Séminaire Henri Cartan J. P. S ERRE Groupe d’homologie d’un complexe simplicial. Généralités sur les groupes à dérivation Séminaire Henri Cartan, tome 1 (1948-1949), exp. no 2, p. 1-9 <http://www.numdam.org/item?id=SHC_1948-1949__1__A2_0> © Séminaire Henri Cartan (Secrétariat mathématique, Paris), 1948-1949, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Henri Cartan » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 2-01 Séminaire H. 1948/49. Topologie algébrique. GROUPE D’HOMOLOGIE D’UN COMPLEXE SIMPLICIAL GÉNÉRALITÉS un 1.- Chaînes d’un GROUPES À DÉRIVATION. SUR LES exposé J.P, SERRE, le 15.11.1948) complexe simplicial. complexe simplicial. On appelle "simplexe ordonné de dimension " toute suite de p+1 éléments de ~~ ~ distincts ou non, qui appartiennent à p K un même simplexe de (on distingue donc entre un "simplexe" tout court, qui est une partie de K , et un "simplexe ordonné", qui est une famille d’éléments, non nécessairement distincts, d’un simplexe de K ). Un simplexe ordonné sera noté ... , a ) ; l’ordre dans lequel sont écrits les "sommets" a . (a, Soit K un est essentiel. formé des combinaisons linéaires forConsidérons le groupe abélien C p melles (finies) de simplexes ordonnés de dimension p 9 avec des coefficients en- ( >, 0 tiers C)) quelconques. ou ~ C’est le groupe simplexes ordonnés de dimension nes ordonnées de K, de dimension p . ble des C(K) Soit la leurs de l’entier somme p p . Ses libre ayant pour base l’enseméléments s’appellent les chaîrelatifs à toutes les directe des groupes (pour 0 p on convient que C f (~T~ tous les C’est le groupe libre ayant pour base l’ensemble de (de toutes dimensions) données de du K. On l’anpelle C(K) , en Nous allons définir identifia nt ment de C(K) ) à chacun des simplexe obtenu en effectuant dices des sommets de c’est-à-dire le nombre 0 ). simplexes ordonnés le groupe des chaînes or- x, et +1 d’ équiva lence, dans le chaque simplexe ordonné x (considéré comme éléla notation 03C3(x) désigne le une ~~. désigne ou -1 la suivant relation une permutation quelconque "signature" 1 ~ pyrite de simplexe ordonné de dimension permutations donnent naissance à nutnnt les sommets d’un la relation réduit à K. Simplexe orienté.groupe complexe se va- d’équivalence précédente p de sur l’ensemble des in- de la permutation cr , cette permutation. Si sont tous distincts, les simplexes ordonnée distincts ; les identifie tous à l’un d’eux (p+l):/2 simplexes ou à son d’oux par provenant de mêti on paire de ses sommets constitue ce qu’on appelle un simplexe orienté. me simplexe (partie de il ) peut être affecté de deux orientations différentes opposé. La classe des (sauf auquel pour Lorsque les sommets d’un l’identification de C(K) . il n’est pas cas simplexe ordonné x ce (x) d’orientation). question x ne sont pas tous conduit à identifier à x distincts, dans le -x plus : nous identifierons x à 0 . Ceci conduit à considérer le groupe c (K) , quotient du groupe C(K) par le sous-groupe (dénoté provisoirement ~’ j engendré par les simplexes ordonnés à sommets non distincts, et par les chaînes de la. forme x e~ (x~ ~ où x désigne un simplexe ordonné à sommets distincts y et 03C3 une permutation quelconque sur ses somle groupe des chaînes orientées du complexe Il ; mets. Le groupe c groupe il est p . Dans Choisissons, sur pour chaque l’ensemble de fois pour toutes lement une ordonné) ; choisis, ferons nous directe des sous-groupes sor~~~e déterminée ce simplexe ses des chaînes p (K~ de dimension c relation d’ordre (pour une fa ire, ce K, qui sur alors les images dans constituent une p, sommets orientées de dimension on relation d’ordre bien peut fasse de K donner se un une ensemble tota- simplexes ordonnés ainsi (K) , qui est donc un groupe libre. des base du groupe c 2.- Bord. Groupe d’homologie. Dans chacun des groupes ’ (application Commentons C(K) ; si par C(K) . = si x = x = (ao) (a 0 , de dim. (ao,...,ap) , où la notation pression du Soit de dim. c lui-même, qui un x x , noté le bord de x si du groupe en et ôx 1 , = transforme pose un a. définir un somme en une élément de C(K) , endomorphisme somme) , noté ~ . comme défini élément de comme suit : ôx = 0 ; (a1)-(ao) ; 03A3i(-1)1(ao,...,âi,...,ap) . (ao,...,âi,...,ap) désigne sommet on va simplexe ordonné, considéré est on (K) , dans le simplexe le simplexe ordonné obtenu par sup- (ao,...,ap) . définit par linéarité à partir des bords des simplexes ord, qui la composent. Ce bord àx dépend linéairement de la x àx est de dimension p-I . ne est de dimension p, x. Si Le bord d’une chaîne ordonnée Pour définir l’opérateur transforme tout élément de C~ se "bord" dans en un c (K) , élément de il suffit de remarquer que f* (considérer plexe ordonné qui a au moins doux sommets égaux, puis voir d’un simplexe ordonné à sommets distincts quand on échange tifs). Donc on peut définir d dans le groupe quotient ce le bord d’un sim- que de-ient le bord deux sommets consécu- frontière l’intuition que l’on "orientée" d’un réunion des faces orientées de plexe. a c (K) est qui par définition. Cet opérateur ~ précise simplexe "orienté", coince a de la ce sim- Propriété essentielle pour tout 10 vérifier dans le groupe lorsque sulte pour une cas c(K) , de C(K) pour C’est un géométriques assez intuitives à poser les définitions propriété conduisent, que nous au ré- en moins dans donnons aussi bien c(K) : que pour (resp, orientée) que x r . Tout Une chaîne ordonnée s’il existe un y la Il suffit de expl icitement calculant en simplexe ordo mé (ao,...,ap) ; chaîne quelconque, par linéarité. est x Des considérations le ~(~x) = 0 . x , on a tel = est x cycle un bord est un ôx si cycle (à = 0 ; un bord de ~c~ = cause 0 ). Z(K) pour le sous-groupe des cycles de C(K) j B(K) pour le sous-groupe des bords de C (K) . Le groupe quotient Z(K)/B(K) s’appelle le groupe d’homologie du complexe K , et se note H(K) . On définit de même z(K) ~ b(K) et h(K) = z(K)/b(K) . On verra plus tard qu’il existe un isomorphisme (canonique) de H(K) sur Notations : H(K) Les éléments de C (K) ments de Z(K) est sont dits s’appellent directe des sous-groupes sonnée dimension directe des Z B deux élé- d’homologie" ; homologues si leur différence p ) ; B(K) est somme p ). Par suite, H(K) dimension aussi "classes est n (K) - ZB(K) (h) P (h) _ s’identifie canoniquement bord. un de p (K)(cycles (bords de (K) à la. directe r~ C somme (et les groupes d’homologie H h (K) qui leur sont isomorphes) sont des invariants topologiques de l’espace K . On remarquera aussi que si K est fini. le groupe c(K) a une base fice qui permet de nie, et par suite h(I) e, un nombre fini de est nul pour toupréciser sa structure (Voir l’exposé 3). D’ailleurs On verra plus te dimension simplexes de tard que les groupes hp(K) p strictement est désigne un plus grande que la plus grande des dimensions des I~ . Interprétation de B (K) p (K) nulle ; donc sorbet de H o (K) une .- La somme des coefficients de tout élément de divine de dimension ne de 0, peut être homologue à 0 forme que si n(a ) n=0 . Si (où K a o est connexe (définition évidente), tout sommet de K est homologue à un sommet fixe, est isomorphe au groupe additif des arbitrairement choisi ; par on voit que est entiers. Dans le cas général où K n’est pas Ho(I;) somme bre directe de sous-groupes égal à celui des isomorphes "composantes au groupe additif des connexes" de entiers, K . Ces composantes en nom- connexes (c.u simplicial) correspondent biunivoquement aux composantes connexes (au sens topologique) de l’espace ce qui prouve la signification topologique du groupe H p (K) dans le cas particulier sens 3.- Grou es d’homologie d’un com lexe sim le, Définition : complexe K sera dit simple si toute partie finie de K est un simplexe (i.e. appartient à la famille t qui définit la structure de complexe simplicial). Dans tout complexe K , le complexe sous-jacent (cf, exposé 1) d’un simplexe de K est simple. un Théorème.- Si additif des K entiers, est et un complexe simple, (K) H est nul pour H (K) est blir la simplexe t(x) , du ’ n- x ; ~’ . e p+1 , défini ainsi : de dimension groupe - 0 , 1 le au p ~ 1 . première partie du théorème résulte de la fin deuxième, associons à chaque simplexe ordonné La isomorphe ’ .’ ~~~s y’ .~~~_ t(ao,...,ap) = (b,ao,...,ap) , où désigne b sonnet de un choisi une fois pour toutes. prolonge en un endomorphisme de C(K) , noté encore est un simplexe ordonné de dimension p ~ 1 , on a x = + cette relation linéaire est donc p ~ 1 . Donc si que H p (K) x est 4.- Généralités sur les encore cycle, Lxn est nul pour t(0x) t ; vérifie que si vraie pour toute chaîne x = est homologue à 0 ; vaut pour serait-ce que celui des formas différentielles extérieures férentiable) munies de l’opérateur Un groupe à dérivation est x ceci montre h(K) . à dérivation. C(K) et c(K) sont des exemples de à dérivation ; nous en verrons plus tard d’autres groupes se de dimension x Les groupes de chaînes appeler t ; p ~ 1 . - La même démonstration groupes on L’opérateur un une de différentiation extérieure. groupe abélien muni d’un G ce qu’on peut ne variété dif- endomorphisme d 0 pour tout x de G, Le noyau de cet tel que d(dx) endomorphisme (sousx tels que dx = a ) se note Z(G) ; ses éléments prennent parfois groupe des le nom de cycles (cf. ci-dessus), d’autres fois celui de cocycles (voir exposé 4). L’image de l’endomorphisme d (ensemble des dy où y parcourt G ) se note B(G) ; ses éléments prennent parfois le nom de bords (ou bien de cobords). On a B(G) c Z(G) p~..rce que dod G s Le groupe quotient Z(G)/B(G) se note = = H(G) j l’appelle parfois cohomologie. on On aura d’homologie groupe toujours à considérer, presque de d’autres fois groupe de G , groupe à sur un dérivation, une structure graduée compatible avec l’opérateur d. Définissons d’abord ce qu’on entende en générale par groupe gradué : c’est un groupe abélien G muni d’une décomposition G =- directe ~_ sont des sous-groupes tels que G les n n tout élément de ~> g_ ~ s’écrive d’une seule manière G les nuls sauf s’appellent les éléments s’appelle la composante homogène nombre fini. Les éléments de un homogènes de degré n ; si g 03A3gn , = étant 61 G g~ n G g de n degré de n L’application g. projecteur~ c’est-à-dire une application linéaire de = 0 (5 n o 6ri pour 9 n On notera que m = 03B8n 03B8 . Si maintenant dite de compatible n ) tel que d03BF03B8n G dans sera n G . n+r est G avec un groupe à 03B8n+r = d - Pour (que G pour tout structure passage un soit en n ; graduée au r 0 , et est égal dérivation, Z(G) . on H(G) sur Z (G)/B (G) . On a de même une structure un = - sur Lr (indépendant r 1 . Dans le du groupe des cas -1 . dans le sens qui vient d’être dit. 0 (x) Z (G) soit et un cycle définit une graduée sur B(G) . Par H(G) ; ces projecteurs structure projecteurs dans sous-groupes Hn(G) , qu’on identifie obtient d~s d~s entier graduée qui implique que d applique est de degré r . Le plus sou- à une telle que ce d r G un "’. cycle, il faut et il suffit que applique Z(G) sur un sous-groupe sur quoticnt, .à n c’est dans un appliquent tients gradué groupe E G x n , On dira que l’endomorphisme = G s’il existe d pour tout vent, on supposera 8n 0 pour chaînes d’un complexe simplicial, Soit dérivation, l’opérateur 6 ; notée sera g 2014$> g. aux groupes quo- 5 .- Homomorphismes permis. Soient G et G’ deux groupes à par la même lettre phisme f fod de = G dans G’ d , sera dof , c’est-à-dire dérivation, nous désignerons les opé- pas de confusion. Un homomor- ceci dit permis si f(àx) dont = on d(f(x)) a pour tout x de G. Si de 0n et G’ désigner les G plus pour sont auquel projecteurs de d’homomorphisme pormis à f applique dans f homom, un G cas et f03B8nn tcI quo Exemple : soient deux complexes sirpliciaux C (K) K de simpliciale de f (exposé 1 ) , dans (Il ’ ) C dans obtient un associé à H n Z(G’) , dans homomorphisme f f . Si de plus G = © of = réservera le pour tout n On K ot de (~Q(ao~, ...,~(a ) ) . n homom, un B(G) H(G) G’ et particulier, de permis G G’ ; dans f alors B(G’ ) ; passage au quotient, on dans H(G’) 9 f est ainsi canoniquement sont gradués, f applique Hn(G) dans da ns li une Transitivité : soient trois groupes à G’ , f’ dans (resp. En G H(G’ ) de dans H(G") , dérivation, f proques l’un de = G , alors et si f et f H(G) et homomor- G" . dans Si H(G’ ) on a g f’ of . = sont deux isomorphismes, réci- f’ f’ sont H(G") ), dans un G’t un resp. de G" si pc..rticulier, et un com- dans le groupe homomorphisme permis de composé g = f’of, est un homomorphisme permis de G dans G" (resp. f’ , g ) désigne l’homomorphisme correspondent de H(G) phisme permis de - Alors et application simpliciale d’un complexa plexe Il’ définit un homomorphisme du groupe d’ homologie de I~ d’homologie de Il’ , pour chaque dimension. f n , (G~) . En Le nom une applica:r’ 9 définit un homomorphisme permis o f soit cas Z(G) applique on en f (ao , ...,a ) n Dans le G’ , de ceux G’ . G tion utiliserons la môme lettre nous isomorphismes, réciproques deux ~ l’un de .. , Cas de la composition dos applications simpliciales : traduire les résultats précédents. 6.- Sous-groupes F Soit d G de tienne à un lo; nom un pour tout dira aussi que vera sous-groupe d’un définisse F F est gr up:: à dérivation endomorphisme de F, il de F, autrement dit x un sous-groupe permis. de sous-groupe projecteurs 03B8n ; à dérivation. dérivation. et groupes quotients de greupes à un tel sous-groupe sera Si G , Pour que et il suffit que F que en sous-grcupes soit outre qui G stable est dx pour gradué, d. On on raser sont stables pour tous les muni d’une structure de groupe L’application associe le me x un On en déduit H(F) -~ H(G) permis. GJ : élément dans F naturelle de C(L) (resp. un cas élément de F, un homomorphis- est x H n (F) --~ H un n (G) dans le de "cycle" d’une cas graduation) . peut être homologue à F 0 sous-complexe d’un complexe simplicial K ; le groupe s’identifie à un sous-groupe permis de C(K) . D’où un homomorL un H(L) phisme canonique : Il est un homomorphisme (canonique) n’est pas forcément biunivoque : dans G sans l’être dans F . des chaînes à appartenant à G ) considère co Exemple : soit (celle qui, G --~ H (K ) . H(F) où l’on est certain que celui où il existe un f projecteur de G ~ H(G) F sur est qui biunivoque : c’est soit un homom, permis. puis l’homom. H(G) --~ H(F) défini par f, on obtient l’automorphisme identique de H (F) . D’où le résultat. C’est ainsi qu’on peut montrer que si un complexe simplicial K est réunion de complexes Ki disjoints (i.e: les sous-complexes Ki n’ont 2 à 2 En effet, cun effectuant successivement en sommet commun, et tout s’identifie à la groupe Soit de nouveau G . L’endomorphisme F , donc définit tient G/F. Si de plus dans G/F simplexe G un dérivation, d applique toute endomorphisme (que un le K. ), directe des somme grnupe à est contenu dans l’un des I~ de et classe module nous noterons F un F sous-groupe dans de classe modulo une d ) encore permis du groupe quo- Ce groupe est donc aussi muni d’une structure de groupe à dérivation. G est gradué, par passage L’application la classe de x au et F quotient, naturelle de modulo sous-groupe F ) est G un et sur G/F permis, les projecteurs devient G/F (qui, un groupe à chaque homom. permis $ d’où un gradué en opèrent à dérivation. G, associe homomorphisme (canonix de que) H(G) --~ H(G/F) TT : (resp. H n (G) -’~ H n (G/F) ). sous-complexe d’un complexe K . Le grcupe C(K)/C (L) s’appelle le groupe des chaînes (1(3 K module L ; on peut le noter C(K/L) . Il lui correspond un groupe d’homologie de Ir module L , noté H(K/L) ; pour que dimension n, on peut préciser H n (i:/L) , On verra que les grcupes sont des invariants topologiques du couple formé de l’espace topologique K et L. Dès maintenant, nous avons un homomorphisme canode son sous-espace (fermé) ExemDle : soit L un ’ nique de H(K) dans Autre exemple : G prenens pour groupe des chaînes ordon- le groupe nées d’un complexe K , pour groupe quotient G/F le grcupe orientées. On en déduit un homomorphisme canonique : H(K) *"~ plus tard que c’est isomorphisme du premier groupe un c (K) des chaînes h(K) . Nous verrons le second. sur 7.- Le troisième homomorphisme et les suites exactes. Soient un toujours G sous-groupe permis. un groupe à dérivation déjà défini H (G) --~ On va définir contrairement H n (G/F) 2 aux H autres, n+r (F) , r ne conservera désignant le phe 4). de H(G) --~ H (G/F) . ~ ~ H(G/F) --~ H(F) ; mais celui-ci, pas les degrés : il transformera degré de l’opératur d (cf. définir 03B4 , partons d’un élément 03B1 do H(G/F) ; provient d’un élément x de G G~F ~ qui Cet élément dx tronsque 03B2 est bien est et z 6 G) même image que dx y F - Pour cycle et homomorphismes canoniques et troisième homomorphisme un dans deux (éventuellement transformé de 03B1 cycle de un F , alors sans dx H(F) . l’homomorphisme 03B4 , qui dans par est sera se x remplacé alors, F . tel que donc définit un élément déterminé par 03B1 . On peut remplacer provient d’un il par trouve ainsi H (F) . de 6 par (où x+y+dz dx+dy, qui définition, le par a défini. d’un quelconque de ces signifie que le homomorphismes est précisément l’image de l’homomorphisme précèdent. Par exemple, le noyau de 03C9 est le sous-groupe de H(F) , image de H(G/F) par 03B4 . forment une suite exacte : cela La vérification de séquences théorème cL ce seront d’une extrême nalyser les propriétés de gique (ex.:ô théorème do Dans le cas où G la suite exacte Fiais pas de difficulté. Mais importance. graduée il los degrés. ce convient de On con- théorème permettra d’a- décomposer obtient, lorsque ses d un espace topolo- les homomorphismes est de degré +1, (infinie) o -~ H 0 (F~ ~ H 0 (~) -~ H 0 (~/F~ -~ et, dans le cas présente pas présente situation d’un sous-espace formé dans est de la suite exacte suivant ne où d est de ... -~ degré -1 : H n (~) ~ ~ n (~) -~ H~(G/F)... 2-09 03C0 Naturalité : les 3 homomorphismes 03C9 , et 03B4 sens sont naturels, dans suivant. Supposons un autre groupe à dérivation G’ , et un honcnorphisne permis f de G groupe G’/F ’ , dans permis G’ , qui applique F’ G’ . On do ~:t par suite cn ~. Cela dit, la naturalité un sous-groupe permis en un F de homomorphisme permis dans G do un sous- G/F dans 3 homomorphismes s’exprime par le de compatibilités : signification de cette écriture est la suivante : de quelque manière que l’on compose des homomorphismes désignés par des flèches, l’homonorphisme composé ne non du chemin suivi. du point de départ ~;t du point dépend La Application sent dans le trois grcupes cas aux complexes simpliciaux : los résultats où l’on envisage d’homologie de L 9 un de précédents complexe K , un sous-complexe h ? et de K r:odulo L . se L , traduiet les