entiers
Les chiffres sont les dix symboles : 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9
Les nombres entiers s’écrivent avec des chiffres ; ce sont les premiers nombres que l'on apprend et utilise!
Exemple: 568 est composé des chiffres 5, 6 et 8
Remarque : Tout chiffre est un nombre
Notre système d'écriture des nombres est dit décimal (parce que l'on effectue des regroupements par dix) et de position
( parce que chaque chiffre a une signification précise et différente selon rang dans l'écriture du nombre).
Exemple
3 293 = (3 × 1000) + (2 × 100) + (9 × 10) + (3 × 1)
↑chiffre des unités ↑chiffre des dizaines ↑chiffre des centaines ↑chiffre des unités de mille
Les mots servant à écrire des nombres sont invariables.
Exceptions : - Million et milliard s'accordent au pluriel ;
- Cent et vingt s'accordent au pluriel seulement s'ils ne sont pas suivis d’un autre nombre.
Exemples : Deux millions; trois milliards Cent trois (103); deux cents (200) ; deux cent quatre (204)
Vingt-quatre (24) - Quatre-vingts (80) - quatre-vingt neuf (89)
Nombres décimaux
Les fractions dont le dénominateur est 10 ; 100 ; 1000 ;… sont des fractions décimales : 
 ;   .
Quand on coupe une unité en 10 parties égales, on obtient des dixièmes. Un dixième se note : 
 ou 0,1
Dans l’unité, il y a 10 dixièmes donc : 1 =10 × 
 = 
Quand on coupe une unité en 100 parties égales, on obtient des centièmes. Un centième se note : 
 ou 0,01
Dans l’unité, il y a 100 centièmes donc : 1 =100 × 
 = 
Quand on coupe une unité en 1000 parties égales, on obtient des millièmes. Un centième se note : 
 ou 0,001
Dans l’unité, il y a 1000 millièmes donc : 1 =1000 × 
 = 
 = 10 ×   =   = 10 ×   =   = 100 ×   = 
Un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule.
L'écriture décimale (ou à virgule) est composée d’une partie entière (le nombre formé de tous les chiffres avant la
virgule) et d’une partie décimale (le nombre formé de tous les chiffres après la virgule).
Exemple :
(1 1000) + (3 100) + (4 10) + (5 1) + (7 0,1) + (8 0,01) +(9 0,001)
7 est le chiffre des dixièmes -
8 est le chiffre des centièmes
9 est le chiffre des millièmes

On peut l'écrire également sous forme d'une somme de la partie entière et d'une ou plusieurs fractions décimales
1 345, 789 = 1345 + 
 +   +   = 1345 + 
Remarques
-Ajouter des 0 avant la partie entière ou après la partie décimale ne change pas un nombre décimal. Ex.: 6,2 = 06,200
- Un nombre entier est un nombre décimal qui peut s'écrire sans partie décimale - Ex : 27 = 27,0
Comparer 2 nombres décimaux, c'est dire s'ils sont égaux ou si l'un est plus petit (ou grand) que l'autre.
Pour comparer deux nombres en écriture décimale :
-Si les parties entières sont différentes alors on compare celles-ci. Exemple : 38,5 < 39,2 car 38 < 39.
-Si les parties entières sont égales alors on compare les parties décimales.
- Méthode 1 : on compare les chiffres des dixièmes, puis les chiffres des centièmes…. etc...
- Méthode 2 : on « s’arrange » pour avoir le même nombre de décimales en rajoutant des 0, puis
on compare les parties décimales. Ex : 5,29 > 5,281 car 5,29 = 5,290 et 290 > 281.
Droite graduée :
Pour graduer une droite, il faut choisir un point d’origine qui correspond au nombre 0 et une unité que l’on reporte
régulièrement. Sur une droite graduée, un point peut être repéré par un nombre appelé son abscisse.
Ex : Le point O a pour abscisse 0, le point N a pour abscisse 1, le point M a pour abscisse 2,5.
Valeurs approchées décimales - Encadrements
Exemple : encadrer 5,8 par les entiers les plus proches (deux entiers consécutifs) : 5 < 5,8 < 6
On dit que 5 est la valeur approchée décimale de 5,8 par défaut à l'unité. 5 est la troncature de 5,8 à l'unité
On dit que 6 est la valeur approchée décimale de 5,8 par excès à l'unité.
Celle des 2 valeurs approchées qui est le plus proche de la valeur exacte est appelée arrondi à l'unité. (Ici, c’est 6)
OPERATIONS
ADDITION ET SOUSTRACTION
L'addition est l'opération qui permet de calculer la somme de deux termes.
La soustraction est l'opération qui permet de calculer la différence de deux termes.
Exemple de calculs posés :
Pour poser une addition ou une soustraction, les chiffres de même rang sont disposés les uns en dessous des autres :
les chiffres des unités sont placés en colonne. Il faut faire attention de ne pas oublier les retenues !
Propriété : Pour additionner, on peut changer l'ordre des termes et regrouper certains termes, pour faciliter les calculs.
 Exemples : 13+5 = 5+13 = 18 13+7+25+5 = (13 + 7) + (25 + 5) = 20 + 30 = 50
ATTENTION : Dans une soustraction, l'ordre des termes a de l'importance et on ne peut pas regrouper des termes :
 Exemples : 100-40-15 = 60-15 = 45 mais 100-(40-15) = 100-25 = 75
Lien entre soustraction et addition
A une addition on peut faire correspondre deux soustractions
 Ex. : de 8 + 3 = 11 on obtient 11-8 = 3 et 11 – 3 = 8
A une soustraction, on peut faire correspondre une addition et une autre soustraction.
 Ex. : de 8 - 3 = 5 on obtient 5 + 3 = 8 et 8 – 5 = 3
7
8
5,
4
3
6
5
2,
4
8
+
5
2,
6
-
2
1
4,
9
8
3
8,
0
3
4
3
7,
5
8

OPERATIONS AVEC DES DURÉES
Il y a proportionnalité entre les heures et les minutes ; entre les minutes et les secondes ; entre les heures et les
secondes : 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 60 × 60 s = 3600 s 1 j = 24 h
 Exemple : Un bus part à 9 h 48 min d'Ambérieu et arrive à 11 h 39 à Nantua. Quelle est la durée du voyage ?
On calcule séparément les minutes et les heures.
10 99
11 h 39 min. ←Ici on ne peut calculer 39 min. – 48 min. directement
- 9 h 48 min. Justification : 11 h 39 min. =10 h + 1h + 39 min = 10 h +60 min + 39 min= 10 h 99 min.
1 h 51 min. Le voyage a duré 1 h 51 min
Autre façon : De 9 h 48 min à 10 h, il s'écoule 12 min. De 10 h à 11 h 39 min, il s'écoule 1h 39 min.
Et : 12 min. + 1 h 39 min. = 1 h 51 min.
MULTIPLICATION
La multiplication est l'opération qui permet de calculer le produit de deux facteurs
Exemple de calcul posé :
Méthode : On effectue d'abord la multiplication sans tenir comptes des virgules et ensuite on place la virgule
Calcul mental et propriétés
On peut regrouper différemment les facteurs. Ex. : 12,5 × 2 × 5 = 12,5 × (2 × 5) = (12,5 × 2) × 5
On peut changer l'ordre des facteurs. Ex. : 2 × 12, 8 × 5 = 12,8 × 2 × 5
On peut remplacer un facteur par le produit de deux ou plusieurs autres facteurs. Ex. : 14×35 =7×2×5 ×7
MULTIPLIER PAR 10 -100 -1000: Multiplier un nombre par 10, 100, 1000 revient à déplacer sa virgule respectivement
de 1, 2, 3rangs vers la droite en rajoutant 1,2 ou 3 zéros si nécessaire. Ex. : 14,2 100 =1420 0,008 × 10 = 0,8
MULTIPLIER PAR 0,1 - 0,01- 0,001: Multiplier un nombre par 0,1;0,01;0,001 revient à déplacer sa virgule respectivement
de 1, 2, 3rangs vers la droite en rajoutant 1,2 ou 3 zéros si nécessaire. Ex. : 53 0,1 = 5,3 142 0,01 = 1,42
Remarque : Multiplier n'agrandit pas toujours. Par exemple : 0,5 × 0,2 = 0,1 On a : 0,1 <0,5 et 0,1<0,2
Produits remarquables : 2 × 0,5 = 1 4 × 0,25 = 1 5 × 0,2 = 1 8 × 0,125 = 1
DIVISION EUCLIDIENNE
D'après cette division, on a : 4589 = (87  52) + 65 et 65 < 87
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier (le dividende ou D) par un nombre entier différent de 0 (le
diviseur ou d), c’est trouver le quotient entier (q) ET le reste entier (r) tels que l'on ait l'égalité :
Dividende = (diviseur  quotient) + reste et reste  diviseur ou D = d x q + r et r  d
Le reste de la division est toujours inférieur au diviseur. Il peut être égal à 0.
1
4
2,
5
6
← 2 chiffres dans la partie décimale
3
2,
4
← 1 chiffre dans la partie décimale
5
7
0
2
4
2
8
5
1
2
0
On ajoute
4
2
7
6
8
0
0
4
6
1
8,
9
4
4
← 3 chiffres dans la partie décimale

Diviseurs et multiples
Si le reste de la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b est égal à 0, on dit que :
b est un diviseur de a ou a est divisible par b ou a est un multiple de b.
Exemple : 84 : 7 = 12 équivalent à 84 = 7 × 12. Le reste de la division euclidienne de 84 par 7 est égal à 0.
Donc, on peut dire que : 7 est donc un diviseur de 84 ou 84 est divisible par 7 ou 84 est un multiple de 7.
84 est aussi divisible par 12 car 84 :12 = 7.
Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
DIVISION DÉCIMALE
Effectuer la division décimale d’un nombre (le dividende) par un nombre (le diviseur) c’est déterminer le nombre
appelé quotient tel que : Dividende = diviseur × quotient. On note : quotient = dividende : diviseur
Exemples :
Le reste est égal à zéro centièmes
2,35 est la valeur exacte du
quotient de 126,9 par 54.
On écrit : 126,9 : 54 = 2,35
Le reste ne sera jamais égal à zéro.
La division ne peut se terminer.
8,63 est une valeur approchée au centième du
quotient par défaut de 380 par 44. Le quotient exact
n'est pas un décimal. On écrit : 380 : 44 ≈ 8,63
La division décimale permet d’obtenir soit la valeur décimale exacte du quotient, soit une valeur approchée du quotient.
Lien entre multiplication et division décimale
A une multiplication, on peut faire correspondre deux divisions. Ex. : de 7 3 = 21, on obtient : 21 : 3 = 7 et 21 : 7 =3
Diviser par 10, 100, 1 000 : Diviser par 10 ; 100 ; 1 000, c’est multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
 Exemples : 35,7 : 10 = 3,57 4 853 : 100 = 48,53 9 764 : 1 000 = 9,764
Ordre de grandeur
Dans une opération, quand on remplace des termes ou des facteurs par des nombres proches mais plus simples à
utiliser, le résultat obtenu est un ordre de grandeur de la somme, de la différence, du produit ou quotient à calculer.
Un ordre de grandeur peut servir à prévoir ou à vérifier un résultat.
 293,45+94,73 = 388,18 293,45 ≈ 300 et 94,73 ≈90 300 + 90 = 390 On a bien 388,18 ≈ 390
On dit que 390 est un ordre de grandeur de la somme à calculer.
 793,45 × 4,9 = 3 887,905 793,45 ≈ 800 et 4,9 ≈ 5 800 × 5 = 4000 On a bien 3887,905 ≈ 4000
On dit que 4000 est un ordre de grandeur du produit à calculer.
CONTRÔLE D’UN RÉSULTAT
Pour contrôler une différence, une somme, un produit ou un quotient, on peut :
- Vérifier le nombre de décimales (dans le cas d'un produit)
- Contrôler le dernier chiffre
- Déterminer un ordre de grandeur et donc s'assurer de la cohérence de la réponse trouvée avec le contexte et
donc s'assurer de sa vraisemblance.

MÉTHODE POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME
1 – Lire attentivement l'énoncé et comprendre le sens de chaque mot ; attention aux mots "pièges" et données inutiles ;
2 – Faire éventuellement un schéma même à main levée ;
3 – Déterminer la ou les opérations à effectuer ;
4 – Faire attention aux unités ; Convertir si nécessaire ;
5 – Poser les opérations au brouillon ou sur la fiche de contrôle si c'est demandé ;
6 – Écrire en ligne la ou les opérations à effectuer ; on peut utiliser des parenthèses pour écrire une seule expression ;
Si plusieurs opération, écrire une phrase réponse correspondant au résultat intermédiaire obtenu.
7 – Encadrer le résultat final ;
8 – S'il s'agit d'une division euclidienne, interpréter le résultat en fonction de la question posée ;
9 – Vérifier que le résultat est vraisemblable en calculant un ordre de grandeur ou …
10 – Écrire une phrase de conclusion sans oublier les unités.
FRACTIONS
DÉFINITION
Une fraction traduit un partage. Ex. : Manger le  d’un gâteau c’est le partager en 4 parties égales et en prendre une.
Mais c’est aussi le résultat d’une division : Le quotient exact de a par b se note a : b ou a
b . On a donc : a = b × a b
a
b est une écriture fractionnaire du quotient de a par b. Si a et b sont des nombres entiers, a b est une fraction.
a est le numérateur et b est le dénominateur.
Certaines écritures fractionnaires ont une écriture décimale exacte. Ex. : 8
5 = 1,6.
D’autres n’admettent qu’une valeur décimale approchée. Ex. : 2 : 3 = 2
3 et 2 3
0,66 (valeur tronquée au centième)
EGALITE DE 2 QUOTIENTS
Le quotient a
b de deux nombres ne change pas si on multiplie (ou on divise) le numérateur ET le dénominateur par un
MÊME nombre DIFFÉRENT DE 0. On obtient alors deux écritures fractionnaires ou deux fractions égales
Exemples :
3
2
103
102,0
3
2,0 
5
6
115
116
55
66
255
266
110
132 
(Fraction irréductible)
Simplifier ou réduire une fraction c’est la remplacer par une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un
dénominateur plus petits. Quand on ne peut simplifier (ou réduire) la fraction on dit qu'elle irréductible.
PRENDRE UNE FRACTION D’UN NOMBRE
Prendre la fraction (ou calculer les) a
b d’un nombre c, c’est multiplier le nombre c par la fraction a b
 Exemple : Une personne dispose de 915 €. Elle dépense les
5
2
de cette somme. Combien a-t-elle dépensé?
Méthode M1
Méthode M2
Méthode M3
915
5
2
=(915×2) :5 =1830 :2 = 366
915 
5
2
= (915 :5)  2 = 183  2 = 366
915 
5
2
= 915  0,4 = 366
Cette personne a dépensé 366 €.
PROPORTIONNALITE → Voir Partie 4e
GESTION DE DONNEES - STATISTIQUES → Voir Partie 3e