EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES p-ADIQUES ET (ϕ, N)

EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES p-ADIQUES ET
(ϕ, N)-MODULES FILTR´ ES
par
Laurent Berger
R´esum´e. — L’objet de cet article est de montrer que les deux cat´egories suivantes sont
´equivalentes (1) la cat´egorie des (ϕ, N, GK)-modules filtr´es (2) la cat´egorie des (ϕ, ΓK)-
modules sur l’anneau de Robba tels que l’alg`ebre de Lie de ΓKagit localement trivialement.
De plus, on montre que sous cette ´equivalence, les (ϕ, N, GK)-modules filtr´es admis-
sibles correspondent aux (ϕ, ΓK)-modules ´etales, ce qui nous permet de donner une nouvelle
d´emonstration du th´eor`eme de Colmez-Fontaine.
Abstract (p-adic differential equations and filtered (ϕ, N)-modules)
The goal of this article is to show that the following two categories are equivalent (1)
the category of filtered (ϕ, N, GK)-modules (2) the category of (ϕ, ΓK)-modules over the
Robba ring such that the Lie algebra of ΓKacts locally trivially.
Furthermore, we show that under this equivalence, the admissible filtered (ϕ, N, GK)-
modules correspond to the ´etale (ϕ, ΓK)-modules, which gives a new proof of Colmez-
Fontaine’s theorem.
Table des mati`eres
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
(ϕ, N, GK)-modules filtr´es et (ϕ, ΓK)-modules......................... 2
Application aux repr´esentations p-adiques............................ 3
I. Rappels et compl´ements.............................................. 4
I.1. Les (ϕ, N, GL/K )-modules filtr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2. L’anneau de Robba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.3. Les (ϕ, ΓK)-modules sur l’anneau de Robba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II. Construction de (ϕ, ΓK)-modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.1. Recollement de r´eseaux locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2. Des (ϕ, N, GL/K )-modules filtr´es aux (ϕ, ΓK)-modules. . . . . . . . . . . . 11
III. Construction de (ϕ, N, GK)-modules filtr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.1. L’alg`ebre de Lie de ΓK......................................... 13
III.2. ´ Equations diff´erentielles p-adiques.............................. 15
IV. Pentes de Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
IV.1. Rappels sur les pentes de Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
IV.2. Calcul des pentes de M(D)..................................... 18
Classification math´ematique par sujets (2000). — 11F80, 12H25, 13K05, 14F30.
Mots clefs. — repr´esentations p-adiques, de de Rham, (ϕ, N)-modules filtr´es, ´equations diff´erentielles
p-adiques.

2LAURENT BERGER
V. Applications aux repr´esentations p-adiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
V.1. Anneaux de Fontaine et repr´esentations p-adiques. . . . . . . . . . . . . . . 20
V.2. Repr´esentations potentiellement semi-stables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
V.3. Construction de D†(V).......................................... 23
Appendice A. Liste des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Appendice B. Erratum `a [Ber02]....................................... 26
R´ef´erences.............................................................. 27
Introduction
Dans tout cet article, Kest un corps local qui contient Qpet qui est muni d’une
valuation discr`ete ´etendant la valuation p-adique et pour laquelle Kest complet et de
corps r´esiduel parfait kK. Pour n6∞, on pose Kn=K(µpn) et ΓK= Gal(K∞/K).
(ϕ, N, GK)-modules filtr´es et (ϕ, ΓK)-modules. — L’objet de cet article est de cons-
truire une ´equivalence de cat´egories entre deux cat´egories utilis´ees dans la th´eorie des
repr´esentations p-adiques et des ´equations diff´erentielles p-adiques (on se reportera au
chapitre I pour des rappels sur ces cat´egories). Il s’agit de :
(1) la cat´egorie des (ϕ, N, GK)-modules filtr´es, dont la sous-cat´egorie des objets admis-
sibles param´etrise les repr´esentations p-adiques potentiellement semi-stables du groupe
de Galois absolu GKdu corps K;
(2) la cat´egorie des (ϕ, ΓK)-modules sur l’anneau de Robba tels que l’alg`ebre de Lie de
ΓKagit localement trivialement, qui g´en´eralise la notion d’´equation diff´erentielle p-adique
munie d’une structure de Frobenius.
On construit un foncteur D7→ M(D) qui `a un (ϕ, N, GK)-module filtr´e Dassocie un
(ϕ, ΓK)-module M(D) sur l’anneau de Robba B†
rig,K et le r´esultat principal de cet article
est le suivant :
Th´eor`eme A. — Le ⊗-foncteur exact D7→ M(D), de la cat´egorie des (ϕ, N, GK)-
modules filtr´es, dans la cat´egorie des (ϕ, ΓK)-modules sur B†
rig,K dont la connexion as-
soci´ee est localement triviale, est une ´equivalence de cat´egories.
´
Etant donn´e un (ϕ, N, GK)-module filtr´e D, le (ϕ, ΓK)-module M(D) admet (par le
th´eor`eme [Ked04, th´eor`eme 6.10] de Kedlaya) une filtration canonique par les «pentes
de Frobenius ». Nous calculons ces pentes en terme des invariants tHet tNde Det de
ses sous-objets. Comme corollaire de ces calculs, nous obtenons le r´esultat suivant :
Th´eor`eme B. — Le (ϕ, N, GK)-module filtr´e Dest admissible si et seulement si M(D)
est ´etale.

EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES p-ADIQUES ET (ϕ, N)-MODULES FILTR´ ES 3
Application aux repr´esentations p-adiques. — Comme application du th´eor`eme
B, on obtient une nouvelle d´emonstration du th´eor`eme [CF00, th´eor`eme A] de Colmez-
Fontaine :
Th´eor`eme. — Si Dest un (ϕ, N, GK)-module filtr´e admissible, alors il existe une
repr´esentation p-adique Vpotentiellement semi-stable telle que Dpst(V) = D.
Enfin, les constructions pr´ec´edentes nous permettent de pr´eciser les liens entre les
divers invariants que l’on peut associer `a une repr´esentation p-adique potentiellement
semi-stable V(qui devient semi-stable sur une extension galoisienne finie Lde K). Ces
invariants sont :
(1) le (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e Dst,L(V) = (Bst ⊗QpV)GL;
(2) l’´equation diff´erentielle p-adique NdR(V) ;
(3) le (ϕ, ΓK)-module ´etale sur l’anneau de Robba D†
rig(V).
`
A l’´equation diff´erentielle p-adique NdR(V), on associe (cf d´efinition III.2.2) son
espace SolL(NdR(V)) de GL-solutions, qui est un (ϕ, N, GL/K )-module, et on montre
dans le th´eor`eme III.2.3 comment la donn´ee de D†
rig(V) d´etermine une filtration sur
SolL(NdR(V)), ce qui en fait un (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e. On a alors (les notations
restantes sont d´efinies dans le corps du texte) :
Th´eor`eme C. — Si Vest une repr´esentation p-adique de GKsemi-stable quand on la
restreint `a GL, alors :
(1) Dst,L(V) = SolL(NdR(V)) ;
(2) D†
rig(V) = M(Dst,L(V)) ;
(3) NdR(V) = (B†
rig,L[`X]⊗L0Dst,L(V))Gal(L∞/K∞),N=0.
Ces identifications sont compatibles `a toutes les structures en pr´esence.
Cela permet notamment de «retrouver la filtration »sur Dst,L(V) quand on le construit
`a partir de D†
rig(V) (cf [Col01, proposition 5.6] pour une construction similaire).
Enfin, nous montrons comment reconstruire, pour une repr´esentation semi-stable V, le
(ϕ, ΓK)-module D†(V) sur B†
K`a partir de Dst(V) (comme dans [Col04,§4.3.1]).
Th´eor`eme D. — Si Vest une repr´esentation semi-stable de GKet si
–{ei}i=1···dest une base de Dst(V)adapt´ee `a la d´ecomposition par les pentes de Fro-
benius ;
–N(ei) = Pd
j=1 nj,iej;
–{fj}j=1···dest une base de DdR(V)adapt´ee `a la filtration et ϕ−n(ei) = Pd
j=1 p(n)
j,i fj,

4LAURENT BERGER
alors x=Pd
i=1 xi(X)⊗ei∈B†,r
rig,K [`X,1/t]⊗K0Dst(V)appartient `a D†,r(V)si et seule-
ment si :
(1) N(xj) + Pd
i=1 nj,ixi= 0 pour j= 1 · · · d;
(2) Pd
i=1 ιn(xi)p(n)
j,i ∈t−tH(fj)Kn[[t]] pour j= 1 · · · det n>n(r);
(3) ord(xi)6−pente(ei)pour i= 1 · · · d.
Ceci permet de construire «explicitement »les ´el´ements de D†,r(V) ce qui a des ap-
plications directes `a la correspondance de Langlands p-adique.
Remerciements : Je remercie Pierre Colmez, Jean-Marc Fontaine et Kiran Kedlaya
pour des discussions ´eclairantes sur certains points de cet article ainsi que Francesco
Baldassarri et le referee pour leurs commentaires sur une premi`ere version.
I. Rappels et compl´ements
Dans tout cet article, Kest un corps local qui contient Qpet qui est muni d’une
valuation discr`ete ´etendant la valuation p-adique et pour laquelle Kest complet et de
corps r´esiduel parfait kK.
On ´ecrit µpn⊂K(la clˆoture alg´ebrique de K) pour d´esigner l’ensemble des racines
pn-i`emes de l’unit´e, et pour n>1, on d´efinit Kn=K(µpn) ainsi que K∞=∪+∞
n=1Kn.
Si n= 0, on pose K0=W(kK)[1/p] ce qui fait que K/K0est totalement ramifi´ee. Les
notations ne sont donc pas vraiment compatibles, mais elles sont usuelles. Finalement,
K0
0d´esigne l’extension maximale non-ramifi´ee de K0contenue dans K∞.
Soient GK= Gal(K/K) et HK= Gal(K/K∞) le noyau du caract`ere cyclotomique χ:
GK→Z∗
pet ΓK=GK/HKle groupe de Galois de K∞/K, qui s’identifie via le caract`ere
cyclotomique `a un sous-groupe ouvert de Z∗
p. On note σ:b
Knr
0→b
Knr
0le Frobenius absolu
(qui rel`eve x7→ xpsur ksep
K).
I.1. Les (ϕ, N, GL/K )-modules filtr´es. — Le corps Ld´esigne une extension galoi-
sienne finie de K, et GL/K le groupe de Galois de L/K. La cat´egorie des (ϕ, N, GL/K )-
modules filtr´es et sa sous-cat´egorie pleine de (ϕ, N, GL/K )-modules filtr´es admissibles
sont ´etudi´ees en d´etail dans [Fon94b,§4]. Nous nous contentons donc de rappeler les
d´efinitions et quelques r´esultats dont nous aurons besoin par la suite.
Un (ϕ, N, GL/K )-module est un L0-espace vectoriel Dde dimension finie et muni d’une
application σ-semi-lin´eaire bijective ϕ:D→D, d’une application lin´eaire N:D→D
qui v´erifie Nϕ =pϕN et d’une action semi-lin´eaire de GL/K qui commute `a ϕet N. Si
L=K, on parle tout simplement de (ϕ, N)-module (relatif `a K).

EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES p-ADIQUES ET (ϕ, N)-MODULES FILTR´ ES 5
Un (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e est la donn´ee d’un (ϕ, N, GL/K )-module Det d’une
filtration d´ecroissante exhaustive et separ´ee FiliDLsur DL=L⊗L0D, par des sous
L-espaces vectoriels stables par GL/K . Il est ´equivalent de se donner une filtration sur
DK=DGL/K
L.
La cat´egorie des (ϕ, N, GL/K )-modules filtr´es est une cat´egorie additive Qp-lin´eaire qui
admet des noyaux et des conoyaux (mais qui n’est pas ab´elienne), ainsi que des produits
tensoriels et des Hom internes.
Par abus de langage, on dira que Dest un (ϕ, N, GK)-module filtr´e s’il existe une
extension finie galoisienne L/K telle que Dest un (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e.
Si Dest un (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e de dimension 1, on d´efinit tH(D) comme le plus
grand entier itel que FiliDL6= 0 et si ϕ(d) = λd avec d∈D, alors vp(λ) ne d´epend pas
du choix de d6= 0 et on d´efinit tN(D) = vp(λ). Si Dest un (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e de
dimension >1, on d´efinit tH(D) = tH(det D) et tN(D) = tN(det D). Si e∈DL, on pose
tH(e) = tH(L·e).
On dit qu’un (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e Dest admissible si tH(D) = tN(D) et si pour
tout sous-objet D0de D, on a tN(D0)−tH(D0)>0. La cat´egorie des (ϕ, N, GL/K )-modules
filtr´es admissibles est une sous-cat´egorie pleine de la cat´egorie des (ϕ, N, GL/K )-modules
filtr´es et elle est de plus ab´elienne.
Rappelons que la principale source de (ϕ, N, GL/K )-modules filtr´es admissibles est la
suivante : si Vest une repr´esentation p-adique de GKdont la restriction `a GLest semi-
stable, alors Dst,L(V) est un (ϕ, N, GL/K )-module filtr´e admissible.
I.2. L’anneau de Robba. — D´efinissons ici quelques anneaux de s´eries formelles (ces
constructions sont faites en d´etail dans [Col03]). Si rest un r´eel positif et F=K0(pour
all´eger un peu les notations), soit B†,r
Fl’anneau des s´eries formelles f(X) = Pk∈ZakXk
o`u {ak∈F}k∈Zest une suite born´ee telle que f(X) converge sur la couronne 0 < vp(X)6
1/r. Cet anneau est muni d’une action de ΓF, qui est triviale sur les coefficients et donn´ee
par γ(X) = (1+X)χ(γ)−1 et on peut d´efinir un Frobenius ϕ:B†,r
F→B†,pr Fqui est σ-semi-
lin´eaire sur les coefficients et tel que ϕ(X) = (1 + X)p−1. Le «th´eor`eme de pr´eparation
de Weierstrass »montre que B†
F=∪r>0B†,r Fest un corps. Ce corps n’est pas complet pour
la norme de Gauss et on appelle BFson compl´et´e qui est un corps local de dimension 2
dont le corps r´esiduel s’identifie `a kK((X)).
On pose aussi Fn=F(µpn) ainsi que F∞=∪+∞
n=1Fnce qui fait que l’extension
K∞/F∞est une extension finie de degr´e de ramification eK6[K∞:F∞] et par la
th´eorie du corps de normes de [FW79, Win83] il lui correspond une extension s´eparable
k0
K((XK))/kK((X)) de degr´e [K∞:F∞] qui nous permet de d´efinir des extensions non-
ramifi´ees BK/BFet B†
K/B† Fde degr´e [K∞:F∞]. On peut montrer que B† K=∪r>0B†,r Ket